Краевые задачи для параболических уравнений в пространствах Гельдера-Зигмунда

Содержан не
Обозначения 4
Введение 9
X Задача Коши для уравнения теплопроводности в пространствах Зигмунда 20
1.1 Гладкость потенциала Пуассона............................. 20
1.2 Гладкость обілмного потенциала............................ 23
1.3 Задача Коши............................................... 32
2 Решения модельных задач для уравнения теплопроводности в пространствах Зигмунда 34
2.1 Некоторые свойства функций из пространств Зигмунда ... 34
2.2 Потенциал двойного слоя................................... 42
2.3 Некоторые свойства решений задачи Коши.................... 48
2.4 Первая краевая задача..................................... 53
2.5 Недостаточность дифференциальных условий согласования 58
2.6 Задача с косой производной................................ 59
2.7 Потенциал простого слоя................................... 63
2.8 Задача Тихонова........................................... 65
3 Задачи Дирихле и Неймана для уравнений Лапласа и теплопроводности в областях с прямыми углами 71
3.1 Некоторые сеойсгва функций из параболических пространств
Зигмунда................................................... 71
3.2 Краевые задачи дня уравнения теплопроводности............. 75
3.3 Необходимость разностных условий согласования ............ 78
3.4 Первая краевая задача с неоднородными начально-граничными
условиями.................................................. 84
3.5 Задачи Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа............ 89
3.6 Логарифмические особенности производных решений для уравнений Лапласа и теплопроводности .............................. 93
2
4 Задача Коши для параболических уравнений с переменны
ми коэффициентами в пространствах Зигмунда
4.1 Вспомогательные утверждения...........................
4.2 Задача Коши...........................................
5 Внутренние и промежуточные априорные оценки
5.1 Внутренние априорные оценки для уравнения теплопровод' поста......................................................
5.2 Интерполяционные неравенства .........................
5 3 Внутренняя априорная оценка решений параболических уравнений с переменными коэффициентами в пространствах Зигмунда .....................................................
5.4 Априорные оценки решений первой краевой задачи в пространствах Гельдера-Зигмунда...............................
6 Краевые задачи для параболических уравнений с перемен
нымн коэффициентами в пространствах Зигмунда
6.1 Формулировка результатов..............................
6.2 Необходимость разностных условий согласования.........
6.3 Первая краевая задача.................................
6.4 Задача с косой производной............................
6.5 Априорные оценки решений краевых задач для эллиптических уравнений в пространствах Зигмунда....................
Список литературы
102
102
101
108
108
113
115
118
126
126
130
132
140
145
150
3
Обозначения
В ведом следующие обозначения. Пусть х = (х\,... ,хп) Є R", \х\ — {х\ +
••• + хІУ/2, Xі = (xu...,Xn-i), ё\ = (1,0.....0), ё2 = (0,1.....0).....
ёп = (0,0—,1) - орты »Г, Р = (ЗР,0 € И-+МРІІ = |*| + |<11/2; к = {к\,...>к,г) — мультииндекс, к\ > 0, і = 1,...,«, и |fc| = ку + ... + fcn, к' = кп-\). Полагаем dt = d/dt, дх = £/0х„ д* = д^д^3.. .д^п,
Д = $2”=1 3? “ оператор Лапласа, dv = г?іс>і +ffe%+.. .+Т&Д, — производная
но направлению 77 = (7/1,772.*]„)■, Дх/(х) - f(x+Ax)-f(x), Atf{x,t) -
f(x,t+At)-f(x,t). A[f(x) = ДГ(ДA<{h)f{x) = f{x+het)-f{x), i = l,...,n, A[{h)f{x) = Mh)№'(h)f(x)), I > 1, Д0{h)f(x) = /(*), At(h)f(x,t) = /(*,« + Л) - /(*,*), Д}(А)/(д?,0 = ДЛЛНД'-^ШгМ». -
разности по координатным направлениям.
Мы будем также использовать следующие обозначения дня конечных разностей на множестве 12 С R”+1:
д< f/r #\ _ / Ах/(*> О ПРИ [(*>£)> (* + *А^£)) С П,
^ , 0 при [(*,*),(я + 1Даг,0]$СП,
Д'ШШх <ї - / при [(x,t),(i,t+lA01ca,
№ 4 ~\ 0 при ((х, 0, (х, t + 2Д*)1 <£ П.
Здесь [Р,С?] - отрезок, соединяющий ТОЧКИ Р, Q 6 Kn+l.
В слое D рассматриваем область 11, граница которой ЯП = Р0и Вт UE, где В0 - область на плоскости t = 0, By - область на плоскости t. — T. Y,
— л-мерная поверхность. Сечение Е- = En{t = т} для любых т € [0,Т]
является (ті - 1)-мерной поверхностью, которая в каждой своей точке имеет (п - 1)-мерную касательную плоскость, лежащую в п-мерной плоскости t = т. 13 каждой точке Р = (х°,*°) поверхности Е существует вектор Р(Р). который является ортом внутренней (по отношению к 11) нормали в точке Р к поверхности Ег, лежащей в плоскости t = т.
Систему координат (уь..., у,„ t) в ортонормированием базисе (в|(Р),... ,е„(Р),еп+1(Р)) в lRn+l с началом в точке (ха. t°), в котором Єп(Р) = {й(Р), 0) и eTJ+i — орт положительного направления оси Ot, называем Р-системой координат.
4
Для Р — {у,г) € ÎÎ обозначим через d(P) функцию расстояния до параболической границы V = Во U
d(P)= inf IP-Qli.
С?€РП{<<г}
Положим Яо(П) = Loc(Û) с нормой |/|о.п = vraisupn |/|.
Мам понадобятся анизотропные пространства Гельдера На(И) [15,48| и анизотропные пространства Гельдера с весом Яв^(П), см. |102, с.41). Пусть при 0 < о < 1
г л - чип i/(p) - sm
[J Jû.fî Slip /Л|о
гм \P~Q\i
Для ,<? € (0,2),
(П = SUD !/«)-/№)!.
ЛЛ=Л-И0. д<)ей \АЬ\№
Для а = I + а > 0, где I > 0 целое число, а € (0.1), положим
[/]«*= Е
|*l+2j-i
</u- Е <#*/> a+iü’
|*Ц.2;-7-1
для I = О считаем (f)ù Q = О,
|/|«я = Е |4$/| + 1л.л+(л.*■
1*1+22*7
Обозначим через ЯДП) = (/ : |/|а,п < оо}. Для Ь > 0 положим
|/|<‘> = supd*|/|.
(Ï
Для а = I + а > 0, нецелого 6, и а + Ь > 0, обозначим через пространства с нормой
|/й = Е
1*1+2j<l
где
а&/(Р) - /(<?)) \
</)“> = sup | г ^l^/(P)-^/(Q)l
Л<г-Р+(01ДОеПД^||к|+“^,_1 P,<? |Д^1+о)/2
Определим пространства Зигмунда На(<Л), açN |45, §18]. Обозначим
|AÎ(S2)/(x,()| . |Д,(П)/(х,*)|
[/),'п - V —щ—+Т —isüo*—’
и для /9=1,2,
/л _sudË!¥M!
(/>ДП SWP - |Д^/2 •
Для целых a > 2 положим
[/ко = Е [#Э?/]..п,
Щ+2«—tt-1
</)o.n = Е <#*/>«>.
|*|+2б=а-2
и для натуральных a
l/Ue = Е 8ЦР 01 + l/)*n + </W
|*|+2*<о-1 П
Обозначим через Ha(Ù) пространство функций /, определенных в области Q и имеющих там нее производные d^dff, |А:| — 2s < а, для которых конечна величина |/|0!л.
Функции /, заданные в области Q С R”, можно рассматривать как функции / в области iî = Q х R С lRn+1, не зависящие от t. Это дает возможность определить изотропные пространства ГЬльдсра-Зигмунда Ha(Q) С помощью ранее введенных обозначений следующим образом:
IUQ) = {/:«- R | 1/1«,q = 1/1*0 < оо} ■
В H„(Ü) рассмотрим подпространство функций
//«.{Ö) = I / € Ha(ft) : sup t~a/2\f{x,t)\ < ос 1,
{ (x.l)eft J
обращающихся в нуль на нижнем основании /?() с нормой
IIZIU,9 = 1/1«,а + sup г°'2|/<М)|.
(xjt)zn
Онредачнм в области О анизотропные пространства Зигмунда с весом Обозначим 6+ = шах(6,0) и |/|q*q = vraisup^d-*4 + 1)~Ч/|. Для натуральных а и целых 6 > —а положим
l/ß = Е sup(<rt) + i)-,^g^l+
|*|+2»—о-1 1 '
- Е
№1+2а=й-1 1 J
/f\<6) _ 4- 1 \-1 Qi
\/Л.Й ” 1 min + Lt |д^ц/2 »
v- , n-i №)#¥/(*. *)l ггпп „ . Л
</)«,й = 2^ UP( min + !) |д7|----2 есЛИ fl ^ 2-
1*1+2»—а-2 11
ий - Е №sC™+Ий+<л& “■6 г «■
|*|+2s<o-i
i/iü=и-« + е т/См)+ий+</>2»«** ь <
—6<|*|+2»<о-1
Через c/min обозначено минимальное значение d{P) от точек, присутствующих в разностях Здесь и далее считаем, что если нижний индекс суммирования меньше верхнего, то соответствующая сумма отсутствует.
Для неотрицательных целых а и целых b > -а обозначим через //,;'J'{S7) пространство функций /, определенных в П и имеющих все производные d%dff 1 где |fc| + 2s < а, для которых конечна величина |/^д.
Пусть точка Р = (х°, *°) принадлежит поверхности Е. Через С, в Р-снстеме координат обозначим цилиндр вида
Сг - {(У, 0 € ИГ | |у'| < г, \уп\ < г, 0 < I < г2};
положим С'т = 6'г П {уп = 0} и СГ(Р) = СГС\ {? <Т - і0}. Поверхность Е называем поверхностью класса а > 1. и пишем Е Є На, если существуст г : 0 < г < оо такое, что для любой точки Р € Ев Р-системс координат
Еп£г = {(у,*) : (і/,І) € <УГ(Р), у„ =у(у',*;Р)},
где функция ,<?(•; Р) : (5'(Р) —> К принадлежит пространству ЯП(6’^.(Р)) и конечна величина
||Е||а = аир \д{-\ Р)\а.С'т(ру
Р€Е
Опишем пространства Гельдера-Зигмунда функций, заданных на поверхности Е. Предположим, что Е € //„, а > 1, тогда для любой точки Р° € Е можно рассматривать отображение
/(-;р°) : с;(р°)-Епа(Рп),
действующее по формуле (в Ро-систсме координат)
М,Ї,Ґ>) = (у',9(у',«;Р°),(), (у',о 6 <5'Г(Р°).
Пусть поверхность Е є и пусть 6 6 (0, а] Линейное пространство функций р : Е *-» К таких, что
(УЯ° Є £) ^ о /(■; Г») Є Я,(<Гг(Р°)),
и конечна величина
1^; Е|ь = Ы1р О /(•; Р°)|^г(Я0),
называем пространством Гельдера-Зигмунда /4(2). Нам понадобятся подпространства
Яб(Е) - {? Є /«£) : |¥>(яг,01 ^ Сі"''2}
с нормой
|М1ь.£=Мб,£+ ЗИр ГЬ/2\<р(хЛ)\.
(г,()еЕ
а
Введение
В слое О = К” х (0,Т), 0 < Т <00, рассматривается равномерно-параболическое уравнение второго порядка:
Ьи = и, - ау(®, - Ь(х,- с(я, *)и = /{.г, £). (0.1)
Целью настоящей работы является исследование свойств решений .чадами Коши и краевых задач для параболических уравнений второго порядка в пространствах Зигмунда //т(Ц), т = 2,3,.... ’Эти пространства являются аналогом и «замыканием» шкалы Гельдера для целых значений показателя гладкости: анизотропные пространства Гельдера-Зигмунда На{й), а > 0. являются частным случаем пространств Николыжот |45, §18| Нецелым значениям параметра гладкости соответствуют пространства Гельдера. целым - Зигмунда.
Внутренняя априорная оценка типа Шаудера в весовых пространствах Гельдера для решений уравнения (0.1) при п = 1 была установлена С. Чи-либерто (1| и в многомерном случае Р. Барраром (2(. Для систем параболических уравнений подобный результат был получен А Фридманом (3|.
Оценки решений первой краевой задачи вплоть до границы в анизотропных пространстве Гельдера Нг¥(,(й), 0 < а < 1, для прямоугольника получены С. Чилиберто [1| и расп]х>странены на многомерный случай
А. Фридманом (4), который рассматривал нецилиндрические области П с границей класса #?+а. Оценки для задачи с косой производной были впервые даны Л.И. Камыниным и В.Н Масленниковой [5,6]. Затем В.Л. Солон-ников [7-9] для широкого класса параболических систем установил разрешимость краевых задач общего вида, удовлетворяющих условию Лопатин-ского, в пространствах Ят+л(П), где число т было не меньше, чем порядок системы. С.Д. Эйдельман (10-15, построил и изучил свойства фундаментальных матриц решений, матриц Грина для параболических систем, и с их помощью получил разрешимость краевых задач и интегральные представления решений.
Исследование краевых задач для уравнения теплопроводности в пространствах Гельдера при меньшей гладкости данных, чем порядок урав-
9
нения, при г» = 1 были начаты Жеире 116). Им были изучены свойства потенциалов с негладкими кривыми-носителями (удовлетворяющими условию Гельдера порядка >1/2), их гладкость; полученные результаты были применены к решению первой и второй краевых задач. Затем А Н Тихонов в своей известной работе |17) исследовал тепловые потенциалы и разрешимость краевых задач для уравнения теплопроводности. В этой же работе был рассмотрен вопрос о связи разрешимости первой краевой задачи в цилиндре и разрешимости задачи Дирихле в области, которая является основанием цилиндра.
Более подробно зависимость гладкости тепловых потенциалов от их плотности и кривой-носителя при л = 1 была изучена Ван Туном (18—20). В 1971-1972 г. Л.И. Камынин (21-26) для одномерного параболического уравнения подробно изучил свойства параболических потенциалов в различных классах функций, в том числе в пространствах Гельдера Нцп(0) и различных весовых классах. Как следствие, им были получены разрешимость краевых задач для параболических уравнений второго порядка в областях на плоскости, «боковая» граница которых удовлетворяла лишь условию Жевре.
В многомерном случае в нецилиндрических областях с негладкой боковой границей в пространствах //1+<>(П) разрешимость первой краевой задачи и задачи с косой производной были получены Е.А. Бадерко (27 29) с помощью метода интегральных уравнений. Также ею был рассмотрен случай уравнений высокого порядка, а именно, для параболических уравнений порядка 2т была установлена разрешимость нормальных (удовлетворяющих условию Лопатинскопо с граничными операторами порядка но выше 2гп — 1) краевых задач в пространствах Гельдера Н2т-1+<*Ф) 130-35). Старшие производные решения могут в этом случае стремиться определенным образом к бесконечности при приближении к параболической границе области. Оценки дня них были получены М.Ф. Череповой (37-39).
Подчеркнем, что во всех указанных работах 0 < а < 1. Естественно возникает вопрос, что можно сказать о решениях в случае целых показателей гладкости? Как известно, в анизотропных пространствах С1 (О)
10
(а = 0) и анизотропных пространствах Липшица С*лф) (а = 1) теоремы, подобные упомянутым выше, не имеют места. Та«, если функция / непрерывна в области П С О, то (обобщенное) решение уравнения теплопроводности щ — Дн = / может не принадлежать С’2(П) {41, с.385|. Этот факт имеет общий характер. Как показал Л. Хермандер (42, с.296|, для любого дифференциального оператора Рт порядка т > 1 с постоянными коэффициентами в Кл, п > 2, найдется функция / € 6Т(К'1) такая, что существует обобщенное решение и уравнения Р„,и = / в К”, причем и € Стт_1(Кп)\Ст(1йр). Более того, /ни могут быть подобраны таким образом, что дня любою мультииндекса к, '/с| = т, производная д£и не будет непрерывна, если только Р„, не кратно 0*.
Чтобы решение уравнения теплопроводности было классическим, достаточно, чтобы правая часть / удовлетворяла условию Лини (10, с.104|. Л.М. Ильин [43] показал, что для коэффициентов и правой части параболического уравнения второго порядка это условие является, в некотором смысле, необходимым. Для уравнений высокого порядка такой результат был получен С.Н. Кружковым (44).
Для непрерывной правой части решение уравнения теплопроводности может не принадлежать даже анизотропному пространству Липшица С1,1 (12) {41, с.385]. Однако, если вместо пространств Липшица рассмотреть более широкие пространства Зигмунда, то, как мы показываем в данной работе, оказывается возможным построение теории гладкости краевых задач, аналогичной теории в пространствах Гельдера. Пространства Гельдера и пространства Зигмунда вместе образуют шкалу, в которой показатель гладкости принимает все положительные значения, целые и нецелые. При этом функции из пространств Зигмунда обладают многими свойствами, аналоги которых неверны в пространствах Гельдера. Это приводит к отличиям в условиях на данные задачи, при которых имеет место принадлежность решения краевых задач к соответствующему классу.
Помимо исследования гладкости решений значительная часть настоящей работы посвящена исследованию различий в свойствах решений параболических уравнений в анизотропных пространствах Гельдера и Зигмун-
11
да.
Определение анизотропных пространств Зигмунда Н,„{И) получается 1гз определения соответствующих пространств Липшица заменой в нормах разностей Д/ на разности второго порядка Д2/ [45, с.'267]. Известно, что при 0 < а < 1 условия |Д*/| < С|Дя|а и |Дх/| < С1Д;с|° эквивалентны (79, с. 119]. Это означает, что шкалу Гельдера-Зигмунда можно задавать единообразно с помощью разностей второго порядка. Если же а = 1, то из условия [Д|У| < С|Даг| вытекает лишь неулучшаемая оценка |Д^/[ < С|Дя|(| 1п )Д#|)+1). Функции из ЯДК), в отличие от липшицевых функций из С0,1 (К), могут быть нигде не дифференцируемы [46].
Как известно |45, с.270], И^й) С Н^\+0{й), где с» € (0,1), для областей с достаточно регулярной границей, в частности, для всех областей, которые рассматриваются в данной работе.
Эллиптические краевые задачи для уравнений произвольного порядка в пространствах Зигмунда Нт(0) изучались Трибелем [47, §4.3.4]. Им были получены оценки дня решения в ограниченной области в предположении, что справедлива теорема единственности. Граница области и коэффициенты уравнения предполагались принадлежащими классу С30.
Диссертация состоит из шести глав. В первых трех исследуются решения задач для уравнения теплопроводности, а в последних трех - решения дня параболических уравнений с переменными коэффициентами.
В первой главе мы рассматриваем задачу Коши для уравнения теплопроводности в параболических пространствах Зигмунда #т{£>), т > 2. При т = 0 рассматриваемые решения являются обобщенными, поскольку, как уже упоминалось, если от правой части требовать только ограниченность, то решение может не иметь внутри слоя непрерывных производных, входящих в уравнение. Кроме того, рассматривается задача Коши в пространствах Зигмунда Нт‘\0) с весом. Отметим, что оценки решений задачи Коши в пространствах //,-,Г'’(£>) применяются далее во второй и третьей главах для исследования решений краевых задач, логарифмических особенностей производных решений, а также для изучения свойств функций из самих пространств Зигмунда.
12
Во второй главе изучаются краевые задачи в модельном случае: первая краевая задача и задача с косой производной в полуслое 13+ = О П {х„ > 0} Для задачи с косой производной коэффициенты граничного оператора постоянны, а дифференцирование осуществляется по некасательному направлению. Построена шкала гладкости для решений указанных задач в пространствах Зигмунда #,„(£)+) для целых т> 2. При этом появляются два новых (по сравнению с пространствами Гельдера) эффекта.
Первый из них касается условий согласования. Как известно, для принадлежности решений пространствам Гельдера данные задачи предполагаются принадлежащими соответствующим классам, согласованным с требуемой гладкостью решений. Кроме того, все производные граничной функции по «временной» переменной, которые должны быть непрерывны, на основании «боковой» границы области выражаются определенным образом через производные начальной функции и правой части |48, гл.4). Оказывается, что для принадлежности решений краевых задач пространствам Зигмунда условий такого вида недостаточно, если порядок условий согласования (определение см. ниже в гл. 2) является целым числом Мы вводим дополнительные условия согласования и устанавливаем принадлежность решений модельных краевых задач пространствам Зигмунда. При этом оказывается, что дополнительные условия согласования возникают для первой краевой задачи при целом значении (га + 2)/2, а для задачи с косой производной при (т + 1)/2 Є N. т.е. при четных и нечетных га соответственно. Мы показываем, что эти дополнительные условия (вместе с условиями того же вида, что и в пространствах Гельдера, и соответствующей гладкостью данных) являются необходимыми и достаточными для принадлежности решения пространству НП1{С1).
Второе отличие появляется в опенке корректности. Как известно, норма решения в пространствах Гельдера мажорируется суммой соответствующих норм данных задачи. В случае пространств Зигмунда в мажоранте появляется дополнительное слагаемое - величина (называемая далее константой согласования), конечность которой требуют новые условия согласования. Кроме того, мы показываем, что эта величина, в свою очередь,
13