Оглавление
Глапа 1. Введение
1.1. Исторический обзор
1.2. Краткое содержание работы
1.3. Доклады и публикации
Глава 2. Предварительные сведения
2.1. Задача об оптимальном восстановлении линейного оператора
2.2. Две леммы
2.3. Общие сведения
Глава 3. Оптимальное восстановление решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа по неточным исходным данным
3.1. Оптимальное восстановление решения задачи Дирихле на сфере радиуса г по неточно заданной информации на сферах радиусов и
^1 Т < /?2
3.2. Оптимальное восстановление решения задачи Дирихле в (/-мерном единичном шаре (с/ > 2).
3.3. Оптимальное восстановление решения задачи Дирихле в (/-мерном шаровом поясе по неточно заданным граничным условиям (с/ > 2).
Глава 4. Восстановление решения обобщенного уравнения Пуассона
4.1. Общая задача оптимального восстановления решения обобщенного уравнения Пуассона
4.2. Оптимальное восстановление решения обобщенного уравнения Пуассона в шаре
4.3. Оптимальное восстановление решения обобщенного уравнения Пуассона на единичной сфере
Литература
2
2
4
б
7
7
12
18
27
27
34
44
57
57
71
75
81
1
Глава 1
Введение
1.1. Исторический обзор
В работе рассматривается задача оптимального восстановления решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в (/-мерном шаре и d-мерном шаровом поясе но неточно заданным граничным условиям. Кроме этого, решается задача оптимального восстановления решения уравнения Пуассона с нулевыми граничными условиями но неточно заданной правой части уравнения.
В 1965г. С. А. Смоляком была поставлена задача об оптимальном восстановлении линейного функционала х' на некотором подмножестве W из линейного пространства X по значениям линейных функционалов х[,... ,х'п. Выло введено понятие погрешности оптимального восстановления, которая определялась формулой
е(х\ W, I) = inf sup I <х',х> -ip(Ix)I,
xeW
где Ix := (< x\,x >,...,< x'n,x >). Метод v?, на котором достигалась нижняя грань, назывался оптимальным. С. А. Смоляк доказал, что в случае, когда W—выпуклое множество, среди оптимальных методов есть аффинный, а если Ж—выпуклое уравновешенное множество, то среди оптимальных методов есть линейный. Эта постановка, идейно восходящая к работам А.Н.Колмогорова, послужила началом направления, котороое в дальнейшем стало называться теорией оптимального восстановления.
Приблизительно в это же время С. Б. Стечкиным была поставлена близкая к рассматриваемой задача о приближении неограниченного оператора ограниченным. Исследования задачи Стечкина, проведенные В. В. Арестовым и В. Н. Габушиным, выявили ее тесную связь с оптимальным восстановлением по приближённой информации. В 1976г. К. 10. Осипенко обобщил теорему Смоляка на комплексный случай и решил ряд конкретных задач оптимального восстановления на классах ограниченных аналитических функций. С конца 70-х годов оптимальным восстановлением активно занимались американские математики
Ч. Мичелли и Т. Ривлин, значительно расширившие исходную постановку, специалисты по оптимальным алгоритмам Дж. Трауб, X. Вожньяковский и др.
2
1.1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР 3
В начале этого десятилетия в работах Г. Г. Магарил-Ильяева и К. Ю. Осипенко был разработан метод оптимального восстановления линейного оператора по неточным исходным данным. Эта проблематика тесно связана решением некоторых экстремальных задач, берущих начало от одной экстремальной задачи, известной как теорема Адамара о трёх кругах. Имеется голоморфная функция f(z), определенная в кольце П < г < г2. Пусть
М(г) = тах|/й|.
|г|=г
Тогда In М(г) есть выпуклая функция от In г, и результат теоремы можно сформулировать в виде неравенства
!п(гг/г) In (г/г,)
М(т) < М(г2)1п(г^ГУ,
справедливое для любых трех концентрических окружностей радиусов Г! < Г < 7*2-
Теорема, известная как теорема Адамара о трёх кругах, была сформулирована и доказана Дж. Е. Литтлвудом в 1912г., но он не упоминал о её авторстве, рассматривая как известный факт. Г. Вор и Е. Ландау утверждали, что теорема впервые была сформулирована Д. Адамаром в 1896г., хотя Адамар не опубликовал её доказательства.
Теорема о трёх кругах даёт значение следующей экстремальной задачи
М(т) —► шах, М(г\) < М(г2) < 62.
Точное решение этой задачи, выраженное через эллиптические функции, было получено Р. М. Робинсоном в 1943г.
В 1913г. Е. Ландау рассмотрел похожую задачу, где роль кругов выполняли производные, и показал, что для любых функций /, / £ Loo(R+), с первой производной, локально абсолютно непрерывной на и f" е Д,о(К+), имеет место неравенство
И® IU»(R+) ^ Наг/,||/ео(к+)*
Таким образом, было найдено точное решение экстремальной задачи
llz'IUooCR.}.) шах, Il®#/||x»oo0*+) ^
В 1914г. Адамар решил аналогичную задачу для R.
В 1938г. А. Н. Колмогоров получил общий результат в этой области, построив точное решение экстремальной задачи
II^’IIwr) -*■ max> IMIb»(B> < <*1. ||rt(m)||iee(H+) < <52, 1 < к < т.
Этот класс экстремальных задач известен как неравенства Ландау-Колмогорова для производных, и эти задачи подобны задаче Адамара о трёх кругах.
1.2. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
4
Экстремальные задачи типа теоремы Адамара о трёх кругах тесно снизаны с задачами оптимального восстановления. Оказывается, что почти с каждой такой задачей можно связать некоторую задачу об оптимальном восстановлении оператора. И наоборот, задачи оптимального восстановления линейного оператора, как правило, сводятся к решению некоторой экстремальной задачи типа теоремы Адамара о трёх кругах.
1.2. Краткое содержание работы
Во 2-й главе рассматривается общая постановка задачи оптимального восстановления линейного оператора: для векторного пространства X, нормированного пространства X и линейного оператора Т требуется восстановить значения Т на некотором множестве \У с X по неточной информации о каждом элементе х € IV, задаваемой с помощью некоторого информационного отображения /(х), вообще говоря, многозначного, из IV в векторное пространство У. Даются определения понятий погрешности восстановления для данного метода (р, погрешности оптимального восстановления и оптимального метода восстановления. Описывается метод оптимального восстановления линейного оператора по информации, заданной с погрешностью, разработанный в работах Г. Г. Магарил-Ильяева и К. Ю. Осипенко. Сформулирован ряд результатов этих авторов, показывающий, что существенной частью построения оптимального метода является решение экстремальных задач типа теоремы о трёх кругах Адамара, а выражение для погрешности оптимального метода является значением задачи такого типа. Эти результаты были использованы при решении задач, рассмотренных в главах 3 и 4.
Далее, в пункте 2.2, рассмотрены две экстремальные задачи, представляющие из себя задачи линейного программирования, и сформулированы и доказаны леммы 1 и 2, дающие точные решения этих задач. Эти результаты используются в главе 4 данной работы.
В пункте 2.3 приведены сведения, обосновывающие правомерность тех подходов, которые использован»,! в третьей и четвёртой главах при решении задач оптимального восстановления решений уравнений Лапласа и Пуассона по неточной исходной информации. Указаны классы, которым принадлежат обобщённые решения этих задач, приведены формулировки теорем, позволяющие искать решения в виде соответствующих рядов. Приводится краткая информация о сферических функциях, которые используются при решении задач в главах 3 и 4.
В 3-й главе рассматриваются три задачи оптимального восстановления решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа по неточной информации о граничных функциях.
1.2. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
5
В пункте 3.1 рассматривается задача о восстанавлении решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в (/-мерном единичном шаре на сфере радиуса г по следам решения на сферах радиусов /?1 и Яг, заданным приближённо, 0 < Я, < г < Я2 < 1. Предполагается, что приближённо заданные следы
принадлежат пространству где З**"1—единичная ((/ - 1)-
мерная сфера в пространстве К*. Для данной задачи сформулирована и доказана теорема 10, которая позволяет вычислить оптимальную погрешность восстановления. Кроме того, предложен метод оптимального восстановления, имеющий линейную структуру.
В пунктах 3.2 и 3.3 сформулированы задачи оптимального восстановления решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в (/-мерном шаре Ви((1 > 2) и в (/-мерном шаровом поясе ((/ > 2) по неточно заданным граничным функциям. Предполагается, что функции принадлежат некоторому классу из Ь2(§<1~1) и известно конечное число коэффициентов их разложений в ряды Фурье по шаровым функциям, причём эти коэффициенты известны с погрешностями. Рассмотрены два случая определения погрешностей (в среднеквадратичной и равномерной метриках), для каждого из этих случаев сформулированы и доказаны теоремы 11— 12 и 13—14, позволяющие вычислить величины оптимальных погрешностей восстановления, а также предложены оптимальные методы восстановления.
В 4-й главе решается задача об оптимальном восстановлении решения обобщённого уравнения Пуассона.
В пункте 3.1 рассматривается задача оптимального восстановления решения обобщённого уравнения Пуассона для ограниченной области ф с нулевым граничным условием на границе области дСПравая часть уравнения представлена своим разложением в ряд Фурье но собственным функциям линейного дифференциального оператора левой части уравнения для области ф. Предполагается, что функция, описывающая правую часть уравнения, принадлежит некоторому классу №(д(2), и известно конечное число коэффициентов её разложения, причём эти коэффициенты заданы с погрешностями. Рассмотрены два случая задания погрешности (в евклидовой и равномерной метриках,) сформулированы и доказаны теоремы 15 и 16, соответствующие этим случаям. Построены формулы для вычисления значений погрешностей оптимального восстановления и предложены оптимальные методы восстановления.
В пункте 4.2 приведён пример применения результатов, полученных в пункте 4.1. Здесь рассматривается задача оптимального восстановления решения задачи Дирихле с нулевым граничным
- Київ+380960830922