Содержание
Введение .......................................................... 4
Глава 1. Модифицированный метод интегральных токов в электродинамике неоднородных сред..........................15
1.1. Вывод интегрального уравнения по объему..................10
1.2. Численные методы решения интегральных уравнений электродинамики 20
1.3. Модифицированный метод интегральных токов в уравнениях
электродинамики ..........................................24
Глава 2. Квазитрехмерная задача электромагнитного зондирования .........................................................40
2.1. Постановка квазитрехмерной задачи.........................47
2.2. Квазитрехмерный метод....................................48
2.3. Вычислительные аспекты алгебаризации.....................54
2.4. Численное исследование берегового эффекта................81
Глава 3. Осесимметрическая задача электромагнитного зондирования .......................................................90
3.1. Построение интегрального уравнения.......................97
3.2. Асимптотическое поведение поля..........................103
3.3. Вычислительные аспекты решения интегрального уравнения в
осесимметрическом случае.................................107
3.4. Численное исследование островного эффекта ..............116
Заключение.......................................................119
2
тература
Введение
Одним из активно развивающихся направлений современной прикладной геофизики является электромагнитное зондирование. В его основе лежит математическое моделирование электромагнитных процессов, происходящих в неоднородных средах. Решение вычислительных проблем, возникающих при численном моделировании таких процессов является сложной и актуальной задачей.
Методы электромагнитного зондирования различаются по типу используемого источника: это может быть либо естественное электромагнитное поле Земли, либо какие-нибудь искусственные источники. Традиционно искуствен-ные источники используются для проведения локального зондирования — когда расстояние между источником поля и областью наблюдения сравнительно невелико. Однако в последнее время все больший интерес вызывает применение мощных стационарных электромагнитных источников для выявления структур, расположенных на расстояниях порядка десятков и сотен километров от источника.
Особый практический интерес представляет вопрос о возможности использования стационарного источника, расположенного на суше, для зондирования структур, расположенных под морским дном. Измерения при этом проводятся на дне, а источником может выступать как специально изготовленная антенна или токовая петля, так и обычная линия электропередач или железная дорога, к которым подключается соответствующий передатчик. Подобные эксперименты уже проводятся, например, Полярным геофизическим институтом. Эти эксперименты, в частности, подтвердили практическую возможность измерения поля. Однако с прямым моделированием подобных задач и, тем более, с решением соответствующих обратных задач ситуация гораздо сложнее.
4
Основную трудность при моделировании удаленного морского зондирования составляют большой размер (крупномасштабиость) модели и необходимость учета как распределения проводимости на берегу, на котором расположен источник, так и в море, где производятся измерения. Кроме того, необходимо учитывать следующие аспекты:
• Растекание тока по суше вблизи источника. Точное моделирование такого растекания в настоящее время ис представляется возможным, однако для морских измерений это растекание необходимо учитывать, например, заменой реального источника неким эквивалентным диполем с неизвестным моментом.
• Влияние берегового эффекта, заключающегося в концентрации тока вдоль берега, которым невозможно пренебречь, если источник расположен на суше.
• В случае источника, расположенного на острове, возникает так называемый островной эффект, когда ток замыкается вокруг острова, образуя гигантскую токовую петлю.
Вычислительные аспекты электромагнитных методов геофизики базируются на математическом аппарате электродинамики. Этот аппарат включает' в себя численные методы решения краевых задач для уравнений Максвелла конечно-разностными или конечно-элементными методами, или численное решение эквивалентных интегральных уравнений.
Метод интегральных уравнений электродинамики основан на концепции аномалии, расположенной в слоистой (многослойной) среде. При этом пространство моделируется слоистой средой, в которой электромагнитные характеристики каждого слоя — диэлектрическая проницаемость, проводимость и магнитная проницаемость являются постоянными. В некоторой области это-
5
го пространства расположена аномалия — тело, электромагнитные характеристики которого отличны от соответствующих характеристик объемлющего пространства. При этом интегральное уравнение пишется по аномалии, а его решение позволяет’ рассчитать электромагнитное поле в любой точке пространства. Вычислительные ресурсы, необходимые для решения такого интегрального уравнения, зависят от соотношения между геометрическими размерами аномалии и длиной электромагнитной волны в аномалии.
До недавнего времени метод интегральных уравнений практически не использовался для решения крупномасштабных задач в силу технических ограничений на размер матрицы системы линейных уравнений. Однако с появлением суперкомпьютеров, позволяющих обращать полные матрицы порядок которых составляет несколько миллионов, использование этого метода становится вполне реальным. В настоящее время метод интегральных уравнений является основным для решения прямых задач электромагнитного зондирования в следующих коллективах: группа под руководством д.ф.-м.н профессора В. И. Дмитриева в МГУ, группа под руководством академика РАН Е. П. Велихова в НИЦ “Курчатовский Институт” (при взаимодейстии с группой сотрудников ИФЗ под руководством д.ф.-м.н С. М. Коротаева).
Традиционный численный метод решения интегральных уравнений электродинамики — метод коллокаций (28, 50) и его развитие — метод сжимающих интегральных уравнений [32], являются эффективными при размерах аномалии порядка нескольких длин волн в этой аномалии. Однако для крупномасштабного моделирования — когда размеры аномалии составляют несколько десятков длин волн, использование этих методов приводит к необходимости решать системы линейных уравнений высоких (106—108) порядков.
Другим подходом к численному решению интегральных уравнений электродинамики является метод интегральных токов [6, 28]. Если требуется рассчитать электромагнитное поле в точках, удаленных от высокопроводящей
аномалии, расположенной в изолирующей среде, то этот метод является существенно менее требовательным к вычислительным ресурсам, нежели метод коллокаций. Это обстоятельство позволяет использовать данный метод для ряда задач крупномасштабного моделирования, но при расчетах поля внутри аномалии метод интегральных токов предъявляет примерно те же требования к вычислительным ресурсам, что и метод коллокаций.
В большинстве задач удаленного морского зондирования электромагни-ное иоле необходимо рассчитывать на дне моря, т.е. внутри сильно проводящей крупномасшабной аномалии.
В некоторых задачах морского зондирования в качестве аномалии можно выбрать сушу, а не море, но в этом случае возникают сложности связаные с тем, что источник поля расположен в аномалии. В таких задачах правая часть интегрального уравнения содержит особенность, которая затрудняет решение методом коллокаций. При использовании метода интегральных токов такая особенность не создает проблем, но, поскольку в этом случае приходится рассчитывать поле внутри изолирующей аномалии, расположенной в проводящей среде, эффективность метода интегрального тока также не очень высока.
Другая вычислительная трудності», возникающая при обсчете задач морского зондирования, связанная больше не с проводимостью, а с геометрическими размерами моря, заключается в том, что даже при зондировании на низких частотах, когда длина волны велика, моделирование моря в виде трехмерной структуры все равно требует значительных вычислительных мощностей, доступных только на суперкомпьютерах. В ряде случаев можно понизить размерность решаемой задачи и перейти от трехмерной задачи к квази-трехмерпой или двумерной, которые гораздо менее требовательны к ресурсам.
Таким образом, возникает задача разработки новых и адаптации старых
численных методов решения интегральных уравнений электродинамики в задачах удаленного морского электромагнитного зондирования.
В настоящей диссертации предложен и обоснован новый численный метод решения интегральных уравнений электродинамики, называемый модифицированным методом интегральных токов. Он основан на объединении базовых идей метода коллокаций и метода интегральных токов. Так же как и в методе интегральных токов, предлагается решать систему линейных уравнений не для электрического поля в каких-либо точках, а для интегральных характеристик этого поля. Однако, если в методе интегральных токов такими характеристиками являются интегралы от тока по подобластям, на которые разбивается аномалия, то в предлагаемом методе этими характеристиками являются интегральные средние от поля по этим подобластям. Гораздо более важным отличием метода, представленного в данной работе, от метода интегральных токов, которое и объединяет его с методом коллокаций, является то, что для алгебраизации интегрального уравнения точное решение заменяется кусочно-постоянной функцией. При этом, если в методе коллокаций эта функция определяется значениями в центрах подобластей, то в предлагаемом методе это интегральные средние по этим подобластям.
Вще одно практически важное отличие модифицированного метода интегральных токов заключается в том, что применение этого метода не требует вычисления интегралов в смысле главного значения, которые необходимо вычислять при использовании методов коллокаций или интегральных токов.
Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. В работе рассмотрены различные вычислительные аспекты решения задач электромагнитного удаленного морского зондирования методом интегральных уравнений.
В разделе 1.1 главы 1 приведен переход от системы дифференциальных уравнений Максвелла к эквивалентным трехмерным интегральным
8
уравнениям. Трехмерные интегральные уравнения электродинамики являются сингулярными, что приводит к дополнительным трудностям при их численном решении.
В разделе 1.2 главы 1 проведен краткий анализ использующихся численных методов решения интегральных уравнений электродинамики и предложен модифицированный метод интегральных токов, при использовании которого, в частности, не требуется вычислять интегралы, содержащие особенность, в отличие от метода коллокаций или метода интегральных токов.
Раздел 1.3 является основным разделом главы 1 и посвящен построению и исследованию применимости модифицированного метода интегральных токов. Произведена оценка сходимости данного метода, и показано, что если решение интегрального уравнения является гладкой функцией, то метод равномерно сходится с первым порядком аппроксимации в смысле квадратичной нормы внутри аномалии и поточечно вне аномалии. Отметим, что если решение уравнения является разрывной функцией, что может быть вызвано, например, разрывностью проводимости в аномалии, то метод все равно сходится равномерно. В этом случае сходимость метода определяется тем, насколько точно решение интегрального уравнения может быть приближено своими интегральными средними по выбранному разбиению на подобласти. Кроме того, получена практически важная оценка погрешности полученного решения, в которой не используется точное решение. Эта оценка основана на том, что при использовании модифицированного метода интегральных токов имеется два приближенных значения для поля в точке внутри аномалии — величина, посчитанная по приближенным формулам пересчета в этой точке, и приближенное интегральное среднее по области, содержащей эту точку, полученное при решении системы линейных уравнений. Наличие такой оценки позволяет оценить точность решения при данном разбиении на подобласти, не проводя расчетов для разбиений с большим числом подобластей, что в
ряде случаев просто невозможно технически.
Глава 2 посвящена практическому применению модифицированого метода интегральных токов в квази-трехмерных задачах. Этот класс задач естественным образом возникает при моделировании берегового эффекта в случае финитного источника, расположенного на берегу моря. Необходимость учета суши не позволяет рассматривать море бесконечным во всех горизонтальных направлениях, однако в большинстве задач его можно считать бесконечно протяженном в каком-то одном направлении и пренебречь кривизной берегов. В случае финитности источников это приводит к типичной квази-трехмерной задаче.
В разделах 2.1-2.2 главы 2 проведена общая постановка квази-трех-мерной задачи электродинамики, и показано, как при использовании интегральных уравнений осуществляется переход от трехмерной задачи к семейству двумерных с помощью преобразования Фурье. При этом возникает задача оптимального выбора гармоник Фурье, необходимых для восстановления поля по его образу в заданой точке, которая исследована в разделе 2.4.
При применении модифицированного метода интегральных токов к квази-трехмерной задаче возникают различные вычислительные задачи, связапые с двукратным интегрированием ядра интегрального уравнения. Раздел 2.3 главы 2 посвящен решению этих задач. В нем подробно исследованы вопросы такого интегрирования и предложен метод, позволяющий свести эти интегралы к вычислению преобразования Фурье от функции, которая рассчитывается с высокой точностью. Хотя в данной работе этот метод излагается для случая кусочно-постоянной проводимости, он может быть обобщен и на случай кусочно-полиномиальной проводимости. Кроме того, на базе излагаемого метода может быть легко построен метод расчета коэффициентов системы линейных уравнений, которая возникает при использовании модифицированного метода интегральных токов в трехмерной задаче.
10
- Київ+380960830922