Оглавление
Введение 4
1. Классы систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре 20
1.1. Условия простейшего гомоклинического касания............. 20
1.2. Свойства отображения То................................. 23
1.3. Построение отображения Ті................................ 29
1.4. Три класса систем с гомоклиническим касанием............. 33
2. Системы первого класса. Гомоклинический П-взрыв и области гиперболичности. 36
2.1. Постановка задачи. Формулировка теорем................... 36
2.2. Специальная окрестность при гомоклиническом П-взрыве . . 42
2.3. Построение областей гиперболичности. Доказательство теоремы 2.1..................................................... 47
2.4. О границах областей гиперболичности.................... 60
3. Области гиперболичности вблизи бифуркационной поверхности систем второго класса 68
3.1. Постановка задачи. Формулировка теорем................... 69
3.2. Доказательство теоремы 3.1............................... 72
2
4. Бифуркации периодических траекторий систем третьего
класса 80
4.1. Бифуркации однообходных периодических траекторий. ... 82
4.2. Бифуркации двухобходных периодических траекторий ... 83
4.2.1. Бифуркации в классе систем на Щ.................. 84
4.2.2. Бифуркации в трансверсальных семействах.......... 88
4.2.3. О бифуркационных диаграммах для двухпараметрических семейств.......................................... 90
4.3. Бифуркации трехобходных периодических траекторий систем
третьего класса.......................................... 92
4.3.1. Бифуркации в классе систем на Яз................. 92
4.3.2. Сивр-бифуркации в двупараметрических семействах систем, близких к системам с негрубой гомоклиниче-ской траекторией.........................................110
Дополнение
112
Введение
В теории бифуркаций многомерных динамических систем одной из принципиальных задач является задача изучения динамических явлений в системах с негрубыми гомоклиническими кривыми Пуанкаре и системах, близким к ним. Напомним, что траектория лежащая в пересечении устойчивого и неустойчивого инвариантных многообразий седлового периодического движения называется гомоклинической кривой Пуанкаре. Такая траектория грубая, если в ее точках инвариантные многообразия пересекаются трансверсально, и негрубая - в противном случае (говорят также, что имеет место гомоклиническое касание).
Гомоклинические структуры, открытые Пуанкаре [1] еще в конце прошлого века, в последние десятилетия приобрели особенно актуальное значение в связи с многочисленными задачами точного естествознания, посвященными изучению стохастических колебаний. Как известно, математическим образом таких колебании является притягивающее множество весьма сложной природы, называемое странным аттрактором. При этом гомоклинические касания могут быть обнаружены в самых разнообразных конкретных семействах систем со сложной динамикой. Так, они существуют в отображении Эно (и вообще - в семействах сильно диссипативных отображений после бифуркационной цепочки удвоения периода), появляются при разрушении инвариантных торов [2, 3] - т.е. при переходе от квазипериодического режима к хаосу, могут быть найдены в моделях ло-
Рис. 1. Негрубая гомоклиническая траектория в случае трехмерного потока
ренцевского типа в области за границей существования аттрактора Лоренца [4, о], в системах с диким псевдогиперболическим аттрактором [б], в системах со спиральным хаосом и т.п.
Систематическое изучение систем с гомоклиническими касаниями было начато в [7] для случая трехмерных потоков. Там были выделены три класса таких систем1. Именно, пусть То - седловое периодическое движение, Г - гомоклиническая траектория, по которой устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия периодического движения Ь касаются квадратично (рис. 1). Пусть Л и 7 - мультипликаторы То, и |А| < 1, І7І > 1. Предположим, что |А^у| ф 1; при этом, не уменьшая общности, можно считать ]А7І < 1. Пусть V - малая окрестность замыкания Г и Т0 гомоклинической траектории, и Лґ0 - множество всех траекторий, целиком лежащих в и. В зависимости от знаков мультипликаторов и знаков некоторых коэффициентов, характеризующих то, как устойчивое и неустойчивое многообразия примыкают к Г , системы с гомоклиническими касаниями
1На многомерный случай аналогичная классификация была распространена в [8, 9], з том числе для систем с гомоклиническими касаниями произвольного конечного порядка.
5
относятся к одному из трех классов. При этом,
1) для систем первого класса множество До тривиально: До = {£о,Г} ;
2) для систем второго класса ЛГ0 является нетривиальным неравномерно-гиперболическим множеством, которое допускает полное описание на языке символической динамики (с помощью некоторой фактор-системы топологической схемы Бернулли из трех символов) ;
3) для систем третьего класса До содержит нетривиальные гиперболические подмножества, но ими все множество До, вообще говоря, уже не исчерпывается; при этом на бифуркационных пленках систем третьего класса имеет место всюду плотная негрубость.
Кроме того в [7] были исследованы основные бифуркации периодических движений, как в однопараметрических трансверсальных семействах А'^. так и на бифуркационных поверхностях систем третьего класса. Заметим, что такие бифуркации могут приводить к существованию и сосуществованию устойчивых и негрубых периодических траекторий, даже в счетном числе.
В [7] было показано также, что системы первого класса могут лежать на бифуркационной границе, отделяющей грубые системы Морса-С-мейла от систем со счетным множеством периодических движений, а системы второго класса - на границе систем с гиперболическим поведением траекторий. При этом, было установлено, что в первом случае при переходе через границу счетное множество периодических движений возникает сразу - так называемое явление гомоклинического П - взрыва.
В [10, 11, 12] для случая двумерных диффеоморфизмов (что то же самое - отображений Пуанкаре для трехмерных потоков) это явление было отчасти исследовано. А именно, было показано, что для однопараметриче-
6
ских семейств, трансверсальных бифуркационной поверхности систем первого класса для значений параметра из счетного множества интервалов соответствующая система имеет гиперболическую структуру на множестве траекторий, целиком лежащий в окрестности гомоклинической кривой. Явление гомоклинического П-взрыва было исследовано также нами[13, 25. 26] для многомерного случая, в том числе и случая, когда ведущие (наиболее близкие к единичной окружности) устойчивые мультипликаторы являются комплексно-сопряженными; при этом было дано полное описание на языке символической динамики соответствующих гиперболических множеств. Отметим, что в случае двумерных диффеоморфизмов были указаны точные границы интервалов гиперболичности и характер соответствующих бифуркаций[14].
Одним из замечательных свойств систем с негрубыми гомоклин пиески-ми кривыми Пуанкаре является то, что такие системы могут плотно заполнять целые области в пространстве динамических систем. Такие области называются областями Ньюхауса. Весьма важно, что они обнаруживаются даже в общих однопараметрических семействах, содержащих систему с квадратичным гомоклиническим касанием. Для случая двумерных диффеоморфизмов этот результат был установлен в [15], а на общий многомерный случай распространен в [16].
Вообще, существование областей всюду плотной негрубости - это одно из характерных свойств многомерных динамических систем, отличающих их от двумерных потоков. В теории нелинейных колебаний наиболее хорошо известны два типа областей всюду плотной негрубости. Это, прежде всего, вышеупомянутые области Ньюхауса, связанные с гомоклиническими касаниями, а также области систем с аттракторами Лоренца [17, 18] . Однако. если для полного описания аттракторов Лоренца в несимметричном
случае требуется только два инварианта - нидинг-инварианта (в симметричном случае - один) [19] , то в областях Ньюхауса ситуация значительно сложнее: здесь требуется бесконечное множество инвариантов (в частности, так называемых ^-модулей [9, 20]). Материализацией последнего факта является то, что в областях Ньюхауса плотны системы со счетным множеством периодических движений любых порядков вырождения, а также системы со счетным множеством гомоклинических касаний любых порядков [21, 22, 23] .
И здесь сразу возникает целый ряд проблем. С одной стороны, системы с гомоклиническими касаниями образуют бифуркационные поверхности коразмерности один в пространстве динамических систем, и поэтому они встречаются невырожденным образом в общих однопараметрнческих семействах. С другой стороны, наличие систем с произвольно вырожденными периодическими и гомоклиническими траекториями вблизи систем с простейшим гомоклиническим касанием показывает, что для полного изучения бифуркаций таких систем никакого конечно-параметрического семейства недостаточно. В принципиальном плане, здесь приходится отказываться от идеологии ‘'полного описания" и ограничиваться изучением каких-либо наиболее характерных свойств таких систем. В частности, важное значение здесь приобретает задача изучения основных бифуркаций в рамках параметрических семейств.
Под основными бифуркациями в дальнейшем будем понимать бифуркации малообходных периодических траекторий (одно-,двух-,трехобходных,...) Периодическую траекторию будем называть к-обходной, если за период она проходит к раз вблизи глобального куска исходной гомоклинической траектории. Малообходные траектории, естественно, более интересны с прикладной точки зрения. Более того вырождения высоких порядков мо-
8
гут возникать только у траекторий достаточно больших обходностей.
Что касается управляющих параметров, то для систем со сложной динамикой этот вопрос имеет принципиальное значение. Для двумерных систем, как правило, с выбором параметров нет особых проблем - здесь каждый параметр должен отвечать за снятие определенного вырождения у исходной системы (грубо говоря, у двумерных систем параметры независимо контролируют расщепление сепаратрис, изменение ляпуновских величин, изменение значений характеристических корней у состояний равновесий, либо мультипликаторов у предельных циклов и т.п.).
В случае многомерных систем с негрубыми гомоклиническими траекториями ясно, что одними из основных параметров должны быть параметры расгцепленш. В качестве дополнительных управляющих параметров естественно рассматривать С1-модули - непрерывные инварианты - эквивалентности, т.е. топологической эквивалентности на множестве неблуждающих траекторий. По самому определению П - модуля, любое его изменение означает изменение структуры множества неблуждающих траекторий, а значит ведет к бифуркациям периодических, гомоклинических и т.п. траекторий.
Существование О - модулей у систем третьего класса с негрубой гомо-клинической траекторией было установлено в [9, 20]. В [9, 22, 23] было доказано, что в множестве таких систем плотны системы со счетным числом П - модулей. Одним из основных таких инвариантов является величина
л Ь[А|
1п[7Г
введенная еще в [7]. Именно там и были впервые изучены бифуркации периодических траекторий в рамках однопараметрических семейств Х$ на бифуркационной поверхности Щ систем с гомоклиническими касаниями третьего класса. При этом было показано, что на любом интервале изме-
9
нения 0 плотны значения, при которых есть негрубые двухобходные периодические траектории с единичным мультипликатором и ненулевой первой ляпуновской величиной. Естественно ожидать, что при рассмотрении параметрических семейств с большим числом параметров можно найти периодические траектории более высоких порядков вырождения. Так, в [24. 28, 27] в рамках двухпараметрических семейств на #3 были изучены бифуркации, приводящие к появлению периодических траекторий порядка вырождения два (так называемых каспов). В качестве параметров при этом рассматривались О - модули в и г. Последний был введен в [8, 29]. Отметим, что аналогичные бифуркации для случая систем с гомоклинической петлей седло-фокуса рассматривались в [30]
Содержание и основные результаты работы
Первая глава носит вспомогательный характер.
В параграфе 1.1 рассматривается система Хо, обладающая следующими свойствами (условия А) - Д) ниже):
А) А’о имеет седловое периодическое движение Ьо с мультипликаторами А*, т,, причем
|Ат| < ... < |А1| < 1 < |71) < |721 < ••• < Ы,
Обозначим Л = [Л*!, 7 = |71|.
Предположим, что выполняется либо условие
А1) Л! - действительно И Л > |Л*21,
либо условие
А2) Л1 = Л2 = Л ■ ехр(п^), (ф ф 0, тг) и Л > |Л3|;
10
Те мультипликаторы, абсолютная величина которых равна Л и 7 назовем ведущими мультипликаторами, устойчивыми и неустойчивыми соответственно. Условие А) соответствует тому, что мы рассматриваем случаи, когда ведущие мультипликаторы простые, и, кроме того, неустойчивый ведущий мультипликатор действителен.
Б) седловая величина а = А • 7 < 1;
В) устойчивое УУ* и неустойчивое УУи многообразия движения имеют касание по гомоклинической кривой Го, и это касание является простейшим в том смысле, что оно квадратичное и б1ш(УУ£/ Л Щ) = 2, где УУ?/ и УУХ, - касательные подпространства к УУ® и УУи соответственно в точке М € Го-
Построим гладкую секущую 5 к На 5 определены отображение Пуанкаре Го(//) по траекториям потока близким к и Т{(/х) отображение по траекториям системы Хи в окрестности Г0. Точка О = 10 Л 5 является седловой неподвижной точкой отображения То((.1) при всех достаточно малых (I , ее инвариантные многообразия обозначим через IV3 и IVй. Пусть м+ 6 и?ос и М С УУ^. - две точки пересечения Го с 5. Будем считать, что отображение Т\ определено в окрестности точки М~. и Т\(М~) = М+. Неведущие устойчивое и неустойчивое многообразия точки О будем обозначать соответственно как \¥83 и а касательные в точке О подпространства к многообразиям УК3, УУ™, У/™ и \¥ии - как И/3, УУи, и УУ'ии соответственно. Аналогично для ведущих направлений примем обозначения УУ’5+ и УУ’“+. Стандартно показывается, что УК53 и УУ’ии однозначно вкладываются в инвариантные Сг-1 - слоения Fss и Fuu на УУ£С и И7“, и что существуют инвариантные С1 - многообразия Ни и Я,., касательные к IVй ф УУ’5+ и УГ5 0 УУ’и+, при этом, Ни Э УГ^С, Н$ Э \¥*ос. Предположим,
11
- Київ+380960830922