Коэрцитивные оценки и разделимость некоторых обыкновенных дифференциальных операторов

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1: Коэрцитивные свойства обыкновенных дифференциальных операторов с сингулярными коэффициентами
§1 Основные определения и обозначения
§2. Коэрцитивные опенки к разделимость дифференциального оператора четного порядка с сингулярными коэффициентами §3. Коэрцитивные оценки и разделимость оператора нечетного порядка с сингулярными коэффициентами
§4 Разделимость дифференциального оператора нечетного порядка с матричным потенииалом §5 Разделимость дифференциального оператора нвчетного порядка с матричными коэффициентами Глава 2: Разделимость оператора Штурма-Лиувилля с матричным потенциалом §6 Формулировка основного результата §7. Вспомогательные леммы §8.Доказательство теоремы 6.1.
Глава 3: Разделимость нелинейного оператора Штурма-Лиувилля
§9 Условия разделимости нелинейного оператора Штурма-Лиувилля §10. Вспомогательные утверждения и неравенства §11 Доказательство теоремы 9.1.
§12 Элементы техники теории аээмутнений
Введение
Настоящая диссертационная работ посвяшеиа исследованию разделимости некоторых обыкновенных дифференциальных операторов п получению коэрцитивных опенок дчя них В частности, в работе рассмотрен случай сингулярных коэффициентов, а также исследован случай СИЛЬНОГО ко.тебания ПОТСНПИ0Лс\
Термин ”разделимость” и фундаментальные результаты по разделимости принадлежат В Н.Эверитту и М.Гмрцу (W.N.Everitt, M.Gierz). В своих работах 1-5) они изучали разделимость оператора Штурма-Лиувилл*
Р\у] - -/(*> + (0.1)
и его степеней.
Результаты этих работ позже были усилены в работах [6-12]. В частности в работе Бой-матова К Х.|6), разделимость дифференциального выражения (0.1) получена без требования какой-либо гладкости На потенциал q{x). Огедбасв М [7J нсследовал разделимость (0 1) в весовом пространстве L2a{1), где / - открытый отрезок вешествеявой прямой.
Разделимость обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка при различных условиях на потенциальную функцию исследовалась в работах Амановой А Л , Мурат-бекова М.Б. |13), Гришину но Э.З., Оіслбаева М- |14] и др. авторов.
Разделимость дифференциальных выражений более высокого порядка рассматривалась в работах Абудова A.A. (15), Бнргебаева А. |1б), Биргебаева А., Отелбаевл М. (17), Бойм&това КХ, Лизоркина П.И. [18) , В.Н.Эверитгз, М.Гириа 131-33), Атккнсояа <P B.(AtdiMoo F.V.) |34]. Эванса D П.. Цсттла A. (Evans W.D.. Zettl A.) (35). Исхркова C.A. j39) и др. авторов.
В работах (15ч3б,37>40,411 рассмотрены дифференциальные операторы с матричными коэффициентами. В работе (41) допускалась нелинейность рассматриваемого дифференциального оператора та счет слабого возмущепия линейною оператора. Нелинейные дифференциальные выражения рассматривались в работах [13*14,17,23,27,41,42).
В работе ГриншпунаЭ.З, Отелбаева М. (14] доказано, что нелинейный оператор Штурма-Лиувилля, с положительным потенциалом всегда разделим в £){—оо*+оо). Ото показывает» что Ьь(1) (/ = (-оо,4-оо)) является 'естественным5' пространства в задаче о разделимости оператора Штурма-Л оувилля.
Разделимость дифференциальных выражений с частными производными впервые исследовалась п работе Бойматоеа К.Х.(8|. Далее эти результаты были обобщены и развиты в работах [19-29].
Перейдем теперь к краткому изложению содержания диссертации. Данная диссертация состоит из настоящего введения, трех глав, разбитых на двенадцать параграфов, а также списка литературы, включающего 50 названий. Система нумерации параграфе® в диссертации сквозная, каждый их них имеет двойную нумерацию, в которой первый номер совладает с номером параграфе, а второй указывает на порядковый номер определения, леммы, теоремы, утверждения или формулы I* данном параграфе.
Первая глава диссертации состоит из пяти параграфов и посвяшсна изучению коэрцитивных свойств и разделимости с/5ыкновенных дифференциальных операторов с сингулярными коэффициентами
13 первом параграфе приведены необходимые определения и обозначим, используемые в дальнейшем. В остальных четырех парагофах излагаются полученные автором результаты.
5
Приведем эта результаты.
Во втором параграфе в пространстве функций уіі) (( € Пі] с конечной нормой
где 1(1) € С{-оо, +оо) -положительная функция, р € (1, -ос), рассматривается оператор, определенный выражением
Символом Хдо«(Яі) обозначим пространство локально суммируемых со степенью р функций.
Через И'*'п(/?і) обозначим пространство функций, имеющих всевозможные обобщенные производные данного порядка 2т и суммируемые на Л, с данной степенью р.
Будем говорить, что и(т) є И^Ї(Д]), если для любых функций <р є С?\Я}) , функция принадлежит пространству И£"(йі).
Определение 0.1. Оператор Р. определенный равенством (О 2)называется разделимым и пространстве ес-™ яля *о«х у(І) таких, что
Я* = £оД0^), У €*?£(*.)
(0-2)
у €/^(Яі)п»^с(Я,),РуЄМЯіЬ
имеют место включення
вЛ*)»°*(0 с ^рЛй0> 0 = 0,1. - - • , 2т).