ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 3
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ 8
1.1. Вопрос аффинности и замкнутости области сумм 8
1.2. Перестановки несобственных интегралов 10
2. ПЕРЕСТАНОВКИ ИНТЕГРАЛОВ 11
2.1. Изоморфизмы пространств с мерами 11
2.1.1. Метрическая булева алгебра 11
2.1.2. Точечный изоморфизм измеримых пространств 12
2.1.3. Изоморфизм измеримых пространств 13
2.1.4. Взаимосвязь изоморфизма и точечного изоморфизма измеримого пространства 14
2.2. Перестановки несобственных интегралов 16
2.3. Невозрастающие перестановки функций Харди-Литтльвуда 25
2.4. Связь перестановок и невозрастающих перестановок функций Харди-
Литтл ьву да 27
3. ОБЛАСТЬ СУММ ИНТЕГРАЛА 31
3.1. Область сумм интегральною аналога ряда Марцинкевича - Никишина -
Корнилова 32
3.2. Область сумм интегрального аналога ряда с двухточечной областью
сумм 50
3.3. О линейности области сумм интеграла в конечномерном нормированном
пространстве 61
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 71
ЛИТЕРАТУРА 72
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность работы. В задаче 106 «Шотландской книги» [24] С. Банах
ос
сформулировал следующую проблему. Пусть - такой ряд в банаховом
пространстве, что при двух определенных упорядочиваниях слагаемых его сумма равна у0 и у1 соответственно. Доказать, что для любого вещественного / существует такое упорядочивание слагаемых данного ряда, что сумма равна
Ьо + (х - %] •
оо
М. И. Кадсц [5] ввел определение области сулш ряда / ]хп векторов ба-
П = 1
нахова пространства X как множества всех таких у Е X, что при некоторой
03
перестановке тт натуральных чисел ряд У"^3уя? сходится к у. В случае услов-
71=1
но сходящихся числовых рядов согласно классической теореме Римана область сумм совпадает с множеством всех вещественных чисел.. Для рядов комплексных чисел описание области сумм было дано П. Леви в 1905. Е. Штейниц [22] в
• оо
1913 доказал следующую теорему: область сумм ряда У\хп в т -мерном про-
п=1
странстве X есть подпространство вида 5 + Г0, где 5 - сумма указанного ряда
оо оо
, Г0 -аниулятор множества Г = {/ Е Х*\ }(%п) | сходится }.
п=1 П=1
В бесконечномерном банаховом пространстве аналог теоремы Штейница не верен, и область сумм ряда может быть нелинейной (Марцинкевич [23], Е. Никишин [10]), незамкнутой (М. И. Островский [17]), состоять из нескольких точек (М.И. Кадец и К. Возняковский [20], П. А. Корнилов [7]).
Из курса анализа хорошо известна аналогия между свойствами числовых рядов и несобственных интегралов. Естественно возникает вопрос: что можно сказать о множестве тех чисел или векторов, к которым сходится «перестанов-
4
♦+oo
ка» условно сходящегося интеграла ^ /(х)(1х? Останется ли справедливым
о
аналог теоремы Римана, аналог теоремы Штейница? Каковы свойства «области сумм» несобственного интеграла в бесконечномерном пространстве и что можно сказать относительно интегральных аналогов рядов, для которых не выполняется утверждение теоремы Штейница? Эти вопросы изучаются в данной работе.
Цель работы. Целью работы является получение новых результатов о свойствах перестановок и областей сумм несобственных интеграловв банаховых пространствах, исследование интегральных аналогов рядов с нелинейной областью сумм.
Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми. К основным результатам работы можно отнести следующие.
1. Рассмотрено новое понятие - перестановка измеримого пространства. Установлена связь между автоморфизмами метрической булевой алгебры и пе-рестановками на измеримом пространстве Лебега-Рохлина. Установлена связь между невозрастающими перестановками функций Харди-Литтльвуда и перестановками на измеримом пространстве ([0.4-оо);р), где [ь - мера Лебега.
2. Доказано, что область сумм интегрального аналога ряда Марцинкеви-ча-Никишина-Корнилова совпадает с пространством £?>[0,1].
3. Доказано, что область сумм интегрального аналога ряда Корнилова (область сумм ряда состоит из двух точек) совпадает с множеством постоянных функций пространства £р[0Д].
4. Рассмотрен подкласс перестановок л пространства ^[0,+оо),р.), где
N
р - мера Лебега, со свойством л[а,6) = (^| [с 1, с1п) для любых неотрицательных
п=1
чисел а, Ь. Доказано, что область сумм несобственного интеграла в любом ко-
5
нечномерном нормированном пространстве при указанных перестановках является аффинным множеством.
Практическая значимость работы. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть полезны специалистам, работающим в областях функционального анализа, связанных с рядами, теорией меры, интегралами Лебега-Бохнера.
Апробация работы. Основные результаты и положения работы были доложены:
- на ХЫУ, ХЬУ и Х1/У1 международных научных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс», г. Новосибирск, 2006 г., 2007 г. и 2008 г.
- на научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов ММФ, посвященной трехсотлетию со дня рождения Леонарда Эйлера,
г. Томск, 2007 г.
- на XV международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов», г. Москва, 2008 г.
- на международной конференции «Современные проблемы анализа и геометрии», г. Новосибирск, 2009 г.
- на семинарах по функциональному анализу кафедры математического анализа Томского государственного университета, 2006 г., 2007 г., 2008 г., 2009 г.
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 2 статьи и 4 тезиса докладов.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы, содержащей 24 наименования. Первая глава состоит из двух разделов, вторая - из четырех разделов, третья - из трех разделов. Объем диссертации - 74 страницы.
6
Основное содержание работы.
В первой главе рассматривается основной вопрос, какой может быть область сумм ряда в банаховом пространстве. Приводятся некоторые известные результаты для конечномерного и бесконечномерного случая. Затем проводится аналогия между рядами и несобственными интегралами, и ставятся базовые вопросы: «Что можно сказать об области сумм несобственного интеграла в банаховом пространстве?», «Является ли это множество линейным, замкнутым?», «Что следует считать перестановкой интеграла и каковы ее свойства?».
Во второй главе вводится определение перестановки на измеримом пространстве. Доказываются простейшие свойства: относительно композиции перестановок, обратного отображение от перестановки. Доказывается, что перестановка не изменяет значения интеграла Лебега-Бохнера. Приводятся примеры. Затем приводится конструкция метрической булевой алгебры, формулируются основные результаты относительно ее изоморфизмов, и доказывается теорема об эквивалентности перестановок на измеримом пространстве Лебега-Рохлина и автоморфизмов метрической булевой алгебры. Далее устанавлива-
ть - мера Лебега, и невозрастающими перестановками функций Харди-Литтльвуда.
В третьей главе вводится определение области сумм несобственного интеграла Лебега-Бохнера. на множестве [0,+оо) от функции, принимающей значения в банаховом пространстве. Затем приводится конструкция ряда Мар-цинкевича, у которого область сумм равна множеству всех функций пространства Ьр[0,1], принимающих целочисленные значения. Доказывается, что область сумм его интегрального аналога совпадает со всем пространством Ьр[0,1). Далее приводится конструкция ряда Корнилова, область сумм которого
ется связь между перестановками на измеримом пространстве
- Київ+380960830922