Глобальные теоремы существования для многомерных уравнений сжимаемых неньютоновских жидкостей в пространствах Орлича

Оглавление
Введение. 6
0.1 Актуальность теорем о математической корректности для
уравнений механики сплошных сред........................... 6
0.2 Уравнения движения вязких сжимаемых жидкостей.............. 7
0.3 Уравнения движения неньютоновских сжимаемых жидкостей 11
0.4 Обзор результатов по разрешимости уравнений вязких сжимаемых жидкостей............................................... 13
0.5 Обзор результатов по разрешимости уравнений несжимаемых иеиыотоновеких жидкостей................................... 19
0.6 Проблематика диссертации.................................. 22
0.7 Краткий обзор по теории пространств Орлича и экстраполяции ......................................................... 28
0.8 Краткий обзор содержания диссертации...................... 30
0.9 Публикации и соавторство ................................. 36
Глава 1. Подготовительные сведения. 37
1.1 Пространства Орлича....................................... 37
1.2 Пространства Соболева—Орлича.............................. 43
1.3 Свойства »-слабой топологии............................... 48
1.4 Прочие вспомогательные утверждения........................ 53
Глава 2. Точные классы корректности уравнений переноса в пространствах Орлича. 57
2.1 Класс К и траектории...................................... 61
2.2 Исследование неравенства (2.0.5).......................... 64
1
2.3 Априорные оценки и существование решений задач (2.0.1),
(2.0.2) в случае М € К.................................... 68
2.4 Единственность решений и классы корректности...............73
2.5 Контрпримеры в случае М £ К,.............................. 78
2.6 Вспомогательные операторы А и В........................... 80
2.7 Обобщение на случай наличия слабой нелинейности — общие соображения 83
2.8 Предварительные сведения. Формулировка базовых условий
на нелинейность со в (2.7.1)............................... 85
2.9 Анализ соотношения (2.8.9)................................ 88
2.10 Два пути вывода оценки (2.8.6)]. Формулировка всех условий на нелинейность и........................................... 92
2.11 Корректность задачи (2.7.1 )-(2.7.3)...................... 96
Глава 3. Интегральные преобразования функций Юнга и
экстраполяционные свойства пространств Орлича. 101
3.1 Интегральные представления И-функций......................104
3.1.1 Случай (3 = -|-оо....................................110
3.1.2 Случай /3 < Ч-оо......................................ИЗ
3.2 Специальные интегральные преобразования
М-функций..................................................117
3.3 Восстановление по его характеристике ц>.....................131
3.3.1 Описание класса А....................................132
3.3.2 Описание класса В....................................133
3.3.3 Описание класса С....................................138
3.4 Предварительные итоги.....................................144
3.4.1 Резюме пп. 3.1-3.3...................................144
3.4.2 О функции Шф и операторе ............................147
3.4.3 О природе класса Т>({3)..............................151
3.4.4 О суперпозиции и упорядочивании преобразований
в терминах их пороговых функций.................153
3.4.5 О приложениях к теории экстраполяции.................155
2
3.5 О пространствах Орлича как экстраполяционных пространствах : і юстаї юнка задач и...................................158
3.6 Предварительные построения.................................160
3.7 Внутренние отношения между разными
пространствами и Ewß......................................165
3.8 Отношения между Еш$ и пространствами Лоренца, Марцинкевича и Орлича..........................................167
3.9 Дополнительные свойства, связанные с Scoo[£]...............171
3.10 О случае функций со, эквивалентных постоянным.............174
3.11 Об оптимальности Теорем 3.8.6 и 3.8.7.....................178
3.12 Резюме экстраполяционных результатов......................181
Глава 4. Глобальные решения для модели Бюргерса. 183
4.1 Априорные оценки...........................................184
4/2 Конструкция приближенных решений...........................188
4.3 Разрешимость основной задачи...............................192
4.3.1 Предельный переход в конвективных членах............192
4.3.2 Соображения монотонности............................194
4.3.3 Энергетическое равенство............................196
4.3.4 Завершение доказательства...........................198
4.4 Дополнительные замечания...................................198
4.4.1 Закон сохранения массы..............................198
4.4.2 О коэффициентах вязкости (об условиях (4.0.6)). . . . 199
4.4.3 О начальной скорости и внешних силах................201
4.4.4 О положительности плотности.........................201
Глава 5. Глобальные решения для модели с давлением. 202
5.1 Разрешимость релаксированной стационарной задачи 205
5.2 Разрепі и мость основі юй задачи...........................211
5.2.1 Построение приближенных решений.....................212
5.2.2 Продельный переход — первый этап....................216
5.2.3 Энергетическое равенство............................220
5.2.4 Завершение доказательства...........................222
3
5.2.5 Закон сохранения массы
223
Глава 6. Глобальные решения для модели Бингама. 225
6.1 Постановка задачи Л........................................227
6.1.1 Условия на стоксову составляющую.....................227
6.1.2 Условия на бингамовскую составляющую.................229
6.1.3 Формулировка задачи..................................231
6.1.4 Регул яризаци я.....................................231
6.2 Построение Рбг и нетривиальных пар (Р,Т).................232
6.2.1 Аппроксимирующие тензоры напряжений..................232
6.2.2 Примеры «несферических» тензоров.....................234
6.3 Разрешимость задачи А......................................238
6.3.1 Формулировка результата..............................239
6.3.2 Этап I: равномерные по е оценки, слабые пределы. . . 241
6.3.3 Этап II: сравнение энергетических равенств...........242
6.3.4 Этап III: соображения монотонности...................243
6.3.5 Этап IV: частичное использование (6.3.19) и «снятие
черт» в (6.3.14) и (6.3.16); сильная сходимость.....244
6.3.6 Этап V: «снятие черт» в (6.3.12).....................245
Глава 7. Общая конструкция оценок решений для модели сжимаемых неньютоновских жидкостей; повышение гладкости. 246
7.1 Вывод энергетических тождеств: абстрактная схема 248
7.1.1 Первое энергетическое тождество......................249
7.1.2 Второе энергетическое тождество......................249
7.1.3 Третье энергетическое тождество......................250
7.1.4 Дальнейшие энергетические тождества..................251
7.2 Оценки для нелинейной эллиптической системы (7.0.3). . . . 253
7.2.1 Первое энергетическое тождество......................254
7.2.2 Второе энергетическое тождество......................254
7.2.3 Дальнейшие энергетические тождества..................255
7.2.4 Получение оценок.....................................255
4
7.3 Энергетические оценки для модели Бюргерса
с быстрорастущим диссипативным потенциалом...............259
7.4 Дополнительные замечания.................................262
7.4.1 Дальнейшие оценки..................................262
7.4.2 Классы разрешимости и единственности...............264
7.4.3 Дополнительные свойства системы (7.2.1), (7.2.6). . . 265
Приложение А. О классах единственности для нестационарных уравнений Эйлера. 269
А.1 Вспомогательные сведения и построения....................274
А.2 Постановка задачи и существование обобщенного решения. . 277
Л.З Единственность...........................................279
А.4 Сравнение результатов....................................281
Заключение: основные результаты диссертации, нерешенные проблемы. 284
Приложение В. Список некоторых обозначений и терминов. 287
Литература. 294
5
Введение.
0.1 Актуальность теорем о математической корректности для уравнений механики сплошных сред
Исследование уравнений механики сплошных сред является задачей, относя! дейся как к области механики и физики, так и математики. Ее актуальность обусловлена многочисленными приложениями, особенно ярко проявившимися в последнее столетие. Как область механики, физики и математики, эта проблема имеет почти трехсотлетний возраст, и в течение этого срока неоднократно менялись доминирующие подходы к ее решению и сами понятия о том, что же понимать под решением. Принятое в современной науке мировоззрение требует, чтобы формулировка и анализ физических моделей сопровождались их соответствующим математическим исследованием. Л именно: после формулировки модели в механике сплошных сред получается, чаще всего, система дифференциальных уравнений в частных производных, требующая своего исследования на предмет существования и единственности решений различных краевых задач, а также их качественных свойств. Получаемые при этом результаты имеют двоякое значение:
1. они помогают при моделировании физических явлений и позволяют лучше понять природу реальных процессов;
2. они дают необходимое теоретическое обоснование корректности модели.
Как правило, процессы обоснования математической корректности модели и се применения идут параллельно, хотя с формально-логической точки зрения первый процесс должен предшествовать второму. Такому
б
формальному порядку вещей препятствует 'го обстоятельство, что задача теоретического обоснования математической корректности модели оказывается, как правило, достаточно трудной, что сдерживает прогресс в этой области, так что модель применяют, не дожидаясь доказательства теорем существования и единственности. Такое положение дел, по-видимому, неизбежно, но, однако, не отменяет необходимости доказательства указанных теорем. С одной стороны, сама реализация физических процессов могла бы поставить под сомнение необходимость математического обоснования существования решений модели, но, как было убедительно показано Адамаром более 100 лет назад, для сохранения логической целостности процесса моделирования, следует проверять любую модель на математическую корректность, что подразумевает, в частности, доказательство теорем существования и единственности.
Как показали многочисленные опыты, возникающие при этом математические задачи являются весьма интересными и требовательными к применяемому математическому аппарату. Преодоление возникающих трудностей явилось одним из основных стимулов развития математики. Развитый при этом новый инструментарий обогатил как саму математику, так и возможности ее приложений.
Необходимо также упомянуть, что доказательство теорем о математической корректности физических моделей способствует обоснованию и развитию численных методов, значение которых в последнее время чрезвычайно возросло.
Таким образом, изложенные аргументы достаточно ясно показывают актуальность проблемы доказательства теорем существования и единственности для уравнений механики сплошных сред.
0.2 Уравнения движения вязких сжимаемых жидкостей
Основной задачей диссертации является исследование уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости и возникающих в ходе него смежных вопросов теории дифференциальных уравнений и функционального ана-
7
лиза. Нас будут интересовать указанные уравнения с позиций теории дифференциальных уравнений (т. е. с математической точки зрения), однако естественно сохранить максимальную идейную связь с исходными понятиями механики. В связи с этим уместно дать краткие комментарии о происхождении этих уравнений, механическом смысле входящих в нее величин и тех допущений, которые мы будем применять при исследовании этих уравнений.
Как известно [146], [106], |153|, [163], [419), движение вязких сжимаемых жидкостей описывается следующей системой1 дифференциальных уравнений в частных производных:
^ + (Мри) = О, (0.1)
р(ж + {и'у)и) = +р{’ {0'2)
р(^ + (ц- у)£) «<ИуЫ-Р:В + ®> (0.3)
где р — плотность ЖИДКОСТИ, и — вектор скорости, Е — внутренняя энергия, Р — тензор напряжений, Р — тензор скоростей деформаций, Ь — вектор потока тепла, ^ — вектор внешних массовых сил, д — плотность источников тепла. Все указанные величины являются функциями от пространственных переменных х Е Кп (по этим переменным действуют операторы V и <Ну) и времени Ь. С точки зрения физики, наибольший интерес представляет случай п = 3, в определенных классах течений п — 1 или п = 2,
ас позиций математического исследования системы (0.1)—(0.3) допустимы
1 (ди ди \
любые натуральные п. Тензор Р = 8ут(У<8>и), т. е. Д,- = - ( ——- -Ь —— );
2 у(/Х^ (/Х^ у
п
Р : Р = 2^2 Как правило, величины ¥ и д заданы, а остальные —
искомые.
Система (0.1)—(0.3) не замкнута, т. к. число уравнений в ней (п + 2) меньше числа неизвестных. Чтобы замкнуть систему, требуется добавить
1 Ввиду (0.1) уравнение (0.2) допускает эквивалентную дивергентную запись
д(ри)
<Н
4- сИу(ри & и) = <1Ы? + .
8
к ней так наз. определяющие уравнения, т. е. соотношения, связывающие между собой неизвестные величины и характеризующие свойства моделируемой среды. Как правило, это соотношения вида
Р = Р(р, в, Ю>), Н = Н (р, 0, У6>), Е = Е(р, в),
где 0 — температура. Как отмечено в [143], выбор тех или иных определяющих уравнений конкретизирует’ не только среду, но и определенный класс течений, для которого эта модель допустима. Это особенно важно понимать при исследовании применимости классических моделей, таких как модель с постоянными коэффициентами вязкости. Определяющие уравнения реальных сред достаточно сложны, и даже их описание (не говоря уже о решении соответствующей системы (0.1)—(0.3)) представляет значительную трудность — см. например (419], [19]. В подавляющем большинстве исследований (как при моделировании, так и при математическом изучении) вводят ряд упрощающих предположений, после которых система (0.1)—(0.3) принимает достаточно «обозримый» вид. Так, одним из таких гградиционных упрощающих предположений является хорошо известный закон Стокса:
Р = (— р + А(1Ки)1 + 2/лВ, (0.4)
который, по существу, не имеет твердого физического обоснования, а принимается ввиду традиционного принципа начинать рассмотрение с линейных функций. В этом случае правая часть уравнения (0.2) принимает вид линейного эллиптического оператора Ламе с добавком —Ур (см. (0.7)), что облегчает исследование модели. В пользу (0.4) можно привести традиционное рассуждение о малости О (т. е. слабом отклонении от состояния покоя), которое, как правило, в дальнейшем (после построения решений) не проверяется. Впрочем, этот факт не перечеркивает значение модели (0.4) ввиду большого числа интересных результатов, полученных для нее (как теоретических, так и прикладных), в том числе показывающих достаточно хорошее описание ею реальных течений. Не следует также забывать, что дифференциальные уравнения механики сплошных сред выводятся из интегральных законов сохранения в рамках ряда априорных предположений о решениях, которые затем также не принято проверять, и тем
9
не менее теоретическая и прикладная ценность этих уравнений не вызывает сомнения. Однако, из приведенного рассуждения ясно, что закон Стокса (0.4) не занимает какого-либо исключительного положения среди всех возможных определи юн ці х соотношений, если не считать его традиционности и удобства ввиду простоты2. Рассмотрение более общих определяющих уравнений сдерживается лишь соответствующим усложнением модели, хотя это необходимо для приложений и интересно в теоретическом плане. В диссертации пойдет речь как раз о таких более общих соотношениях. Интересно также отметить, что при изучении турбулентных движений ньютоновских жидкостей (как с экспериментальных позиций, так и из соображений статистической термодинамики) возникают определяющие уравнения неньютоновского типа [143], что еще раз подтверждает зависимость определяющих уравнений от классов течений и важность неньютоновских моделей.
Еще одним распространенным упрощающим предположением является отделенность уравнения энергии (0.3) от остальной системы (0.1), (0.2). Такое явление наблюдается в ряде случаев, описание которых является задачей механики и выходит за рамки нашего обзора; отметим, например, известные случаи изэнтропических и изотермических течений (при условии, что Р не зависит от 9). Тогда 0 не входит в (0.1), (0.2), что позволяет решить эту систему независимо, а затем уже найти 0 из (0.3). Как показал опыт многочисленных математических исследований, целесообразно начинать с указанного случая, поскольку дальнейшее распространение результатов на случай полной системы (0.1)-(0.3) представляет нередко меньшие трудности (см. об этом, например, [165)). В диссертации мы будем действовать в рамках указанного предположении.
2Болес того, в реальных жидкостях убывание вязкости с ростом градиентов скоростей и давления встречается не 1>сже (и даже чаще), чем рост (см. например [ 143]), гак что модель Стокса (0.4) не более и не менее физически адекватна чем широко используемая (в том числе в диссертации) модель с коэффициентами вязкости, растущими как функции от инвариантов тензора скоростей деформаций, или ситуация растущего А(р), рассмотренная в [39).
10
0.3 Уравнения движения иеньютоновских сжимаемых жидкостей
Итак, мы будем рассматривать систему (0.1), (0.2) (так наз. «сокращенную систему уравнений вязкой сжимаемой жидкости»), замыкаемую определяющим уравнением вида
Остановимся подробнее на описании связи (0.5). Существует несколько подходов к вопросу о том, что следует понимать под жидкостью. Один из наиболее распространенных был предложен Стоксом (см. [153|), который сформулировал 4 аксиомы жидкой среды. Приведем сразу тот результат, к которому приводят эти аксиомы: связь (0.5) обязана иметь вид |419]
где JS(P) — основные инварианты тензора О. Вопрос о том, до какого порядка должен быть полином в (0.6) (тесно связанный с физическим смыслом этого соотношения, особенно при п > 3), несуществен ввиду теоремы Гамильтона—Кэли, позволяющей выражать высшие степени тензоров через низшие. Если постулировать, что связь (0.6) линейная по В, то получим (0.4); в этом случае величины Л, р называются коэффициентами вязкости, ар — давлением (ввиду того, что их физический смысл в самом деле таков), все они, вообще говоря, могут быть функциями от р (143); ио, как правило, Л и ц считаются постоянными, и тогда задание определяющего уравнения (0.5) сводится к описанию уравнения состояния газа р = р(р). Такое рассмотрение оправдано в рамках вышеупомянутого рассуждения о малости отклонения течения от состояния покоя, т. е. малости величины |Ю>|2 = В : В. Жидкости с определяющим уравнением Стокса (0.4) принято называть ньютоновскими, а прочие — неньютоновскими. Теория последних весьма обширна и до сих пор не приведена к единообразному виду (если это вообще возможно — см. например |419|), математических результатов для них гораздо меньше (см. обзор ниже). Как правило, выбор конкретного определяющего уравнения (0.6) для неныото-
Р = Р(р, В).
(0.5)
(0.0)
11
новских жидкостей диктуется соображениями простоты, математического удобства и хотя бы какой-то степенью физической адекватности. Наиболее распространенным примером является модель обобщенных ньютоновских жидкостей: Р = -р! + /3(|Ю>|2)Ю>. среди которых особую роль играют так паз. степенные жидкости: 0(s) = sa.
Следует, однако, отметить, что термин «неньютоновская жидкость» чрезвычайно обширен и включает в себя так наз. жидкости дифференциального типа высших порядков (что означает вхождение в (0.5) не только самого Ю>, но и его материальных производных dkT3>/cft*), и жидкости интегрального типа (с памятью). Подробнее с современным взглядом на этот предмет можно ознакомиться но работам [143], [376]. В диссертации мы будем рассматривать только неньютоновские жидкости дифференциального тина I порядка, что и означает определяющее уравнение вида (0.6). Даже для таких жидкостей, и даже в несжимаемом случае, теория разрешимости не развита достаточно полно, как отмечено в [143]; подробнее этот вопрос обсуждается ниже.
Особо следует оговорить вид (0.6) при UJ) = 0, т. е. структуру напряжений в жидкости, движущейся как твердое тело. Четвертая аксиома Стокса требует, чтобы в этом случае Р = — pi, где р — некоторый скаляр (он имеет смысл давления). По построению, уравнения (0.6) автоматически удовлетворяют этому требованию. Вид р — р(р) задан изначально (он определяется из физических соображений при построении модели). В так наз. модели Бюргерса по определению полагают р — 0. Распространенной является модель р = Ср, возникающая, например, в изотермических движениях совершенных газов. Имеются интересные (как с физических, так и математических позиций) случаи, в которых связь (0.5) имеет более общий вид чем (0.6); другими словами, когда применяются другие трактовки понятия «жидкость», чем по Стоксу (нестоксовы жидкости). К таким ситуациям относится модель Шведова—Бингама, в которой нарушена упомянутая четвертая аксиома Стокса: среда совершает твердотельное движение не только в случае Р = — р\, но и если Р = —р(р)ІЧ-Р/, где добавок Р' принимает значения в некоторой критической области пространства напряжений (не превышающих порог текучести). Среды Бингама тради-
12
ционно также называются жидкостями (вязкопластическими).
Все перечисленные модели соответствуют определенным физическим предположениям, т. е. описывают определенные типы сред и/или течений, и требуют своего математического исследования в том смысле, как это описано в п. 0.1. Такое исследование является интересной математической задачей, которая далека от своего решения (см. обзор ниже). Такое положение можно объяснить, в частности, тем, что, независимо от выбора определяющих уравнений, замыкающих систему (0.1)—(0.3) или (0.1), (0.2), она является весьма сложной нелинейной системой. Входящие в нее уравнения импульса (0.2) и энергии (0.3) являются параболическими, в то время как уравнение неразрывности (0.1) есть уравнение первого порядка (т. с. гиперболического типа), и в итоге вся система не имеет определенного типа. Теория таких систем (составного типа) развита еще недостаточно полно. В случае неньютоновских определяющих уравнений (0.6) проблема осложняется еще и квазилинейным эллиптическим оператором от и, возникающим в правой части (0.2) (вместо линейного оператора .Паме в ньютоновском случае (0.4)), что, с другой стороны, придает задаче дополнительный математический интерес.
В диссертации будет проведено математическое исследование некоторых из вышеперечисленных моделей. Более точные формулировки задач будут приведены ниже в пи. 0.6, 0.8, а также в начале каждой главы, посвященной гой или иной проблеме.
0.4 Обзор результатов но разрешимости уравнений вязких сжимаемых жидкостей
Сделаем краткий обзор известных результатов о существовании и единственности решений задач для уравнений (0.1), (0.2), (0.5). По этой теме накоплен огромный материал, который невозможно охватить в рамках нашего обзора. Поэтому мы ограничимся лишь упоминанием тех результатов, которые наиболее близко связаны е результатами диссертации или используемыми в ней методами.
Подавляющее большинство результатов, как уже говорилось, относится
13
к модели ньютоновской жидкости (0.4). Несмотря на то, что диссертация посвящена неньютоновским жидкостям, уместно упомянуть основные вехи на пути развития теории разрешимости уравнений (0.1), (0.2), (0.5) вообще. Во-первых, это естественно сделать потому, что модель Стокса есть частный случай модели вязких сжимаемых жидкостей в делом, а во-вторых, обе ветви нельзя отделить друг от друга — развитие одной стимулируется развитием другой. Кроме того, как мы увидим далее, одним из стимулов развития математической теории неньютоновских жидкостей является желание преодолеть сложности, возникающие при анализе ньютоновской модели.
Итак, начнем с краткого обзора результатов по классическим уравнениям Навье—Стокса сжимаемой вязкой жидкости, соответствующих случаю, когда связь (0.5) имеет вид (0.4), так что (0.2) принимает форму
р + (и • У)и^ -1- Ур(р) = дДи + (Л + д)Ус1Ки 4- р?. (0.7)
Начало систематическому изучению корректности начально-краевых задач для системы (0.1), (0.7) положено в работах Д.Граффи [251) и Дж.Сер-рина [398], в которых были доказаны теоремы единственности для классических решений. После этого следовал долгий период развития локальной теории: доказывались теоремы существования «в малом» по времени или входным данным. Для задачи Коши следует прежде всего назвать работы Дж.Иэша [338], А.И.Вольперта и С.И.Худяева [46], Н.Итайя ]270|; для начально-краевых задач — работы В.А.Солонникова [157], А.Тани [413],
A.Мацумуры и Т.Нишиды [328]; при этом последний результат особенно интересен тем, что он глобальный по времени (хотя и локальный по начальным данным) — см. также [261], [260], [265], [330]. Другие результаты о локальной разрешимости содержатся в работах [421], [422], [382], [329], [312], [414], [415], [259]. См. также обзоры в [408], [18], [345], [424].
Огромный пласт составляют исследования по глобальной разрешимости для уравнений (0.1), (0.7) в случае п = 1, т. е. одномерного движения с плоскими волнами. Пионерскими в этой области являются работы Я.И.Канеля [83], Н.Итайя [271], [272], А.Тани [412], А.В.Кажихова и
B.В.Шелухина [72], [283], [82], достаточно полная теория была построена
14
благодаря исследованиям А.В.Кажихова [73], [77], [71), [74], [75], В.В.Ше-лухина [166], С.Я.Белова [26], [27], [28], [194], [29], В.Б.Николаева [80], [81], [134], А.А.Амосова и А.А.Злотника [4], [2], [5], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13], [14], [15], [16], [61], [62], [63], [64], [65], [66], [180], [181], [17], В.А.Вайганта [32], [33], [34], [42], и других авторов [335], [336], [337], [281], [429], [356], [282], [256], [257], [409], [327]; см. также монографию [18].
Дальнейшее развитие одномерной теории теории выходит за рамки нашего обзора. Частичное представление об этом можно получить, например, по материалам диссертаций А.А.Амосова [3], В.А.Вайганта [37] и обзорам, в них содержа!цимся.
Следует отметить результаты, занимающие своего рода промежуточное положение между одномерной и многомерной теорией — это работы по специальным классам неодномерных течений (осесимметричным, сферически симметричным и сдвиговым) — такие, как результаты В.В.Николаева [133], [135], [136], В.В.Шелухина [168] и Д.Хоффа [258], см. также [246], [247].
По многомерным течениям общего характера, т. е. системе (0.1), (0.7) (и вообще, (0.1), (0.2), (0.5)) при п > 1, долгое время не было каких-либо результатов о глобальной разрешимости3. Произошедший в последние 15 лет «прорыв» в этой области был подготовлен многими работами, содержавшими ряд плодотворных идей. Так, в [78], [38], [112], [47], [195], [311], [284], [40], [41] (часть этих работ более поздние) были исследованы некоторые приближенные модели, что сохраняет свое значение и поныне ввиду того, что глобальная проблема далека от своего окончательного решения. В статье В.А.Вайганта [35] были построены примеры разрушающихся решений в классах, в которых ранее (В.А.Солонниковым в [157]) были построены локальные решения, что обозначило необходимость уточнения классов корректности задач (т. е. пересмотра определяющих уравнений или перехода от классических к обобщенным решениям) — см. также [433],
’Однако, следует отметить работы А.В.Кажихова (С9|, |70|, (18[ по уравнениям неоднородной несжимаемой жидкости, получающимся из (0.1), (0.7) при добавлении дополнительного уравнения (1Ь'и = 0; в этом случае уравнение (0.1) упрощается, и облегчаются оценки плотности. Эти результаты сыграли существенную роль в становлении глобальной теории для системы (0.1), (0.7). См. также (102).
15
[36]. В работах Д.Хоффа и Д.Серра [264], [256], [257], [258], [260], [262], [259], [263] было изучено поведение особенностей разрывных решений4. Д.Хоффом [261), А.Новотны [350], В.А.Вайгантом и А.В.Кажиховым [39] была исследована ключевая роль так паз. эффективного вязкого потока (эффективного вязкого давления) 5 = (Л + 2д)сН\ги — р(р), эта идея далее развивалась в [264], [326], [306], [239], [232]. В работах У. И [226] и Д.Серра [396] было (в одномерном случае) обнаружено ключевое коммуникативное соотношение для слабых пределов 5/7' = 5 • (для достаточно малых а > 0), доказанное и использованное затем П.-Л.Лионсом в многомерном случае в [306] на основе результата [207]. В связи с проблемой разрешимости для уравнения Больцмана [220] Р.Дж.ДиМерной и П.-Л.Лионсом был развит аппарат ренормализации транспортного уравнения [219].
Первая попытка решения двумерной задачи (в ограниченной области при р = р) для классических уравнений (0.1), (0.7) была предпринята М.Падулой в работе [364]. Несмотря на то, что эта работа оказалась ошибочной (см. [366], [367]), в ней содержатся некоторые плодотворные идеи, в частности, об эффективности оценок решений системы (0.1), (0.7) в пространствах Орлича. Интересно, что в [364] было заявлено решение трехмерной проблемы при 7 > 3/2 (что в итоге и было сделано Э.Файрайзлом), но не был должным образом обоснован предельный переход р = р.
Следующей вехой стала работа П.-Л.Лионса [304] (см. также [303]), в которой был анонсирован результат о глобальной разрешимости уравнений (0.1), (0.7) при р = р7 с достаточно большими 7 и произвольным п (для начально-краевой задачи). Правда, полное доказательство этого результата появилось лишь спустя 5 лет в монографии [306]. Данный результат (см. также [308]) обобщил вышеупомянутые идеи и показал, что слабая регулярность эффективного вязкого потока влечет глобальную разрешимость для (0.1), (0.7) при достаточно больших 7. Дальнейшее развитие этого результата, включая снижение 7 (с 7 ^ 9/5 у Лионса до 7 > 3/2)
4 Впрочем, одномерная теория разрывных решений имеет достаточно богатую историю — см.,
например, работы В.В.Шелухина |1б7|, Д.Серра |394|, |395), Д.Хоффа [2541, [2561, А.А.Амосова и
А.А.Злотника (б[, [8], [9[, [10], (П[, [12[, [13[, |1Г>), [16[, [3|, а также [248|.
16
предпринято в работах Э.Файрайзла с соавторами [237), [232], [239]. (234).
Следует также упомянуть работы работы Э.Файрайзла. Л.Новотны и М.Падулы [231), [350], [137], [352], [351], опубликованные в период 1993-1998 гг. и содержащие некоторые плодотворные идеи (в частности, метод декомпозиции), способствовавшие успешному решению проблем в работах [304], [39] и [427] (см. также обзор этой темы в диссертации [37]).
Как можно заметить из [371], развитие теории разрешимости стационарных и нестационарных задач тесно связано и идет параллельно. Локальные теоремы существования для стационарных задач были доказаны М.Падулой и Дж.Хейвудом [253], [363], [368], [365], Х.Бейрао да Вейгой [189], [190] на основе [191], Л.Новотньг и М.Падулой [137], [352], |353|, см. также [329], [422], [229], [349], [339], [354], [423], [425]. Глобальные теоремы существования для стационарных задач принадлежат П.-Л.Лионсу [306],
Э.Файрайзлу [234], А.Ново, А.Новотны и И.Штрашкрабе [346], [347], [355], П.И.Плотникову и Ж.Соколовеки [369], [139], [370], [140], [372], [371]; см. также [241]. Современный обзор по стационарным задачам можно найти в [372], [140].
Современное состояние теории разрешимости уравнений ньютоновской вязкой сжимаемой жидкости отражено достаточно полно в монографиях [306], [234], [355] и статье [165], из которых, впрочем, явствует, что эта теория далека от своего завершения. Дальнейшие пути развития намечены в [309], [234]. В частности, можно отметить нерешенность проблем распространения полученных результатов на случай полной системы (0.1)-(0.3), описывающей теплопроводную жидкость; предельных переходов по параметрам (Ма, 1т и т. д.); поведения решений вблизи границы; повышения гладкости построенных решений и их единственности; дальнейшего снижения показателя адиабаты 7 (в соотношении р = р7), и пр. Об этом можно почитать в [165], [236], |235], ]233] и упомянутых работах [309], [234].
В период 1993-1998 гг., когда в среде специалистов не было ясности о том, является ли проблема глобальной разрешимости многомерных уравнений (0.1), (0.7) решенной, особую важность имели работы В.А.Вайганта и А.В.Кажихова |39], [427], в которых были доказаны глобальные теоремы существования обобщенных и классических решений для двумерных
17
уравнений (0.1), (0.7) при Л = Л(р). Эти результаты не потеряли своей актуальности и сейчас, когда щюблема повышения гладкости построенных слабых решений Лионса остается неприступной, и неясно, удастся ли сделать это для постоянных коэффициентов вязкости (ср. вышеупомянутую работу [35)) .
Если говорить о неньютоновских жидкостях, то выделение их в отдельный класс в нашем обзоре имеет смысл лишь при рассмотрении многомерных течений, поскольку для одномерных движений с плоскими волнами результаты о разрешимости в том числе и неныотоновских уравнений (т. е. для нелинейной вязкости) имеются среди вышеупомянутых работ по одномерным задачам — в этом случае наличие нелинейности в правой части уравнения импульса не создает принципиальных новых сложностей. Исключение составляют лишь модели типа Бингама, о которых мы отдельно скажем далее.
Для многомерных уравнений сжимаемой неньютоновской жидкости результаты весьма немногочисленны. В работе С.Матусу-Иечасовой и А.Новотны [331) на основе работ [341], [342) и [348] были построены так наз. мерозначные решения (в смысле мер Янга), т. е. такие, которые удовлетворяют (0.5) лишь в специальном вероятностном смысле (см. также [343], [2911). Эта деятельность резюмирована в монографии [317], которая достаточно полно отражает состояние на 1996 г. всей теории неныотоновских жидкостей. Большая часть этой монографии посвящена несжимаемым жидкостям, а сжимаемый случай затронут лишь в небольшом разделе, содержащем указанный результат. Проблема существования хотя бы слабых обобщенных (а не мерозначных) решений для случая сжимаемых неныотоновских жидкостей обозначена в [317] как нерешенная. Для степенных жидкостей она остается таковой и до сих пор, но в настоящей диссертации удапось решить ее для случая «быстрорастущих коэффициентов вязкости», что является первым шагом на пути решения классической проблемы степенных жидкостей; также здесь намечены основные вехи, которые, на наш взгляд, нужно преодолеть на пути полного решения этой проблемы.
Этот вопрос тесно связан с уже в значительной степени развитой тех-
18
никой для несжимаемых неньютоновских жидкостей (т. е. модели, получающейся из (0.1), (0.2), (0.5) при р = const), так что уместно сделать следующий
0.5 Обзор результатов по разрешимости уравнений несжимаемых неныотоиовских жидкостей
Пионерскими в этой области были работы О.Л.Ладыженской [92], [94], в которых были показаны существование и единственность решений для достаточно широкого класса неньютоновских несжимаемых жидкостей. Независимо Ж.-Л.Лионсом [104] был получен аналогичный результат, но с V 0 и вместо О в (0.5), что физически не оправдано. В этих рабсь тах рассмотрены степенные жидкости с достаточно большой степенью а.
С.Канелем [275] были получены аналогичные результаты для более общих диссипативных потенциалов V, т. е. потенциалов в представлении5
, дут
Следует отметить, что представление тензора напряжений через потенциал — достаточно распространенное явление в механике сплошных сред, имеющее глубокие физические корни и особенно интенсивно изучавшееся в теории упругости (см. [162], [58]); при рассмотрении наиболее общих представлений существенную роль играет понятие ноливыпуклости, введенное Дж.Воллом [184]. Впрочем, в механике неньютоновских жидкостей чаще всего ограничиваются потенциалами вида У(В) — Г(|Ю>|2) (и, в свою очередь, чаще всего Г(б) ^ <$а). В диссертации мы будем рассматривать более общие У, хотя и не ставим себе цель достичь максимальной общности.
В последнее время в развитии теории несжимаемых неныотоновских жидкостей можно наблюдать 2 направления. Первое состоит, грубо говоря, в снижении показателя о (что важно для приложений, т. к. описывает и случай убывающих вязкостей) и обобщении вида У, а второе — в повы-
I-т. ov ()V
'"Как и для векторных градиентов, тензорный градиент ~ есть тензор с компонентами -
oD 0Dtj
19
шении гладкости решений (этот вопрос тесно связан с теорией регулярности для ньютоновских уравнений — см. обзор ниже). Здесь можно назвать работы О.Л.Ладыженской и Г.А.Серегина [294], [295] (в этих двух работах рассмотрены и среды типа Бингама), [99], [100], [101], [148], [149] (см. также [244], [391], [245]); чешских авторов монографии [317] с соавторами: [193], [318], |317]. Мерозначные решения построены и в несжимаемом случае в работах [316], [340], [317].
Особое положение в этой теории занимают вязкопластические жидкости Шведова—Бингама. Их характерным свойством является отсутствие жидкого течения в случае, если напряжения в рассматриваемом объеме не превышают заданного порога текучести, в противном случае течение происходит по закону вязких жидкостей. Таким образом, в этих средах возможно образование твердотельных зон (ядер), которые со временем могут исчезать, появляться и менять форму. В качестве современных прикладных примеров можно указать на работы [183], [201], [209]. Первоначально модель таких сред была сформулирована Ф.Н.Шведовым |404] и Ф.Бингамом [196] в простейшем случае сдвиговых течений (эти авторы экспериментально изучали такие среды в указанных течениях). Для течений произвольного характера (несжимаемый случай) эта модель была выписана К.Гогенемзером и К.Прагером [266], [373] (см. также [357], (48], [67]). В работах Г.Генки [48] и A.A.Илыошипа. [67] был решен ряд плоских задач, причем в [67] впервые предложена вариационная формулировка, позднее занявшая преобладающее место в теории благодаря успехам
II.П.Мосолова, В.П.Мясникова, Г.Дюво, Ж.-Л.Лионса и их последователей. Следует, однако, отметить, что эквивалентность исходной (дифференциальной) и вариационной формулировок не является математически очевидным фактом (см. об этом [128]) и не всегда имеет место. В статье П.Г1.Мосолова и В.П.Мясникова [129] было предпринято одно из первых систематических исследований модели Бингама на предмет математических теорем существования и единственности в вариационной формулировке; это было сделано в рамках некоторых упрощений (стационарность, линеаризация). В работах этих же авторов [130], [132] эта деятельность резюмируется, но, опять же, нестационарный случай рассматривается без
20
конвективных членов. В книге Г.Дюво и Ж.-Л.Лионса [57) были доказаны теоремы существования и единственности для вариационной формулировки без упрощений и теоремы о предельном переходе по вязкости (к уравнениям идеальной жестко-нласти:чности), но вопрос о связи вариационной постановки с исходной решен формально. Более подробно исторический обзор по этой теме можно найти в [132) и [85).
В настоящее время для вариационного подхода в теории несжимаемой жидкости Бингама имеется масса результатов. Отметим работы И.Като [280), И.Кима [288), О.Д.Ладыженской, Г.А.Серегина и М.Фукса [244|, [242], [147), [295), (243), в которых показывается дальнейшая регулярность решений и рассматриваются более общие определяющие уравнения. В связи с тем, что в вариационном подходе затруднительно непосредственное изучение поведения ядер, В.В.Шслухиным был предложен возврат к исходной дифференциальной постановке в модели Бингама. В его работах с соавторами [185], [319], [401] этот подход был применен для одномерных движений сжимаемой жидкости и многомерных — несжимаемой; в последнем случае была строго показана эквивалентность двух подходов, показано предельное соотношение между средами Бингама и аппроксимирующими их стоксовыми жидкостями, исследовано поведение ядер.
Для сжимаемого случая, кроме упомянутой «одномерной» работы [185|, не было известно результатов о разрешимости «в целом». Они будут предъявлены в диссертации. Промежуточное положение занимает модель неоднородной несжимаемой жидкости Бингама, которая исследуется в работах [197], |240] (вариационный подход) и |186| (дифференциальный подход). В диссертации мы также будем придерживаться последнего подхода по причине, во-первых, упомянутой перспективности для дальнейшего изучения ядер, а во-вторых, ввиду того, что для неоднородной (а тем более сжимаемой) среды уравнение (0.1) в любом случае следует писать отдельно от вариационного неравенства, и вариационный подход теряет свое удобство.
Упомянем также интересную проблему выбора «физичных» краевых условий для системы (0.1), (0.2) — см. об этом, например, 1148], |165|, [105], [269].
21
0.6 Проблематика диссертации
Из сделанного обзора ясно, что для многомерных движений неньютоновской сжимаемой жидкости, описываемых системой (0.1), (0.2), (0.5), не было известно глобальных теорем существования, в то время как учет сжимаемости особенно важен при рассмотрении нерегулярных решений (ср. (35], [218], (262], [263], [264]). Требуемые теоремы существования были доказаны лишь в работах автора [115], [114], [116], [117], [119], [322], [123], [124], (118] и составляют одно из основных положений диссертации. Те трудности, которые возникают при этом, с одной стороны, тесно связаны с глобальной проблематикой для классической системы Навье—Стокса (0.1), (0.7), а с другой — с теорией неньютоновских несжимаемых жидкостей. Кроме того, некоторые возникающие здесь проблемы носят характер, уникальный именно для этого класса задач. Так, в связи с вопросом о глобальной разрешимости уравнений (0.1), (0.2), (0.5) возникли задачи о свойствах решений уравнения (0.1) в специальных пространствах Орлича [79], [86|, [285], [124] или об экстраполяционных свойствах линейных операторов в этих пространствах [113], [120], [121], [122], [124]. Решение этих вопросов составляет остальное содержание диссертации (если не считать Приложения А, соответствующего работе [125] и стоящего несколько особняком). Они интересны как сами по себе, так и потому, что позволяют решить главную задачу о глобальной разрешимости системы (0.1), (0.2), (0.5).
Поясним сказанное подробнее. В нескольких из вышеперечисленных работ по глобальной разрешимости уравнений (0.1), (0.7), появившихся в 1980-90-е гг., ярко проявилась роль пространств Орлича в формулировке оценок решений. Так, например:
1. В «задаче о совершенном гаю», т. е. при п = 2, р = р [364] оценка на р формулируется в пространстве Орлича 1ф, где Ф(<$) = .sIns (см.
и. 1.1). Кроме того, в этом случае оценка для и также получается в пространстве Орлича, т. к. энергетическая оценка дает u € W\, а в случае п = 2 теорема вложения Соболева (ситуация предельного
•у
показателя) дает и € £ф, где 4/(s) = е* , как было замечено еще
В.И.Юдовичем [169], Ю.А.Дубинским [55] и С.И.Похожаевым [141]. Эта задача служит хорошей иллюстрацией того факта, что пространства Лебега Ьр не всегда достаточны для описания свойств решений дифференциальных уравнений, т. к. в случае «загрубления» и «насильственной» замены оценок в пространствах Орлича на таковые в «ближайших» Ьр получается информация о решении, которой может оказаться недостаточно для дальнейшей работы.
2. Как и следует ожидать, трудности в оценках для р являются основным препятствием при попытках распространить известные результаты для несжимаемых жидкостей на случай сжимаемых. В перечисленных выше работах по многомерным глобальным теоремам найден ряд приемов для преодоления этих трудностей, они в существенной степени сводятся к анализу свойств уравнения неразрывности (0.1), которое в определенном смысле является «уравнением для р» (в отличие от (0.7), являющегося в определенном смысле «уравнением для и»), при этом существенную роль в этих приемах играет ньютоновский характер определяющего уравнения.
Если же рассматривать неньютоновские жидкости, то анализ уравнения (0.1) остается фактически единственным средством (эта мысль будет обоснована далее — например, см. конец введения к Главе 5). Другими словами, возникает вспомогательная задача о решениях уравнения (0.1), в котором и рассматривается как известный коэффициент, а требуется сформулировать свойства р в терминах свойств и. По этому вопросу особенный интерес представляют работы Р.Дж.ДиПерны и П.-Л.Лионса[219], и А.В.Кажиховаи В.В.Шелухина [286]. В первой из них дан исчерпывающий ответ на поставленный вопрос в терминах пространств Лебега, но этот ответ все же неудовлетворителен в применении к системе (0Л), (0.2), (0.5), т. к. фигурирующие в нем требования на и слишком обременительны (а именно, ограниченность (1Ки). В [286] были предложены некоторые достаточные условия на п в терминах пространств Орлича, при которых можно строить обобщенные решения (0.1). Во многом эти идеи исходят
23
еще от В.И.Юдовича (см., например, [170)). Возникает естественный вопрос об исчерпывающем исследовании уравнения (0.1) в пространствах Орлича. Это сделано автором в соавторстве с А.В.Кажиховым и О.И.Королевым в работах [79), [86], что составляет содержание Главы 2 диссертации, в начале которой приведены подробный исторический обзор по обобщенным решениям транспортного уравнения и обоснование необходимости его исследования в пространствах Орлича.
3. В вышеупомянутых работах [39], |28б| ключевую роль сыграли оценки неизвестных функций в шкале пространств Lp, р G (ро,+оо), т. е. оценки вида
Ы\ьг ^ w(p), Ро ^ р < +00, (0.8)
где существенна скорость роста и. Такого рода оценки нередко возникают и при исследовании других уравнений, например, системы Эйлера: см. работы В.И.Юдовича [171), [169], [431]. Подробнее обзор этого вопроса сделан в п. 3.5 диссертации, где обсуждается необходимость исследования связи множеств функций с оценками вида (0.8) с пространствами Орлича. Такое исследование проведено в работе автора [122], вошедшей в Главу 3 диссертации. Благодаря этому исследованию удается точнее осмыслить уже имеющиеся результаты (как по уравнениям вязкой сжимаемой жидкости, так и по другим моделям), а также появляется готовый математический аппарат для дальнейшей работы.
С другой стороны, в связи с системой (0.1), (0.2), (0.5), к необходимости использования и дальнейшей разработки методов пространств Орлича мы приходим ввиду следующих причин. Имеется определенная параллель между исследованиями указанной системы и системы уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости, получающейся из (0.1), (0.2), (0.5) при р = const. Напомним кратко современное состояние теории уравнений Навье—Стокса несжимаемой вязкой жидкости (ньютоновской). Этой модели посвящено большое число работ, начиная с классических исследований Ж.Лерэ |297], [298], [299], в которых была доказа-
на однозначная разрешимость (локальная, а для некоторых задач — даже глобальная) для п = 2, а при п — 3 в задаче Коши показана однозначная разрешимость локально по времени или по начальным данным. При п = 3 существование «в целом» (по времени и данным) слабых решений установил Э.Хопф [268], но класс, в котором это решение было построено, слишком широк для единственности, как было показано О.А.Ладыженской (96). Такие слабые решения получили название «слабых решений Лерэ—Хопфа» («турбулентных решений»). Возникает задача построения глобальных решений в том же классе, где можно доказать их единственность. Эта задача была для большинства случаев успешно решена О.Л.Ладыженской и математиками ее школы: для п — 2 в [91], [90], [293] (сначала для малых данных — в [84], в том числе при п = 3), для п ~ 3 при наличии осевой симметрии (включая ось) — в |95] (см. также работу М.Р.Уховского и В.И.Юдовича [164]), эти результаты резюмированы в монографии [97]. Существенную роль при этом сыграли исследования системы Стокса, выполненные К.К.Головкиным и
B.А.Солонниковым [156], [49], [50] (см. также обзор в [158]). В настоящее время имеются также результаты А.С.Махалова, В.П.Николаенко,
C.Лейбовича, Е.С.Тити и Г.М.Кобелькова по трехмерным движениям, близким к осесимметричным [314] и с другой спецификой [126], [289], [290], но общий трехмерный случай остается нерешенным (в плане однозначной разрешимости «в целом») — это предмет одной из конкурсных «задач тысячелетия», сформулированных6 Clay Mathematical Institute в 2000 г. [230], см. также [406]. В отличие от [230] (где требуется построение С°°-ре-шения), О.А.Ладыженская понимала задачу как построение глобального решения в классе единственности [98], но так или иначе проблема открыта. В настоящее время в ее решении принято продвигаться путем доказательства (вслед за самим Лерэ) дополнительной регулярности решений Лерэ—Хопфа вне «малых множеств» или при дополнительных ограничениях (см., например, [375], [68], [91], [400]), и, с другой стороны, получения условных теорем единственности (см., например, [68], |98], [97], [399]). В этом вопросе существенную роль сыграло понятие «подходящих слабых
6См. http://www.claymath.org/millemum
25
решений» (т. е. удовлетворяющих энергетическому неравенству), предложенное в работе Л.Каффарелли, Р.Кона и Л.Ниренберга [199] (другие версии см. в [301], [296]) в связи с идеями В.Шеффера [378], [377], [380], [379] (см. также [188], [192]). Современное состояние по локализации особенности решений Лерэ—Хопфа и «проблеме тысячелетия» в целом можно понять по работам [301], [296], [152], [68], [390], [98], [387], [151], [417], [305], [249], [250], [1501, [384J, [385], [386], [393], [389], [392], (432], [388]. Понятие подходящего слабого решения является, таким образом, средством для изучения регулярности решений, но оно имеет и естественный физический смысл, а в ряде случаев доказательство энергетического равенства является необходимым этапом в построении решения (см. далее). Лерэ и Хопфом было доказано неравенство, для работ Ладыженской характерно непременное обоснование равенства; см. также [400], [402]. В рассматриваемой ниже работе [94] энергетическое равенство играет ключевую роль, так же как и в настоящей диссертации. Как видно, например, из |165], в сжимаемом случае энергетическое равенство существенно при исследовании предельных переходов no Ma, Fr и т. п.
Из сделанного обзора видно, что в несжимаемом случае острие проблемы находится на доказательстве единственности решений, в то время как в сжимаемом — па существовании. Параллель же состоит в том, что в обоих случаях естественно привлечь неньютоновские определяющие уравнения как средство заполнения тех пробелов, которые остаются в ньютоновском случае. Для несжимаемой жидкости этот прием был употреблен О.А.Ладыженской в [94], где были доказаны глобальное существование и единственность обобщенных решений системы уравнений вязкой несжимаемой жидкости при п = 3 за счет выбора нелинейного (неныотоновско-го) закона напряженного состояния (0.5), а именно, уравнения степенных жидкостей: Р = -pli -F p.(|D|)D, где p(s) = $° с достаточно большим а. Эта работа (см. также [92], [93]) ярко показала, как неньютоновские модели позволяют в определенном смысле заполнить пробелы, возникающие для модели Стокса (0.4). С другой стороны, в [94] видно, какие новые трудности появляются при анализе нелинейного эллиптического оператора, возникающего в правой части (0.2) в случае нелинейного закона (0.5).
26
Одной из основных целей диссертации (Главы 4,5) является, в определенном смысле, распространение результата [94] на случай сжимаемой жидкости. В этом случае все проблемы, имеющиеся для несжимаемых неньютоновских жидкостей (см. [94], [317]), возникают в сочетании с проблемой оценки плотности, описанной выше. В связи с тем, что естественными классами для таких оценок в рассматриваемом нами случае являются пространства Орлича, возникает необходимость анализа свойств дифференциальных операторов в этих пространствах. Например, из оценки симметричной части V 0 и, т. е. тензора Ю>, необходимо получать оценки всего V 0 и. В случае пространств Орлича эта проблема не является решенной. И вообще, теория этих пространств сейчас еще переживает тот период, когда далеко не все вопросы получили в ней достаточное освещение или получают его только в самое последнее время (см. обзор в и. 0.7). С этим обстоятельством и связан тот факт, что в данной диссертации, помимо исследования свойств решений дифференциальных уравнений (прежде всего (0.1), (0.2)) с помощью теории пространств Орлича, содержатся также результаты, вносящие вклад в саму эту теорию.
Так, упомянутая оценка У0и через О сводится к анализу свойств вторых производных7 В2/о от решения V уравнения Пуассона Дг> = Н при известных свойствах /? в пространствах Орлича. Ввиду хорошей изученности оператора к В2у в Ьр, эту задачу естественно решать экстраполяционными методами. Подробнее обзор этой проблемы изложен ниже в и. 0.7, а также в начале Главы 3 диссертации. В этой главе обоснован конструктивный метод экстраполяции линейных операторов из Ьр в пространства Орлича, с использованием которого в следующих Главах 4-6 удается получить требуемые теоремы существования для моделей вида (0.1), (0.2), (0.5).
Кроме того, отдельные новые вспомогательные утверждения о свойствах пространств Орлича, принадлежащие автору, содержатся в Главе 1.
Таким образом, часть диссертации посвящена проблеме экстраполяции в пространствах Орлича, которая играет здесь вспомогательную роль, но сама по себе является интересным самостоятельным разделом анализа. В
73десь н далее обозначаем = V* Ф \7ХЛ — все вторые производные /< но х.
27
связи с этим естественно привести следующий
0.7 Краткий обзор по теории пространств Орлича и экстраполяции
Сам В.Орлич занимался пространствами типа Ь7,(.) и лишь слегка затронул то, что теперь называется его именем (см. [359], [360]). Собственно «пространства Орлича» вошли в математику в 1950-х гг. благодаря работам М.А.Красносельского и Я.Б.Рутицкого (см. например их раннюю работу (87|), изложивших свою теорию в монографии [88] (более современное изложение приведено в [292]). Введенные изначально с целью исследования интегральных уравнений с нестеиениыми нелинейностями, про странства Орлича вскоре были использованы как удобный инструмент для формулировок тонких теорем вложения и экстраполяционных результатов8. В работе В.И.Юдовича [169] приведена экстраполяционная про цедура, приводящая к оценке решений эллиптических уравнений в про странетвах Орлича (а фактически к теореме вложения в случае предельного показателя), хотя в явном виде эти термины там не произносятся. Ю.А.Дубинский [55] уже явно сформулировал указанную теорему вло жения (а также вложения в гельдеровы классы), а С.И.Нохожаев [1411 показал неулучшаемость такой теоремы по порядку роста целой порождающей функции. Повидимому, независимо, Н.Трудингером (частично — с соавторами) был получены аналогичные результаты [418], [223], показана неулучшаемость этих простейших теорем вложения [252], и начато, вслед за Р. (У Нейл ом [358], систематическое изучение пространств Соболева— Орлича и теорем вложения в них [223]. Аналогичные теоремы вложения получены Р. Адамсом [173]; все эти результаты приведены в [292], но они не являются точными. Основы для точных теорем вложения были заложены в работах Дж.Таленти [410], |411|, нашедшего точное условие вложения в
8Впрочем, также началось применение пространств Орлича для формулировки классов разрешимости дифференциальных уравнений с нестепенными нелинейностями — одной из первых работ об этом была статья М.И.Вишика |45) об эллиптических системах (см. обзор по этой теме к книге (155)). В диссертации подобное будет делаться для стационарных и эволюционных уравнений, связанных с (0.1), (0.2), с постепенныN»4 коэффициентами.
28
Loo; и наконец, для всех пространств Соболева—Орлича точные теоремы вложения были получены А.Чьянки (205], [206].
Уже по работам (169] и [141] была ясна тесная связь между теоремами вложения и утверждениями экстраполяционного типа. Такого рода утверждения естественно доказывать, работая сразу в шкале симметричных пространств, а не только пространств Орлича (хотя для приложений к дифференциальным уравнениям более удобны окончательные формулировки для пространств Орлича), как это и делается в [205], [206].
Теория симметричных (перестановочно-инвариантных) пространств возникла в 1960-х годах (см., например, монографии [89], [302]), и за прошедшие 40 лет превратилась в один из крупных разделов функционального анализа. Одним из ее подразделов является теория экстраполяции, целью которой является заключение о поведении функций и операторов вблизи концов какой-либо шкалы пространств, исходя из заданного поведения внутри шкалы. Необходимость в экстраполяционных утверждениях возникает, например, в связи с тем, что ряд важных операторов анализа действует ограниченно в шкале Ьр при 1 < р < +оо, но неограниченно в концах этой шкалы. Первым результатом в этой области является теорема
С.Яно [430] (см. также изложение в книге [60]). В ней идет речь о линейных операторах, действующих в Lp при ре (1,1 -Ь е) или р е (ро, +оо) с нормой, оценивающейся величиной вида С(р— 1) а или Сра соответственно, и делается вывод о поведении в L\ или L^ соответственно. Теорема Яно распространена Р.Керманом [287] на более общие оценки нормы оператора. Следует также упомянуть работу И.Б.Симоненко [154], в которой рассматриваются в основном внутренние (интерполяционные) свойства шкалы.
Систематическая разработка теории экстраполяции началась около 20 лет назад. Здесь следует назвать прежде всего работы Б.Яверса и М.Милмана [273], [274], [332], [333]. В настоящее время в этой области работают такие авторы, как С.В.Асташкин и К.В.Лыков [23], [20], |21|, [22), [108], [109], [110], [111]; Е.И.Бережной и А.А.Перфильев [31], Г.Караджов [278], О.Ф.Лукомский [107], [313], и другие (см., например ]200], [361], [362], [227], [344)).
Указанные результаты в подавляющем своем большинстве касаются
29
экстраполяции вблизи Ь\, а не как это требуется в связи с целями диссертации. Также неудобство перечисленных результатов для нужных нам приложений состоит в том, что они (в случае экстраполяции операторов) формулируются в терминах только крайних пространств шкалы (например, если шкала есть Ьр при <р < +оо, то в терминах Ь^). При этом предполагается, что промежуточные пространства можно заполнить с помощью интерполяции, однако эта ироце;\ура приводит к неконструктивным формулировкам и может не покрыть всю шкалу. Именно такая ситуация возникает при вышеупомянутой оценке решений уравнения Пуассона в пространствах Орлича. В связи с этим автором в работе [113] был предложен конструктивный метод экстраполяции линейных операторов из Ьр в пространства Орлича, основанный на применении интегральных преобразований. В [113] был рассмотрен весьма частный случай, и его распространение на общую ситуацию проведено в Главе 3 диссертации. Дополнительные штрихи к обзору но этому вопросу и точная постановка экстраполяционных задач приведены в начале Главы 3 и в п. 3.5.
0.8 Краткий обзор содержания диссертации
Фактически мы уже сделали обзор содержания значительной части диссертации, но для полноты и ясности приведем теперь полный обзор9. Для удобства в начале каждой главы ее содержание комментируется дополнительно. Также резюме диссертации приведено в Заключении, где результаты сгруппированы но их типу, а не месту в тексте.
Диссертация (помимо настоящего Введения) состоит из 7 глав, 2 приложений, Заключения и списка цитированной литературы. Главы разбиты на пункты и (некоторые пункты) на подпункты. Нумерация формул и утверждений (а также определений, замечаний и т. и.) сквозная по всему тексту и тройная (за исключением Введения и Приложения А): вида 1М.гп.к, где N — номер главы, т — номер пункта, а к — номер формулы (утверждения, и пр.) в пункте. При этом утверждения, определения И Т. П.
93десь он приводится по главам. В Заключении приводится сжатый обзор результатов, сгруппированных «по темам», вместе с. пе^.чнем открытых гцюблем.
30