2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1
Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с одной сингулярной точкой
§ 1 Линейные системы обыкновенных дифференциальных
уравнений с одной сингулярной точкой, когда
характеристическое уравнение имеет к кратных и п-к различных корней § 2 Линейные системы обыкновенных дифференциалЫ1ых
уравнений с одной сингулярной точкой, когда
характеристическое уравнение имеет кратные корни § 3 Линейные системы обыкновенных дифференциальных
уравнений с одной сингулярной точкой, когда
характеристическое уравнение имеет различные действительные корни и два комплексных
Глава 2
Линейное дифференциальное уравнение высшего порядка с одной сингулярной точкой § I Уравнение типа Эйлера с одной сингулярной точкой § 2 Неоднородное линейное уравнение высшего порядка с одной сингулярной точкой § 3 Неоднородное линейное уравнение типа Эйлера с одной сингулярной точкой, когда характеристическое уравнение имеет различных и (п-к) кратных корней § 4 Неоднородные линейные уравнения высшего порядка типа Эйлера, когда характеристическое уравнение имеет кратные корни.
Глава 3
Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя сингулярными точками
§ 1 Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя сингулярными точками, когда характеристическое уравнение имеет различные корни
ь
I
стр.
4-9
10-16
16-23
23-31
31-32
32-38
38-45
45-51
51-58
3
(вещественные и комплексные)
§ 2 Линейные системы обыкновенных дифференциальных
уравнений с двумя сингулярными точками, когда
характеристическое уравнение имеет два различных и остальные кратные корни §3 Линейные системы обыкновенных дифференциальных
уравнений с двумя сингулярными точками, когда
характеристическое уравнение имеет два кратных корня и остальные различные
§ 4 Линейные системы обыкновенных дифференциальных
уравнений с двумя сингулярными точками, когда
характеристическое уравнение имеет к кратные и (п-/с) различных корней §5 Линейные системы обыкновенных дифференциальных
уравнений с двумя сингуляными точками, когда
характеристическое уравнение имеет только кратные корни
Глава 4
Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с тремя сингулярными точками
§1 Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с тремя сингулярными точками , когда характеристическое уравнение имеет различные корни (вещественные и комплексные)
§ 2 Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с тремя сингулярными точками, когда характеристическое уравнение имеет к кратные и (п-к) различных корней § 3 Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с тремя сингуляными точками,когда характеристическое уравнение имеет только
кратные корни Литература
58-67
67-73
73-89
80-85
86-92
93-99
99-105
105- 108
г
4
ВВЕДЕНИЕ
После работы М.В.Кельдыша [17], а также работ М.М.Смирнова [18] и А.В.Ьизацзе [20] и др. теория вырождающихся дифференциальных уравнений (сингулярных) приобрела значительную известыюсть. В монографии Л.Г. Михайлова [6], изданной в Академии наук Таджикской ССР в 1963г., которая затем была переиздана в Голандии и в Германии были развернуты исследования уравнений
п II
г2Ди + Г^Ьк(*)н* + с(х)и = /(*), где х = (х„...,хя), г2 = ]£** ,
*=1 к" О
а затем они были продолжены его учениками А.И.Ачилдиевым [19], Н.Раджабовым[8,43,44] и др. С другой стороны, еще с 19-го века приобрела
п
известность теория уравнений ху[ = £ак/ (x)yJ + /к (х),(к = 1,2,...,п,0 < .г < 1),
;=1
где а.у(х) и /*(*),(*,у’ = 1,2,...,п)аналитические функции, (т.е. сходящие
степенные ряды), получивщая наименование теория Фукса. В монографии Н.Раджабова [8] изучена система
п т ‘
+^ач^УЛх)=/Лх)>и = \Л,..,т,айхйЬ),Ьк е^/>1 при условиях
1 /=!
типа
°0 а9(Ьк) = Д, при всех к = 1,2,...,« и условиях на знаки
Р) акХ) <0, у) -1 <акЛ, <0,где числа ак коэффициенты разложения функции
я 1 "а
)“’ на простые дроби, т.е. ------------------= ^—-—, Л,-корни
П (*-&,)
к-1
характеристического уравнения |Ак) - Я11 = 0, заметим, что при п - 2 и />,=1,6, =0 будет а,=1,в2=-1. В этом случае условия ахХ]< 0, и а2Л, <0, противоречат друг другу.
В работах Л.Г.Михайлова [1-3] были начаты исследования уравнений и систем вида ху' =/(х,у),(0<.г<1). В точке .* = 0 происходит вырождение порядка уравнения до нулевого , а в силу того, что после деления на .V правая часть становится неинтегрируемой, точку .х = 0 столь же естественно называть сингулярной.
Для таких уравнений и систем в [3] было установлено фундаментальное свойство вырождения: если Г(х,у) непрерывна и существует непрерывное решение, то необходимо Г(0, у 0)=0, где у0 = >>(0).
Ясно что если при д: = 0 задавать начальное значение, отличающееся от найденного из уравнения Г(0,^0) = 0, то задача Коши будет неразрешима, а если Д0,у0)^0 при всех 0<у0<+оо,то непрерывных решений не существует
вообще. Поскольку^^’— неинтегрируема при /(.г,у)*0, то стандартный
(
5
метод интегральных уравнений здесь неприменим; тогда актуальным становится поиск новых методов решения. В одном частном случае, когда А(х,у)=с0 +*/о(*>у) 1'Де с0 = сот/, а /0(.х,у) интегрируема, такой метод удалось найти в [1,2].
В работе Л.Г.Михайлова [1] был разработан способ построения решений линейных сингулярных систем:
ху\ = а11(х)у1 + ап (х)у, +... + а1п (х)у„ + / (х)
. ху'г = и2,(х)у, +а2г(х)у2+... + а2я(х)уп+/г(х) (!);
ХУ, = а„, (х)у, + а„2 (х)у7 +...+я„„ (х)у„ + /„ (х),
где с1у(х) - заданные непрерывные функции, без ограничения общности
можем считать их вещественными. Что касается свободных членов и решений, то при .х * 0 они также считаются непрерывными, а у*(.х)-
непрерывно дифференцируемыми; в сингулярной точке л* = 0 они могут быть непрерывными (класс С), либо просто ограниченными (класс М0).
Будем пользоваться также векторной записью
.х-Г = Л(х)-У + Г(х) , (2)
где А(х) =|| «*>(*)[|,(Л,у = 1,2,...,п), а У(х) - искомые функции, а Г(х)-заданные векторы-столбцы, в силу чисто технических причин записываемые, однако в строку :
У=(у}>Уз,-,Уп),
Системам (1) и (2) соответствуют однородные уравнения, которые будем обозначать через (10)и(20)и т.д.
Рассмотрим сначала систему с постоянными коэффициентами (модельную систему)
ху\ =ли(0)у, +а]2(0)у2 +~- + а]п(0 )уп+/(х)
, * • Уз = «21 (°)Уі + “22 (°)^2 + • • • + “зп (°)У* + А (*)
* * Уп = “т (0)Уі + «2 (°)Уг +••* + «», (°)>?„ + /п М Однородную систему напишем в виде:
6
ху’ = а,, (0)у, + ап (0 )у2 + • • • + я,„ (0)уя = 0
= «2! (°)У2 + «22 (0)^2 + — + «2я = 0 ,, ч
Мо/
ХУп = «п. + «м2 (°)У2 + ■" = «*, (0)л = О
Пытаясь удовлетворить (10) степенными функциями хд, придём к характеристическому уравнению
А(Л)-ёе1[А(0)-Я1]=0 (3)
1-единичная матрица. В работе [1] рассматривался случай, когда его корни (вещественные или комплексные) все различные, обозначаются А, ,Л3,...,ЛП, причем Яе Лк * 0, (к = 1,2,...,л) (из этого необходимо следует, что дп = с1е1 Л(0) * 0).
Если (я/1к,у2*>“'>Уяк)Лк = 1,2,...,/?) являются линейно независимыми решениями систем (с определителями, равными нулю, по рангу (п-1)
[я,, (0) - \ ]у]к + ах2 (0 )у2к + • ■ • + а]н (0)упк = 0
«21 (0)^1* + Г«22(®) — ^Угк ^ а2п^)Упк
У
ап\ Ши + «2„ (0)у2к + • • • + [<*„, (0) - Лк ]упк = 0
то сЫЦ^Ц а Г * 0 и тогда (у,,** ) = У0 ‘ ’ ,
где ^-произвольные постоянные, для нахождения частного решения неоднородной системы У (х) = {у\,У2»—»У л) методом вариации постоянных будем иметь
ГпХ Уг\х Уъ\ХЛ
(1сх 4- У У'*1 (1с, - -4- - 4 4ся 1. у т -
сЬс У12 т с!х + Л’х сЬс '
с1С\ 4- V Г*1 с1с-> ...IV Vй ■
с!х /22 с!х /г'х Л
с!сх 4. 1/ V*» (1с , 1 V V* * —
с1х + У32 с1х + скс -
с1сх (1с, —- + • с!х " + у х*• Л* ■
(5)
откуда получаем
Где ак) =Гк; /Г и Г*, - алгебраическое дополнение элемента ук; в матрице||^|| (А:,у = 1,2,...,п ). Интегрируя (6) в пределах [х^\ при ЛеЯА>0 и в пределах [0,х] при КеЯд <0 и вводя, операторы
^"-/7(7) *№ (йеЛ, > о,)
(7)
вуУ = -)/(т)'у(,¥' (ЯеЯ*<0),
сможем записать
*ч =^(Х^/;)=х«»л,(/;),
7=» 7-1
так что
УР(х) = ^1вг;А /> = 1,2,...., И
7-1
п
оК
*«1
У = 7^,
Таким образом, общее решение (10) даётся формулами
лМ=Ёс* V'* + 2Х/л *-1
« (*)
У(х)='£ск У0(х) + 7'0 •/'’
*=1
В дальнейшей работе мы используем тот же метод Л.Г.Михайлова, который им был применен для случая, когда все корни различны, для тех случаев, когда характеристическое уравнение имеет кратные а также и различные корни или только кратные корни. Этот метод также используем для
8
исследования систем дифференциальных уравнений с двумя и тремя сингулярными точками.
В нашей работе мы также рассматриваем свойства операторов (7). Правые части из (7) относятся к классу операторов с ядрами однородными порядка (-]), которые достаточно подробно изучались в небольшой монографии Л.Г.Михайлова [2] , на которую постоянно будем опираться, но в отличие от [4], где операторы изучались в сингулярных классах функций, здесь их мы будем рассматривать в С и М0; требуемые при этом условия суммируемости ядер сводятся к очевидной интегрируемости функции х"л"’ на отрезке [с!,оо] при И.сх*>0 и на отрезке [0,с1] при <0, чем было вызвано введение операторов со значками(-!-) и (-).
Мы знаем, что для операторов вида
можно написать другое представление, если взять / = их>с/1 - х с!и
</ 1
01 у = 1—( — | у(их)х(1и = \их^у{их)с1и *ихуих) {
]
(К У — у{их)(1и . о
Из этого видно то, что эти операторы непрерывны и ограничены в С и М0, вытекает из оценки
■к\
свойство вырождения в точке х=0 [5], но требуется еще одно дополнительное свойство, которое нам понадобится в дальнейшей работе: если в уравнение
У(х) = 0к[а(1)у(1)] + /(х),а(0 е С,0;</1.;/(х) = *2/о(*)> где /0(.т) е С[о и]иО < х< ЯсЛк
то необходимо будет также у(х) = *РУо (*)> гДе Уо (*)е С{о^\ •
С использованием этого метода в дальнейшей будем решать системы дифференциальных уравнений с сингулярными точками.
- Київ+380960830922