Эллиптические дифференциально-разностные уравнения с вырождением

Оглавление
Введение 3
1. Разностные операторы 12
1.1. Геометрические построения............................... 12
1.2. Разностные операторы.................................... 18
1.3. Разностные операторы с нетривиальным ядром ............. 21
2. Разрешимость эллиптических дифференциально-разностных уравнений с вырождением 25
2.1. Априорные оценки решений................................ 25
2.2. Фридрихсово расширение.................................. 39
2.3. Спектрапьные свойства................................... 50
3. Гладкость обобщенных решений 54
3.1. Внутренняя гладкость обобщенных решений в подобластях . 54
3.2. Гладкость обобщенных решений вблизи границ подобластей 59
2
-4-
и непрерывная в D функция u(xi, х2), удовлетворяющая условиям
и(х 1, 0) = и{хь 1) = <^2(xi), -/ < Xi < /,
х2) = ^з(х2), гх(/, х2) = и(0, х2), 0 < х2 < 1, где <v?i, v?2, <^з — заданные непрерывные функции. Решение данной задачи приведено в работе [1), оно основано на сведении к интегральному уравнению Фредгольма второго рода и использовании принципа максимума. Для произвольной области и общих нелокальных условий такая задача была сформулирована как нерешенная [43,71].
Такого типа задачи получили дальнейшее развитие в работах Н.В. Жи-тарашу и С.Д. Эйдельмана [13], Я.А. Ройтберга и З.Г. Шефтеля [41], A.B. Бицадзе [2], В.А. Ильина и Е.И. Моисеева [16], К.Ю. Кишкиса (20],
А.К. Гущина и В.П. Михайлова [10.11] и др.
Основы общей теории для эллиптических уравнений порядка 2т с нелокальными краевыми условиями общего вида были заложены в работах
А. Л. Скубачевского и его учеников [8,9,32,50,52-55,58,59.68-70.75,77]. С нелокальными задачами для эллиптических дифференциальных уравнений тесно связаны краевые задачи для функционально-дифференциальных уравнений. Теория эллиптических и параболических функциональнодифференциальных уравнений впервые построена в работах А.Л. Скубачевского и его учеников в течение последних 30 лет (А. Л. Скубачев-ский [44,77], Л. Е. Россовский |42], Р. В. Шамин [56,57], Гуревич П.Л. [67] E. М. Варфоломеев [3] и др.). Важность создания этой теории мотивируется принципиально новыми свойствами таких уравнений, а также важными приложениями. Применение этой теории позволило получить новый класс
секториальных операторов удовлетворяющих гипотезе Т. Като (Р. В. Ша-мин [62]), получить новые достаточные условия существования многолепестковых вращающихся волн в нелинейных лазерных системах [79] и д.р.
Параболические функционально-диффеенциальные уравнения с преобразованием временной переменной рассматривались в работах В.В. Власова (5.6].
Интерес к эллиптическим уравнениям с вырождением возник после работы М.В. Келдыша (19]. Эта статья стала отправной точкой для исследований многих математиков и сыграла важную роль в развитии теории вырождающихся дифференциальных уравнений. М.В. Келдыш впервые показал, что при определенных условиях часть границы (многообразие вырождения) свободна от краевых условий. В дальнейшем подобными задачами занимались многие математики: O.A. Олейник (28], М.И. Вишик (4] и другие. Работы Г. Фикеры [61] O.A. Олейник (29] явились началом нового этапа в развитии теории эллиптических уравнений с вырождением. Данной тематике посвящены работы Е.В. Радкевича (40], А.М. Ильина [15], в работе O.A. Олейник и Е.В. Радкевича [30] приведен подробный обзор работ посвященных уравнениям с неотрицательной характеристической формой, статья В.П. Глушко, 10.Б. Савченко [7] посвящена вырождающимся эллиптическим уравнениям высокого порядка.
2. Новизна результатов.
Интерес к эллиптическим дифференциально-разностным уравнениям с вырождением вызван тем, что к таким уравнениям сводятся эллипти-
-6-
ческие задачи с нелокальными условиями на компактных множествах (с непустой внутренностью), рассмотренные A.B. Бицадзе, A.A. Самарским [1]. В отличие от эллиптических задач с нелокальными условиями на многообразиях (упоминавшиеся выше), также рггссмотренных в этой работе эллиптические задачи с нелокальными условиями на компактах не нашли дальнейшего развития в научной литературе, за исключением, работ А. Л. Скубачевского [44,51,77]. Таким образом, на данный момент метод сведения таких задач к эллиптическим дифференциально-разностным уравнениям с вырождением является единственным методом исследования.
В этих работах рассматривались дифференциально-разностные операторы с вырождением, являющиеся композицией сильно эллиптического дифференциального оператора и неотрицательного разностного оператора с вырождением. Выли получены энергетические неравенства, построено фридрихсово расширение рассматриваемого оператора, а также изучены спектральные свойства и гладкость обобщённых решений. В частности, было показано, что решение может не принадлежать пространству Соболева даже при бесконечно гладкой правой части, однако, проекция решения на образ разностного оператора обладает определённой гладкостью, но не во всей области, а в некоторых подобластях.
В настоящей работе впервые рассматривается вырожденные дифференциально-разностные операторы второго порядка общего вида(в случае нескольких вырожденных разностных операторов и переменных коэффициентов) .