ОГЛАВЛЕНИЕ
Основные понятия и обозначения..........................................3
Введение................................................................7
Глава 1. Сходимость рядов экспоненциальных мономов
1.1. Пространство коэффициентов сходящихся рядов........................23
1.2. Аналог теоремы Абеля для рядов экспоненциальных мономов............29
1.3. Аналог теоремы Коши-Адамара для рядов экспоненциальных мономов....33
Глава 2. Особые точки суммы ряда экспоненциальных мономов на 1ранице
области сходимости.
2.1. Характеристики комплексной последовательности......................37
2.2. Построение специальной функции.....................................43
2.3. Особые точки.......................................................53
2.4. Случай нулевой плотности...........................................66
2.5. О теореме А.Островско! о...........................................74
Глава 3. Фундаментальный принцип для инвариантных подпространств
3.1. Замкнутость множества сумм рядов экспоненциальных мономов..........78
3.2. Фундаментальный принцип............................................92
Литература..............................................................95
2
Основные понятия и обозначения
С - комплексная плоскость
B(z, г) - открытый круг с центром в точке z и радиуса г 5(2, г) - окружность с центром в точке z и радиуса г S = 5(0,1)
intM - внутренность множества МсС
Нм(() = sup Re(zf)
2ЄМ
- опорная функция множества Мс С (точнее говоря, комплексно сопряженного к М множества.
Л = (Лк,тк}к=1 - крагная последовательность, где Лк - комплексные числа, которые пронумерованы по неубыванию модулей, |Afc| -* оо при к -» оо, и mfc - натуральные числа.
Введем некоторые характеристики последовательности
тк
т(А) = lim гг—г
fc-oo[A*|
<т(Л) = (im
7\Г( А) = Вт т—-г,
1-ив К/1
где {£)} - неубывающая по модулю последовательность, составленная из точек Лк, причем каждая Лк встречается в ней ровно тк раз.
Для точки ш е С и числа 5 > 0 положим
МА(ш,6) = ^ тк,
Акев(уг,6\\лг\)
*,г I- Т—^л(А/с,<5)
Ка = пт ит —— л б-ок-*о \Лк\
Очевидно, что МА > 0.
Пусть Г - угол с вершиной в начале координат. Введем величины
ЛГ(Л,Г,0= тк>
якегпв(о,с)
, ч т—лг(л,г,о
Ж (Л, Г) = Пт— -.
[~*со I
Нетрудно заметить, что верно равенство Ж(Л, С) = Ж(Л).
3
Положим
£(Л) = {г"ехр
Для точки (€§ и числа 6 е (ОД) через Г(£,5) обозначим угол с вершиной в начале координат, порожденный кругом В(£,8). Положим еще
—Млм,б) = йг—I—•
0(Л) - множество всех частичных пределов последовательности {Хк/|Л*|}"=1 (исключая точку Л* = 0, если она есть). Очевидно, ч го 0(Л) - замкнутое подмножество окружности §.
Пусть Е - множество в (С, 0 - замкнутое подмножество окружности §. 0 - выпуклой оболочкой Е называется множество
£(0) = {2 6 С: Ке(г?) < НЕ(Ш 6 0}.
Отметим, что внутренность Е лежит в Е(0). В самом деле, если 7 - внутренняя точка Е, то из определения опорной функции следуют неравенства < НЕ(£),
6 0. Это означает, что г е £“(0). В частном случае, когда 0 = §, 0 - выпуклая оболочка множества совпадает с его обычной выпуклой оболочкой (точнее говоря, с внутренностью этой выпуклой оболочки).
11аряду с £(0) для каждого г > 0 определим еще множество
£(0,г) = {г £ С:Яе(0 < Нв(£) - е 0).
Огмегим, что в случае, когда 0 лежит в некотором угле с вершиной в нуле раствора не больше л множество я(0), а вместе с ним и £(0,г) для достаточно малого а > О является неограниченным.
Пусть и = “ послеД°вательность комплексных чисел. Через дй(т)
и Т){А,й) обозначим соответственно сумму ряда
^ йкягпехр{Хкх)
к=1,п=0
и внутренность множества всех точек 7. £ С, в которых он сходится.
Символом $1(А) будем обозначать множество всех последовательностей коэффи-
г, )С°,тк-1
циентов с1 = [а.к'П}к_1п^0 этого ряда, для которых множество 2)(Л,с2) не пусто, а функция с/^(г) - аналитическая в Ъ(А,с1).
Пусть й £ ^Х(А). Будем говорить, что точка г € д2)(Л,с2) особая для функции <7<*(г), если она аналитически не продолжается ни в какую область, большую чем Т>(Л, (1) и содержащую точку 7.
О - выпуклая область в С
Ж(й) = {^р}р_1 " последовательность выпуклых компактов в области й, кото-
рая строго исчерпывает ее, т.е. Кр с т1Кр+1, р = 1,2,... и Я = Кр Для каждого р = 1,2,... введем банахово пространство
<?р = и = Кп}- 1М1р = ыр\ак.п\ехрНк (Л*) < оо],
V к.п '
где Кр Е К (Я). Пусть @(£>) = Пр(?р. В пространстве ) определим метрику'
Н(Я) - пространство функций, аналитических в области Я, с топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах В.
Через Я* (Я) обозначим пространство сильно сопряженное к Я (О).
\У - замкнутое подпространство в Я(Я), инвариантное относительно оператора дифференцирования, т.е. вместе с каждой функцией (р подпространство IV содержит и ее производную (рГ.
Для открытого множества V и выпуклого компакта К символом П(2),:7С) обозначим совокупность всех точек г Е С таких, что К + х (сдвиг компакта ТС) лежит в Ъ. Если Я - выпуклая область, то нетрудно видеть, ч го множество П(Я,ТС) также является выпуклой областью (возможно пустой). Ес можно определить еще и следующим образом
С этой метрикой ()(О) становится, очевидно, пространством Фрсше. 11оложим
срХп = <>ир|гпехр (гЛк)\, р,к = 1,2,..., п = 0,1 тк - 1.
П(Я,ТО = {г Е €: Яе(лА) < Я0(А) - НХ(Л),А Е § }.
Пусть / - целая функция экспоненциального типа, т.е. верно неравенство
1/0?) | < АехрВ\г\, г Е С
Ес индикатором (верхним индикатором) называется функция
Символом /гу обозначим нижний индикатор функции /
к.г(Х) = Ит------------------. А
Из определений индикаторов вытекает неравенство
ЬДЛ) < ЛДА), ЯеС.
Говорят, что функция / имеет (вполне) регулярный рост, если
где Rt - множество на прямой нулевой относительной меры, т.е.
mes(/?tn[0,r]) lim------------------= 0.
г-»оо Г
Последовательность Л = {ЛЛ, mfc}*=1 будем называть правильной, если она является частью правильно распределенной последовательности при порядке один. Это равносильно тому, что Л является частью нулевого множества (с учетом крат-ікюгсй тк) целой функции экспоненциального типа и вполне регу лярного роста.
Пусть Л - правильная последовательность. Через F(Л) обозначим множество всех целых функций экспоненциального типа и вполне регулярного роста, для каждой из которых Л является частью ее нулевого множества.
6
Введение
Диссертация посвящена изучению рядов экспоненциальных мономов, т.е. рядов
Исследуется задача описания пространства коэффициентов сходящихся рядов (0.1), характер сходимости этих рядов, описывается область их сходимости и изучается вопрос о продолжении СХОДИМОСТИ рядов (0.1). Кроме ТОГО, исследуется распределение особых точек суммы ряда (0.1) на границе области сходимости и изучается задача о замкнутости множества таких сумм. Последняя называется также проблемой фундаментального принципа для инвариантных подпространств.
Тематика, связанная с рядами экспоненциальных мономов и их частными случаями - рядами экспонент (т.е. рядами вида (0.1), где тк = 1, к = 1,2,...), рядами Дирихле (т.е. рядами вида (0.1), где т* = 1 и Хк - положительные числа) и рядами Тейлора имеет богатую историю. Их исследование берет свое начало в трудах Тейлора, Коши, Адамара, Абеля и Дирихле. Указанные выше задачи для таких рядов изучались в работах Ж. Валирона, Ж. Полна, С. Мандельбройта, В. Бернштейна, Л. Шварца, Б.Я. Левина, А.Ф. Леонтьева, Г.Л. Лунца и многих других математиков.
Ряды экспоненциальных мономов являются естественным обобщением рядов экспонент. Достаточно полное изложение теории последних имеется в монографии А Ф. Леонтьева [1]. Основной результат теории рядов экспонент, ставший уже классическим, также принадлежит А.Ф. Леонтьеву. Ему удалось доказать, что любую функцию, аналитическую в выпуклой области Ос С, можно разложить в ряд экспонент с фиксированными показателями Я1#Я2,... при определенных условиях па эти показатели. Известно, ЧТО экспоненты (и ТОЛЬКО они) ЯВЛЯЮТСЯ собственными функциями оператора дифференцирования. Поэтому задачу представления рядами экспонент можно рассматривать как задачу разложения по собственным функциям этого оператора. Поскольку запас собственных функций оператора дифференцирования в //(О) достаточно большой (точнее говоря, все экспоненты), то существует много различных наборов показателей Яі,Я2, •••> при помощи которых удается получить представление всех функций из Я (О) посредством ряда экспонент. Если же от всего пространства Н(0) перейти к его замкнутому подпространству IV, инвариантному относительно оператора дифференцирования (таковым является, например, пространство решений однородного уравнения свертки или их систем), то, как правило, одних
вида
со,т*-1
(0.1)
/£ = 1,71=0
- Київ+380960830922