Оглавление
Введение 1
1. Структура квазиминимальных множеств на замкнутых поверхностях 25
1.1. Основные определения и примеры.......................... 26
1.1.1. Слоения, ламинации и распределения............... 26
1.1.2. Предельное множество полуслоя.................... 31
1.1.3. Геодезические ламинации.......................... 34
1.1.4. Слоеные ящики.................................... 35
1.2. Аналоги теорем Черри и Майера для слоений и ламинации 37
1.2.1. А н ало г т е о р е м ы Чер р и.................. 39
1.2.2. Аналоги теорем Майера............................ 44
1.3. Построение замкнутой трансверсали....................... 55
1.4. Оценка числа квазиминимальных множеств слоений и ла-минаций..................................................... 57
1.4.1. Просторно расположенные квазиминимальнме множества ................................................. 58
1.4.2. Оценка числа квазиминимальных множеств для ориентируемой поверхности.................................. 67
1.4.3. Оценка числа квазиминимальных множеств для не-
ориентируемой поверхности......................... 69
1.4.4. Оценка числа одномерных базисных множеств диффеоморфизмов ........................................... 74
2. Теория Аносова-Вейля и ее приложения к динамическим системам и слоениям на замкнутых поверхностях 77
2.1. Основные определения .................................... 78
2.2. Асимптотические направления полуслоев.................... 81
2.2.1. О существовании асимптотического направления нетривиально рекуррентного просторно расположенного полу слоя........................................... 82
2.2.2. Структура стабилизатора точки абсолюта............. 84
2.2.3. Иррациональность асимптотического направления нетривиально рекуррентного полуслоя...................... 86
О влиянии абсолюта на динамические свойства и гладкость потоков ............................................ 88
2.3.1. Соответствующая геодезическая ..................... 89
2.3.2. Геодезический Каракас слоений и ламинаций .... 89
2.3.3. О влиянии достижимых точек абсолюта, на динамические свойства 92
2.3.4. О влиянии достижимых точек абсолюта на гладкость 96 Отклонение траекторий потоков и слоев слоений от соответствующих геодезических.................................100
2.4.1. Ограниченность отклонения от соответствующей геодезической для потоков и слоений с конечным ЧИСЛОМ особенностей ...................................... 101
2.4.2. Равномерная ограниченность отклонения .............107
2.4.3. Пример нетривиально рекуррентного слоя с неограниченным отклонением ....................................109
О колебании траекторий и полутраекторий относительно
геодезических и эквидистант...............................114
О бифуркациях геодезических каркасов потоков и слоений со структурно устойчивыми особенностями...................120
2.6.1. Устойчивость глобальной секущей при малых возмущениях потока..........................................121
2.6.2. Непрерывность иррационального каркаса 124
2.6.3. Бифуркации рационального каркаса...................132
2.6.4. Коллапс рационального каркаса......................136
Сг-лемма о замыкании для векторных полей и слоений при
г > 2.....................................................141
2.7.1. С-топология в пространстве динамических систем
и слоений..........................................142
2.7.2. Кодирование Кобе-Морса геодезических...............143
2.7.3. Лемма о замыкании для нетривиально рекуррентных траекторий с асимптотическим направлением непостоянного типа....................................145
2.7.4. Лемма о замыкании для динамических систем и слоений коразмерности один на n-мерном (п > 1) торе 149
3. Базисные множества коразмерности один структурно устойчивых диффеоморфизмов на замкнутых п-мерных (п > 3) многообразиях 153
3.1. Основные определения и вспомагатсльные предложения . . 153
3.2. Характеристические сферы и связывающие цилиндры ... 164
3.2.1. Построение характеристических сфер...............165
3.2.2. Свойства характеристических сфер.................169
3.2.3. Применения теории ламинаций к устойчивым и неустойчивым многообразиям..............................178
3.3. Гомеоморфность накрывающей пространству IR”............185
3.4. О существовании нетрансверсальных пересечений инвариантных многообразий ......................................... 202
3.5. Гомотопический и топологический тип несущих многообразий................................................217
3.6. Об отсутствии неориентируемых двумерных базисных множеств у структурно устойчивых диффеоморфизмов на 3-мериых многообразиях........................................221
3.7. Топологическая классификация структурно устойчивых диффеоморфизмов с базисными множествами коразмерности один на торе..................................235
Литература
241
Введение
Одной из основных задач качественной теории динамических систем является изучение глобального поведения траекторий векторных полей и инвариантных многообразий орбит диффеоморфизмов со сложным предельным множеством. Такие траектории и инвариантные многообразия образуют часто ламинации или слоения (возможно, с особенностями). Таким образом, возникает задача изучения глобального поведения слоев ламинации или слоений. Одним из эффективных методов такого изучения слоев ламинаций и слоений со сложным предельным множеством является исследованея их асимптотических свойств. В свою очередь, изучение асимптотических свойств слоев ламинаций и слоений, и даже более общего объекта - полубссконечных кривых без самопересечений, является одним из основных предметов сравнительно недавно возникшей теории, получившей название теории Аносова-Вейля.
Предмет исследования. Диссертация посвящена дальнейшему развитию этой теории, и ее применению к изучению нелокального поведения траекторий динамических систем, слоев слоений и ламинаций со сложным предельным множеством, а также инвариантых многообразий структурно устойчивых диффеоморфизмов с нетривиальными базисными множествами коразмерности один.
Актуальность темы. Векторные поля со сложным поведением траекторий и диффеоморфизмы со сложной структурой инвариантных многообразий были впервые обнаружены Пуанкаре [146], [147]. Пуанкаре построил на торе векторное поле без особенностей с нетривиально рекуррентными траекториями (он называл такие траектории незамкнутыми устойчивыми по Пуассону. Однако это название сейчас применяется редко, так как термин ’’устойчивость” используется в другом смысле), каждая из которых всюду плотна на торе. Затем он построил на торе векторное поле без особенностей с нигде не плотными нетривиально рекуррентными траекториями, каждая из которых имеют предельное
1
множество, локально гомеоморфію с произведению отрезка на. канторово множество. Для произвольных векторных полей без особенностей, имеющих глобальную секущую, Пуанкаре ввел инвариант топологической эквивалентности (с точностью до пересчета с помощью целочисленной унимодулярной матрицы) - число вращения, которое описывает асимптотическое поведение траекторий. В некотором смысле, число вращения Пуанкаре определяет ”вращение"' траекторий вдоль меридианов и параллелей тора.
В 30-х годах А.Вейль [160], [161] предложил альтернативное определение для числа вращения Пуанкаре, использующее траектории накрывающего потока на евклидовой плоскости. Именно, Вейль доказал, что число вращения равно угловому коэфициенту прямой, которая имеет то же самое асимптотическое направление, что и траектории накрывающего потока [160]. Основой его рассуждений был тот факт, что поднятия траекторий на универсальной накрывающей попарно но пересекаются. Это навело Вейля на мысль, что аналогичным свойством должны обладать кривые без самопересечений, не обязательно определяемые дифференциальными уравнениями. В работе [161] он сформулировал две гипотезы о поведении накрывающих для кривых без самопересечений.
К сожалению, подход Вейля не был поддержан и вскоре забыт. Однако, в начале 60-х годов в рамках общего подъема, переживаемого теорией динамических систем, интерес к данной тематике был возрожден Д.В.Аносовым. Вопрос, с которого начались исследования Д.В.Аносова, состоял в нахождении общего в асимптотическом поведении траекторий потока и геодезических на поверхности. Этот вопрос естественно привел Д.В.Аносова к исследованию траекторий накрывающего потока на универсальной накрывающей и изучению их асимптотического поведения. Им была доказана теорема о существовании асимптотического направления у накрывающих для траекторий потока с конечным числом точек покоя на компактной поверхности неположительной эйлеровой характеристики. В 1966 году на симпозиуме по общей топологии в Тирасполе Д.В.Аносов сообщил о доказанной им теореме, и сформулировал ряд гипотез (одна из которых обобщала гипотезу Вейля) о поведении накрывающих для кривых без самопересечений. Теорема Аносова и эти гипотезы послужили своеобразным катализатором развития всей теории.
Основы качественной теории динамических систем были заложены в
2
конце позапрошлого и начале прошлого века в классических работах А. Пуанкаре, Дж. Биркгофа, И. Бендиксона, А.М. Ляпунова, и др. Возникла теория Пуанкаре-Бендиксона, под которой в настоящее время понимают исследование возможного поведения отдельной траектории и изучение структуры ее предельного множества [1]. Дальнейший прогресс в этой теории связан с именами A.A. Андронова, Л.С. Понтрягина, Е.А. Леонтович, А.Г. Майера, Т. Черри. В 1937 году Андроновым и Пон-трягиным [3] было введено понятие грубости динамической системы и изучены грубые векторные ноля в компактной части плоскости. Качественная структура векторных полей на двумерной сфере S2 с конечным множеством особых траекторий была исследована Леонтович и Майером [52].
При переходе от плоскости и сферы (поверхностям нулевого рода) к поверхностям ненулевого рода возрастают трудности, связанные с изучением разбиения поверхностей на траектории, поскольку становится возможным существование нетривиально рекуррентных траекторий и негомотопных нулю замкнутых траекторий или замкнутых контуров, составленных из точек покоя и сепаратрисных связей. В конце 30-х и в начале 40-х годов Черри [94] и Майер [54] описали типы траекторий квазиминимального множества, то есть множетва, являющегося замыканием нетривиально рекуррентной траектории. Черри доказал, что в любом квазиминимальном множестве имеется континуум всюду плотных в нем нетривиально рекуррентных траекторий и описал возможные типы траекторий (отметим, что теорема Черри справедлива для потоков на n-мерных многообразиях, удовлетворяющих второй аксиоме счетности). Майер для компактных ориентируемых поверхностей установил, что в квазиминимальном множестве потока всюду плотна любая содержащаяся в нем нетривиально рекуррентная траектория. Им также были получены необходимые и достаточные условия того, чтобы незамкнутая траектория являлась нетривиально рекуррентной.
Современный этап (так называемое “ гиперболическое" направление) в развитии качественной теории динамических систем начался с широко известного доклада С. Смейла в 1961 году на Межднародной конференции по нелинейным колебаниям в Киеве, в котором был приведен пример структурно устойчивого диффеоморфизма двумерной сферы со счетным множеством седловых периодических точек ("подкова“ Смейла). С появлением данного феномена и динамических систем Аносова
3
(Д.В. Аносов ввел их под названием У-систем) теория гиперболических динамических систем сложилась как самостоятельная область, использующая широкий спектр методов дифференциальной топологии, теории слоений и эргодической теории. Большой вклад в дальнейшее развитие этой теории внесли работы В.М. Алексеева, Р. Боуэна, Я.Г. Синая, Дж. Френкса, Л.П. Шильникова, и др.
Возникновение качественной теории слоений восходит к работам Г. Рэба, А. Хефлигера и С.П. Новикова. Особый интерес к теории слоений возник в связи с изучением динамических систем Аносова. Техника слоений позволила Дж. Френксу [100] классифицировать диффеоморфизмы Аносова коразмерности один, неблуждающее множество которых совпадает со всем многообразием. Применение "хирургической операции" к диффеоморфизмам Аносова коразмерности один и обобщенным псев-доаносовским диффеоморфизмам приводит к нетривиальным базисным множествам коразмерности один (аттракторам и репеллерам), глубокие результаты по изучению геометрии и топологии которых принадлежат Р.В. Нлыкину [61] - [65], Р. Вильямсу [164], В.З. Гринесу [38] - [40] и А.К). Жирову [46] - [48], [165]. Еще более сложный гиперболический аттрактор был построен В.И. Белых [37] при исследовании конкретных дискретных систем фазовой синхронизации.
Новый импульс в изучении слоений, ламинаций и гомеоморфизмов с инвариантными слоениями дали работы В. Терстена, в которых по новому осмыслена и дополнена гомотопическая классификация гомеоморфизмов поверхностей, полученная в 1920-х годах Якобом Нильсеном. Введение Терстоном понятия псевдоаносовского гомеоморфизма, обобщающего понятие аносовского диффеоморфизма, стимулировало дальнейшие исследования в этом направлении, основанное на изучении действия гомеоморфизмов в фундаментальной группе.
Теория бифуркаций динамических систем описывает качественные изменения фазовых портретов при непрерывном, плавном изменении параметров. Одной из знаменитых проблем теории бифуркации является так называемая лемма о замыкании. Основное достижение в решении данной проблемы принадлежит Ч. Пью, который доказал С'1 лемму о замыкании (С° лемма о замыкании решается тривиально) для динамических систем на компактных многообразиях [148], [149]. Что касается Сг леммы о замыкании для г > 2, то она решена (отрицательно) для некомпактных многообразий [108] и доказана для некоторых специальных
•1
динамических систем на компактных многообразиях. В полной общности для г > 2 вопрос о справедливости Сг леммы о замыкании на компактных многообразиях остается открытым.
Нелокальная теория бифуркаций, когда рассматриваются не только бифуркации положений равновесия и предельных циклов, но всей системы в целом вместе с ее инвариантными множествами и аттракторами, возникла в работах A.A. Андронова и созданной им Горьковской школы математиков [2], [36]. Особый интерес при нелокальной бифуркации представляет изменение инварианта системы, полностью описывающего ее топологическую структуру. Например, для большого класса потоков на торе или диффеоморфизмов окружности полным топологическим инвариантом является число вращения Пуанкаре. Исследованию зависимости числа вращения Пуанкаре от параметра посвящено много работ, две из которых, Арнольда [35] и Эрмана [113], являются основонологающими.
В 1973 году Арансон и Гринес [20] построили полный топологический инвариант сверхтранзитивных потоков с точками покоя отрицательного индекса на ориентируемых замкнутых поверхностях отрицательной эйлеровой характеристики. Этот полный топологический инвариант можно представить в виде специальной геодезической ламинации (геодезического каркаса), состоящей из геодезических, представляющих асимптотические направления полутраекторий и траекторий данного потока. Такое представление позволяет рассмотреть задачу зависимости полного топологического инварианта от возмущения потока, так как пространство геодезических ламинаций наделяется структурой топологического пространства.
Диссертация посвящена изучению нелокального асимптотического поведения слоев слоений и ламинаций на замкнутых ориентируемых поверхностях и инвариантных многообразий нетривиальных базисных множеств коразмерности один на n-мерных, п > 3, многообразиях с помощью поднятий слоев и инвариантных многообразий на универсальную накрывающую. Полученные результаты применяются для исследования зависимости геодезического каркаса потоков при бифуркациях потоков, а также при доказательстве Сг, г > 2, леммы о замыкании для нетривиально рекуррентных траекторий с определенными асимптотическими свойствами на замкнутых ориентируемых поверхностях отрицательной эйлеровой характеристики. Результаты о поднятиях инвариантных многообразий нетривиальных базисных множеств коразмерности один
5
применяются для изучения структурно устойчивых диффеоморфизмов с такими базисными множествами на п-мерных, п > 3, многообразиях с точки зрения топологической классификации и топологических свойств несущих многообразий.
Методы работы. Основными в работе являются методы теории дифференциальных уравнений и слоений, методы дифференциальной топологии, используемые в топологии поверхностей и глобальном анализе, а также методы теории гладких динамических систем.
Цель работы. Разработка методов изучения глобального поведения слоев слоений и ламинаций со сложным предельным множеством с помощью исследования асимптотических свойств поднятий слоев на универсальную накрывающую, а также методов классификации структурно устойчивых диффеоморфизмов с нетривиальными базисными множествами коразмерности один.
Научная новизна. В диссертации обосновано новое научное направление в качественной теории динамических систем - теория Аносова-Вейля. Дана методика изучения глобального поведения слоев слоении и ламинаций со сложным предельным множеством с помощью исследования асимптотических свойств поднятий слоев на универсальную накрывающую.
Автором решены следующие задачи, определяющие научную новизну работы:
1) Изучена структура квазиминимального множества слоений и ламинаций на компактной поверхности. Доказано, что квазиминимальное множество содержит континуум нетривиально рекуррентных слоев, каждый из которых всюду плотен в квазиминимальном множестве. Показано, что при конечном числе особенностей каждый незамкнутый слой квазиминимального множества всюду плотен в данном квазиминимальном множестве. Как следствие, получена точная оценка числа квазими-нимальных множеств с конечным числом особенностей на компактной поверхности и получена оценка числа различных одномерных базисных множеств диффеоморфизмов замкнутой поверхности, удовлетворяющих аксиоме А Смейла.
2) Исследовано влияние абсолюта на на динамические свойства и гладкость потоков на ориентируемых замкнутых поверхностях. Выделено множество абсолюта, при достижении которого поток необходимо имеет квазиминимальное множество. В этом множестве выделено подмноже-
6
ство, при достижении которого ноток необходимо является либо сверх-транзитивным, либо получается операцией Уайтхеда и операцией раздувания из сверхтранзитивного потока. Выделены точки, которые предписывают любой траектории сверхтранзитивного потока, достигающей данную точку, быть либо сепаратрисой седла, либо нетривиально рекуррентной в обоих направлениях траекторией. Также выделено множество абсолюта, при достижении которого поток не может быть аналитическим.
3) Доказано свойство ограниченного отклонения для полуслоя слоения с конечным числом особенностей отрицательного индекса на замкнутой ориентируемой поверхности отрицательной эйлеровой характеристики. Для потока и слоения, все точки покоя которых являются топологическими седлами отрицательного индекса, доказана равномерная ограниченность отклонения. Исследована связь неограниченного отклонения накрывающих полутраскторий и возникающего при этом эффекта колеблемости и резонансной колеблемости полутраекторий относительно соответствующих геодезических линий (геодезических или эквидистант геодезических).
4) Изучена задача о зависимости геодезического каркаса от возмущения потока или слоения. Доказано, что иррациональный геодезический каркас сверхтранзитивного потока с гиперболическими точками покоя обладает такими же свойствами, что и иррациональное число вращения Пуанкаре минимального потока на торе:
4а) непрерывность относительно возмущения потока,
46) " неустойчивость" относительно возмущения потока, то есть сколь угодно малым возмущением может быть превращен в рациональный каркас.
Аналогичный результат получен для слоений.
о) Построена бифуркация геодезического каркаса, названная коллапсом геодезического каркаса. Изучена связь этой бифуркации со свойствами соответствующей бифуркации потока и слоения. При достаточно общих предположениях доказано, что поток (или слоение), соответствующий коллапсу геодезического каркаса необходимо имеет бесконечное мн ожетсво о со б е н о сте й.
6) Исследована связь асимптотических свойств нетривиально рекуррентных траекторий и Ст леммы о замыкании при г > 2 для замкнутых ориентируемых поверхностях отрицательной эйлеровой характеристи-
7
ориентируемых поверхностях отрицательной эйлеровой характеристики. Доказано, что если кодировка Морса-Кебе соответствующей геодезической имеет неограниченный тип, то справедлива Су лемма о замыкании (г > 2) для данной нетривиально рекуррентной траектории.
7) Изучены растягивающиеся аттракторы и сжимающиеся репеллеры коразмерности один структурно устойчивых диффеоморфизмов на замкнутых п-мерных (п > 3) многообразиях. Показано, что в случае ориентируемых базисных множеств несущее многообразие гомотопически эквивалентен п-мерному тору Тп. Если и ф 4, то несущее многообразие гомеоморфено Тп. Основываясь на этом результате, получена классификация с точностью до сопряженности вышеуказанных диффеоморфизмов. Доказано, что структурно устойчивый диффеоморфизм замкнутого трехмерного многообразия не содержит в спектральном разложении неориентируемых растягивающихся аттракторов и сжимающихся репеллеров коразмерности один.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Разработанные в диссертации методы смогут найти применение в теории гладких динамических систем и ее приложениях. Например, применяя конструкцию двумерного неориентируемого аттрактора, оказалось возможным построить новый пример открытой области в пространстве диффеоморфизмов, не содержащей структурно устойчивых диффеоморфизмов. Результаты диссертации нашли отражение в спецкурсах, которые автор в течение ряда лет читал студентам Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского.
Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на различных семинарах в МГУ им. Ломоносова: по теории динамических систем (семинар Д.П. Аносова), по эргодической теории (семинар Я.Г. Синая); на научном семинаре Харьковского математического общества; на научном семинаре в институте математики Молдавской АН; на научном семинаре Бершевского университета (Израиль); регулярно на научном семинаре отдела дифференциальных уравнений НИИ прикладной математики и кибернетики при Нижегородском государственном университете им. Лобачевского (руководители Е.А. Леон-тович, Л.II. Шильников).
Результаты диссертации докладывались на:
• Всесоюзных конференциях по качественной теории дифференциаль-
8
ных уравнений (Кишинев, 1979: Иркутск, 1986; Рига, 1989; Самарканд 1992);
• Всесоюзной конференции по геометрии (Кишинев, 1988);
• Международной конференции по топологии и ее приложениям (Киев, 1992);
• Международном симпозиуме по геометрическому изучению слоений (Токио, 1993);
• Международной конференции по топологии (Рио де Жанейро. 1994);
• Международной конференции - Дни динамики (Будапешт, 1994; Лион. 1996);
• Международной конференции по современным проблемам теории динамических систем (Нижний Новгород, 1996);
• Международной конференции по слоениям, геометрии и динамике ( Варшава, 2000);
• Международной конференции по динамическим системам и эргоди-ческой теории (Кацивели, 2000);
• Международной конференции по динамическим системам и эргоди-чсской теории (Марсель, 2001).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [23], [24], [25], [26], [27], [28], [29], [30], [31], [32], [33], [34], [45], [49], [50]. [76], [79], [81]. [83], [84], [85]. [131], [138].
Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 254 страницах и состоит из введения, трех глав, содержащих изложение диссертации, и списка литераруры, включающих в себя 165 наименований. Первая глава разбита на четыре параграфа, вторая - на семь, третья - на семь параграфов.
Основные утверждения составляют теоремы 1.4, 1.6. 1.10. 1.12. 1.13, 1.14, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.9, 2.10, 2.11, 2.12, 2.14, 2.20, 2.21, 2.25, 2.26, 2.27,
3.5, 3.8, 3.10, 3.11.
Содержание работы
Во введении дан обзор литературы, изложена история вопроса, обсуждена актуальность темы, сформулирована цель работы и описаны основные результаты.
Глава 1 посвящена изучению квазиминимальных множеств распределений (слоений и ламинаций) на замкнутых поверхностях. В параграфе
1.1 даются определения слоения и ламинации, и унифицирующего понятия распределения.
Определение 1.4. Пусть М С Мп - некоторое подмножество многообразия Мпj содержащее в свою очередь подмножество S С М. семерным локальным Сг,/-распрсделением D (0 <1 < г < со/, заданным на множестве
М =f supp V,
с множеством, особенностей
S = Sing{V)
называется разбиение М — S па попарно непересекающиеся линейно связные подмножества La,
supp V = UQLa U 5,
называемые слоями, такое. что выполняется следующее свойство: для любой точки х £ supp V существует окрестность U(x) С М, х £ U(x), и С -диффеоморфизм. <р : U[x) —> Еп такой, что любая связная компонента пересечения U(x) П L(i (если это пересечение не пусто) отображается С1 -диффеоморфизмом <р в d-мерную гиперплоскость вида
1 = • • • 1 %п = Cn—di
при. этом ограничение <p\U(x) П La является С' -диффеоморфизмом на образ. Если, подмножество supp D замкнуто, то V называется ^-мерным Сг/-распределением. Если d = п — 1, rno V называется распределением коразмерности один.
Из определения следует, что локальное распределение есть локальная ламинация с особенностями или слоение на некотором подмножестве. Аналогично, (просто) распределение есть ламинация с особенностями
или слоение на некотором замкнутом подмножестве. Поэтому все утверждения и определения, которые имеют место для локального распределения, будут также иметь место для ламинаций и слоений.
Определение предельного множества слоя распределения полностью аналогично классическому определению предельного множества траектории. В параграфе 1.1.2 даются основные определения главы 1.
Определение 1.5. Положительный (отрицательный) полу слой незамкнутого слоя называется нетривиально рекуррентным, если он принадлежит собст венному со (а)-предельному множеству. Незамкнутый слой называется нетривиально рекуррентным, если оба его полу-слоя, нетривиально рекуррентны.
Определение 1.6. Топологическое замыкание нетривиально рекуррентного полуслоя называется квазиминимальным множеством.
В параграфе 1.2.1 доказывается аналог теоремы Черри для распределения.
Теорема 1.4. Пусть 1+ - нетривиально рекуррентный полуслой распределения (слоения или ламинации) D па компактной поверхности М2. Тогда квазиминимально с множество
clos (/+) = Q
содержит континуум нетривиально рекуррентных слоев, каждый из которых всюду плотен в Q.
В параграфе 1.2.2 доказываются основные теоремы главы 1.
Теорема 1.5. Пусть на компактной поверхности М задано распределение F с конечным числом особенностей. Пусть полуслой / * лежит в предельном множестве некоторого полуслоя распределения F, и пусть в предельном множестве /if/*) полуслоя /± имеется точка, отличная от особенности. Тогда 1А- - нетривиально рекуррентный полуслой.
Теорема 1.6. Пусть на компактной поверхности М задано распределение F с конечным, числом особенностей, и пусть lf, lf - нетп.риви-ально рекуррентные полуслой распределения F. Тогда, если If С $(/?)> то lf С P(lf).
Эти теоремы применяются в параграфе 1.4 для получения точных оценок числа квазиминимальных множеств распределений (слоений и ламинаций) на замкнутых поверхностях.
11
Теорема 1.10. Пусть на компактной ориентируемой поверхности М9'Ъ задано распределение Р с конечным числом особенностей, и пусть И'Р) - число квазиминимальных множеств распределения V. Тогда
1) і'С>) < 9 + тах{[у+6+,(1,)) - 1:0}.
2) Для любого ■целого і > 0 на поверхности М9)ь существует распределение Т> с конечным числом, особенностей и игло&ым индексом I — 1(Т>), которое имеет ровно к(Р) = у + шах{[а+^^] — 1:0} квазиминимальных множеств.
Теорема 1.12. Пусть на компактной пеориентируемой поверхности Л1]>,ь задано распределение V с конечным числом, особенностей, и пусть ЧСП) - число квазиминимальных множеств распределения Р. Тогда
V
у(Р) < тах{
Зр + 26 + Ь(Р) - 5 4
;0>,
где 1(Р) - игловой индекс распределения Р.
2) На поверхности для любого целого / > 0 существует распределение Р с конечным числом особенностей и игловым индексом. £ = ЦТ>), которое имеет ровно
у(Р) = тах{
3 р -Ь 26 + 2 і — 5
: 0}
просторно расположенных квазиминимальных множеств, где [а*] означает целую часть числа
Полученные оценки используются для вывода оценок числа различных одномерных базисных множеств диффеоморфизмов замкнутой поверхности. удовлетворяющих аксиоме А Смейла.
Теорема 1.13. Пусть / : Мд>ь Му,Ь ~ диффеоморфизм, удовлетворяющий аксиоме А, компактной, ориентируем,ой поверхности М!},ь7 и /?(/) - число различных одномерных базисных множеств диффеоморфизма /. Тогда
/?(/)< 9 +
3+ & + *(/) 2
-1; 0}
12
Теорема 1.14. Пусть / : Ар>ь —> Ар,б - диффеоморфизм, удовлетворяющий аксиоме А, компактной не ориентиру смой поверхности ЛгР)ь, и /?(/) - число различных одномерных базисных множеств диффеоморфизма /. Тогда
3 р + 26 4- 2£(/) — о
/?(/) < тах{
;0}.
Глава 2 посвящена дальнейшему развитию теории Аносова-Вейля. В параграфе 2.1 дается определение асимптотического направления накрывающей для полубесконечной кривой без самопересечений.
Определение 2.1. Пусть I = {яг(£) : і > 0} - полу бесконечная непрерывная кривая без самопересечений на М, и пусть I = {т(і) : і > 0} - ее поднятие либо на В1 (в случае ^(М2) = 0), либо на А (в случае Х{М2) < 0^. Если I стремится ровно к одной точке а абсолюта Зоо, то будем говорить, что кривая 1 имеет асимптотическое направле-. ние а.
Полубесконечная кривая на поверхности имеет асимптотическое направление. если хотя бы одно (и следовательно, любое) ее поднятие имеет асимптотическое направление на универсальной накрывающей. В параграфе 2.2 доказываются две теоремы о существовании асимптотического направления полубесконечной кривой без самопересечений и нетривиально рекуррентного просторно расположенного полуслов локального распределения.
Теорема 2.1. Пусть на гиперболической поверхности М2 с нетривиальной группой накрывающих преобразований имеется полубесконечная кривая В без самопересечений, которая бесконечное множество раз трансверсально пересекает замкнутую кривую С С М2, гомотопную проекции оси некоторого гиперболического элемента. Предположим, что любая С-дуга кривой В совместно с С образует пегплю, негомотопную пулю. Тогда В имеет асимптотическое направление.
Теорема 2.2. Пусть на конечной гиперболической поверхности М2 с нетривиальной группой накрывающих преобразований задано локальное распределение V, и пусть В нетривиально рекуррентный просторно расположенный полуслой локального распределения V. Тогда В имеет асимптотическое направление.
13
Для нетривиально рекуррентных просторно расположенных полусло-ев доказывается иррациональность асимптотического направления.
Теорема 2.3. Пусть на конечной гиперболической поверхности М'2 с нетривиальной группой накрывающих преобразований задано локальное распределение V. и пусть 1+ нетривиально рекуррентный просторно расположенный полу слой локального распределения V. Тогда асимптотическое направление полуслоя /+ иррациональное.
В параграфе 2.3 показывается, что абсолют влияет на динамические свойства потоков на ориентируемых замкнутых гиперболических поверхностях М. Обозначим через .У МТОЬ = N МТО Ь(М) множество нетривиальных, минимальных, трансверсально ориентируемых, геодезических ламинаций на М. Нетрудно видеть, что для каждой ламинации С Є Л'МТОЬ прообраз я-”1 (СУ) =£ С является геодезической ламинацией на гиперболической плоскости Л. Обозначим через NМТОЬ множество таких ламинаций, и через ОНА(М) множество идеальных концевых точек всех геодезических из ламинаций /VМТОЬ. Согласно теореме 2.3. множество ОЯА(М) состоит из достижимых иррациональных точек.
Теорема 2.4. Пусть поток /( с конечным числом, состояний равновесия на М достигает точку из ОП.А(М). Тогда // имеет квазимипи-малъное .множество (в частности, нетривиально рекуррентные траектории).
Ламинацня О Є N МТОЬ называется неприводимой, если любая замкнутая геодезическая на М пересекается с; Обозначим через
ТУ МТОЬ С N МТОЬ
множество неприводимых ламинаций, и через ЮЫА(М) множество идеальных концевых точек поднятий всех геодезических из ТУ МТОЬ. Напомним, что поток называется светхтранзитивным, если любая его одномерная траектория всюду плотна на поверхности. Очевидно, сверхтран-зитивный поток является транзитивным. Следующая теорема уточняет теорему 2.4.
Теорема 2.5. Пусть поток }1 с конечным числом состояний равновесия на М достигает, точку а Є ОЫА(М). Тогда если о Є ОНА(М) -ЮНА(М), то /1 не является сверхтранзгітивньїм потоком и любая его нетривиально рекуррентная траектория не пересекает на поверхности некоторую негомотопную нулю замкнутую кривую. Если же а Є
14
ІОІхА(М), то р либо с в ерхтр анзитивный, либо получается из сверх-транзитивного потока операцией Уайтхеда и операцией раздувания некоторого семейства траекторий. Болес того, поток /' имеет единственное квазиминимальное множество, каждая нетривиально рекуррентная. траектория, которого пересекает на поверхности любую него мотетную пулю замкнутую кривую.
В лемме 2.6 показывается, что для любой точки а £ ОЯА(М) имеется не более двух геодезических (представителей) из \i\MTOL\ с концевой идеальной точкой <т. Этот результат позволяет естественным образом разбить ОЯА(М) на два множества О ЯЛ \ (Л/) и ОЯА^(М) в зависимости от числа представителей, которые имеет каждая точка из ОЯА(М). Как показывает следующая теорема, эти множества влияют на тип траектории иррационального потока (напомним, что поток называется иррациональным, если он транзитивный и не имеет ни сепаратрисных связей, ни фальшивых седел. Другими словами, это сверхтранзитивный поток без фальшивых седел).
Теорема 2.6. Пусть /' - иррациональный поток с конечным числом, состояний равновесия, на М, и / - накрывающий поток на Д. Пусть 1 - поднятие положительной полутраекторпи 1+ Р которое стремится к точке а £ ОЯА(М). Тогда
1) Если о £ ОЯА\(М), то /+ принадлежит нетривиально рекуррентной (в обе стороны.) траектории.
2) Если о £ ()ЯА>(М). то Я принадлежит а-сепаратрисе некоторого седла.
В этом же параграфе 2.3 показывается, что абсолют влияет на гладкость потоков на ориентируемых замкнутых поверхностях М.
Теорема 2.7. Существует континуальное множество 6,г(Уу(>/ и(М)) С А/і со следующим, свойством. Предположим, что поток /* на М достигает точку из 17(11о1//(М)); тогда /* не аналитический и имеет континуальное множество точек покоя. Более того, поток /* не имеет, ни нетривиально рекуррентных полутпраекторий, ни замкнутых негомотопных нулю трансверсалей. Множество и(1^ы (,(М)) всюду плотно на абсолюте 5,х, и имеет пулевую меру Лебега.
15
В параграфе 2.4 рассматриваются вопроси, связанные с отклонением накрывающей кривой, имеющей асимптотическое направление, от геодезической с тем же самым асимптотическим направлением.
Пусть I = {т(£) : £ > 0} - поднятие кривой / либо на О7 (в случае у(М2) = 0), либо на А (в случае ^(М2) < 0). Предположим, что 1 стремится к точке а абсолюта 3^ то есть, / имеет асимптотическое направление ст. Пусть направленная геодезическая д является представителем асимптотического направления о (то есть, а - одна из концевых точек д). Обозначим через (1(і) расстояние от точки тп(£) Є / до геодезической д. Отклонение кривой / от геодезической д ограничено, если существует ли постоянная к: > 0 такая, что 71(1) < к при всех £ Є [0; 4-оо). В противном случае мы говорим что отклонение неограпичено. Если отклонение кривой / от геодезической д ограничено (соотв. неограпичено). то отклонение кривой / от любой геодезической, представляющей асимптотическое направление а, также ограничено (соотв. неограничено). Поэтому корректно следующее определение.
Определение 2.3. Пусть I имеет асимптотическое направление а. Кривая I обладает свойством ограниченного (неограниченного) отклонения, если для любой геодезической д, представляющей асимптотическое направление о, отклонение1 отд ограничено (соотв. неограничено).
Иногда мы будем говорить, что свойством ограниченного (неограниченного) отклонения обладает кривая / на поверхности М2. В параграфе 2.4 доказывается свойство ограниченности и равномерной ограниченности отклонения для полутраекторий потоков с: конечным числом точек покоя и полуслоев слоений с конечным числом особенностей (все отрицательного индекса) на ориентируемых замкнутых поверхностях М отрицательной эйлеровой характеристики.
Теорема 2.8. Пусть /1 - поток с конечным числом, точек покоя на замкнутой поверхности М2, д > 2, и пусть 1+ - накрывающая (для. некоторой полутраектории на М);) полу траектория, потока. /1 на А, которая имеет, асимптотическое направление. Тогда I обладает свой-с гп в о м о гр анич е н ного о пік л о и е пил.
Теорема 2.9. Пусть Т - слоение с конечным числом особенностей на замкнутой ориентируемой поверхности М2, у > 2. Предположим, что все особенности, слоения Т имеют отрицательный индекс. Пусть I -
16
полуслой накрывающего слоения Т на Л, который имеет асимптотическое направление. Тогда 1 обладает свойством, ограниченности отклонения.
Теорема 2.10. Пусть /1 - поток с конечным числом, точек покоя на замкнутой ■поверхности Мд, у > 2. Предположим, что точки покоя потока /* являются топологическими седлами отрицательного индекса. Тогда
эир{с^} < оо,
где супремум, берется по всем I, которые являются обобщенными траекториями или обычными траекториями накрывающего потока { .
Теорема 2.11. Пусть Т - слоение с конечным числом особенностей на замкнутой ориентируемой поверхности М*, у > 2. Предположим, что все особенности, слоения Т имеют отрицательный индекс. Тогда
Я1ф{^} < ОС,
где супремум берется по всем I, которые являются обобщенными слоям/и или обычными слоями накрывающего слоения 7.
В параграфе 2.5 рассматривается связь неограниченного отклонения накрывающих кривых и возникающего при этом эффекта колеблемости кривых относительно геодезических линий. Основные результаты содержатся в следующих теоремах.
Теорема 2.12. Пусть /+ - нетривиально рекуррентная положительная (отрицательная) полутраектория некоторой нетривиально рекуррентной траектории I потока }' на замкнутой ориентируемой поверхности Мд рода у > 2. Пусть у(1) - соответствующая геодезическая. Тогда, если /± обладает свойством неограниченного отклонения, то любая накрывающая Ґ дляї± резонансно колеблется относительно некоторой эквидистанты геодезической у(/) в положительном, (отрицательном ) направлении.
Теорема 2.14. Пусть /~ - нетривиально рекуррентная положительная (отрицательная) полутраектория некоторой внутренней нетривиально рекуррентной траектории I потока {1 на замкнутой ориентируемой поверхности Мд рода у > 2. Пусть у{1) - соответствующая геодезическая. Тогда, если I* не совпадает ни с каким положительным (отрицательным.) лучом, геодезической д(1), то I. слабо колеблется относительно д(1) в положительном (отрицательном) направлении.
17
Теорема 2.15. Пусть № - нетривиально рекуррентный полу слой некоторого внутреннего слоя I слоения Т на замкнутой ориентируемой поверхности Мд рода у > 2. Предположим, что все особенности J-лвллются седлами отрицательного индекса. Пусть g(l) - соответствующая геодезическая. Тогда. если /О не совпадает ни с каким лучом, геодезической д{1)} то I слабо колеблется относительно д(1) в соответствующем направлении.
Теорема 2.16. Пусть /± - нетривиально рекуррентная положительная (отрицательная) полу траектория некоторой нетривиально рекуррентной траектории I потока /* па замкнутой ориентируемой поверхности Мд рода g > 2. Пусть g(l) - соответствующая геодезическая. Тогда. если /~ обладает свойством, неограниченного отклонения, гпо I слабо колеблется относительно у(1) в положительном (отрицательном) направлении.
В пунктах 2.3.2 и 2.3.2 вводятся понятия геодезической, соответствующей кривой, и геодезического каркаса распределения. Для кривой без самопересечений, имеющей различные асимптотические направления в положительном и отрицательном направлениях, соответствующая геодезическая определяется как геодезическая с теми лее самыми асимптотическими направлениями. Для локального распределения, который имеет хотя бы один слой с соответствующей геодезической, геодезический каркас, как специальная геодезическая ламинация, определяется следующим образом.
Пусть V - локальное распределение на М2, и пусть I - незамкнутый слой распределения £>, оба полуслоя которого (положительный и отрицательный) имеют различные асимптотические направления. Это означает, что накрывающий слой 7 С А имеет различные идеальные концевые точки на абсолюте S.x. Обозначим через Ak{V) объединение всех незамкнутых слоев с указанным свойством (то есть, имеющих различные асимптотические направления в положительном и отрицательном направлениях) и замкнутых негомотопных нулю слоев локального распределения V. Пусть g(l) - соответствующая геодезическая слоя I е Л±(Т>).
Определение 2.2. Топологическое замыкание
G(V) ^ dos U 9(1)
l£Â±('D)
18
называется геодезическим каркасом локального распределения
V.
Соответственно мы получаем понятия геодезического каркаса G(T) слоения и геодезического каркаса G(£) ламиниции.
В параграфе 2.G изучается задача о зависимости геодезического каркаса от возмущения потока или слоения. Слеующая теорема означает, что (иррациональный) геодезический каркас сверхтранзитивного потока непрерывно зависит от возмущения потока (что аналогично непрерывной зависимости иррационального числа вращения Пуанкаре от возмущения потока) и ”неустойчив”, т.е. существуют сколь угодно малые возмущения потока, которые разрушают такой каркас.
Теорема 2.20. Пусть /' - сверхтранзитпивный поток на замкнутой ориентируемой поверхности М рода у > 2, индуцируемый векторным полем v Є у1 (М), и пусть U - окрестность в топологии 'НТ геодезического каркаса G{f!). Тогда существует окрестность (){(о) С 1 (М) векторного поля о такая, что
1) Любое векторное поле, w £ О'(с) индуцирует поток у1 с непустым геодезическим каркасом G(gl): который принадлежит окрестности V.
2) Существует векторное поле w £ О1 (v) такое, что у потока у1, индуцированного полем, w, геодезический каркас G(gl) рациональный и принадлежащит окрестности U.
Полностью аналогично доказывается следующая теорема для слоений.
Теорема 2.21. Пусть F £ HTStJ - сверхтранзитивное С1 слоение на замкнутой ориентируемой поверхности М рода g > 2 со структурно устойчивыми особенностями отрицательного индекса, и V - окрестность в топологии НТ геодезического каркаса G(F). Тогда существует окрестность 0\F) слоеная F в пространстве Т1 (А/) такая.. что
1) Любое С1 слоение Н £ 0!(.F) имеет непустой геодезический каркас G(H), который принадлежит окрестности U.
2) Существует С1 слоение Н £ 0{(F) такое, что геодезический каркас G(H) принадлежащие, окрестности U и содержит замкнутую геодезическую.
19
- Київ+380960830922