Оглавление
Введение 4
1. Л - последовательности и их свойства 25
1.1. Неравенства.............................................. 25
1.2. Л - последовательности................................... 26
1.3. П - последовательности................................... 30
2. Задача Дирихле для квазилинейных эллиптических уравнений 35
2.1. Корректность постановки задачи Дирихле................... 37
2.1.1. Существование решения.............................. 39
2.1.2. Единственность и непрерывная зависимость решения от правой части уравнения............................. 45
2.2. Поведение решения на бесконечности....................... 46
2.2.1. Оценки сверху...................................... 46
2.2.2. Точность оценок.................................... 51
3. Первая смешанная задача для квазилинейных параболических уравнений 56
3.1. Корректность постановки первой смешанной задачи .... 59
3.1.1. Единственность решения ............................ 59
3.1.2. Существование решения.............................. 65
3.2. Убывание решения при Ь —* оо.............................. 74
3.2.1. Допустимая скорость убывания решения............... 74
3.2.2. Оценки сверху ..................................... 77
2
3/2.3. Точность оценок Литература
Введение
Работа, посвящена фундаментальной проблеме изучения качественных свойств решений краевых задач для квазилинейных эллиптических и параболических уравнений второго порядка в неограниченных областях. В частности, в диссертации исследуется поведение на бесконечности решений задачи Дирихле для эллиптических уравнений в неограниченных областях П С R,,. = {х = (®ь ®2» • • • > ®n)}> п > 2, и первой смешанной задачи для параболических уравнений в цилиндрических но временной координате областях D = {t > 0} х Q. Данное направление весьма обширно и включает в себя целый класс задач. В настоящей работе для квазилинейных эллиптических уравнений при |х| —*• оо и для квазилинейных параболических уравнений при t —> оо исследована скорость убывания решений рассматриваемых задач в зависимости от геометрии неограниченной области Q.
Обзор результатов по названным направлениям исследований будет проводиться в той последовательности, как они приведены выше. При этом работы других авторов не будут подробно цитироваться, поскольку это привело бы к неоправданному увеличению объема введения. Исключение могут составить лишь результаты, наиболее близкие к полученным в диссертации, когда необходимо привести их сравнение.
Изучением поведения на бесконечности решений линейных эллиптических уравнений занимались O.A. Олейник, Г.Л. Иосифьян [49|, Е.М. Лаидис, Г.П. Панасеико [42], В.А. Кондратьев, И. Копачек, Д.М. Лекве-ишвили, O.A. Олейник |37], Л.М. Кожевникова [33], В.Ф. Гилимшина, Ф.Х. Мукминов [6] и другие.
4
В работе O.A. Олейник, Г.А. Иосифьяна [49] изучался вопрос о поведении на бесконечности решений линейных эллиптических уравнений второго порядка, удовлетворяющих на той части границы области, которая принадлежит некоторой окрестности бесконечности, однородным условиям Дирихле, либо условиям Неймана, либо условиям периодичности. Получены априорные оценки, характеризующие поведение таких решений в областях с некомпактной границей при |х[ —» оо в зависимости от геометрических свойств области и поведения функции, стоящей в правой части уравнения, при |х| —* оо. В частности, в работе [49] для области Q С Мп, лежащей в полупространстве .Т] > 0 с непустыми ограниченными при любом г > 0 сечениями тг = {х = (ац3х') е Г2 | х\ = г} установлено, что решение задачи Дирихле для уравнения
71
(а„/?(х) иХ0)Ха = ф(х) (0.1)
а. /?=1
с финитной функцией Ф(х) при любом г > г0 и е £ (0,1) удовлетворяет оценке
I А(х\)г12(1х < ! Л(и)сЬс < С охр < —(1 — £•) J А1^2{х])с1х1 > , С > 0.
ЗД1+| П£+1 [ г/2 ]
п
Здесь Л{д) = 52 Яаг/3(х)Оха9я0, = {х = (жьх') € П | г < XI <
а,/3=1
00
г 4-1}, Л(г) — измеримая на (0, оо) функция такая, что / А1^2{г)(1г = ос
1
и
0 < Л(г) < I>A(r) = inf | j A{g)dx.' р(х) е СТО, J g2dx' = 1 j ,
г > Ü.
Л.М. Кожевникова [33] получила оценки решений задачи Дирихле для уравнений высокого порядка в более, широком классе областей с некомпактными границами и доказала, их точность для областей вращения в случае уравнений второго порядка.
Имеется ряд работ (см., например, работы Е.М. Ландиса [41], Ю.В. Егорова, В.А. Кондратьева, O.A. Олейник [17], А.Б. Иванова [20], A.A. Конькова [38]), в которых исследуется поведение на бесконечности решений квазилинейных эллиптических уравнений и неравенств в неограниченных областях в зависимости от вида нелинейных функций, входящих в оператор.
Для квазилинейных дивергентных эллиптических уравнений высокого порядка
53(-l)Wß^a«F(x,t»,ött1...lZ>«,a)= 53(-l)l5№ff(x), р > 1,
|5| <р |5| <р
д\ъ\ _
где Da = ßxa,t * а = * “ 5 Л^’ = ftl + ‘ ’'+ ал’ в неогРани‘
ченных областях с некомпактными границами Л.Е. Шишковым, А.Ф. Тедеевым в работах [58], [62] установлены энергетические априорные оценки решений задачи Дирихле. На их основе, доказываются альтернативные теоремы типа Фрагмена - Линделефа о поведении решений на бесконечности.
Каратеодориевы функции а*(х, £)> £ = (f(0\ £(1)> • • •, $(р))5 £(,) = (^), \а\ = г, удовлетворяют неравенствам
52 |вгг(х,£)1 <3^3 Ка?!”*. “ > °> т >
|5|<р
£а5(х,0^)>й£|^)Р+\ а>0.
1«1=/> 1«|-р
В качестве геометрической характеристики неограниченной области П С используется функция нелинейной частоты сечений г/,„(г):
vm(r) = inf I J |V7<y|m+lrf.s д(х) е Cg“(ß), J \g\m+1ds ( , г > 0,
1.7 (г) nir) )
где V7g — проекция Vд на плоскость, касательную к 7(г) (например, 7(г) = {х <Е П | |х| = г}).
6
Отметим, что автор}' настоящей работы не известны результаты для квазилинейных эллиптических уравнений, в которых исследуется зависимость поведения решений на бесконечности от геометрии неограниченной области.
В диссертации для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка получены оценки, характеризующие скорость убывания на бесконечности решения задачи Дирихле с финитными данными и установлена точность этих оценок в широком классе областей вращения.
А.К. Гущин положил начало изучению скорости убывания при больших значениях времени решений смешанных задач с начальной функцией, ограниченной в одной из Ьр - норм, для параболических уравнений в неограниченных областях. Для линейного параболического уравнения второго порядка
в широком классе неограниченных областей в терминах простой геометрической характеристики ?;(?') = mes £2(г), Q(r) = {х Є П | |х| < г} в работах [10], [12] А.К. Гущиным установлены точные оценки решений второй смешанной задачи.
Исследованию поведения решений смешанных задач для линейных параболических уравнений второго и высокого порядков при £ —> оо посвящены работы A.B. Лежнева [45], В.И. Ушакова [60], [61], Ф.Х. Мук-минова |47], [48], Л.М. Кожевниковой, Ф.Х. Мукминова [30], |32], И.М. Биккулова, Ф.Х. Мукминова [1], В.Ф. Гилимшиной |5| и др. Обзоры соответствующих результатов можно найти в [29], [30]. Здесь остановимся лишь на некоторых результатах для квазилинейных параболических уравнений.
А.Ф. Тедеев [53] получил оценку сверху L2-11 ормы решения первой смешанной задачи для параболического квазилинейного уравнения вы-
п
(0.2)
a,ß=l
7
сокого порядка в дивергентной форме
ut + (—1)р х> и, Du,Dpu) = 0, р > 1, (t, х) е D.
|й|=р
(0.3)
Здесь a.a(t, х, 4) — каратеодориевы функции, удовлетворяющие услови-
ям
|ая(4, X, 01 < а.^ |4Р)Г. а>0, тп>1,
|5|=р |5|«р
X) а5(г, х, 0^ > « Х^ 1?5)Г+1, а > 0:
|а|=р |о(=р
для любого вектора £ = = (?£*), |<*| = г. Для
решения (ограниченного при т > 1) уравнения (0.3) с граничным условием
Оаи(Ь,х) I =0, \а\ <р — 1;
и начапьным условием с финитной функцией с^(х)
(0.4)
д(0,х) = </?(х), v?(x) € /^(ft)
для t > 0 при г > г0 установлена оценка
(r _ro)p(m+1)Tl/(P(»‘+')-D'l
(0.5)
|М*)||£г(П\П(г)) S Ci схр
-1>1 ^^------------------------------ 1М|х*(Й)-
(0.6)
На основе неравенства (0.6) для гп — 1 при достаточно больших £ получена оценка
IWOIIwm < с2 охр
-Ь-2 \г*т 1/(2/,-1)^
t )
IMUs(n)-
Здесь и ниже все константы (С,-, 6* и др.) положительны. Функция г(£), I > 0, определяется из равенства Х2р"](г)Ь2 = г2; Л (г), г > 0, — первое собственное значение задачи Дирихле для оператора — Д в П(г). Ранее, аналогичный результат для линейного параболического уравнения высокого порядка был получен Ф.Х. Мукминовым [48].
- Київ+380960830922