Оглавление
Введение 4
1 Уравнение Хилла и теория Пуанкаре-Данжуа дифференциальных уравнений на торе 7
1.1 Уравнение Хилла ........................................ 8
1.2 Уравнение Прюфера и дифференциальные уравнения на торе........................................................ 10
1.3 Связь сильной устойчивости и сильной неустойчивости уравнения Хилла с числом вращения и гомеоморфизмом Пуанкаре для уравнения Прюфера.............................. 14
1.4 Устойчивые по Плиссу числа вращения.................... 18
1.5 Уравнение Хилла с постоянными коэффициентами .... 20
1.6 Связь мультипликаторов с числом вращения............... 21
1.7 Критерий устойчивости Жуковского....................... 23
1.8 Неоднородное уравнение Хилла........................... 24
2 Нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка 26
2.1 Признак существования и единственности неустойчивого периодического решения ..................................... 27
2.2 Критерий устойчивости по Дирихле периодического решения 33
2.3 Нелинейное обобщение критерия Жуковского .............. 37
2.4 Маятник с колеблющейся точкой подвеса.................. 41
3 Система двух линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и теория Пуанкаре-Данжуа дифференциальных уравнений на торе 47
3.1 Каноническое уравнение с постоянным гамильтонианом . . 48
3.2 Каноническое уравнение с произвольным периодическим гамильтонианом ............................................ 52
3.3 Достаточные условия неустойчивости..................... 54
3.4 Достаточные условия устойчивости по Дирихле............ 59
3.5 Система двух линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.............................. 63
3.6 Уравнение Прюфера и дифференциальные уравнения на торе....................................................... 66
3.7 Вспомогательные леммы.................................. 70
3.8 Вещественные мультипликаторы........................... 73
3.9 Невещественные мультипликаторы......................... 77
3.10 Устойчивые по Плиссу числа вращения.................... 82
3.11 Один пример линейной канонической системы.............. 84
4 Нелинейная каноническая система с периодическими коэффициентами _ 87
4.1 Признак существования и единственности неустойчивого
периодического решения ................................ 87
4.2 Критерий устойчивости по Дирихле периодического решения 95
Заключение
99
Введение
Уравнение Хилла [41] хорошо известно в теории колебаний. Возникшее при изучении движения Луны в астрономии, оно вызвало пристальное внимание со стороны математиков. Одним из важных и трудных вопросов в теории уравнения Хилла является вопрос об устойчивости, причем эта устойчивость, если она имеет место, носит характер двусторонней устойчивости по Ляпунову, что иными словами называется устойчивостью по Дирихле [7|.
Устойчивость по Дирихле означает, что из малости решения и его производных в какой-то момент времени вытекает его малость на всей числовой прямой, а не только в положительном направлении, как в теории Ляпунова. Из устойчивости по Дирихле вытекает, конечно, устойчивость в смысле Ляпунова. Для изучаемых в диссертации канонических систем, к которым стандартным образом может быть приведено уравне-ни Хилла, верно и обратное.
Устойчивость в смысле Дирихле берет свое начало от теоремы Дирихле в аналитической механике, называемой также теоремой Лагранжа.
Уравнение Прюфера хорошо известно в теории уравнения Хилла. Но никто - по нашим сведениям - не обратил внимания на то, что его можно трактовать как дифференциальное уравнение на торе. Согласно теории Пуанкаре-Данжуа дифференциальных уравнений на торе поведение решений в целом характеризуется числом вращения и некоторым гомеоморфным отображением окружности на себя. Отметим лишь,что
по числу вращения можно судить не только об устойчивости уравнения Хилла (или канонической системы), но и указать номер области устойчивости или неустойчивости.
Еще больший интерес представляет нелинейное уравнение Хилла и каноническая система двух нелинейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Здесь возникает отображение Пуанкаре. ко торое позволяет привлекать для изучения устойчивости по Дирихле дискретные динамические системы. Эта теория связана с именами А. Пуанкаре, Д. Биркгофа и Э. Хопфа. Здесь представляет интерес не только получение условий существования и единственности периодического решения, но и вопросы устойчивости или неустойчивости получающихся периодических решений.
Целью работы при изучение уравнения Хилла и линейной канонической системы является определение связи между их устойчивостью с соответствующими свойствами уравнения Прюфера. Для нелинейного уравнения Хилла и нелинейной канонической системы целыо является получение условий существования и единственности, а также обсуждение их устойчивости и неустойчивости.
13 работе используются методы общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений, элементы теории динамических систем и систем с интегральным инвариантом.
При изучении отдельных вопросов применяются вариационные методы [28], а также результаты теории дифференциальных уравнений с монотонными нелинейностями [38].
Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие:
1. Для изучения уравнения Хилла привлечена теория Пуанкаре-Данжуа дифференциальных уравнений на торе.
о
2. Для нелинейного уравнения Хилла указаны различные условия существования и единственности периодических решений, а также признаки их устойчивости и неустойчивости.
3. Для изучения линейных канонических систем с периодическими коэффициентами применяется теория Пуанкаре-Данжуа дифференциальных уравнений на торе.
4. Для нелинейных канонических систем приведены эффективные признаки существования и единственности периодических решений, а также обсуждается их устойчивость и неустойчивость.
Ценность работы теоретическая. Материал диссертации может быть использован в вузовских лекционных курсах на кафедрах физико-математического профиля, на которых читается теория нелинейных колебаний.
Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались: на региональной межвузовской научно - практической конференции "Из режима функционирования - в режим развития" (Воронеж, 2007), на Воронежской зимней математической школе
С.Г. Крейна - 2008 (Воронеж, 2008), на региональной межвузовской научно - практической конференции "Стратегии развития - инновационноинвестиционную активность"(Воронеж, 2008), на региональной межвузовской научно - практической конференции "Экономический кризис России: социально-экономический, правовой и гуманитарные аспекты" (Воронеж, 2009), на научном семинаре кафедры нелинейных колебаний под руководством профессора Л.И. Перова (ВГУ, 2006-2009).
Основные результаты диссертации опубликованы в 11 работах. Из совместных публикаций [32], [23], [24] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично автору. Работы |44], [45] соответствуют списку ВАК РФ для кандидатских диссертаций.
6
Глава 1
Уравнение Хилла и теория Пуанкаре-Данжуа дифференциальных уравнений на торе
Глава посвящена изучению линейного уравнения второго порядка с периодическим коэффициентом р(£), которое известно как уравнение Хилла. 13 теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами важную роль играет вопрос устойчивости (неустойчивости) решений. Если нулевое решение уравнения Хилла устойчиво (неустойчиво), говорят, что устойчив (неустойчив) соответствующий периодический коэффициент р(£). Эти коэффициенты образуют в функциональном пространстве периодических функций открытые множества, распадающиеся в рассматриваемом случае на счетное число компонент связности, нумеруемых по определенному правилу всевозможными целыми числами п и называемых соответственно тг-ой областью устойчивости и п-ой областью неустойчивости.
При изучении уравнения Хилла удобно перейти от декартовых координат к полярным, причем для полярного угла получается дифференциальное уравнение, не содержащее полярнот радиуса и периодическое по обеим переменным. Последнее позволяет трактовать полученное уравнение как дифференциальное уравнение на торе. Согласно теории
7
Пуанкаре-Данжуа поведение в целом решений дифференциального уравнения на торе полностью характеризуется числом вращения и некоторым, сохраняющим ориентацию, гомеоморфным отображением окружности на себя.
В этой главе впервые прослеживается связь сильной устойчивости и сильной неустойчивости о числом вращения и упомянутым выше гомеоморфизмом. Приведенное исследование показывает, что дифференциальное уравнение на торе адекватно описывает многие важные свойства изучаемого уравнения Хилла, включая возможность по одному только числу вращения сказать сильно устойчиво уравнение или нет, и если оно устойчиво, то сказать, какой именно области устойчивости принадлежит соответствующий коэффициент p(t).
В конце главы изучается свойство устойчивости числа вращения, впервые открытое В.А. Плиссом. Показывается, что число вращения устойчиво по Плиссу, если соответствующее уравнение Хилла сильно неустойчиво.
1.1 Уравнение Хилла
Рассмотрим уравнение Хилла
в котором точка означает дифференцирование по времени t, a p(t) есть вещественная измеримая и - периодическая функция,
суммируемая на отрезке [0,cj], т.е. p(t) £ Li[0,u] (см., например, (43, с. 310]).
Число р (вещественное или невещественное) называется мультипликатором Флоке уравнения Хилла, если можно указать такое нетри-
х + p(t)x = О,
(1.1)
p(t + ш)= p(t)
(1.2)
- Київ+380960830922