ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение.................................................................3
Глава 1. Задача Коши для уравнений Лапласа и Пуассона
в комплексном пространстве......................................17
1.1. Уравнение Лапласа в трёхмерном пространстве........................17
1.2. Уравнение Лапласа в пространстве произвольной размерности..........26
1.3. Уравнение Пуассона.................................................30
Глава 2. Задача Коши для эллиптического уравнения, порождаемого
линейной комбинацией степеней оператора Лапласа.................36
Глава 3. Задача Коши для полигармонического и
полиметагармонического уравнений................................43
3.1. Полигармопическое уравнение........................................43
3.2. Полиметагармоническое уравнение....................................58
Библиографический список использованной литературы......................62
ВВЕДЕНИЕ
Поиск решений дифференциальных уравнений с частными производными второго и более высоких порядков всегда находился в сфере повышенных интересов многих выдающихся математиков на протяжении уже не одного столетия. Так, классические уравнения математической физики рассматривались ещё в восемнадцатом веке.
Как практические, так и теоретические потребности приводили исследователей к необходимости нахождения таких решений, которые удовлетворяли бы ещё тем или иным дополнительным условиям. Эти условия известны теперь как начальные и краевые условия, а задачи, связанные с ними - как задача Коши, задача Дирихле и др.
В работах Адамара начала двадцатого века было введено понятие корректности (и некорректности) постановки задачи Коши (распространённое впоследствии и на другие краевые задачи) для уравнений с частными производными. Как оказалось, для каждого типа уравнений существуют свои корректно поставленные задачи (см., напр., [11], [17]).
Так, для классического уравнения Лапласа в вещественном пространстве
Кп постановка задачи Дирихле является корректной.
Этого нельзя сказать о задаче Коши. В частности, как показывает известный пример Адамара [17], решение задачи Коши для уравнения Лапласа единственно, но неустойчиво.
Для того, чтобы постановка задачи Коши была корректной, необходимо сузить класс рассматриваемых решений уравнения Лапласа. Таким сужением может служить класс равномерно ограниченных решений. При таком предположении оценки, характеризующие устойчивость решения задачи Коши, впервые были получены М.М. Лаврентьевым для произвольной пространственной области с достаточно гладкой границей [12]. Аналогичные оценки были получены С.Н.Мергеляном для функций внутри сферы [16]. На случай произвольного эллиптического уравнения решение вопроса об
устойчивости пространственной задачи Коши было распространено Е.М.Ландисом [13].
В 30-е гг. двадцатого века в работах ряда математиков (см. об этом [11]) появляются простейшие дифференциальные уравнения с комплексными переменными. Это связано, прежде всего, с началом широкого применения в изучении вещественных дифференциальных уравнений методов теории функций комплексного переменного.
Особо следует отметить труды И.Н.Векуа [7], [8], в которых применение таких методов привело к созданию аналитической теории эллиптических уравнений и систем с двумя независимыми переменными.
Весьма плодотворным применение аппарата теории функций одного и многих комплексных переменных оказалось и в более сложном случае многомерных уравнений. Глубокие результаты, полученные здесь, связаны, прежде всего, с именами А.В.Бицадзе [4], [5], И.Н.Векуа [7], [8], З.И.Халилова [22], а также С.Бергмана [1], [39], Л.Берса [40], П. Гарабедяна [41], [42], Г.Леви [43] и др.
В связи с этим возникает самостоятельный интерес к собственно комплексным дифференциальным уравнениям.
Первоначальной работой здесь является, по-видимому, статья А.И.Янушаускаса [31], в которой им рассматривалось уравнение Лапласа с тремя комплексными переменными. Для решения этого уравнения получено интегральное представление через голоморфные функции двух комплексных переменных. При этом оказалось, что, в отличие от вещественного случая, задача Коши в случае комплексного уравнения Лапласа является корректной.
Вполне естественным развитием теории комплексных дифференциальных уравнений представляется рассмотрение задачи Коши для более общих эллиптических уравнений (как в отношении их порядка, так и в отношении количества переменных). Основы аналитической теории таких уравнений по состоянию на 1979 год были систематизированы
А.И.Янушаускасом в его моно!рафии [34].
4
В настоящее время эта теория, продолжая интенсивно развиваться (см., напр., [44] - [48]) всё ещё остается весьма далёкой от завершающих результатов, что диктует необходимость дальнейших исследований (см. об этом [36], [37]).
В рамках этой же теории находятся и исследования, выполненные в диссертационной работе, которая посвящена аналитическому описанию решений задачи Коши для некоторых классов комплексных дифференциальных уравнений, образованных при помощи оператора Лапласа.
Прежде, чем перейти к анализу результатов диссертации, уточним терминологию и сделаем замечание относительно нумерации приводимых в диссертации положений.
Нумерация утверждений и формул проводится посредством двух чисел, первое из которых означает номер главы, а второе - номер одноименного утверждения или формулы. Так, например, название «лемма 3.1» означает первую (по порядку изложения) лемму в третьей главе, а номер формулы (2.14) означает четырнадцатую из формул, выделенных в тексте второй главы.
Следуя А.И.Янушаускасу [34], будем говорить, что комплексное дифференциальное уравнение является эллиптическим (гиперболическим или параболическим), если оно является таковым при вещественных значениях переменных.
В первой главе диссертации рассматривается задача Коши для уравнений Лапласа и Пуассона. Основные результаты этой главы опубликованы в работах [24], [27], [29].
Говоря здесь и далее о задаче Коши, следует отметить, что существование и единственность её решения принципиально гарантируются универсальной теоремой Коши - Ковалевской, имеющей место и для комплексных переменных [23].
При этом, если в вещественном пространстве существование решения гарантируется только в малом, то уже в комплексном пространстве оно имеет место в целом.
5
Разумеется, теорема Коши - Ковалевской не дает общего аналитического выражения решения задачи Коши для того или иного дифференциального уравнения, и нашей основной задачей в первой и последующих главах является получение таких аналитических формул.
Первый параграф главы 1 посвящён трёхмерному (относительно пространства С' комплексных переменных X, у, 2) уравнению Лапласа, для
которого изучается задача Коши в следующей постановке: найти голоморфное решение уравнения
д и д?и д2и
А и =
+
+
дх2 ду2 д!2
-О,
0.1)
удовлетворяющее начальным условиям
ди
и
= ё(х,у),
&
(1.2)
г-0
где / и g - функции, голоморфные в некоторой области голоморфности
ОаС~ и непрерывные в замкнутой области О.
Заметим здесь, что А.И.Янушаускасом в [33] при помощи исследования задачи Коши для уравнения Лапласа в другой форме
. д7и д2и
= 0,
д&ц дС
получаемой преобразованием уравнения (1.1) посредством замены переменных
£=* + />, Т1 = х-1у, £=г,
выведено интегральное представление гармонических функций трёх новых независимых комплексных переменных Т/, а именно
4 К г, г.
г) Р Гп-1- С л
Г’2- ( (- - п))
+
6
- Київ+380960830922