Типичность некоторых свойств аттракторов косых произведений и аналитических слоений

Московский Государственный Университет имени М. В. Ломоносова Механико-математический факультет
На правах рукописи УДК 517.9
04* 2.О1 0 5 540 0 ~
Волк Денис Сергеевич
Типичность некоторых свойств аттракторов косых произведений и аналитических слоений
01.01.02 —дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление
Диссертация
на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Научный руководитель: д.ф.-м.н., проф. Ильяшенко Ю.С.
Москва, 2010
Оглавление
Введение
0.1 Структура, диссертации.....................
0.2 Комплексные полиномиальные слоения . . .
0.3 Невидимые аттракторы.......................
0.4 Косые произведения со слоем отрезок . . . .
1 Плотность сепаратрисных связок
1.1 Введение и основной результат..............
1.2 Продолжение слоений 13 С2 до слоений 13 СР2
1.3 Монодромия на бесконечности................
1.4 Группы ростков конформных отображений. •
1.5 Плотность слоев типичных слоений в СР2. .
1.0 Возмущение типичного слоения класса Лп. .
2 Каскады ^-невидимости
2.1 Введение...................................
2.2 Основная теорема...........................
2.3 Построение центра шара.....................
Одномерные отображении....................................... 43
Двумерные отображения ....................................... 44
2.4 Невидимость множества В ..................................... 53
2.5 Статистический пттрактор .................................... 55
Лемма Хатчинсона и её модификации............................ 57
Критические слона............................................ 01
Построение критических слон ................................. 02
2.0 Возмущение в пространстве косых произведений................. ОБ
2.7 Невидимость в возмущённом косом произведении................. 71
2.8 Статистический аттрактор возмущённого косого произведения 74
Верхний прямоугольник Р~..................................... 75
Нижняя часть ................................................ 77
2.9 Размерность больше двух...................................... 79
Построение примера........................................... 79
Доказательство............................................... 80
3 Тонкие аттракторы 82
3.1 Введение................................................... 82
Структура статьи ............................................ 85
3.2 Ступенчатые косые произведения............................... 80
Определения и теорема 7...................................... 80
Односторонние косые произведения............................. 93
Стационарные меры марковских случайных процессов ... 95
3
Условия типичности........................................ 98
Доказательство теоремы Б о стационарных мерах............. 99
Доказательство теоремы 7................................. 110
3.3 Мягкие; косые произведения............................... 111
Области одностороннего движения. Теорема 9............... 114
Инвариантные слоения в гёльдеровых косых щюизведоииях 121
Константа пеинитрпруемости ................................. 124
Главная теорема 10 и лемма о захвате;.................... 127
Доказательства вспомогательных утверждений о слоениях . 139
4
Введение
Целыо настоящей диссертации является исследование топологии типичных аналитических слоений С2, построение устойчивого примера, супе|»экспоненциально невидимых областей в косых произведениях, а также исследование косых произведений над сдвигом Маркова и слоем отрезок.
0.1. Структура диссертации
Диссертация содержит введение, три главы и список литературы.
Глава 1 посвящена топологии комплексных аналитических слоений, порождённых полиномиальными дифференциальными уравнениями, в двумерном комплексном пространстве. В ней исследуется вопрос, насколько типично явление сенаратрисной связки для таких слоений.
Основная теорема, доказанная в главе 1, формулируется следующим образом:
Теорема 1. Слоения с с&паратнриспои связкой об]міяуюш плотное, подмножество о пространстве, полиномиальных слоении степени, не выше н для любого п > 2.
Для сравнения, как погрудно видеть, вещественные дифференциальные уравнения без семаратрнспых связок образуют открытое плотное множе-
CTBO В топологии С1 для DCCX 7’ > 1.
Для доказательства этой теоремы используются следующие методы анализа комплексных слоений: анализ группы монодром ни на бесконечности [1|, теоремы о группах ростков конформных отображений |Sch|.
В главе 2 исследуются вопросы є-невидимости в косых произведениях.
Открытое множество U называется с-исвиОилшм, если почти все орбиты посещают U со средней частотой, но большей є. 51влепие невидимости состоит в том, что большая часть статистического аттрактора может оказаться невидимой с очень малым е.
Ю. С. Ильяшснко и А. Негут |IN| построили пример, когда явление Є-I юн иди мости наблюдается в динамической системе устойчивым образом: вес* близкие динамические системы обладают тем же свойством.
Есть две тривиальных причины, вызывающих £-невидимость в типичной динамической системе: одна из них — большая (~ l/є) константа Липшица отображения (а значит, оно сильно искажает метрику), другая -- близость с) к структурно неустойчивым динамическим сштемам. Пример, построенный Ю. С. Ильяшснко и А. Нсгутом, не 'только локально типичен, но и имеет равномерно ограниченную (< 100) константу Липшица, не зависящую от е. Также он |1пє|-далек от структурно неустойчивых систем (в классе S косых произведений). Свойство невидимости оказывается С1-грубым.
13 примере 10. С. Ильяшснко и А. Не гута присутствует естественный параметр характеризующий удалённость систем от границы множества структурно устойчивых динамических систем. Область в фазовом нрострап-стве, покрывающая четверть статистического аттрактора, оказывается иеви-
(»
димой с показателем порядка 2 п.
13 главе 2 это!’ пример усовершенствован: для открытого множества динамических систем специального вида, ступенчатых косых произведений над сдвигом Бернулли, получена суиерэкспоненциальная оценка показателя невидимости.
М. Тсуджп [Т] обнаружил необычный пример аттрактора гладкого отображения бесконечного цилиндра б'1 х Е в себя: аттрактор является носителем инвариантной меры, абсолютно непрерывной относительно меры Лебега. В частности, это означает, что сам аттрактор имеет положительную меру Лебега. Пример Тсуджи. по-видимому, устойчив в классе С'2-гладких отображений цилиндра в себя.
В примере Тсуджи отображение не является взаимнооднозначным, и это неотъемлемый элемент конструкции. Возникает вопрос, можно ли достичь того же эффекта для диффеоморфизмов? В главе 3 настоящей диссертации он исследуется для типичных косых произведений над символическим сдвигом со слоем отрезок. Кроме отрицательно^ ответа на данный вопрос, результатом является полное описание динамики в таких косых произведениях.
Я выражаю глубокую и искреннюю благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических паук, профессору Юлию Сергеевичу Ильяшеико, за постановку задач, постоянное внимание к работе, цепные советы п вдохновляющие обсуждения, а также своему коллеге и соавтору Виктору Алексеевичу Клепцыну за плодотворные дискуссии.
0.2. Комплексные полиномиальные слоения
Рассмотрим фазовое пространство вещественного дифференциального уравнения на плоскости, расслоенное на его интегральные кривые, - фазовый портрет. Типичное векторное иоле на плоскости структурно устойчиво [PS|: для любого близкою ноля существует гомеоморфизм, переводящий его фазовый портрет в фазовый портрет исходного. Ещё А. Пуанкаре заметил, что для изучения топологии фазового портрета, векторного ноля особенно важны некоторые выделенные интегральные кривые, сепаратрисы особых точек. Бифуркации, или перестройки фазовых портретов, часто происходит но следующему сценарию: две сепаратрисы различных особых точек или одной її той же точки сближаются и при некотором значении параметра образуют* одну и ту же интегральную кривую -- сенаратрнсную связку. После этого сепаратрисы снова размыкаются, п образуется новый (также устойчивый) фазовый портрет. Таким образом, вещественные дифференциальные уравнения без ееиаратрисных связок образуют открытое плотное множество в топологии Сг для всех г > 1.
В комплексном случае ситуация радикально меняется. Из работ* М. Г. Худай-Верепова [KV], Ю. С. Ильяшепко [1|, А. А. Щербакова [Sch], И. На ка и [N] известно, что для типичного слоения, порожденного комплексным полиномиальным дифференциальным уравнением степени, большей 1, все интегральные кривые, кроме, быть может, /И-1 сепаратрисы бесконечно удалённых особых точек, плотны в С2. В этих же работах показано, что типичное такое уравнение структурно неустойчиво.
Из плотности интегральных кривых, в частности, следует, что сепаратрисы любых двух (обычных) особых точек проходят сколь угодно близко
8
друг от друга. В вещественном случае это прямо означало бы плотность уравнений со связкой в пространстве всех уравнений: можно было бы построить сколь угодно малое возмущение типичного уравнения, создающее связку. Возникает естественный вопрос, имеет ли место плотность слоений со связкой в комплексном случае. Положительный ответ на него даётся в главе 1.
Трудность состоит в том, что комплексный мир не допускает локальных возмущений. Любая аналитическая функции либо отлична от пуля везде, кроме счётного числа точек, либо есть тождественный нуль. Поэтому для доказательства используются косвенные методы: анализ группы монодро-мии па бесконечности |Т|, группы ростков конформных отображений |Scli|.
0.3. Невидимые аттракторы
Одно из возможных определений аттрактора, статист ич< с кий аттрактор Л,/,,/, даётся следующим образом. Открытое множество U несущественно дли статистического аттрактора, если для почти любой начальной точки х. доля времени, проводимого итерациями х в U. стремится к 0. Статистический аттрактор определяется как дополнение к объединению всех несу 1 цеетве!IIIых множеетв.
Статистический аттрактор — это способ описать, что увидит воображаемый наблюдатель, смотрящий па динамическую систему достаточно долгое время. Предположим, что состояние системы отображается па экране светящейся точкой, и наблюдатель фотографирует экран на омет» малочувствительную плёнку с очень большой экспозицией. Полученное изображение (точнее, объединение таких изображений) и есть статистический
9
аттрактор.
Однако, 10. С. Ильюшенко и Л. Негутом |ДО] показано, что в некоторых случаях определенно статисти чес кот аттрактора но соответствует вышеизложенному физическому описанию. Возможна ситуация, когда большая час'п> статистического аттрактора посещается орбитами чрезвычайно редко. Траектории системы проводят большую часті» своего времени в окрестности другой части аттрактора. Если доля времени, проводимого орбитами іі окрестности малоиоссщасмой области, достаточно мала, она оказывается невидимой для наблюдателя.
Открытое множество и называется е-пгаидилши. если почти всі'орбиты посещают 11 со средней частотой, не большей Є. Ни практике, достаточно взять и = Ю'.с = 2^101; тогда наблюдатель после первых 101 итераций никогда не увидит, как орбита попадает в /?.
К). С. Ильяшснко и А. Ні'гут построили пример |Ш], когда такое получение наблюдается устойчивым образом: все близкие динамические системы обладают тем же свойством. Этот пример показывает, что вопрос о «правильном» определении аттрактора по-ирежисму открыт.
Есть две тривиальных причины, вызывающих ечгевидммость в типичной динамической системе: одна из них — большая (~ І/є) константа Липшица отображения (а значит, оно сильно искажает метрику), другая — близость (~ є) к структурно неустойчивым динамическим системам. Пример, построенный К). С. Ильяшснко и А. Негутом, не только локально типичен, по и имеет равномерно ограниченную (< 100) константу Липшица, не зависящую от с. Также он | Ііі£|-далек от структурно неустойчивых систем (в классе косых произведений). Свойство невидимости оказывается
10
С1-грубым.
В примере К). С. Ильяшенко и А. Но гута присутствует естественный параметр характеризующий удалённость систем от границы множества структурно устойчивых динамических систем. Область в фазовом пространство, покрывающая четверть статистического аттрактора, оказывается невидимой с показателем порядка 2“".
В главе 2 настоящей диссертации этот пример усовершенствован: для открытого множества динамических систем специального вида, ступенчатых косых произведений над сдвигом Бернулли, получена сунерэкеионенциаль-пая оценка показателя невидимости.
0.4. Косые произведения со слоем отрезок
В главе 3 для косых произведений над транзитивной топологической цепью Маркова со слоем отрезок доказывается следующая основная теорема:
Теорема 2. Для типичного косого произоедения фановое пространство покрывается объединением конечного числа поглощающих и выталкивающих полос. При- атом
1. максимальный аттрактор каждой из поглощающих полос — топкое непрерывное множество; также являются тонкими непрерывными репеллеры (максимильных аттракторы Оля обратного отображения) в выталкивающих полосах. Впрочем, над исключительным множеством меры нуль как ат?п]мкторы, так и репеллеры могут пересекать соответствующие спои по целым отрепкам — «костям»;
2. в каждой ив поглощающих и выталкивающих полос имеется ровно
11