Оглавление
Введение 4
1 Оценки спектра самосопряжённых дифференциальных оператор-функций 8
1.1 Свойства дифференциальных оператор-функций.............. 8
1.1.1 Квадратичные формы операторов-значений........... 11
1.1.2 Локально равномерная полуограниченность.......... 14
1.1.3 Резольвентная непрерывность..................... 16
1.1.4 Замыкания квадратичных форм операторов-значений 16
1.2 Оценки собственных значений ........................... 17
1.2.1 Простейшие оценки собственных значений .......... 18
1.2.2 Оценки при выполнении условий монотонности ... 19
1.2.3 Оценки при выполнении условий отрицательности
типа спектра..................................... 21
1.2.4 Применение к дифференциальным оператор-
функциям ........................................ 24
1.3 Сравнение с известными оценками спектра дифференциальных оператор-функций 26
1.3.1 Простейшие оценки для задачи Штурма-Лиувилля 26
1.3.2 Более точные оценки для задачи Штурма-Лиувилля 27
1.3.3 Оценки для задачи второго порядка с неразделёнными краевыми условиями ............................... 28
1.3.4 Оценки для задачи высшего порядка с разделёнными краевыми условиями................................... 32
1.4 Некоторые обобщения.................................... 34
2
1.4.1 Применение теорем 1.1-1.3 к другим классам дифференциальных операторов................................. 34
1.4.2 Редукция сингулярных оператор-функций к регулярным .................................................. 34
2 Асимптотики собственных значений простейшей операторной матрицы 37
2.1 Условия накопления дискретного спектра.................... 37
2.1.1 Условия накопления в абстрактной форме............. 38
2.1.2 Осцилляционная теорема и конкретизация условий
накопления......................................... 39
2.2 Асимптотики накопления дискретного спектра................ 40
2.2.1 Логарифмическая асимптотика........................ 41
2.2.2 Степенная асимптотика.............................. 45
2.2.3 Оценка остатка в степенной асимптотике............. 49
3 Асимптотики собственных значений операторной матрицы из теории упругости 52
3.1 Основные свойства операторной матрицы..................... 52
3.1.1 Замыкаемость и существенный спектр................. 54
3.1.2 Существенная самосопряжённость в индефинитной
метрике............................................ 57
3.1.3 Передаточная функция............................... 59
3.2 Оценки числа отрицательных собственных значений для операторов четвёртого порядка................................ 63
3.2.1 Оценки числа отрицательных собственных значений
для модельных операторов........................... 63
3.2.2 Оценки числа отрицательных собственных значений
в более общем случае............................... 67
3.3 Условия и асимптотики накопления дискретного спектра . 75
3.3.1 Условия накопления дискретною спектра.............. 76
3.3.2 Логарифмические асимптотики........................ 79
3
Введение
При изучении задач механики сплошных сред возникают дифференциальные операторные матрицы и связанные с ними дифференциальные оператор-функции, нелинейно зависящие от спектрального параметра Л. Например, одна из простейших моделей магнитной гидродинамики связана с оператор-функцией вида
Многочисленные примеры других возникающих в магнитной гидродинамике дифференциальных оператор-функций можно найти в монографии [24], а также в статье |4]. Некоторые операторные матрицы, возникающие в теории упругости, рассмотрены в монографии [8].
Из-за своей тесной связи с приложениями задачи о спектральных свойствах дифференциальных оператор-функций с достаточно общим характером зависимости от спектрального параметра привлекали и привлекают большое внимание. Так, важные результаты для оператор-функций второго порядка получены уже в 1939 году в статье [20]. В последнее время появилось значительное число работ, посвящённых разработке методов численного нахождения собственных значений дифференциальных оператор-функций, нелинейно зависящих от спектрального параметра. Отмегим среди этих работ статьи А. А. Абрамова [1], [2] и [3], а также статьи Л. Д. Акуленко и С. В. Нестерова [5], [6| и [7].
Однако вопрос о качественном описании поведения собственных значений операторных матриц и связанных с ними оператор-функций вблизи критических точек (в частности, границ непрерывного спектра) исследован недостаточно полно. Например, в работе [26] для задач Штурма-Лиувилля с монотонно зависящими от спектрального параметра коэф-
4
фициентами получен ответ на вопрос об условиях накопления собственных значений к критическим точкам, но не получено никаких асимптотических формул, более точно характеризующих накопление собственных значений. Кроме того, в приложениях возникают оператор-функции, коэффициенты которых не являются монотонными по спектральному параметру. Однако такие оператор-функции изучены только в частных случаях (см., например, статьи [22] и [23]).
Настоящая диссертация посвящается исследованию вопроса о качественном описании поведения собственных значений дифференциальных операторных матриц и связанных с ними оператор-функций (в том числе немонотонных по спектральному параметру) в окрестности критических точек.
Применяемая в диссертации методика базируется на теории полуогра-ниченных операторов в гильбертовом пространстве. Это отличает диссертацию от работ [20] и [1] — [3], в которых нелинейная задача на собственные значения сперва сводится к гамильтоновой системе дифференциальных уравнений первого порядка, а затем полученная гамильтонова система анализируется на основе матричной осцилляционной теории (изложение которой дано в монографии [9]). Подход диссертации можно считать дальнейшим развитием методов, изложенных в монографиях [18] и [34].
Краткая характеристика содержания диссертации такова.
В первой главе развивается основанный на теоремах представления по-луограниченных операторов квадратичными формами абстрактный подход к получению оценок и равенств для числа лежащих на заданном интервале собственных значений оператор-функций. Получаемые при этом общие теоремы применяются к дифференциальным оператор-функциям. Таким образом устанавливаются оценки и равенства для числа собственных значений дифференциальных оператор-функций на заданном интервале. При этом, вообще говоря, не требуется монотонности коэффициентов оператор-фз'нкции по спектральному параметру.
Вторая и третья главы посвящены применению результатов первой главы к изучению конкретных задач, связанных с приложениями.
Именно, во второй главе проводится исследование собственных значе-
ний операторной матрицы вида
(-£*>).
V ?(ж) и(х)/
При этом получены логарифмическая и степенная асимптотики для счётной функции собственных значений в окрестности границы непрерывного спектра. Для степенной асимптотики проведена также оценка остатка.
В третьей главе исследуется операторная матрица
1 0 /
возникающая в задаче о малых колебаниях стержня с внутренним трением (материал Фойхта). Отметим, что связанная с этой матрицей оператор-функция четвёртого порядка в физически интересном случае немонотонна по спектральному параметру. Однако для неё тоже получены условия накопления собственных значений к критическим точкам, а также логарифмические асимптотики такого накопления.
Часть результатов диссертации была изложена в статьях диссертанта [12] — [17).
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих семинарах.
• «Несамосопряжённые операторы», руководители — профессора А. Г. Костюченко и А. А. Шкаликов.
• «Операторные модели математической физики», руководители — профессор А. А. Шпаликова и доцент И. А. Шейнак.
• Рабочем семинаре профессоров Л. Д. Акуленко и С. В. Нестерова в ИПМ РАН.
• Рабочем семинаре профессора А. А. Абрамова в ВЦ РАН. Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях.
6
- Київ+380960830922