2
Оглавление
Общая характеристика работы......................................... 5
1. Постановка вопроса............................................. 5
2. Актуальность темы.............................................. 7
3. Цель работы.................................................... 9
4. Методика исследования......................................... 10
5. Научная новизна полученных результатов........................ 10
6. Теоретическая и практическая значимость................... 11
7. Апробация................................................. 11
8. Публикации................................................ 12
9. Вклад автора в разработку избранных проблем............... 12
10. Структура и объем работы ................................... 12
11. Некоторые замечания.......................................... 12
Содержание диссертации........................................... 14
ГЛАВА I. Внутренняя геометрия /н-мерной поверхности проективно-метрического пространства............................... 24
$1. Проективно-метрическое пространство Кп....................... 24
§2. Распределение т-мерных линейных элементов проективнометрического пространства Кп и ассоциированное с ним гипер-полосное распределение........................................... 26
§3. Полный фундаментальный геометрический объект т-мерной поверхности У„ (т<п-1), не принадлежащей абсолюту проективно-метрического пространства......................... 31
1. /я-мерная поверхность Ут (т<п-1) пространства Кп и ассоциированная с ней гиперполоса............................. 32
2. Инвариантные оснащения регулярной гипсрполосы Н„, ассоциированной с поверхностью Ут с Кп (т<п-1).............. 36
3. Полный внутренний фундаментальный геометрический объект поверхности Ут с:Кп (т<п-7)........................ 39
3
§4. Геометрия т-мерной поверхности, принадлежащей абсолюту проективно-метрического пространства........................... 40
1. /и-мерная поверхность Ут (т<п-/), принадлежащая абсолюту проективно-метрического пространства, и ассоциированная с
ней гнпсрполоса............................................... 40
2. Двойственный образ регулярной квадратичной гипсрполосы
"«(О*-,)...................................................... 48
3. Инвариантные оснащения в смысле Нордена-Чакмазяна регулярной гипсрполосы //„,((?„_])............................ 52
4. Внутренняя геометрия двойственных аффинных связностей, индуцируемых нормализацией регулярной квадратичной гиперполосы 55
5. Связь между геометриями поверхности Ут сРл_| и /л-мерной поверхности конформного пространства Сп_х................. 62
ГЛАВА II. Двойственная геометрия распределения гиперплоскости ьгх элементов проективно-метрического пространства....................................................... 65
§1. Тангенциальное проективно-метрическое пространство К„, индуктируемое регулярным распределением гиперплоскостиьа' элементов........................................................... 65
1. Поля геометрических объектов на распределении гиперпло-скостных элементов........................................ 65
2. Двойственный образ регулярного распределения гиперпло-скостных элементов 91 в К„ и тангенциальное проективнометрическое пространство К„................................... 67
§ 2. Двойственные нормализации регулярного распределения гиперплоскости их элементов...................................... 73
1. Двойственные поля соприкасающихся гиперквадрик............. 73
2. Внутренние инвариантные оснащения в смысле А. П. Нордсна распределения 'Д в Кп..................................... 76
3. Двойственные аффинные связности на нормализованном распределении гипернлоскостных элементов..................... 82
4
£ 3. Метрика тангенциального проективно-метрического пространства..................................................... 85
§4 Внутренняя геометрия нормализованного тангенциального проективно-метрического пространства.......................... 87
ГЛАВА III. Геометрия гиперповерхпостн проективно-метрического пространства.......................................... 93
§1. Двойственный образ регулярной гиперповерхности У„_х пространства К„.................................................. 93
§2. Полярная гиперповерхность проективно-метрического пространства..................................................... 98
1. Дифференциальные уравнения полярной гиперповерхности
?.-!......................................................
2. Двойственный образ полярной гиперповерхности Уп_х......... 106
§3. Взаимные и полярные двойственные нормализации гиперповерхностей Уп_х и У„_х пространства Кп....................... 108
§4. Двойственные аффинные связности, индуцируемые полярными нормализациями гиперповерхностей Уп_х и Уп_х пространства
К*............................................................... 47
ЛИТЕРАТУРА
123
5
Общая характеристика работы
1. Постановка вопроса. Теория различных дифференцируемых подмногообразий однородных и обобщённых пространств составляет одно из основных направлений исследований современной дифференциальной геометрии. Актуальным разделом этой теории является дифференциальная геометрия оснащенных многообразий, погружённых как в пространства с фундаментальными группами, так и в обобщённые пространства.
Дифференцируемое многообразие, погружённое в пространство с фундаментально-групповой связностью, называется оснащённым [39], если на нём определено поле некоторого геометрического объекта (поле оснащающего объекта многообразия):
= Ч'12{%)0)*2
где со3' - главные (первичные) формы, а а)3* - вторичные формы Пфаффа на многообразии Тип оснащения погружённого многообразия характеризуется строением основных функций определяющих оснащающий
объект в зависимости от их строения получаем различные оснащения многообразия (например, в смысле А.П. Нордена [62], Э. Картана [103] и др)-
Дифференциальная геометрия многомерных однородных пространств оформилась как самостоятельная ветвь геометрической пауки лишь в двадцатом столетни. Первоначально она развивалась в направлении изучения поверхностей и конгруэнций в трехмерном аффинном или проективном пространствах. Проективно-дифференциальная геометрия поверхностей в трехмерном пространстве хорошо разработана (см., например, [90], [114])
Затем появились работы, в которых с различных точек зрения рассматривались обобщенные пространства - аффинной и проективной связности. И, наконец, стали изучаться многомерные конструкции в многомерных аффинных и проективных пространствах, а также в пространствах со связностями.
Обзор большого числа работ по геометрии многомерной поверхности в различных однородных и обобщённых пространствах приведен в работах Г.Ф. Лаптева [43] и Ю Г. Лумисте [50].
Г.Ф. Лаптев при помощи метода продолжений и охватов в инвариантной аналитической форме построил дифференциальную геометрию гиперповерхности в проективном пространстве [39] и в пространстве проективной связности [40], последние результаты относятся и к пространству аффинной связности.
Существенные результаты по проективно-дифференциальной геометрии многомерной поверхности принадлежат А.П. Нордену [59], [62] и его
6
школе (см., например, [27], [87], [100]) и получены методом нормализации.
Исследованием инвариантно оснащённой m-мерной поверхности /»-мерного проективного пространства Р„ занимались: Н.М. Остиану [64], [65], Л.Я Березина [18], A.C. Удалов [88], Ю.И. Ермаков [34], [35].
Построению аффинной геометрии гиперповерхностей положили начало Бервальд и Бляшке. В пятидесятые годы двадцатого столетия эту область развивали Г. Фернандес [107], Д. Лаугвиц [112], [113] и др. Метод внешних форм при построении общей теории гиперповерхности в аффинном пространстве применяет Ф. Фландерс [108]. Э.Д. Алшибая [14] с помощью метода продолжений и охватов Г.Ф Лаптева строит поля различных геометрических объектов, охваченных фундаментальными объектами до четвертого порядка гиперповерхности. Ряд центроаффинных инвариантов гиперповерхности строит А Добрсску [ 104].
Проблема инвариантного оснащения //»-мерной поверхности /»-мерного аффинного пространства Ап, а также пространства аффинной
связности затронута в работах К. Вейзе [119], [120], В. Клингенберга
[111], А.Е. Либера [46], [47], [48], [49], П И. Швейкина [96], [97], [98], [99], Г.Ф Лаптева [41], Г.Ф. Лаптева и А. Зайца [42].
М.А. Акивис [11], [12] методом Г.Ф. Лаптева осуществил инвариантное построение геометрии поверхностей конформного пространства; В.И. Близникас [19], [20], [21] изучает геометрию гиперповерхности в обобщённо евклидовом пространстве, пространстве аффинной связности и обобщённо римановом [105], [106] пространстве Вопросы приложения обшей аффинной и центрально-проективной геометрии гиперповерхности в вариационном исчислении рассматриваются в работе В.В. Вагнера [30].
В 60-х-70-х годах прошлого века теория распределений т-мерных касательных элементов в пространстве представления некоторой группы Ли, а также обобщённая теория распределений /я-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности Р„ „ (в частности, в проективном
пространстве Рп) получила значительное развитие в инвариантной аналитической форме в работах Г.Ф. Лаптева, Н.М. Остиану (см. [44], [45], [66]) и ЮГ. Лумистс [51]. Двухсоставные распределения проективного пространства Рп изучаются в работе A.B. Столярова [76]. Ю.И. Попов исследует трехсоставные распределения пространства Р„ (см. [68], [69], [70], [71]). Распределениями гиперплоскостных элементов (/и-я-1), погружёнными в различные однородные и обобщённые пространства, в разное время занимались: Э.Д. Алшибая [15], В И. Близникас [22], [23], Н.М. Остиану [67], A.B. Столяров [82], [83], [84] и др.
Предметом изучения настоящего диссертационного исследования являются многообразия, погружённые в /»-мерное проективно-метрическое пространство К„ [62]; под пространством К„ понимается /»-мерное
7
проективное пространство /*„, в котором задана неподвижная гиперквадрика 0Я_| (абсолют); фундаментальной группой пространства Кп является подгруппа группы проективных преобразований пространства Рп> а именно, стационарная подгруппа абсолюта .
В качестве погружённых подмногообразий пространства Кп рассматриваются:
1) распределение т-мерных линейных элементов и /л-мерная поверхность Ут (глава I);
2) регулярное распределение гиперплоскостных элементов 91 (глава II);
3) регулярная гиперповерхность Гй_, (глава III).
2. Актуальность темы. Теория полей геометрических объектов на дифференцируемых многообразиях составляет одно из основных направлений исследования современной дифференциальной геометрии. Актуальным разделом этой теории, благодаря своей многоаспектности и широте постановки задач, является дифференциальная геометрия подмногообразий (в том числе и оснащённых), погруженных в различные однородные и обобщённые пространства и, в частности, теория подмногообразий, погруженных в пространства, фундаментальная группа которых есть подгруппа проективной (евклидовой, аффинной) группы, преобразования которой оставляют неподвижным некоторое подмногообразие (абсолют), вложенное в данное пространство.
В рамках этой геометрии большой научный интерес представляет создание двойственной теории оснащённых многообразий, погруженных в проективно-метрическое пространство К„.
Кривые и поверхности в евклидовом и проективном пространствах с вырожденным (невырожденным) абсолютом рассматриваются в работах А.Э. Хатипова [92], [93], [94], Р.Г. Бухараева [26], А.П. Нордена [60], И.Н. Мигалевой [56].
В квазиэллиптическом пространстве (проективное пространство с абсолютом в виде мнимого конуса с (л-г-1)-мерной вершиной и мнимой гиперквадрики в этой плоскости) изучаются: /л-мерные поверхности [25]; для случая г=1 - гиперповерхности и 2-повсрхности [32], а для случая г= I, п=3 - многообразия прямых [16], [17], линейчатые поверхности [109] и кривые [110].
В квазигиперболическом пространстве (проекгивное пространство с абсолютом в виде пары вещественных (мнимых) плоскостей и пары вещественных (мнимых) точек на прямой их пересечения) рассматриваются многообразия прямых [16], [17] и геометрия многомерной поверхности [74].
В трехмерном галилеевом 1\ и псевдогалилеевом ’/'3 пространствах
8
(проективное пространство с абсолютом в виде плоскости, прямой и пары мнимых - /’•, или вещественных - 'Гз точек на этой прямой) исследуются многообразия прямых [17], [52].
В работах [100], [101] изучается биаксиальное пространство (проективное пространство с абсолютом в виде двух непересекаюшихся прямых), а также обобщённо биаксиальное пространство.
Д. Па пук исследует т-мерную поверхность, погруженную в л-мерное проективное пространство с абсолютом в виде р конечномерных плоскостей произвольных размерностей л,,...,лр, таких, что п^+..Лпр=п [115],
[116], [117], [118]
Приведем еще несколько работ, в которых изучаются подмногообразия, погруженные в трехмерное проективное пространство /д с абсолютом в виде различных многообразий (см. таб. 1).
№ Абсолют в виде Предмет изучения Лите- ратура
1 плоскость и прямая конгруэнции прямых, линейчатые поверхности [54], _[55]
2 плоскость, прямая и заданная на этой прямой эллиптическая инволюция вводится метрика, изучаются длины кривых в смысле данной метрики [75]
3 прямая, содержащая вырожденную гиперквадрику - пару мнимо-сопряжённых точек типы квадрик [86]
4 пара действительных точек и пара мнимо-сопряжённых прямых, одна из которых проходит через одну из этих точек поверхности, типы квадрик [57], [58]
5 пространственная кривая третьего порядка частные случаи поверхностей 189}
6 пара вещественных точек и вещественная прямая, проходящая через одну из них линейчатые поверхности [53]
Таб. 1.
В работе [38] рассматривается гиперповерхность л-мерного проективного пространства Рп с вырожденным абсолютом в виде гиперплоскости Пп_х и плоскости /7„_2 на ней.
А В. Столяров в работе [85] изучает внутреннюю геометрию нормализованного в смысле А.П. Нордена [62] проективно-метрического простран-
9
ства Кп с абсолютом в виде невырожденной неподвижной гиперквадрики
си
Задача изучения геометрии го-мерной поверхности Ут проективнометрического пространства Кп была поставлена А.П. Нордсном в его монографии [62]. Эту задачу он разбивает на два случая:
а) точка /и-мерной поверхности Ут не принадлежит абсолюту пространства Кп ',
б) точка /»»-мерной поверхности У„ принадлежит абсолюту' пространства Кп.
Следует заметить, что случай б) А.П. Норденом оставлен без рассмотрения, а в случае а) он ограничился лишь выводом деривационных уравнений подвижного репера и условий их интегрируемости для полярной нормализации поверхности У„.
Объектом исследования настоящей работы являются как голономные (поверхности Ут), так и нсголономные (распределения /»/-мерных линейных элементов) подмногообразия пространства К„. Эти исследования являются актуальными, представляют большой научный интерес, ибо:
1) геометрия поверхности У„ в К„, как отмечалось выше, изучена далеко не полно;
2) геометрия распределений /»/-мерных линейных элементов в К„ (даже в случае т=п-1) до настоящего времени не изучалась;
3) изучение геометрии указанных подмногообразий (как голономных, так и нсголономных) в диссертации осуществляется, как правило, с привлечением теории двойственности, что до настоящего времени исследователями не проводилось.
3. Цель работы. Целью настоящего диссертационного исследования является изучение геометрии многомерных поверхностей и распределений, погружённых в проективно-метрическое пространство К„ \ решаются следующие ключевые задачи:
1) осуществить подход к изучению геометрии поверхности Ут
(т<п-1), не принадлежащей абсолюту 0„_, с К„, с общих позиций, а именно, от геометрии неголономной поверхности (распределения /»/-мерных линейных элементов) с использованием подобъектов еб фундаментальных объектов порядка 5 = 1,2,3,.. перейти к геометрии голономной поверхности Ут; доказать основную теорему теории поверхносги Утс Кп, не принадлежащей абсолюту С^, то есть найти её полный внутренний фундаментальный объект;
2) внутренним инвариантным образом изучить двойственную геометрию поверхности Ут (т<п-\), принадлежащей абсолюту Ол_, проекгип-
10
но-мегрического пространства Кп;
3) построить основы двойственной геометрии как иегояономной, так и голономной гиперповерхности, погруженной в проективно-метрическое пространство К„.
4. Методика исследования. В диссертационной работе используются инвариантные методы дифференциально-геометрических исследований, а именно, метод внешних дифференциальных форм Э. Картана [91] и метод продолжений и охватов Г.Ф. Лаптева [39]. Использование указанных методов позволило:
1) исследование геометрии подмногообразий пространства Кп провести инвариантным образом путем построения и изучения полей геометрических объектов, охваченных полями фундаментальных объектов;
2) изучить дифференциально-геометрические факты подмногообразий, связанные с дифференциальными окрестностями по возможности высоких (до четвертого) порядков.
Все результаты получены в минимально специализированных системах отнесения.
5. Научная новизна полученных результатов обусловлена тем, что, с одной стороны, изучение дифференциальной геометрии подмногообразий происходит посредством исследования дифференциальногеометрических структур, индуцируемых полями его фундаментальных объектов, а с другой стороны, с использованием аналитического метода продолжений и охватов Г.Ф. Лаптева, позволяющего получить результаты в инвариантной форме; всё это позволило достаточно глубоко разработать тему исследования и получить существенные результаты в теории подмногообразий проективно-метрического пространства К„.
Результаты, полученные в диссертационном исследовании, являются новыми; основные положения исследования заключаются в следующем:
1) Доказано, что распределение /л-мерных линейных элементов про-странства К„ (т<п-1) порождает присоединённое к нему внутренним инвариантным образом гиперполосное распределение /л-мерных линейных элементов (глава I).
2) Для /»-мерной поверхности Ут (/»</»-]), не принадлежащей абсолюту пространства Кп, найден (глава I) порядок полного внутреннего фундаментального объекта (заметим, что для общей л;-мерной поверхности Ут, т<п-1 проективного пространства Рп вопрос о порядке полного
внутреннего фундаментального объекта, вообще говоря, остается открытым).
3) Показано, что с /»-мерной поверхностью У„, т<п-1, принадлежащей абсолюту' Г)„_, пространства К„, внутренним инвариантным образом
ассоциируется квадратичная гиперполоса Яда(0я_1); это позволило по-
11
строить двойственную геометрию данной поверхности (глава I).
4) Показано, что регулярное распределение гиперплоскостных элементов 91 (неголономная гиперповерхность) с центром, не принадлежащим абсолюту Р„_| пространства Кп, внутренним инвариантным образом в третьей дифференциальной окрестности элемента подмногообразия 9? индуцирует тангенциальное проективно-метрическое пространство с абсолютом (3„_, - тангенциальной гиперквадрикой; изучаются некоторые вопросы метрики тангенциального пространства Кп и внутренней геометрии нормализованного пространства К„ В разных дифференциальных окрестностях получен ряд результатов, определяющих двойственную геометрию нормализованного подмногообразия 91.
5) Исследуется двойственная геометрия гиперповерхности У„-\, текущая точка которой не принадлежит абсолюту просгранства Кп :
построена полярная (относительно абсолюта гиперповерхность _ь
найдены двойственные образы У„_1 и Кп_1 гиперповерхностей Гп_1 и Уп_1 соответственно, рассмотрены примеры посгроения внутренним образом двойственных и полярных нормализаций гиперповерхностей Уп_] и Уп_ найдена связь между ними; исследуется внутренняя геометрия двойственных аффинных связностей, индуцируемых этими нормализациями (глава III).
В диссертационном исследовании приведены доказательства всех основных предложений, которые сформулированы в виде теорем.
6. Теоретическая и практическая значимость. Исследование имеет теоретическое значение. Полученные результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении различных подмногообразий, погружённых в проективно-метрическое пространство К„. Основными направлениями подобных исследований являются:
• изучение внутренней геометрии гипериолос, гиперполосного распределения и распределения ш-мерных линейных элементов пространства
• исследование пространств с линейной связностью, индуцируемых внутренними инвариантными оснащениями данных подмногообразий.
Теория, разработанная в диссертации, может служить в качестве материала специальных лекционных курсов для студентов старших курсов и аспирантов математических факультетов, а именно:
а) по теории подмногообразий в пространствах с фундаментальными группами;
6) по теории двойственных линейных связностей на оснащённых подмногообразиях пространств с фундаментатьными группами.
7. Апробация. Основные результаты диссертации докладывались и
- Київ+380960830922