Краевые задачи и задачи оптимизации движения вязкого газа

Оглавление
Введение 3
Основные обозначения 10
Г л а в а I. Задачи оптимального управления течениями вязкого газа для плоских волн 12
§ 1 Постановки задач................................................... 12
§ 2 Оптимальное управление............................................. 18
§ 3 Вспомогательные результаты..........................................21
§ 4 Дифференциальные свойства отображения
V —> {и(г;);р(г>)} для Задачи 1.....................................23
§ 5 Необходимые условия оптимальности экстремальной задачи (2.6) ... 29
§ 6 Достаточные условия оптимальности экстремальной задачи (2.6) ... 36
§ 7 Дифференциальные свойства отображения
V —» {и^);/>^)} в задаче со свободной границей......................39
§ 8 Необходимые условия оптимальности для задачи (2.14)..................45
§9 Достаточные условия оптимальности экстремальной задачи (2.14) ... 49
Г л а в а II. Задача оптимального стартового управления 53
§ 1 Постановка затачи...................................................53
§ 2 Разрешимость начальнокраевой задачи................................ 54
§ 3 Оптимальное стартовое управление....................................73
§ 4 Исследование свойств отображения
Ф->{и(Ф;/>(Ф)}......................................................74
§ 5 Необходимые условия оптимальности...................................78
§ 6 Единственность .....................................................84
Глава III. Глобальные решения многомерных приближенных уравнений Навьс-Стокса 87
§ 1 Постановка задачи...................................................87
§ 2 Априорные оценки....................................................88
§ 3 Оптимальное стартовое управление....................................98
2
Введение
Целью диссертации является изучение задач оптимального управления доя нестационарных течений вязкого 1-аза. В работе исследуется корректность краевых задач для модельной системы динамики газа. Рассматриваются следующие вопросы.
1). Разрешимость задач оптимального управления движением вязкого газа. Вывод необходимых условий оптимальности.
2). Изучение структуры множества оптимальных управлений.
3). Разрешимость начально-краевах задач доя модельной системы уравнений Навье-Стокса в многомерном случае.
Краткий обзор предыдущих исследований
Многие задачи физики и инженерной практики при математической формализации приводят к нелинейным уравнениям с частными производными.
Уравнения Навье-Стокса — это основная модель динамики сжимаемой среды . Большой интерес в последние годы вызывает система уравнений Навье-Стокса для вязкою газа, которая в случае баротронного движения имеет- следующий вид [27),
Неизвестные функции р, и и Р соответствуют плотности газа (р > 0) его скорости и давлению; р и Л — постоянные коэффициенты динамической и объемной вязкости, д > 0, ЗА + 2д > 0.
Проблема существования глобальных решений многомерных уравнений Навье-Стокса до последнего времени оставалась открытой и привлекала внимание многих специалистов, работающих в данной области.
Начало изучению вопросов математической корректности краевых задач доя модели Навье-Стокса вязкого теплопроводного газа положили работы Серрина [86|, Нэша [84]. В 1959 г. Дж. Серрином [86| были сформулированны постановки основных краевых задач и доказаны теоремы единственности в классе гладких решений. В частности, были рассмотрены следующие варианты граничных задач для системы
(1). Пусть движение среды происходит в ограниченной области Г2 пространства Я3, граница которой дС1 является непроницаемой твердой стенкой. Тогда на дО. выполняются условия прилипания, т.е.
[38]:
^ + а* (ир) = о,
С)
Р = с2/?7, 7 > 1, с > 0.
и|/ю = 0.
(2)
3
Другая возможность — на границе дІЇ задается вектор напряжения Рп,
РпІсШ = ~(Р+ |/^іу и)п + 2/г(£> • п)|ал = Н,
(3)
где О — тензор скоростей деформаций с компонентами
Такие граничные условия возникают, например, в задачах со свободными границами, при этом для определения самой границы д$1 применяется так называемое кинематическое условие
которое означает, что материальная частица, находящаяся на свободной границе, может перемещаться только вдоль нее.
Первая теорема существования для уравнений Навье-Стокса сжимаемого вязкого газа была получена Дж. Нэшем [84) в 1962 г. Им было доказано существование классического решения для задачи Коши, когда & = Я3, в малом по времени. Результат Нэша [84] был затем повторен и обобщен с применением других методов в работах японского математика Н. Итая [75|, а также А.И. Вольперта и С.И. Худяева [12]. Для смешанных задач разрешимость в малом но времени в случае баротронного газа доказана В.А. Солонниковым [41], а в случае теплопроводного газа — А. Тани [90]. Существование решений в целом но времени для общей модели установлено только при дополнительных условиях: А. Мацу мура и Т. Нишида [83] доказали, что задача Коши разрешима на любом промежутке времени, если данные задачи близки к состоянию покоя. Поведение решений уравнений Навье-Стокса «в целом» по времени исчерпывающе изучено только в случае одномерного движения с плоскими волнами. Наиболее полно об этом изложено в [4].
Важное значение для принципиального понимания ситуации имеет работа [8], в которой построены примеры разрушающихся за конечное время решений уравнений Навье-Стокса.
В настоящее время ведутся активные поиски новых подходов к проблеме корректности «в целом» для уравнений Навье-Стокса в многомерном случае на примерах более простых гидродинамических моделей. Некоторые новые идеи и исследования в этой трудной проблеме представлены в работах [9, 10, 32, 80, 81, 85]. Среди различных вариантов упрощения уравнения Навье-Стокса наиболее известными являются, во-первых, квазистационарная модель
дії = {{%,£) : £(хЛ) = 0}, “ + (« ■ VK|в^2 = 0,
дДи + {{.14- А)У(<И\ и) - УР = О,
— 4- гіїV (и/А = П. Р = с2/Р, 7 > 1, с > 0.
(4)
и. во-вторых, приближение Стокса
р^- = рАи +- (р 4- A)V(divu) - VP,
(ft.
— + div (up) = 0, P = cV, 7 > с > 0. (5)
где p = const > 0 — средняя плотность. Обе модели (4) и (5) являются хорошим приближением для сильно вязких газов, причем в (4) дополнительно предполагаются малыми ускорения, т.е. все инерционные члены уравнения импульса в (1) исключаются из системы. Математические исследования модели (4) были начаты в работе [64] в случае стационарных течений, в [19] доказано существование глобальных решений системы в классе потенциальных течений.
Для системы (5) в случае потенциального течения периодичного по пространственным переменным при 7 = 1 в работе [9] доказано, во-первых, существование обобщенных (слабых) решений при любом конечном числе пространственных переменных, а во-вторых, в двумерном случае показано, что при достаточно гладких данных обобщенное решение также обладает соответствующей гладкостью. Найдены условия единственности.
В цикле работ В.В. Шелухина [55|-[58] исследованы вопросы существования периодических, почти-иериодических решений для модельных систем уравнений вязкого газа.
Примеры из (8| указывают на возможность получить разрешимость «в целом» при дополнительных требованиях роста коэффициентов вязкости и давления как функций от плотности. В связи с этим на функции р{р), А(/>), Р(р) налагаются следующие условия:
Кр) = 1, М/») = Л P(p) = Rp\ &> Ъ, Я > 0, 7 > 0. (6)
Таким образом, отказ от постоянства от коэффициента А позволил построить развернутую систему априорных оценок и доказать существование «в целом» по времени слабых, сильных и классических решений двумерной задачи [11]. В качестве простейшего варианта начально-краевой задачи рассматривалась периодическая по пространственным переменным система. 13 указанной работе решение строится в пространствах Орлича. Впервые, по-видимому, эти пространства для исследования системы Навье-Стокса были использованы в [85], где предпринята попытка решения двумерной проблемы; в связи с этим следует также упомянуть работу [81]. Однако п
[11] существование в целом но времени (при п = 2) установлено впервые.
Интересно отметить, что проблема разрешимости уравнений Навье-Огокса принимает принципиально различные формы в зависимости от того, двумерный или трехмерный случай рассматривается. В последнем случае лишь нелинейность определяющего уравнения дтя напряжений (т.е. в случае, когда тензор напряжений
Р' = Y,ak(p,J,(D))D\ з = 1 п (7)
к=О
5
нелинеен по и) позволила доказать глобальное существование решений [22]. В этом направлении отметим также работы [33], [31], в которых рассматривался случай, когда плотность входит в (7) только через давление, которое является линейной функцией от плотности:
Р1 = —pi + Р( и),
а тензор Р(и) представляет собой произвольный (вообще говоря, нелокальный по я) оператор от и. Модель Бюргерса, т.е. ситуация, в которой Р' зависит только от и, Р' = Р(и) была рассмотрена А.Е. Мамонтовым [82, 35].
Задачи оптимального управления для нелинейных уравнений гидродинамики впервые были изучены A.B. Фурсиковым [44, 45, 46]. В работах следующих авторов: Ж.-Л. Лионе [26], М. Gad-el-Hak [76], F. Abergel, R. Ternarn [59], M. Gunzburger, L. Hou, T. Svobodny [77, 78, 79], S. Sritharan [87. 88]. H. Fattorini, S. Sritharam [70], А.Ю. Чеботарев [47, 48, 49, 51, 52. 53, 54. 60]. M. Desai, K. Tt.o [69], E. Casas [66, 67], T. Svobodny [89], R. Temam [91]. J. Burkardt, J. Peterson [65], Г.В. Алексеев [2], Д.A. Терешко [3, 61], Hyung-Cheii Lee, O.A. Иммануилов [74], J.Baker. A.Amaou, P.D.Chiristofides [62], O.Chattas, J.-H Bark [68], A.V. Fursikov, M.D. Gunzburger, L.S. Hou [72], M. Hinze, K. Kunisch [73), Barbu V. [63] рассматривались задачи оптимального управления для стационарных и эволюционных уравнений Навье-Стокса однородной жидкости.
Как известно автору, впервые задачи оптимального управления стационарным движением неоднородной жидкости были поставлены и исследованы A.A. Илларионовым [13, 14, 15, 16]. Задача оптимального управления движением вязкого газа, описываемым системой (1) в одномерном случае была рассмотрена в работе С.Я. Белова |6|, в которой доказана теорема существования и «почти» единственности решений экстремальной задачи.
В диссертации исследуются некоторые вопросы, связанные с задачами оптимального управления движением вязкого газа (существование, необходимые и достаточные условия оптимальности). Изучена корректность модельной системы (5) в более общем случае, чем в [9]. То есть, изучены непотенциальные течения и рассмотрен случай 7 > 1.
Краткое описание результатов диссертации
По своей структуре диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.
В первой главе рассматриваются экстремальные задачи об одномерном движении вязкого газа в областях с неподвижной границей и со свободной границей.
В случае неподвижной границы задача заключается в нахождении неизвестных и, р и управления -у(т), удовлетворяющих системе (1) вместе с начальными и граиич-
6
ными условиями:
«lt=o = v(z)> p\t=o = Mx), xe Cl, Q=(0,L0),
uli=0 = U\x=La = ^ ^ (®>^) (®)
и дополнительному экстремальному условию
Г ho
Ja(v; и, p) = ./(-a, p) + a (vx — Udx)dx -> inf . (9)
J о v6t/ed
Здесь a — положительная константа, функция щ считается заданной, UQd ~ заданное множество управлений, J(u, р) — заданный функционал.
Задача оптимального управления в случае подвижной границы ставится следующим образом. Пусть в начальный момент времени (t = 0) газ заполняет ограниченную область П0 = {гг : 0 < х < Т0}> 11 известны характеристики среды:
Ч=о = p\t=o = Po(x)> *ЄП0- (Ю)
При t > 0 область течения ограничена двумя границами. Через левую границу, которая является неподвижной, газ втекает (н|х=о > 0), а на правой границе газ находится в контакте с вакуумом. Тогда на левой границе необходимо задать еще граничное условие для плотности
4=o=v2№ >0) р\х=0 = *40 > 0, t 6 (0,Г). (11)
Правая граница движется по закону х = z{t). Газ может двигаться таким образом, что крайняя справа частица расположена на стенке z{t). Уравнение правой границы есть решение задачи Коши
^ = u(z,t), г|,=0 = L0.
На этой неизвестной границе равно нулю напряжение:
О». - f)U» = 0. (12)
Требуется минимизировать функционал
rjy
JQ(V\U,p) = J{u,p) + Oi [ (Vix)2<tX + Q'2 f (v2 t)2dt -ï inf, (13)
jQa J 0 V'GUc
где Uc — заданное множество управлений, V = {г?і, г>2}, J(u,p) — заданный функционал. В данной задаче значения скорости и плотности на проницаемой границе связаны соотношением
v2(t)v3(t) = R(t),
которое означает, что масса газа втекающего в область не меняется при изменнении управления v2 .
7
Во втором параграфе данной главы доказываются теоремы существования решений рассматриваемых задач оптимального управления.
Выведены необходимые условия оптимальности, на основе которых исследованы качественные свойства сформулированных экстремальных задач. В частности, установлена слабая замкнутость множества решений, компактность и получены условия, гарантирующие единственность решения экстремальных задач (9), (13).
Вторая глава посвящена изучению корректности краевой задачи и задачи оптимального стартового управления баротропным движением вязкого газа в многомерном случае. Рассматривается упрощенная модель уравнений Навье-Стокса (5) вместе с начальными и краевыми условиями:
Ч=о = М*)» Р|(=о = Ро(х) >0, х € Й, (14)
и • п = 0, кЛи х п = 0, х 6 * € (0,Т). (15)
Пусть и — заданное множество управлений. Задача оптимизации формулируется
следующим образом. Требуется найти пару {и(); р0} € и, удовлетворяющую экстре-
мальному условию:
М*о, ро; и, р) = J(а, р) + ачЦи,, - уи ||^,(п) + а2\\ро - уХнЦп) {ио“$еи>
где и = и(и0, ро), р = р(и0, ро) — состояние системы (5), (14), (15), уи, ур — заданные функции, 3(и,р) — заданный функционал.
В настоящей работе доказано существование обобщенного решения задачи (5), (14), (15). Теорема единственности напучена только при п = 2. В случае когда 7=1, п = 2 выведена и обоснована система оптимальности. Доказана слабая замкнутость множества решений экстремальной задачи. Получены условия единственности решения экстремальной задачи в случае двумерной области.
В третьей главе рассматривается задача оптимального стартового управления для модели (5) с условием «прилипания» на границе.
Требуется определить величины и, р и управление но, удовлетворяющие системе (5) и условиям:
и = 0, х €дП, *6(0,Г); (16)
Ч=о = и°(4 4=о = Ро(х) > °> х <= П, (17)
.7«(и0; и,р) = ./(и, р) + ог||и0 - у|||»(Й) -> иот£ ^
где иа<1 — заданное множество управлений, и = и(и0), р = р(и0) — состояние системы (5), (16), (17), у — заданная функция, J(\l,p) — заданный функционал.
Во втором параграфе данной главы доказана теорема существования обобщенного решения задачи (5), (16), (17). Теорема существования экстремальной задачи получена в §3.
8