Операторы Шредингера и эллиптические операторы с коэффициентами-распределениями

2—
Оглавление
Введение.............................................
Гл.1. Операторы Шредингера с сингулярными потенциалами ...............................................
1. Определение суммы симметрических операторов .
2. Приближения операторных сумм. Резольвентная сходимость и сходимость спектров ..............
3. Мультипликаторы в пространствах Соболева
4. Основная теорема и примеры..................
Гл.II. Исследование пространств М[Н* —)• Я~а]........
Гл.Ш. Сильно эллиптические операторы с сингулярными
коэффициентами..................-..............
1. Обобщенная сумма секториальных операторов. Приближения операторных сумм...................
2. Определение и свойства пространств М[к,
3. Основная теорема ...........................
Гл.IV. Операторы Шредингера с сингулярными потенциалами в ограниченной области.........................
1. Задача Дирихле для оператора Лапласа и сильно эллиптического оператора, возмущенных сингу-лярным и коэффи циентами.......................
2. Обобщенная задача Неймана и третья краевая задача ..........................................
4
9
9
14
20
26
30
42
44
47
53
55
55
61
-3—
3. Асимптотика собственных значений операторов
Ьр и Ьм .......................................... 68
4. Свойства собственных функций операторов Ьо и
£лг............................................... 72
Литература................................................. 75
— 4—
Введение
Цель диссертации — корректно определить оператор Шре-дингера —А Ф д(х) в случае, когда д(х) есть обобщенная функция; точнее, выяснить, при каких условиях на д корректное определение возможно. Если оператор уже определен, мы ставим дальнейшую цель изучения его спектральных свойств. Развиваемые нами методы оказываются применимыми для общих эллиптических дифференциальных операторов
|а|,|#|<т
в предположении, что х € £2 С П£п, а коэффициенты сад — сингулярные функции. Точнее, мы будем предполагать, что коэффициенты главного символа (при \а\ = \/3\ = т.) — существенно ограниченные функции, а неглавные коэффициенты (при \а\ + |0| < 2га) являются обобщенными функциями.
Диссертация состоит из четырех глав. В первой подробно разбирается частный случай /, = —А ф (2, П = М”. Операторы такого типа появились в физических работах 30-х годов в связи с задачей рассеяния нейтральных частиц на ядре, когда взаимодействие является сильным на малых расстояниях и пренебрежимо малым на средних и больших (см. [1]). Модельным потенциалом такого взаимодействия является 6--функция Дирака.
Математическое исследование оператора -А Ф ц5(х) было предпринято Верезиным и Фаддеевым [2], Минлосом и Фаддее-вым [3], Березиным [4]. В работах [2, 3^ оператор -А ф ц6(х) понимался как расширение оператора То = -Ас областью
2)(То) = Со°(Ж3 \ {0}). Эта тема вызвала большое число работ. В основном изучались сингулярные потенциалы, сосредоточенные на многообразиях и дискретных наборах точек. Укажем
здесь работы '5—9] и книги [10,11], где можно найти более полную библиографию. Однако, знакомясь с этой темой, автор не нашел работ, в которых исследовались бы сингулярные потенциалы с носителями на множествах ненулевой меры, кроме статей [12,13], где рассматривался потенциал 1/х в Поэто-
му возник вопрос: для каких сингулярных функций д(х) можно корректно определить оператор —А + д(х)?
Естественный подход к решению этой задачи — воспользоваться методом квадратичных форм. Необходимое условие, чтобы этот метод работал, состоит в следующем: функция д должна быть мультипликатором из Соболевского пространства Н[(Ш.п) в дуальное пространство Я~1(КП), т.е. умножение на д должно быть ограниченным оператором из Я1 в Я“1. Систематических исследований на тему, когда функция является мультипликатором в этих пространствах, автор не обнаружил (здесь отметим, что в известной книге [14] систематически развивается теория мультипликаторов в пространствах Соболева с положительными индексами гладкости). Конечно, задача описания пространства мультипликаторов М[Нт —> Н т] интересна не только с точки зрения теории операторов Шредингера, но представляет и самостоятельный интерес.
Одновременно возникает еще одна важная задача: если оператор —А + д с сингулярным потенциалом д уже определен, то можно ли его в некотором смысле приблизить операторами с гладкими потенциалами — по крайней мере, так, чтобы спектры приближающих операторов были близки к спектру исходного?
В первой главе изложено решение вышеперечисленных задач. Во-первых, приводится основанное на. методе квадратичных форм общее определение суммы операторов, ядром кото-
6—
рого является известная КЛМН-теорема (см. [21, гл. X]). Одновременно в нужной нам форме приводятся полезные обобщения этой теоремы. Далее, приводится абстрактное обобщение следующего результата: если последовательность функций чп сходится к ч в пространстве мультипликаторов, то последовательность операторов — А 4- сходится к -Д 4- ч в смысле равномерной резольвентной сходимости, и имеет место сходимость спектров. Затем подробно изучается пространство мультипликаторов М[Н -»• Н~*\ при различных в, а также важные подпространства Мо[0, -в (мультипликаторов, подчиненных опе-
о
ратору Д с нулевой относительной гранью), и М[9, -в) (замыкание пространства гладких функций по мультипликаторной норме). Приводятся достаточные условия принадлежности функций этим подпространствам. Дается ряд примеров операторов Шредингера с сингулярными потенциалами — как уже рассмотренных в литературе, так и новых.
Дальнейшей целью диссертации является перенесение результатов на случай произвольных эллиптических операторов. Для этого необходимо провести дополнительную вспомогательную работу: исследовать мультипликаторы из Я0,(ЕП) в Н~/3(Ш1) при произвольных неотрицательных а и в. Параллельно мы ставим себе и другую задачу: исследовать мультипликаторы из пространств Яр в Я~а, р > 1. Эта задача имеет самостоятельный интерес; ее исследование мы проводим в главе 2. Результаты этой главы были инициированы результатами Дж.-Г. Бака и А. А. Шпаликова [37], В. Г. Мазьи и И. Е. Вербицкого [43].
В третьей главе полученные результаты о мультипликаторах применяются для определения сильно эллиптического оператора произвольного порядка Ь = ^ в ^п- Мы
предполагаем, что коэффициенты главного символа оператора