Разрушение решений смешанных краевых задач для уравнений соболевского типа

Оглавление
Введение 4
Список обозначений 15
1 Глобальпая разрешимость смешанной краевой задачи для линейного уравнения тика Соболева 17
1.1 Постановка задачи..................................................... 17
1.2 Существование классическою решения.................................... 19
1.2.1 Вспомогательная лемма.......................................... 19
1.2.2 Задача с нулевым начальным условием ........................... 23
1.2.3 Задача с ненулевым начальным условием.......................... 33
1.3 К^цинственность классического решения ................................ 35
2 Разрушение решепия нелинейного нелокального уравнения Соболевского тина 37
2.1 Постановка задачи .................................................. 37
2.2 Локальная разрешимость в сильном обобщенном смысле ................ 38
2.3 Необходимые и достаточные условия разрушения сильного обобщенною решении................................................................... 44
3 Разрушение решения нелинейной системы уравнений тина Соболева 49
3.1 Постановка задачи.................................................... 49
3.2 Локальная разрешимость в сильном обобщенном смысле ................ 50
3.3 Разрушение сильного обобщенною решения за конечный промежуток времени................................................................... 55
4 Разрушение решения смешанной задачи для обобщенного уравнения Буссинеска с нелинейным граничным условием 59
4.1 Постановка задачи.................................................. 59
4.2 Локальная разрешимость в слабом обобщенном смысле.................. 60
4.3 Единственность слабою обобщенною решения ........................... 67
2
4.4 Разрушение слабого обобщенною решения за конечный промежуток
времени............................................................. 68
Заключение
3
Введение
Исследованию разнообразных начальных и начально-краевых задач для уравнении типа Соболева посвящено большое количество работ. Причем но всей видимости первым сторогим математическим наследованием задач для уравнений не типа Кошм-Ковалевской является пионерская работа С. Л. Соболева [1]. Данная работа вызвала большой интерес к исследованию ыеклассических уравнений, названных уравнениями типа Соболева. В работе (1| было выведено линейное уравнение, описывающее малые колебания во вращающейся жидкости
д2 /д2и д2и д2и\ 2д2и _
№ дх% + дх1/ + а &Х1
Исследования С.Л. Соболева были продолжены 1>. А. Александрином |2),
В. Н. Масленниковой [3], В. П. Масловым [4], Т. И. Зеленяком [5],
Н. Д. Копачевским [б, 7|, С. А. Габовым и А. Г. Свешниковым |8, 9]. Среди работ, продолживших исследования С. Л. Соболева, уместно отметить работы М. И. Виши ка |10] и С. А. Гальнерна [11, 12), в которых рассматривались начально-краевые задачи для уравнений, обобщающих указанное уравнение.
Отметим, что в монографии [8] были рассмотрены вопросы глобальной во времени разрешимости начальнокраевых задач для уравнений возникающих в так называемых стратифицированных жидкостях и стратифицированных, вращающихся жидкостях. Был предложен оригинальный метод редукции рассматриваемых начальнокраевых задач к сингулярным интегральным уравнениям посредством так называемых динамических потенциалов. Полученные интегральные представления решений началыюкраеиых задач имеют весьма удобный вид для аналитических исследований таких свойств решений как асимптотическое поведение решений при больших временах, а так же дли численного моделирования происходящих в стратифицированных жидкостях процессов. Так было выявлено наличие в стратифицированных жидкостях чрезвычайно любопытного эффекта “квазифронта”. В стратифицированной среде, где в предположении несжимаемости все возмущения должны распространяться с бесконечной скоростью, при наличии точечного мгновенного источника распространяется волновой фронт, скорость которого конечна.
4
Причем этот волновой фронт имеет вид шлейфа осцилляций и экспоненциально малого предвестника. В случае только вращающейся жидкости указанный эффект не имеет места.
Иследования вопросов динамики стратифицированных жидкостей были продолжены учениками С. Л. Габова и Л. Г. Свешникова. Именно, в работах Ю. Д. Плетнера [13), С. Т. Симакова [14], П. А. Крутицкою [15]. В этих работах, при помощи фундаментальных и сингулярных решений операторов внутренних волн, т. е. волн внутри стратифицированной жидкости, были построены динамические потенциалы, с номощью которых были получены явные интегральные представления решений начально-краевых задач с негладкой границей. Отметим, так же работу
С. Я. Секерж-Зеньковича [1б|, где впервые, на основе преобразования Фурье, было построено фундаментальное решение оператора внутренних гравитационных волн, уравнение которых имеет вид
~ (Али - р2и) + и2А2и = О,
где в - параметр стратификации, о>о - частота Вейсяля-Брента.
В работах 10. Д. Плетнера |17| - [19) была обнаружена тесная связь между уравнениями тина Соболева и связанным с каждым конкрентным уравнением типа Соболева эллиптическим уравнением. Именно, в ходе исследования частных начально-краевых задач для уравнений внутренних волн было замечено, что свойства их решений как функций пространственных переменных близки к свойствам решений некоторого эллиптического уравнения. В частности, речь идет о таком свойстве, как аналитичность ио пространственным переменным. Кроме того, исходная система уравнений внутренних воли близка к классической системе Коши-Римаиа. Оказалось например, что линейные уравнения внутренних волн можно интегрированием по временной переменной необходимое число раз представить в следующем виде
з 1
Е11 + фнё-^ = 0- [<кФ{1-з)и{з), Ф(/,)<еС(2)([0,-}-оо).
-1 Х* {
Из данною вида и важною свойства вольтерровских операторов — равенства нулю спектральною радиуса — следует, что указанное ингегродифференциальное уравнение можно рассматривать как регулярно возмущенное вольтерровскими операторами эллиптическое уравнение
Е§-А=о.
*=1 *
Указанная связь оказалась весьма плодотворной при исследовании начально-краевых задач для двумерных уравнений внутренних гравитационных и ионно-звуковых волн
5
в случае областей с негладкой границей |201 - (23). Кроме тот, в работе [24] были обнаружены модельные уравнения тииа Соболева высокою, например восьмого, порядка в линейной теории плазмы и линейной теории спиновых воли во внешнем магнитном поле, исследование которых, как дифференциальных операторов высокого порядка, гораздо сложнее чем ишегродифференциальных уравнений второю порядка. Отметим также, что в работе [25] были получены модельные уравнения типа Соболева третьего порядка с производной по времени первою порядка, т. с. так называемые уравнения псевдопараболическою тина [26].
Перейдем теперь к обзору результатов по исследованию подкласса уравиеиий типа Соболева - нсевдопараболических уравнений [26]. Все уравнения, для которых поставлены рассматриваемые в данной диссертации задачи, относятся именно к этому типу соболевских уравнений. Здесь следует уточнит!» терминологию. Под нсевдоиараболичсскими уравнениями мы подразумеваем все уравнения не типа Коши-Ковалевской высокого порядка с производной но времени первого порядка вида
§1 (А(и)) + В(а) = О,
где А(и) и Щи) - это эллиптические, и, вообще говоря, нелинейные операторы.
В работе Г. И. Баренблатта, Ю. П. Желтова, И. Н. Кочнной [27], по всей видимости, впервые математически строго было получено линейное псевдопарабол и ческое уравнение
О
щ (Аи + си) + Ли = 0, с € Е^!\{0}
описывающее нестационарный процесс фильтрации в трещиновато - пористой жидкости. В работах А. П. Осколкова [28] , Е. С. Дзекцера [20], 10. И. Работнова |30, 31) и Г. А. Свиридюка [32, 33] были получены новые уравнения псевдопараболическою типа. Следует упомянуть также работы [34, 35] где были выведены самые разнообразные уравнения псевдопараболическою типа: линейные, нелинейные, нелокальные, третьего и пятого порядков и т. II.
Перечень работ, посвященных изучению нелинейных уравнений псевдонараболичеекого типа, весьма обширен. Волновые уравнения третьего порядка исследовались в работах [36] - [51]. В частности, рассматривались начальные, начально-краевые и периодические задачи, для которых исследовались вопросы глобальной во
времени разрешимости и разрушения. В случае глобальной во времени разрешимости
исследовались вопросы асимптотического поведения решений рассматриваемых задач при больших временах, теория рассеяния и устойчивость решений типа уединенных волн как для одномерных так и для многомерных уравнений типа Бенджамена-Боиа-Махони и Венджамена-Бона-Махони-Бюргерса:
д . . _
(ихх - и) + их + иих + ихх = 0.
6