Инвариантные и статистически слабо инвариантные множества управляемых систем

V
Оглавление
Список основных обозначений 4
Введение......................................................7
Глава I. Основные свойства пространства с1су(1й'‘) ..........30
§ I Полуотклонения и метрика Хаусдорфа-Бсбутоза 31
§ 2 Основные свойства прострапста с1су(Ел) 37
§3 Утверждения о свойствах полунепрерывной сверху функции 47
Глава II. Динамическая система сдвигов ......................51
§4 Топологические и метрические динамические системы -52
§5 Динамическая система сдвигов 5В
§ б Теоремы существования 64
Глава III. Статистически инвариантные множества управляемой системы ..............................................70
§7 Статистические характеристики множества достижимости управляемой системы 71
§ 8 Обобщение теоремы о дифференциальных неравенствах 79
§ 9 Функции А М Ляпунова и дифференциальные включения 83
§ 10 Условия продолжаемости решений управляемой системы 86
§11 Теорема об относительной частоте поглощения множества достижимости управляемой системы заданным множеством 92
§ 12 Исследование статистически инвариантных множеств линейной управляемой системы 97
3
Глава IV. Статистически слабо инвариантные множества
управляемой системы .........................................108
§ 13 Условия статистически слабой инвариантности заданного множества относительно управляемой системы 109
§14 Условия существования предела х(о) для периодического движения 117
§ 15 Условия существования предела х(а) для почти периодического движения 120
§ 16 Неблуждающее множество достижимости и минимальный центр притяжения 129
Глава V. Статистически инвариантные множества управляемых систем со случайными параметрами ..........................139
§17 Метрические динамические системы и статистически инвариантные с вероятностью единица множества 140
§ 18 Условия статистической инвариантности и статистически слабой инвариантности с вероятностью единица 147
§ 19 Условия равенства х(а) = 1 связанные со сходимостью последовательности случайных величин с вероятностью единица 151
§20 Достаточные условия равенства х(о) = 1 с вероятностью единица для линейной системы со случайными параметрами 158
§21 Примеры управляемых систем для которых х[о) — 1 с вероятностью единица 164
Глава VI. Условия полной управляемости нестационарных линейных систем в критическом случае......................172
§ 22 Структура пространства управляемости нестационарной линейной системы 173
§23 Пространство управляемости и матрица Красовского
177
ч
§ 24 Необходимые и достаточные условия полной управляемости линейной системы в критическом случае 189
Глава VII. Инвариантные множества и локальная управляемость систем со случайными параметрами...................198
§25 Построение неупреждающего управления для систем со случайными параметрами 199
§ 26 Построение оценки снизу для вероятности неупреждающей управляемости на заданном отрезке времени 209
§27 Построение неупреждающего управления в случае, когда система имеет два состояния 217
Заключение ..........................................228
Список литературы
230
5
Список основных обозначений
* — операция транспонирования.
IR+ = [0, +оо).
R"' — стандартное евклидово пространство размерности п, то есть в Rrt фиксирован ортонормированный базис
ei = со1(1,0,.... 0),... ,е„ = со1(0;..., 0,1).
(.г, у) — скалярное произведение векторов .г, у е К'*.
|т| = у/(х. х) — норма вектора х Е Rfi.
col(ai,..., ап) — вектор-столбец с координатами ап, .., ап.
Lin((yi .....у,) — линейная оболочка векторов ... . су, Е R".
О, (то) = {х е R№ : \х - х0\ ^ г} — замкнутый шар радиуса г с центром в точке то € R".
S7 (то) — сфера радиуса г с центром в точке то € R“.
Если А С R*. то cl А — замыкание множества А относительно пространства Rw, fr А — граница множества А, со А — замыкание выпуклой оболочки множества A. int,4 — внутренность множества А относительно Ru
д(А, В) = inf \а — Ь\ — расстояние между замкнутыми множествами А обЛ, ЬъВ
и В в Rn, если А = {а}, то д(а, В) = min |а —
b^S
d(A. В) = sup д(а. В) — полуотклонение множества А от множества В.
dist(Ai?) = таx{d(A. B),d(B: А)} — расстояние по Хаусдорфу между множествами А и В в пространстве IR".
comp(R'*) — пространство непустых компактных подмножеств в R" с метрикой Хаусдорфа dist.
conv(Rw) — подпространство в сошр(М"), состоящее из выпуклых компактных подмножеств Rn с метрикой Хаусдорфа. clos(R'*) — пространство непустых замкнутых подмножеств RTl. clcv(Rw) — пространство, состоящее из непустых выпуклых замкнутых (не обязательно ограниченных) подмножеств евклидова пространства с метрикой Хаусдорфа-Бебутова Dist.
Если F Е clcv(R7i), то F, = Ff|Or(/o). где /0 — точка множества F, ближайшая к нулю пространства Rn.
Dist(A В) = sup min { dist (F,. G,). 1/r} — расстояние Хаусдорфа-Бебутова
i >o
между множествами А, В E clcv(Rn)
Если (E, hl) — заданная динамическая система, то orb(<r) и orb+(<r) — тра-
G
ектория и положительная полутраектория точки гг.
ТХМ — опорный конус (конус Були га на) к множеству М в точке х.
Л(£,сг.Х) — множеством достижимости управляемой системы в момент времени /. из начального множества X. mes — мера Лебега на числовой прямой.
т/0/ ч. V(heti..y-\-£q)-V(i).y)
V (<т. х; с/) = lira sup —------------------- -
— обобщенная производная (производная Ф. Кларка) локально лип [лицевой функции V(ст. .т) в точке (о-, х) Є ЕхМ'г по направлению вектора q € К".
Кии,(о,х) = inf VV.z;?), V°^(o,x) = sup V°{a,x\q)
ЧЄР(ох) q€F{<T,x)
— нижняя и верхняя производные функции V в силу дифференциального включения х 6 F(htaix).
A/(n,m) — пространство (п х ?п)-матриц над полем К; если п = т. то М(n) = М(п. т).
Е — единичная п х п матрица, rank А — ранг матрицы А.
Cf'(X,Y) — пространство к раз дифференцируемых функций из А' в У.
S — линейная нестационарная система
х = A(t)x + B(t)u> (t.x,u) є Ш х Rn х
ут
L(S, I) — пространство управляемости системы S на отрезке /. dim L(S. 1) — размерность пространства управляемости системы S.
7
Введение
Одной из важных задач теории управляемых процессов является задача исследования инвариантности множеств относительно различных управляемых систем и дифференциальных включений. Данной тематике посвящены работы H.H. Красовского и А. И. Субботина [78], A.B. Куржанско-го и Т Ф Филипповой [210], (211], X. Г. Гусейнова и В. Н. Ушакова [38], Ж.П. Обена [177], К). Л. Сачкова [138-140). П. Хартмана [200], Е. А. Пана-сенко и Е. Л. Тонкова [113], (114] и ряда других авторов ([31]. [37], |83). [157|, [1-58], [178-181], (196], [200], [218], [224]).
Приведем определение инвариантного и слабо инвариантного множества относительно дифференциального включения
xeF(t.x), («,*)€ R1+n (0.1)
Пусть М С R1+n — замкнутое множество. Положим
M(t) = {х е Шп : (t.x) € А/}.
Определение 0.1 (см., например, [38]). Множество М с R1+n называется инвариантным (сильно инвариантным) относительно дифферен-циального включения (0.1), если для любой точки (i0ls0) € М и любого решения x(t) включения (0.1), удовлетворяющего начальному условию ;t(*o) = 5U0, ДЛЯ всех t > to выполнено условие x(t) е M(t).
Далее, множество М С R1+Tl называется слабо инвариантным относительно включения (0.1), если ДЛЯ любой ТОЧКИ (1о,Яо) С М существует решение x(t) данного включения, которое удовлетворяет начальному условию x(îq) = то и при всех t ^ включению x(t) е M{t). Траектория такого решения называется выживающей, а множество М также называется множеством выживаемости для дифференциального включения (0.1).
Исследования слабо инвариантных множеств тесно связаны с теорией управления и теорией дифференциальных игр. По-видимому, первый результат в этой области опубликован в работе М. Нагумо [216| в 1942 году, в которой были получены необходимые и достаточные условия слабой инвариантности заданного множества относительно дифференциального уравнения.
Приведем примеры некоторых задач, связанных с существованием инвариантных множеств. Одной из них является задача о приведении управляемой системы fia. целевое множество, описанная в монографии H Н Красовского и А. И. Субботина [78,с.52|. Здесь исследуется слабо инвариантное
8
множество IV{1: ЦУХ\) в момент времени /. с целевым множеством Х[ и конечным моментом времени £*, которое оказывается максимальным среди всех множеством, обладающих свойством ^-стабильности и поэтому называется максимальным стабильным мостом. Свойство '^-стабильности множества здесь означает его слабую инвариантность относительно любого дифференциального включения из некоторого семейства (см. [83], [145]). Слабо инвариантные множества дают возможность решать различные задачи верификации. Например, при заданном начальном множестве фазовых переменных Хо необходимо узнать, можно ли перевести таекторию из Хо в заданное целевое множество Х\ в фиксированный момент времени 1\. В терминах слабо инвариантных множеств данная задача имеет следующее решение: траекторию можно перевести из Хо в Х\ на отрезке времени (го-, £1] тогда и только тогда, когда ХоПИ^(г<), гь Х{) ф 0 (см. [83]). Отметим также, что понятие слабой инвариантности является ключевым понятием теории минимаксных решений (см. (148]. [177], [191], [199], [220]).
Основным объектом исследования в данной работе является управляемая система (точнее, семейство управляемых систем)
х — /(/Лз^ауа), (г. <7/х,и) 6 К х Е х М" х ЕГ7; (0.2)
в качестве вспомогательного объекта будем рассматривать соответствующее системе (0.2) дифференциальное включение
х е ^(/Лт,я), (£,<т,т) €ИхЕх кй, (0.3)
правая часть которого параметризована с помощью топологической динамической системы (Я. к*). Здесь Е — полное метрическое пространство, })} — поток на Е. Такая параметризация позволяет, во-первых, включить в рассмотрение ряд задач, связанных с асимптотическим поведением решений управляемых систем; во-вторых, получить ряд общих утверждений (поскольку с помощью динамической системы сдвигов удается описать все семейство управляемых систем). Мы также будем рассматривать управляемую систему (0.2) и включение (0.3), порожденные метрической динамической системой (Е,$1.1л к1): это означает, что на сигма-алгебре 21 подмножеств пространства Е задана вероятностная мера V, инвариантная относительно потока ЛА В этом случае функция I —* Р{Ко. х) является стационарным в узком смысле случайным процессом и тем самым мы имеем дифференциальное включение со случайными параметрами. Следовательно, для таких включений появляется возможность исследовать свойства решений, которые выполнены с вероятностью единица.
9
Применение теории, связанной с динамической системой сдвигов для задач управления линейными нестационарными системами, по-видимому, впервые было предложено Е Л. Тонковым. Это привело к возникновению таких понятий в математической теории управления, как равномерная полная управляемость, равномерная локальная и глобальная управляемость, равномерная стабилизируемость ([53]. [54], [151]. [152], [156]). Управляемые системы, коэффициенты которых являются стационарными случайными процессами, исследовали, наряду с Е. Л. Тонковым, О. В. Баранова [7]. Л. М. Куриленко [85], Г. Н. Милыитейн [98], [99], А.Н. Сиротин (142], F. Colonius, R. Jonson [189], D. P. De Farias [193], W. H. Fleming, H. M. Soner [195], S. Ibrir, E. K. Boukas [205].
В различных областях математической теории управления при идеализации реальных систем с большими управляющими воздействиями возникают модели управляемых систем и дифференциальных включений с неограниченным множеством скоростей (см., например, [28], [32], [105), [138-140]. [202]). В дайной работе я изучаю дифференциальное включение (0.3), правая часть которого имеет выпуклые замкнутые, но не обязательно компактные образы. В случае, когда правая часть включения (0.3) имеет компактные образы, обычно применяется пространство comp(RM). состоящее из непустых компактных подмножеств в M'rt с метрикой Хаусдорфа (см., например, (161), что позволяет ввести в рассмотрение содержательные определения полу непрерывности сверху и снизу функции (а,х) —» F{a:x) со значениями в пространстве comp(Rn). Отметим, что вопросам существования решения данных включений и свойствам множества решений посвящено большое количество исследований, среди которых работы А Маршо [213], [214], С. Зарембы [227], [228], Ж.П. Обена [177]. H.H. Красовского и А.Н. Субботина [78], А. Ф. Филиппова [162-164], [166], A.A. Толстоногова [149]. Б. Д. Гельмана и В. В. Обуховского (29), В. А. Плотникова, А. В. Плотникова и А. Н. Витюка [117), Дж. Дэви [192], С. Ху и Н. С. Папагеоргиу [203), [204) Подробную библиографию и обзор различных направлений исследований можно найти в монографиях Ю Г Борисовича, Б. Д. Гельмана, А. Д. Мыш-киса и El. В. Обуховского (13), [14].
Для дифференциальных включений вида (0.3), ориентированных на применение к управляемым системам, требование компактности образов F может оказаться обременительным. Поэтому возникает необходимость рассматривать пространство, состоящее из непустых выпуклых замкнутых (не обязательно ограниченных) подмножеств евклидова пространства R", которое будем обозначать clcv(Rn). В пространстве clcv(R/l) вводится мет-
10
рика Dist. которую мы называем метрикой Хаусдорфа-Вебутова, и тогда это пространство становится полным пространством с топологией сходимости, равномерной на компактах В диссертации исследованы основные свойства полуотклонений D(FyG)> D(G.F) и расстояния Dist(F.G) между выпуклыми замкнутыми множествами F и G, введено и исследовано понятие полу непрерывности сверху и снизу в терминах полуотклонений D и непрерывности в терминах метрики Dist Хаусдорфа-Вебутова Получены аналоги известных теорем существования решения задачи Коши для дифференциального включения с фазовыми ограничениями
х € F(hl(7, .г), x(t) е M(hlo),
относительно которого предполагается, что функция (ег.х) —> F(o.x) определена при всех (сг х) 6 2 х R'* и принимает значения в пространстве
clcv(Rw).
Вопрос о существовании инвариантных множеств имеет важное значение во многих прикладных задачах управления, в частности, в задачах возникающих в Экономикс и экологии (см , например, [5], (39], [43], (90], (177]) Основное требование к управлению экономическими системами состоит в том, чтобы не нарушать заданных ограничений на множество допустимых управлений Но если по ряду причин такие нарушения все-таки происходят и всякая траектория движения уходит из множества, обусловленного ограничениями, то надо научиться управлять таким образом, чтобы относительная частота попадания траектории в данное множество равнялась единице Одна из возможных математических постановок этой задачи состоит в том, чтобы научиться вычислять относительную частоту пребывания множества достижимости управляемой системы в заранее заданном множестве М Если эта частота равна единице, то множество Ы будем называть статистически инвариантным Не менее важно научиться строить для каждой начальной точки множества М такое управление, что решение управляемой системы при заданном управлении статистически инвариантно В этом случае множество М будем называть статистически слабо инвариантным относительно управляемой системы Таким образом, мы расширяем понятие инвариантности, рассматривая статистически инвариантные множества
Для определения статистически инвариантного множества относительно управляемой системы (0 2) введем следующую характеристику Пусть М = 2 х М(а) — задаиое подмножество пространства П = 2 х clcv(R,r) A(t'V,X) — множество достижимости системы (0 2) в момент времени t из начального множества X В предположении, что для каждого а € 2
и
множество A(t,fT. X) существует при всех t ^ 0, относительной частотой поглощения множества достижимости системы (0.2) множеством М назовем следующий предел
, , vx . mes{t 6 (0,tf] : A(tya>X) С М(Н1а)}
freq(a. Л ) = lim 1 -,
0-+ОО V
где mes — мера Лебега на числовой прямой. Подобные характеристики рассматривались в работах В. В. Немыцкого и В. В. Степанова [101], В. В. Степанова. [225], H. Hilmy [201] в связи с задачами существования минимального центра притяжения движения и свойством возвращаемоети областей, а также в эргодической теории при исследовании различных свойств возвращения, таких как рекуррентность орбиты, топологическая транзитивность, минимальность и топологическое перемешивание (см., например, работы П. Биллингслея [10], А. М. Вершика, И. П. Корнфельда и Я. Г. Синая [20]. А. Б. Катка. Я. Г. Синая и А. М. Степина [60]. А. В. Катка и Б. Хасселблата [61], И. П. Корнфельда, Я. Г. Синая и С. В. Фомина [68], В. А. Рохлина (136], (137), Я. Г. Синая [141]).
Определение 0.2. Множество М будем называть статистически инвариантным относительно управляемой системы (0.2), если для всех о £ X выполнено равенство
fireq(гг. Щ„)) = lim =
Определение 0.3. Множество М будем называть статистически слабо инвариантным относительно управляемой системы (0.2), если для любой точки (<т,.т) 6 М найдется решение </?(£, <т,х) данной системы продолжаемое на полуось = [О.оо) и удовлетворяющее начальному условию ip(0, сг, .г) = х и равенству
mes{t € [O.i?] : ) 6 M(hla)}
freq'(v) = lim ;— ’ 1----------------= 1
д—оо V
Характеристику freq“(ср) мы называем верхней относительной частотой попадания решения ip(t,a,x) в множество М.
В диссертации исследуются условия существования статистически инвариантных и статистически слабо инвариантных множеств, дополняющие результаты работ [129-133]. Основные утверждения формулируются в терминах метрики Хаусдорфа-Бебутова. функций Л.М. Ляпунова и производной Ф. Кларка данных функций. Получены условия, позволяющие оцени-
12
вать относительную частоту freq((т, М(&)) через характеристику
которая (в предположении, что предел (0 4) существует) является относительной частотой попадания верхнего решения г*(£,<т) задачи Коши
г = ги(Н1ст. г), ,г(0) = 0, £ ^ 0
в множество (-оо,0] Отметим что в процессе исследования статистически инвариантных множеств возникла следующая задача требуется определить условия, при которых выполнено равенство х{о) - 1 Такие условия получены, в частности, для линейной задачи Коши
г = а{Ь!о)г + Ь(к*сг), г(0) = 0. £ ^ О
в предположении, что мри каждом фиксированном о € £ функции
/ —♦ о(//<т) и / —► Ь(Ь1а)
почти периодические в смысле Бора (см теорему 15 1, с 122)
Следующий круг изучаемых вопросов связан с задачами существования инвариантных множеств для систем со случайными параметрами В данной работе определяются и исследуются статистически инвариантные и статистически слабо инвариантные с вероятностью единица множества управляемой системы (0 2), параметризованной метрической динамической системой (Е 21 и. И1)
О п р с д е л е н и е 0 4 Множество М будем называть статистически инвариантным с вероятностью единица относительно управляемой системы (0 2), если для почти всех <7 € £ выполнено равенство £гец(<7. М[а)) = 1
В частности, здесь рассматриваются статистически инвариантные множества для линейной управляемой системы
х = А(Ь1о)х + В(Н1<7)и, (£,<т и) € М х £ х К'4 х К"4 (0 5)
и билинейной управляемой системы
х = (А(Н1о) + иВ(Н1о))х. (Ь.о.х.и) 6 Е х Е х Кн х К (Об)
Показано что данные системы можно отождествить со стационарным в узком смысле случайным процессом
£(/г*<7) = (Л(/?*<т). 8(^0)),
13
при этом для каждого а € Е функция t —* £(hla) является кусочнопостоянной и принимает значения в множестве Ф = — конечном
множестве матричных пар, которые будем называть состояниями управляемой системы. Смена состояний системы происходит в случайные моменты времени, которые назовем моментами переключения данной системы или моментами переключения случайного процесса €{hla). Отметим, что подобные системы со случайными параметрами исследовались многими авторами в связи с задачами полной управляемости, равномерной локальной, равномерной глобальной управляемости, устойчивости и стабилизации.
Задача о построении слабо инвариантных множеств для линейной системы (0.5) тесно связана с задачей построения неупреждающего управления для данной системы. Термин «неупреждающее управление», по-видимому. введен свердловской школой по теории управления (см., например, работы H. Н. Красовского (74—76), H. Н. Красовского и А. И. Субботина [78]:
А. И. Субботина и А. Г. Ченцова (147], А. Г. Ченцова (172], [173]), задача построения управления данного типа для детерминированных систем исследовалась также в работах С.Ф. Николаева и Е. Л. Тонкова [102], (103). Управление u(t.x) называется неупреждающим, если для его построения в момент времени t = т может быть использована информация о поведении системы только при t ^ т.
Одна из особенностей построения неупреждающего управления для системы со случайными параметрами (0.5) состоит в том, что нам неизвестны моменты переключения и состояния данной системы, которые появляются при t > т. Поэтому возникает следующая задача: нужно научиться строить такое управление, чтобы траектория управляемой системы оставалась как угодно долго в некотором (слабо инвариантном) множестве до появления нужного состояния этой системы. В диссертации, на основании результатов работ [93-97], [120-122] и (215|, получены новые достаточные условия существования неупреждающего управления для системы (0 5), а также оценка снизу вероятности того, что данная система неупреждающе локально управляема на фиксированном отрезке времени.
Другой важной задачей, связанной с задачей существования слабо инвариантных множеств, является задача об исследовании полной управляемости для линейной системы S :
х = A(t)x + B(t)u, {t, х,и) € R х Rn x
О п редел ей ис 0.5 (Р. Калман, }206j; H.H. Красовский, (73|). Система S называется вполне управляемой на отрезке / = [£o,£i], если для каждого
14
т0 Є 1R" найдется управление ?/ : [/о; /і] —> Rnl такое, что решение т(-) задачи Коши
х = A(t)x + B(t)u(t). x{to) — xQ
удовлетворяет равенству х(Ч) = 0.
Далее, система S называется вполне управляемой, если для каждого момента времени Є R найдется значение t\ > t.0 такое, что система S вполне управляема на отрезке |^о, Ч]
Если система S стационарна, то есть матрицы А и В не зависят от времени, то для полной управляемости данной системы необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
ranк{В,АВ. . , А"~1 В} = п
Этот результат был получен для системы с одним входом (то есть при 777 = 1) в работе [57) и в общем случае — в [212]
II Н Красовским |73,с 148) получено достаточное условие полной управляемости системы S в предположении, что элементы матриц ,4(£) и B(t) имеют непрерывные производные вплоть до (п - 1)-го порядка Рассматривается матрица
K(t,S) = {K0(t.S), 5)}, где
I<0(t,S) = B(t), .,K,(t) = A(t)K^(t,S)-K^(l,S).. г = 1, .п-1
Утверждается, что если на отрезке I = [$o,£i] найдется точка t* такая, что rank K(t*. S) = п, то система S вполне управляема на I Известно, что данное условие не является необходимым и существуют примеры вполне управляемых систем, для которых rank K(t:S) ^ п — 1 при всех t Є / (см (80), [Ю0|) В работе А Чанга [186] показано, что если функция t —» S(t) аналитическая на некотором открытом интервале, содержащем отрезок 1, то условие rank K(t*yS) = п не только достаточно, но и необходимо для полной управляемости системы S
В связи с этими результатами И Н Красовского и А Чанга возникает следующая задача если rank K(t S) < п - 1 при всех t Є J и функция t —► S(t) не является аналитической (но имеет достаточное число производных), то при каких дополнительных условиях система S вполне управляема на отрезке I либо не обладает этим свойством7 Такие условия получены в работах В Т Борухова (15], JI Е Забелло [47], [48|, А А Левакова [86],
С А Минюка [100). а также в работах (127—128J, [221), результаты которых представлены в диссертации
15
В заключение обзорной части введения отметим, что свойства сильной и слабой инвариантности множеств относительно различных управляемых систем и дифференциальных включений при различных предположениях исследуются многими авторами. Например, в работах X. Г. Гусейнова и
В. Н. Ушакова [38) и X. Г. Гусейнова, А. И. Субботина и В. Н. Ушакова [198] получены условия инвариантности множеств на базе конструкций, расшитых в теории дифференциальных игр при изучении стабильных мостов. В работах Е. А. Панасенко и Е. Л. Тонкова {1131, (И4] исследуются свойства положительной инвариантности и равномерной устойчивости по Ляпунову (в сильном и слабом смысле) относительно дифференциального включения, которое имеет замкнутые, но не обязательно компактные образы. В работе А. Б. Куржанского и П. А. Точилина 183] вводится понятие и исследуется структура слабо инвариантных множеств для так называемых гибридных систем. Такие системы обладают движением, порожденным в каждый момент времени одной из «стандартных систем», принадлежащих заданному набору; при этом общее движение гибридной системы осуществляется попеременно одной из систем совокупности путем мгновенного переключения с одной на другую. Ю Л. Сачков [138-140] изучает условия, при которых существуют инвариантные ортанты билинейной системы. Кроме того, он исследует свойство управляемости билинейной системы в положительном ортаите при помощи кусочно-постоянного неограниченного управления. В работах В. И. Ушакова и его учеников [158-161] исследуется свойство инвариантности множеств относительно дифференциального включения. В этих работах введено и исследовано понятие дефекта инвариантности относительно дифференциального включения для множеств, не обладающих свойством инвариаитности.
Различные классы задач управления для систем со случайными параметрами рассматривались в работах Дж. Адомиана [2], II. И. Андреева [3], Ю. М. Астапова и В. С. Медведева [6], И. И. Гихмана и А. В. Скорохода (30], М. Ф. Диментберга (42), Л. Г. Евланова и В. М. Константинова [44], J4. Е. Казакова [55], И. Е. Казакова и В. Г. Доступова [56], И. Я. Каца [62|, А. А Кра-совского [70], [71], Ж.-II. Обена 1179]. B.C. Пугачева [119), У. Флеминга и Р. Ришела [168|, Р. 3. Хасьминского [170), [208] и ряда других авторов ([17], [49), |63|, |77|, [146], |176), |182), [183], (218[, [226)).
* * *
16
Диссертация состоит из введения, семи глав, включающих двадцать семь параграфов (нумерация параграфов сквозная), заключения и < гшека литературы
В первой главе введено и исследовано пространство непустых замкнутых выпуклых (но не обязательно компактных) подмножеств W1 с метрикой Хаусдорфа-Бебутова, которое обозначается clcv(R;'). Необходимость в таком рассмотрении связана с рядом задач оптимального управления асимптотическими характеристиками управляемой системы
x = f(ttxtu)t (£,a;)eR]+”. ueU(t,x), (0 7)
где функция U принимает значения в пространстве clcv(Rm)
В первом параграфе введено расстояние Dist(F, G’) между множествами F и G пространства clcv(ÏRu) Для определения этого расстояния обозначим через /о и до ближайшие к нулю пространства R" точки множеств F и G соответственно, а через О,(/о) и О,(до) обозначим замкнутые шары радиуса г с центрами в точках /о и до из Rn Введем в рассмотрение компактные при каждом / € [0, оо) множества
F, =FflO,(/o)- G,=Cf]0,(go)
и полуотклоиепия d(FltG,)i d(G, ,F,), где
d(F,, G, ) = max g{f, G, ). d(G,, F,) = max g(g, F, )
/€/•, gÇ.G,
Далее, определим полуотклоиепия
D(F, G) = sup mm{d{FnGr)t l/i }.
'>0 r ^ (0 8)
D(G,F) = supmin{</(G,, Ff), 1/r}
»>o
и расстояние
Dist(F,G) = max{D{F,G)t D(G} F)}, (0 9)
которое будем называть метрикой Хаусдорфа-Бебутова Получены основные свойства расстояния Dist(F, G) (лемма 1 1, с 33), в частности, показано, что это расстояние принимает конечные значения для любых, как ограниченных так и неограниченных подмножеств Rn
Во втором параграфе исследованы основные свойства пространства clcv(R”)
ОпределениеОб Будем говорить, что последовательность множеств {F'}721, где F1 € clcv(R”). сходится к множеству F € clcv(R7Z) в метрике
Хаусдорфа-Бебутова, если для любого е > 0. всех г £ [0, \/е) и всех, достаточно больших индексов г, имеет место неравенство
dist(F,\F,) <£ е
Такую сходимость будем называть также сходимостью, равномерной на компактах в К'1
Теорема 0 1. Пусть последовательность множеств {F'}%\ такова, что Р 6 clcv(Kn), г £ N. Тогда равенство lim Dist(P, F) = 0 эквива-
ос
лентпо равномерной на компактах в МГ/ сходимости последовательности {Р}^] к множеству F £ clcvfM'1).
Теорема 02 Пространство clcv(lRa) является полным в метрике Хаусдорфа -Бебутова, определенной равенствами (0 8), (0 9)
В третьем параграфе для функции F(a/x) переменных (а. х) 6 S х I" со значениями в пространстве clcv(IR") введено и исследовано понятие по-лунепрерывности сверху и снизу в терминах иолуотклонений D и непрерывности в терминах метрики Dist Хаусдорфа-Бебутова
Определение 0 7 Функцию F{a,x) будем называть полунепрерывной сверху В точке (гТо.Хо), если ДЛЯ ВСЯКОГО 7' ^ 0 выполнено следующее свойство для любого е > 0 найдется такое 6 > 0, что для всех точек (о,х) из замкнутой окрестности ОДоо: хо) полуотклоиение Хаусдорфа
d[Ft{o,x),F,{a^x^)) < е,
где F,(cr,x) = F(o,x)f]0,{fo{(7.x))} fo(c?,x) — точка множества F(a. г), ближайшая к нулю пространства RM.
Получены свойства полунепрерывной сверху функции F(o,x), связанные с замкнутостью ее графика Рассматривается функция (о, х) —► )o((J, ж), где /o(fT, т) — точка множества F(cг, х), ближайшая к нулю пространства R'1.
Теорем а 0 3 Функция F • £ х R" —> clcv(R'1) полунепрерывна сверху в точке (оо,.то) в метрике Хаусдорфа-Бебутова тогда и только тогда. когда для некоторой замкнутой окрестности Os(vо-.хо) график данной функции является замкнутым множеством и функция (о, х) —* /о(<т,г) непрерывна в точке (сго>Яо)-
Основным объектом исследования во второй главе являются управляемая система, дифференциальное включение и так называемая динамическая система сдвигов Здесь приводятся основные сведения из теории динамических систем и описывается процесс построения динамической системы
J8
сдвигов по заданной управляемой системе и отвечающему ей дифференциальному включению.
В четвертом параграфе приведены определения и некоторые свойства топологической и метрической динамических систем. Здесь также описано, как по заданной управляемой системе (0.7) построить динамическую систему, которая является расширением исходной топологической или метрической динамической системы. В примере 4.1 построено расширение для эргодической метрической динамической системы (£,21. и, hl).
В §5 построена динамическая система сдвигов, отвечающая системе (0.7) или управляемой системе
х — д(Ь,х,и)} х Е N(t)} ueU(t,x)} t Е R, (0.10)
где функции N wU принимают значения в пространствах clcv(Ru) и clcv(Rm) соответственно.
В шестом параграфе получены аналоги известных теорем существования решения задачи Коши для дифференциального включения с фазовыми ограничениями
х Е F(hla,x). x(t) Е М(/Лт), (0-11)
относительно которого предполагается, что функция (<7,х) —> F(a, х) принимает значения в пространстве clcv(Rri). а функция а —* М(а) принимает значения в пространстве clos(Rn) непустых замкнутых подмножеств в RT\
Обозначим через Т.хМ{о) опорный конус к множеству М в точке х. Функции F(<j, х) и М(а) назовем согласованными, если функция а —> М(а) непрерывна и выполнено условие
Q(a,x) = F(c7,r)f]TxM(a)1i0 для всех (<7,.т) Е £ х М(сг).
Теорема 0.4. Пусть функции F(<t. х) и М(а) являются согласованными и функция (а. х) —> F(a. х) € dcv(Rn) полунепрерывна сверху в метрике Хаусдорфа-Бебутова. Тогда для каждой точки (а.Хо): то € М(а), найдется такой интервал. (/..,//) числовой прямой. что решение задачи Коши (0.11) существует при всех t 6 (t*,f*) и при всех t Е [О.Г) удовлетворяет включению x(t) Е M{hla).
В теоремах 6.2 и 6.3 получены условия, при которых векторное поле, порожденное задачей (0.11). обладает свойством слабой полноты Это означает. что для любой начальной точки [о, хо) множества £ х М[а) существует по крайней мере одно решение y>(t) задачи Коши (0.11), определенное и удовлетворяющее включению ip(t) Е M(hl(y) при всех t Е М+.
19
В третьей главе получены основные результаты диссертации, относящиеся к исследованию статистически инвариантных множеств управляемой системы (0.2), параметризованной топологической динамической системой (X, hL). Предполагается, что выполнены следующие условия:
1) для каждой точки (t.a) функция (х:и) —* х, и) непрерывна:
2) для каждой точки (а. х, и) функция t —» /(/га, х, и) кусочно-непрерывна;
3) функция (<т, х) —> U(а, х) принимает значения в пространстве clcv(Mm) и полунепрерывна сверху в метрике Хаусдорфа-Вебутова.
В седьмом параграфе введены и исследованы такие характеристики, как относительная частота, верхняя и нижняя относительная частота поглощения множества достижимости А{1.о.Х) системы (0.2) заданным множеством М = X х М(а). Рассмотрим множество
== € [do,*] '• Я
где ca = (а, X). В предположении, что для каждого a G £ множество достижимости A(t,o, X) существует при всех t ^ 0. относительной частотой поглощения множества достижимости системы (0.2) множеством М называется следующий предел
freqH = lim =
= lim mcs(t€ IM 1 я Mjh'a)}
tf-oo д '
Далее, если предел (0.12) не существует, то характеристики
mesa(0,i9,w) mesa(0}tf,w)
freq (со) = hm -----\freq*(to) = hm r --------------------
«?—oo V V
будем называть, соответственно, верхней и нижней относительной частотой поглощения множества достижимости A(t.tj) системы (0.2) множеством М.
В восьмом параграфе доказано обобщение теоремы С. А. Чаплыгина (171) о дифференциальных неравенствах и получены условия существования верхнего решения скалярной задачи Коши
i = w(h!(7, z), z(t0) = zG. t ^ /.0 (0.13)
в предположении, что выполнены следующие условия:
1) для каждого а € X существует последовательность изолированных точек числовой оси {тх-}£10 такая, что функция (t.z) —* w(h,la,z) непрерывна в каждой из областей G; = {(t. z) : t €. [т,-1,т;), z 6 M} и имеет предел слева
20
при / т4, ? = 1.2 . ,
2) для каждой точки (і, а) Є К х £ выполнено неравенство
\х\-*оо
В девятом параграфе приведены определения функции А М Ляпунова, производной Ф Кларка, а также нижней и верхней производной в силу дифференциального включения Обозначим через М'(с) = М(сг) -В 0,(0) замкнутую окрестность множества М(а) в К*, через ЛД(ег) = М' (а)\М(<т) — внешнюю г-окрестность границы множества М(сг)
О п редел ен ие 0 8 (см , например, [115]) Скалярную функцию У(о, х) переменных (ст. г) 6 Ех М" будем называть функцией Ляпунова (относительно заданного множества М С П), если она удовлетворяет локальному условию Липшица и выполнены следующие условия
1) У(ст}г) ^ 0 для всех (сг,т) бЕх М(<т);
2) V (сг, а;) > 0 для всех (а. х) бЕх ЛД(а)
В некоторых работах (см , например, [41, с 238]) можно встретить другое определение функции Ляпунова На протяжении всей работы (3-5 главы) мы будем придерживаться определения (0 8).
Системе (0 2) поставим в соответствие дифференциальное включение
где через II{а, х) обозначено множество всех предельных значений функции ./(о.х. О (сг, х)) при (сга,х,) —> {о,х), со Я(<т,х) — замыкание выпуклой оболочки множества Н(а}х)
О п ре де л ен и е 0 9 (Ф Кларк, [187, с 17)) Для локально липшицевой функции У(а,х) обобщенной производной в точке ((т}х) € Е х К" по направлению вектора ц Є М" называется следующий верхний предел
называются нижней и верхней производной функции У в силу дифференциального включения (0 14)
х Є Р(к1ст.х) Р[о,х) — соН(о.х),
(0 14)
У°(сТ, %,<]) = Ишзир
(<г і +0)
У(НЧ.у + ед)-У{0,у)
£
Далее, выражения
Исследованы необходимые для дальнейшего свойства функции Ляпунова V(<7, х) и функции V [к1 ст., tp(t. с. х)), где а, х) — некоторое решение включения (0.14) (леммы 9.1 - 9.3).
В десятом параграфе получены условия существования решения дифференциального включения (0.14), продолжаемого на полуось IR+, которые являются обобщением теоремы Ла-Салля (см., например, [41,с. 276|).
Теорема0.5. Если для каждого о € £ существуют, функции V (а, х) uw(<r, z) такие, что функция V(cr.x) является бесконечно большой функцией Ляпунова и при всех (<7, х) 6 S х Qg, где Qe = {х € М" : |х| > р}, выполнено неравенство
то при каждом <т 6 Е для каждой точки хд Є Кп существует решение дифференциального включения (0.14), удовлетворяющее начальному условию <^{0.(7, хо) = -То и продолжаемое на полуось К+.
Теорем аО. 6. Пусть для каждого существуют, функции V {о, х) и ш(<7, г) такие, что V(сг, х) является бесконечно большой функцией Ляпунова и при всех (ст. х)бЕх С} у выполнено неравенство
Тогда при каждом о Є Е для каждой точки хо Є К" все решения дифференциального включения (0.14), удовлетворяющие начальному условию <р(0. (7. хо) = хо, продолжаемы на полуось В£+.
В §11 в предположении, что верхнее решение задачи Коши
(0.13) существует для всех і ^ 0, введена и исследована характеристика
Если указанный предел существует, то я(а) является относительной частотой пребывания верхнего решения г*(Ь,сг) задачи Коши в множестве (—оо,0]. Если предел не существует, рассматриваются характеристики
vLA°-.x) ^ w(p,V{o,x)),
*) < w(<7,V(a,x)).
х.(ст) = lim
>c’\o) = lim
i9—oo
d—*oo
mes{£ Є [O.tfj : z’(t,(j) ^ 0} -
mes{< Є [0,t?] : z*(t.a) ^ 0}
5
22
В следующей теореме получены условия статистической инвариантности заданного множества М = £ х М(сг) в предположении, что в< е решения включения (0 14), удовлетворяющие начальному условию ^(0, г) = х 6 М(сг): продолжаемы на полуось К+
Т е о р е м а 0 7 Пусть для каждого а € £ существуют функции V(ст. т) и ги(о, г) такие, что функция V (а, я) является функцией Ляпунова относительно множества М. при всех (а, х) Е £ х К" выполнено неравенство
и при всех о £ £ имеет место равенство х(а) — 1 Тогда множество М статистически инвариантно относительно системы (0 2)
Показано, что для каждого о € £ для любого множества X С М(о) верхняя и нижняя относительные частоты поглощения множества достижимости ,4(£,<7,Х) множеством М удовлетворяют неравенствам
В заключение параграфа исследовано свойство положительной инвариантности множества М относительно решений включения (0 14) Получены условия, при которых множество достижимости АX) поглощается множеством М при каждом £ ^ 0 (следствие 11 2. с 96)
В §12 результаты предыдущих параграфов применяются для исследования статистической инвариантности заданного множества М относительно линейной управляемой системы
х = А(Ь}о)х + В(1ь1о)и. (Ь,о,х,и) 6 К х Е х Iм х
которая параметризована топологической динамической системой (£,/&*)
В главе IV получены основные результаты диссертации касающиеся вопроса существования слабо инвариантных и статистически слабо инвариантных множеств управляемой системы (0 2) (см определение (0 3)) Согласно определению 13 2, множество М называется слабо инвариантным относительно системы (0 2), если для любой точки (о' х) € М найдется хотя бы одно решение *р(Ь о,х) данной системы с начальным условием у>(0 о.х) = х. определенное и удовлетворяющее включению
</?(£, а, я) € М{к1о) при всех £ ^ 0
В §13 получены достаточные условия статистически слабой инвариантности заданного множества М в предположении, что множество достижимости Л(/.гт, X) управляемой системы (0 2) существует для всех о € £ и всех £ ^ О