Монотонно невозрастающие случайные поля на частично упорядоченных множествах

Содержание
Введение .........................................................
Глава 1. Конечномерные распределения монотонно невозрастающих случайных полей на частично упорядоченных множествах ..........................................................
1.1. Вычисление конечномерных распределений монотонно невозрастающих случайных полей на частично упорядоченных множествах по коррелятору ........................................
Глава 2. Распределения вероятностей на многогранных конусах...............................................................
2.1. Разложение вероятностной меры на многогранном конусе в сумму мер на гранях ..............................................
2.2. Определение граней, правильно рассекающих блоки...........
2.3. Вычисление распределений вероятности на гранях, правильно рассекающих блоки, но коррелятору .............................
2.4. Примеры связи между следами распределений вероятностей на гранях конуса и корреляторами .................................
2.5. Условия, обеспечивающие правильное рассечение блоков. . . .
2.0. Примеры многогранных конусов с гранями, правильно рассекающими блоки..................................................
2.7. Доказательство теорем 2.2 и 2.3 из §2.5...................
2.8. Доказательство теоремы 2.1 из §2.3 .......................
Глава 3. Свойства граней конуса монотонно невозрастающих функций. Доказательство теоремы 1.1...............................
6
22
22
28
28
30
32
35
41
40
55
75
90
2
3.1. Описание свойств граней конуса монотонно невозрастающих функций ..........................................................96
3.2. Доказательство теоремы 3.1 из §3.1 ......................98
3.3. Доказательство теоремы 1.1 из §1.1 ......................106
Глава 4. Непрерывные снизу меры на частично упорядоченных
множествах .......................................................107
4.1. Продолжение мер, непрерывных снизу, на алгебру, порожденную идеалами частично упорядоченного множества .............107
4.2. Пример меры, не продолжаемой но непрерывности снизу . . . .113
4.3. Доказательство теоремы 4.1 117
Глава 5. Экспоненциально распределенные случайные ноля на
частично упорядоченных множествах ................................130
5.1. Построение экспоненциально распределенных случайных нолей на частично унорэядоченных множествах по мерам, непрерывным снизу .......................................................130
5.2. Конечномерные распределения экспоненциально распределенных случайных полей, построенных по мерам, непрерывным снизу ...........................................................135
5.3. Экспоненциально распределенные случайные поля на полуре-шетке, построенные с помощью прямого произведения мер. . . 140
5.4. Доказательство теоремы 5.1 из §5.1 151
5.5. Доказательство теоремы 5.2 из §5.1 163
5.6. Доказательство теоремы 5.3 из §5.2 ..........................171
5.7. Доказательство теоремы 5.4 из §5.2 ..........................173
5.8. Доказательство теорем 5.5 и 5.6 из §5.3......................180
5.9. Доказательство теоремы 5.7 из §5.3 ..........................184
3
Глава 6. Положительно определенные функции на частично упорядоченных множествах.......................................207
6.1. Построение положительно определенных функций на частично упорядоченных множествах........................................207
6.2. Доказательство теоремы 6.1 209
6.3. Доказательство теоремы 6.2 211
6.4. Примеры положительно определенных функций на частично упорядоченных множествах........................................214
Заключение .......................................................222
Литература .......................................................224
4
Список условных обозначений
ІУ - множество натуральных чисел я - множество действительных чисел
Я — расширенная действительная ось, Я = Я и {+оо} и {—сю}
Я+ - множество положительных действительных чисел
Л — мера Лебега на действительной оси К
Xі — мера Лебега на евклидовом пространстве Я?
ц. — ограничение меры д »га множество А А
А+ — ограничение меры Лебега А на множество положительных чисел Я+
Введение
Актуальность темы
За последние несколько десятилетий в математических работах неоднократно возникали задачи, которые можно описать в терминах вероятностных распределений па множестве идеалов некоторого частично упорядоченного множества.
Здесь, следуя за Д.-К. Рота, идеалом частично упорядоченного множества мы будем называть такое его подмножество, которое вместе с каждым элементом содержит все элементы меньшие данного (см |4| и [27|).
Как будет показано ниже, построение и исследование монотонно невозрастающих полей на частично упорядоченных множествах естественным образом связано с исследованием распределений вероятностей на множествах идеалов частично упорядоченных множеств.
Одним из интенсивно развивающихся направлений, связанных с идеалами частично упорядоченных множеств, является исследование вероятностных распределений на множестве диаграмм Юнга - ограниченных идеалов целочисленного квадранта ТУ2, трехмерных диаграмм Юнга - ограниченных идеалов целочисленного октанта. ЛГ3, а также марковские процессы, принимающие значения на множестве диаграмм Юнга.
В работах А.М.Вершика и С.В.Керова |9|, 110] и 112] была исследована монотонно возрастающая марковская цепь на множестве диаграмм Юнга, у которой начальное состояние (в момент времени 0) — пустая диаграмма Юнга, каждое следующее состояние отличается от предыдущего на одну ячейку, а распределение вероятностей для значения цепи в момент времени п соответствует’ мере Плашнереля симметрической группы степени п. В этих работах описано асимптотическое поведение для описанной в них марковской цепи при больших временах; в частности, была найдена асимптотическая форма
диаграмм Юнга, являющихся значениями этой марковской цепи.
Также одной из рассматривавшихся задач этого направления является исследование распределения вероятное гей на множестве ограниченных идеалов решетки ТУ3, в случае, когда вероятность каждого идеала пропорциональна экспоненте от произведения мощности этого идеала и некоторого отрицательного коэффициента:
Р(/) = (1)
В работе Р. Кениона и Р. Серфа (21 ] была исследована предельная форма случайного идеала, распределенного в соответствии с этой формулой, при а —> 0.
В работах Л.10. Окунькова и соавторов [20, 24 26] был описан аналитический подход к изучению распределений вероятностей на диаграммах Юнга. Так, например, в работе А. Бородина, А. Окунькова и Г. Ольшанского [20] этот подход использовался для исследования формы значений описанной выше марковской случайной цепи на множестве диаграмм Юнга (также см. [25]), а в работе [26] А. Окуньковым и II. Решетихиным была изучена форма случайного идеала решетки ТУ3 как в случае, когда распределение вероятностей задается формулой (1), так и в некоторых более общих случаях.
Другое направление, связанное с распределениями вероятностей на идеалах частично упорядоченных множеств, возникло при построении модели кровотока в сети мелких сосудов. В работе [1б| В.А.Антонцом, М.Л.Антонцом и И.Л. Шерешевским была построена модель кровотока как марковская цепь, значению которой в каждый момент времени соответствовало корневое дерево сосудов, которые в данный момент заполнены. Таким образом, в этой модели состояние марковской цепи в каждый момент времени описывалось распределением вероятностей на множестве идеалов частично упорядоченного множества — бесконечного корневого дерева Т.
7
В работе [1| М.А. Антонцом и И.А. Шерешевским был проведен анализ поведения этой марковской цепи и было доказано, что при определенных условиях она будет стремиться к предельному состоянию /л00, описывающемуся следующим образом:
для любого поддерева Т* дерева Т имеет место равенство
где V - мера на множестве вершин дерева Г, определяемая только переходными вероятностями марковского процесса.
В работе [2] М.А. Антонцом и И.А. Шерешевским в связи с рассмотрением моделей роста на произвольном частично упорядоченном множестве (см. [17]) было дано обобщение конструкции меры, описываемой формулой (2); а именно, была построена мера цр па множестве С{Б) всех идеалов частично упорядоченного множества 5, удовлетворяющая для любого идеала I из С(Б) следующему соотношению:
где р — некоторая конечно-аддитивная (возможно, неограниченная) мера на
5. В [2] также были найдены условия на меру /?, обеспечивающие существование меры Рр, удовлетворяющей (3), и было показано, что мера цр однозначно определяется мерой р.
Мера рр, определяемая формулой (3), была названа в [2] геометрической мерой, поскольку ее конструкция является обобщением известного геометрического распределения вероятности на NN определяемого соотношением Р{а; Є N : х > п} = (1 — р)п-1.
В работе |2| также исследовались безгранично делимые меры на решетке идеалов частично упорядоченного множества относительно теоретико-множественного пересечения и было показано, что геометрическая мера является безгранично делимой.
(2)
(3)
8
Следует заметить, что безгранично делимые меры на различных решетках (в частности, решетках множеств) ранее изучались многими авторами. Так, в теории Г.Шоке рассматриваются безгранично делимые меры на решетке замкнутых множеств некоторого топологическою пространства (см., например, [13]), а И. Молчановым в [23, §§3.1-3.2) рассматривались безгранично делимые меры на решетках, топология Скотта которых обладает счетной базой. Однако результаты, полученные М.А. Антонцом и И.Л. Шерешевским, не могут быть выведены из результатов Г.Шоке и И.Молчанова, поскольку решетка идеалов частично упорядоченного множества, рассматривавшаяся в работах М.А.Антонца и И.А.Шерешевского не является частным случаем решеток, рассматриваемых Г.Шоке или И.Мол чановым.
В работе [2] было также указано на существование связи между случайными полями на частично упорядоченном множестве Я и мерами на множестве С(Н х Л) идеалов частично упорядоченного множества Я х Л.
Эта связь обусловлена соответствием между монотонно невозрастающими функциями частично упорядоченном множестве Я и идеалами частично упорядоченного множества Я х Л: любой монотонно невозрастающей действительной функции / гга Н отвечает идеал Ы/ = |(а, ?/) € Я х Я : У < /(а)} частично упорядоченного множества Я х Л
Используя это соответствие, можно по случайному монотонно невозрас-тающе.му полю £ на частично упорядоченном множестве Я построить меру на множестве С(Н х Л) идеалов частично упорядоченного множества Я х Л: если все реализации случайного поля £ на Я являются монотонно невозрастающими функциями, то мы можем определить меру // на С(Н х Л), полагая для некоторого подмножества А множества идеалов С(Н х Л)
^{А) = р[^ е гг1 л}
- при этом сигма-алгебра, на которой будет определена мера /х*, порождается
9
подмножествами А множества jC(HxR), для которых определено выражение в правой части данного соотношения.
Определим для любого конечного подмножества Л множества Н и любой функции х : Л —► R подмножество Y.\x множества II х R, как минимальный идеал частично упорядоченного множества II х R, порожденным элементами {(а,ж(а)), а G А}:
YAa: = U {(в', У') 6 Н х R : а! < а, у' < ж(а)} (4)
аеЛ
Множество Y,\x является обобщением диаграммы Юнга па случай частично упорядоченного множества II х R.
Заметим, что действительная функция / на II удовлетворяет системе неравенств /(а) > ж(а), а G Л в том и только в том случае, когда идеал U/ содержит идеал Y\x.
Отсюда вытекает, что если для некоторого случайного поля £ на Н соответствующая ему мера // на С{II х R) совпадает с некоторой геометрической мерой то для любого конечного подмножества А множества Я и любой функции х : Л —» R будет выполняться соотношение
р|^(а) > х(а) Va G л| = ехр (-/»(ya*))
Таким образом мы приходим к следующей задаче: построить по мере р па II х R случайное поле монотонно невозрастающее случайное поле т}р на Я такое, что для любого конечного подмножества А множества Я и любой функции х : Л —> R имеет место равенство
Р{^(а) > х(а) Va S л| = exp ^ (о)
Будем называть монотонно невозрастающее случайное ноле рР) удовлетворяющее данному условию для некоторой меры р, экспоненциально распреде-лениым случайным полем.
Цели и задачи диссертационной работы
Цели данной диссертационной работы:
• Построение по мере заданной на Я х Д, экспоненциально распределенного случайного поля т/р на II.
Описание множества мер, заданных на Н х Л, по которым можно построить экспоненциально распределенное случайное поле на Н.
• Исследование структуры конечномерных распределений экспоненциально распределенного случайного поля г}р
В данной работе, следуя [2] и [26], коррелятором ди меры и, определенной на частично упорядоченном множестве 5, мы называем действительную функцию па 5, определяемую следующим выражением: для любого х из 5
Заметим, что вероятность в левой части формулы (5) является коррелятором конечномерного распределения случайного поля 7]р.
Также заметим что конечномерные распределения экспоненциально распределенного случайного поля г/р однозначно определяются формулой (5). Тем не менее для проведения анализа структуры этих конечномерных распределений требуются дополнительные комбинаторно-геометрические построения.
В ходе исследования решались следующие задачи:
1. Описание мер, непрерывных снизу на частично упорядоченном множестве.
Построение по мере р, непрерывной снизу на Н х Л, экспоненциально распределенного случайного поля рр на Н.
11
2. Построение разложения конечномерного распределения монотонно невозрастающего случайного поля в сумму абсолютно непрерывной меры и сингулярных мер, сосредоточенных на подпространствах различной размерности.
Выражение сингулярных слагаемых этого разложения через односторонние частные производные коррелятора конечномерного распределения.
3. Выражение сингулярных составляющих конечномерного распределения экспоненциально распределенного случайного поля г]р через частные производные функции распределения меры р
4. Вычисление конечномерных распределений и вероятностных характеристик экспоненциально распределенного случайного поля т\р, в частном случае, когда мера р является прямым произведением некоторой меры 7 на Н и меры А+, являющейся ограничением меры Лебега А на положительную полуось В,л.: р = 7 х А+.
В процессе исследования пришлось решать также следующие задачи:
5. Описание свойств многогранного конуса всех монотонно невозрастающих функций на конечном частично упорядоченном множестве
6. Выражение распределений вероятности на гранях многогранного конуса через односторонние частные производные коррелятора.
7. Определение условий, при которых меры, заданные на алгебре, порожденной главными идеалами частично упорядоченного множества, и непрерывные снизу, могут быть продолжены на алгебру, порожденную всеми идеалами этого частично упорядоченного множества, при сохранении условия непрерывности снизу
12
Объект и предмет исследования
Объектом исследования данной диссертации являются монотонно невозрастающие случайные поля на частично упорядоченных множествах.
Предметом исследования данной диссертации являю гея экспоненциально распределенные случайные поля на частично упорядоченных множествах и структура их конечномерных распределений.
Заметим, однако, что, хотя предметом непосредственного исследования этой диссертации являются экспоненциально распределенные случайные поля, некоторые из полученных результатов относятся к монотонно невозрастающим случайным полям общего вида.
Методы исследования
В данной диссертационной работе используются методы теории вероятностей и теории меры (в частности, геометрической теории меры), теории частично упорядоченных множеств, теории решеток, а также теории многогранных конусов.
Научная новизна
Результаты данной диссертационной работы являются новыми. Исследование структуры конечномерных распределений случайных полей экспоненциального типа на частично упорядоченных множествах производится впервые.
Теоретическая и практическая ценность
Результаты, полученные в данной диссертационной работе, имеют теоретический характер.
Результаты работы могут быть использованы в дальнейших исследованиях при изучении монотонно невозрастающих полей на частично унорядо-
13
ченных множествах, а также при изучении моделей роста на произвольных частично упорядоченных множествах
Самостоятельный интерес представляет предложенный метод построения неотрицательно определенных и положительно определенных функций на частично упорядоченных множествах.
Апробация работы
Основные результаты диссертации докладывались на совместных научных семинарах кафедры теории вероятностей и математической статистики и кафедры математической логики и высшей алгебры факультета Вычислительной Математики и Кибернетики Нижегородского государственного университета им. Н.И.Лобачевского (сентябрь и октябрь 2006 года).
Также основные положения диссертации докладывались па семинаре в Добрушинской математической лаборатории Института проблем передачи информации им. А.А.Харкевича Российской академии наук (апрель 2006 го-да)
Также некоторые из результатов данной работы докладывались на четвертой молодежной научной школе по дискретной математике и ее приложениям, проходившей на механико-математическом факультете Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова (сентябрь 2000 года), и на VII Нижегородской сессии молодых ученых, проходившей в Саровс (май 2002 года).
Публикации
Результаты диссертации опубликованы в двух работах автора: [5, 6]. Перевод этих работ па английский язык см. в [18, 19].
14
Личный вклад автора
Все результаты, выносимые на защиту, получены автором самостоятельно.
Структура диссертации
Текст диссертации можно разделить на три части:
• в главах 1-3 методы геометрической теории меры и теории многогранных конусов используются, чтобы описать структуру конечномерного распределения монотонно нсвозрастающсго случайного поля;
• главы 4 и 5 посвящены построению экспоненциально распределенных случайных полей па частично упорядоченных множествах, исследованию конечномерных распределений этих полей, и вычислению их веро-ятіюстных характеристик;
• в главе 6 результаты главы 5 используются для построения неотрицательно определенных и положительно определенных функций на частично упорядоченных множествах.
Опишем план диссертации.
Глава 1. “Конечномерные распределения монотонно невозрастающих случайных полей на частично упорядоченных множествах”
В этой главе описывается структура конечномерных распределений монотонно невозрастающего случайного поля на частично упорядоченном множестве.
§1.1 Вычисление конечномерных распределений монотонно нсвозраста-ющих случайных полей на частично упорядоченных множествах по коррелятору
15
В этом параграфе формулируется теорема 1.1, описывающая структуру конечномерных распределений монотонно невозрастающего случайного поля в виде суммы абсолютно непрерывной меры и сингулярных мер, сосредоточенных на подпространствах различной размерности, и дающая формулу для вычисления абсолютно непрерывной и сингулярных слагаемых этой суммы через производные коррелятора.
• Доказательство теоремы 1.1 дано в параграфе §3.3, поскольку это доказательство опирается па теорему 2.1 из параграфа §2.3 и теорему 3.1 из параграфа §3.1.
Глава 2. “Распределения вероятностей на многогранных конусах”
В этой главе рассматриваются меры на конусах и устанавливаются условия, обеспечивающие возможность представления меры на конусе в виде суммы мер, каждая из которых будет сосредоточена на некоторой грани конуса и абсолютно непрерывна относительно меры Лебега на этой грани.
Данная глава не использует другие результаты данной диссертации, и может рассматриваться отдельно от прочих глав.
Результаты данной главы используются ниже в главе 3.
§2.1 Разложение вероятностной меры на многогранном конусе в сумму мер на гранях
В этом параграфе даются основные определения, относящиеся к теории многогранных конусов.
§2.2 Определение граней, правильно рассекающих блоки.
В этом параграфе вводятся дополнительные определения, которые используются в данной главе. В частности, вводится определение граней, правильно рассекающих блоки.
16
§2.3 Вычисление распределений вероятности па гранях, правильно рассекающих блоки, по коррелятору
В этом параграфе формулируется теорема 2.1, описывающая свойства меры, сосредоточенной на конусе с гранями, правильно рассекающими блоки. Эта теорема устанавливает связь между следами распределения на гранях конуса и коррелятором.
§2.4 Примеры связи между следами распределений вероятностей па гранях конуса и корреляторами
В этом параграфе дастся пример, в котором упомянутая вышс-связь демонстрируется в простом случае, не требующем применения теоремы 2.1, а также даются два примера, демонстрирующие, что никакие из условий теоремы 2.1 не могут быть отброшены.
§2.5 Условия, обеспечивающие правильное рассечение блоков
В этом параграфе формулируется теорема 2.2, позволяющая определять грани, правильно рассекающие блоки, и теорема 2.3, описывающая свойства таких граней.
§2.6 Примеры многогранных конусов с гранями, правильно рассекающими блоки.
Глава 3. “Свойства граней конуса монотонно невозрастающих функций. Доказательство теоремы 1.1.”
В этой главе результаты главы 2 используются для исследования свойств граней конуса монотонно невозрастающих функций на конечном частично упорядоченном множестве.
§3.1 Описание свойств граней конуса монотонно псиозрастающих функций
17
В этом параграфо формулируется теорема 3.1, дающая описание свойств граней конуса монотонно невозрастающих функций. Эта теорема используется в доказательстве теоремы 1.1 из §1.1.
§3.2 Доказательство теоремы 3.1 из §3.1
§3.3 Доказательство теоремы 1.1 из §1.1
Глава 4. “Непрерывные снизу меры на частично упорядоченных множествах”
В этой главе мы описываем классы мер, по которым (как будет показано в теореме 5.1 параграфа §4.1) можно построить экспоненциально распределенные поля.
§4.1 Продолжение мер, непрерывных снизу, на алгебру, порожденную идеалами частично упорядоченного множества
В этом параграфе приводятся необходимые определения из теории частично упорядоченных множеств.
Здесь также определяются понятия “непрерывности снизу” и “регулярности снизу” для мер на частично упорядоченных множествах. Также в этом параграфе формулируется теорема 4.1 о продолжении конечно-аддитивной меры р с алгебры множеств Ао(Н). порожденной главными идеалами частично упорядоченного множества II, до регулярной снизу меры р на алгебре множеств А(Н)> порожденной всеми идеалами частично упорядоченного множества Я.
§4.2 Пример меры, не продолжаемой по непрерывности снизу
В этом параграфе дается пример, демонстрирующий, что нельзя ослабить условия на меру р в теореме 4.1.
§4.3 Доказательство теоремы 3.1
18
Глава 5. “Экспоненциально распределенные случайные поля на частично упорядоченных множествах”
В этой главе описывается метод построения экспоненциально распределенных случайных полей на частично упорядоченных множествах. Также в этой главе описывается структура конечномерных распределений экспоненциально распределенных случайных полей и вычисляются характеристики экспоненциально распределенных случайных полей в некоторых частных случаях.
§5.1 11остроснис экспоненциально распределенных случайных полей па частично упорядоченных множествах по мерам, непрерывным снизу
В этом параграфе дается формулировка теоремы 5.1, позволяющей построить экспоненциально распределенное случайное поле на частично упорядоченном множестве Я по непрерывной снизу мере на Я х Я.
Также в этом параграфе дается формулировка теоремы 5.2, позволяющей значительно упростить требования на меру в теореме 5.1 в случае, когда частично упорядоченное множество Я — Л-полурешетка.
§5.2 Конечномерные распределения экспоненциально распределенных случайных полей, построенных по мерам, непрерывным снизу
В этом параграфе дается формулировка теоремы 5.3, позволяющей вычислять корреляторы конечномерных распределений экспоненциально распределенного случайного поля.
Также в этом параграфе формулируется теорема 5.4. описывающая структуру конечномерных распределений экспоненциаль-
19
но распределенного случайного поля т)р в виде суммы абсолютно непрерывной меры и сингулярных мер, сосредоточенных на подпространствах различной размерности,и дающая формулу для вычисления абсолютно непрерывной и сингулярных слагаемых этой суммы через производные функции распределения меры р (эта теорема опирается на теорему 1.1 из параграфа §2.1).
§5.3 Экспоненциально распределенные случайные поля на полурешет-ке, построенные с помощью прямого произведения мер.
В этом параграфе:
• рассматривается экспоненциально распределенное случайное поле Г}р в частном случае, когда мера р на Н х R является прямым произведением произвольной меры 7 на Н и меры A.J., являющейся ограничением меры Лебега действительной оси на множество всех положительных чисел (р = 7 х Аа_).
• формулируется теорема 5.5, позволяющая вычислять корреляторы конечномерных распределений случайного поля г/р в данном частном случае.
• формулируется теорема 5.(3, позволяющая выражать сингулярные составляющие конечномерных распределений случайного поля 7-jp в данном частном случае.
• формулируется теорема 5.7, позволяющая вычислять характеристики случайного поля т}р в данном частном случае.
§5.4 Доказательство теоремы 4.1 из §4.1
§5.5 Доказательство теоремы 4.2 из §4.1
§5.6 Доказательство теоремы 4.3 из §4.2
§5.7 Доказательство теоремы 4.4 из §4.2
20