Управление процессом, описываемым телеграфным уравнением

Содержание
Введение .........................................................
Глава 1. Формулы тина Даламбера для колебаний, описываемых телеграфным уравнением, в случае системы, состоящей из двух участков разной плотности и разной упру хости . . .
1.1. Формула типа Даламбера для случая поперечных колебаний .
1.2. Формула типа Даламбера для случая продольных колебаний .
Глава 2. Смешанные задачи с граничным управлением ....
2.1. Решение задачи в случае управления упругой силой на одном конце при закрепленном другом...................................
2.2. Решение задачи в случае управления упругой силой на одном конце при свободном другом......................................
2.3. Решение задачи в случае, когда управление упругими силами производится на обоих концах....................................
2.4. Решение задачи в случае управления смещением на одном конце при закрепленном другом......................................
2.5. Решение задачи в случае управления смещением на одном конце при свободном другом.........................................
2.6. Решение задачи в случае управления смещением на двух концах
2.7. Решение задачи в случае упрагщения смещением на одном конце и упругой силой на другом....................................
Глава 3. Смешанные задачи для телеграфного уравнения, в случае системы, состоящей из двух участков, имеющих разные плотности и разные упругости, но одинаковые импедан-сы.................................................................
2
4
9
11
14
17
17
23
29
31
35
37
38
40
3.1. Решение задачи в случае одностороннего управления........40
3.2. Решение задачи в случае двухстороннего управления........47
3.3. Обобщенные решения смешанных задач для разрывного телеграфного уравнения при условии равенства импсдансов .... 54
Глава 4. Задачи граничного управления для телеграфного уравнения, в случае системы состоящей из двух участков, имеющих разные плотности и разные упругости, но одинаковые
импедансы .......................................................63
4.1. О приведении из произвольно заданного состояния в состояние покоя системы, состоящей из двух разнородных участков, колебания которой описываются телеграфным уравнением ... 63
3
Введение
Актуальность работы Одномерное телеграфное уравнение является математической моделью большого числа физических процессов, имеющих первостепенное значение. Телеграфное уравнение описывает давление нефти или газа в трубопроводе, характеризует динамику силы тока при распространении электромагнитных волн в длинных линиях, свободные колебания геологической среды (пластовые давления и смещения).
Исследованию решений задач управления распределенными системами и их оптимизации посвящены работы многих математиков. Основной целыо является изучение условий, при которых процесс колебаний распределенной системы под воздействием некоторого граничного локального или нелокального управления может быть переведен из одного состояния, заданного начальными смещениями и скоростями системы, в наперед заданное финальное.
В математическом плане такие задачи граничного управления формируются в терминах краевых задач для уравнения, описывающего процесс колебаний.
Во многих работах доказывается существование промежутка времени, который, следуя литературе, мы будем называть критическим (7}:). Для уравнений колебаний струны было показано, что если промежуток времени, за который проводится управление, не превосходит Т]ь, то задача граничного управления не имеет решения для произвольных начальных и финальных условий. При промежутках, строго больших Тку существует бесконечно много решений
задачи граничного управления при любых начальных и финальных условиях.
Одним из первых задачу об управлении колебаниями в форме смешанных задач для волнового уравнения рассмотрел в цикле своих работ Ж.Д.Лионе (1988г.). В его работах изучалась задача успокоения с граничными условиями типа смещения. Им же в работе (.1] была доказана неединственность решения
4
полученной задачи при Т* > С * 21.
В работе Е. Zuazua [2] гильбертов метод единственности был обобщен на случай квазилинейного волнового уравнения с асимптотически линейной нелинейностью. Частным случаем этой задачи является задача граничного управления для телеграфного уравнения. Таким образом, метод Лионса оказался достаточно удобным инструментом для доказательства существования решения задачи о граничном управлении процессом колебаний.
В работе А.Г. Бутковского [3] задача граничного управления исследуется с помощью метода Фурье и метода моментов, который применен для nocipo-ения искомого
граничного управления в виде ряда Фурье, а в работе [4] для конструктивного решения задачи используется метод падающих и отраженных волн.
В статье [о] Ф.П. Васильева была предложена трактовка основ теории двойственности в линейных задачах управления и наблюдения. Конструктивному решению задачи о граничном управлении процессом колебаний посвящены также работы [б] и [7|, в которых построены эффективные численные алгоритмы нахождения искомого граничного управления. Работа |6] основана на
использовании конечномерной аппроксимации задачи граничного управления в виде ряда Фурье, а работа [7| использует метод Фурье. Отметим, однако, что обе эти работы существенно опираются на развитый Лионсом гильбертов метод единственности.
В работе В.А. Ильина и Е.И. Моисеева (8| для процесса колебаний, описываемых телеграфным уравнением, в случае однородной системы, был получен явный аналитический вид решений задачи об управлении смещением на одном конце при закрепленном другом для критического промежутка времени Tf. = 21.
В работе В.А. Ильина и Е.И. Моисеева [9] для процесса колебаний,
5
описываемых телеграфным уравнением, в случае однородной системы, был получен явный аналитический вид решений задачи об управлении смещением на обоих концах для критического промежутка времени 7* = I.
В работах В.Л. Ильина [10|-[18] для системы, состоящей из 2-ух разнородных участков, т.е. участков разной плотности и разной упругости, разработана теория управления процессом колебаний, описываемых волновым уравнением. В работах [10) и [11] получены формулы типа Даламбера для бесконечного стержня, состоящего из двух участков разной плотности и упругости в случаях продольных и поперечных колебаний. В работах (12|-(15| для системы, состоящей из 2-ух разнородных участков, были получены формулы для решения смешанных начально-краевых задач а также аналитический вид оптимальных граничных управлений (т.е. доставляющих минимум интегралу граничной энергии) для большого промежутка времени Т > Ть
Цель диссертационной работы
В диссертационной работе построена теория управления процессом колебаний, описываемых телеграфным уравнением Клейна-Гордона-Фока в случае системы, состоящей из двух участков разной плотности и упругости. Для всех задач будет получен явный аналитический вид решений.
Научная новизна
В диссертации впервые получены следующие основные результаты:
1. Получены формулы типа Даламбера для бесконечного стержня, состоящего из двух участков разной плотности и разной упругости, колебания которого описываются телеграфным уравнением Клейна-Гордона-Фока. Рассмотрены случаи продольных и поперечных колебаний такой системы.
2. В терминах обобщенного решения телеграфного уравнения
ии(х, £) - ихх(х, £) + с2и(х, £) = 0 с конечной энергией для любого промежутка времени Т решены 7 задач гра-