Аффинные системы функций и фреймы в банаховом пространстве

Введение
Вопросы представления функций рядами составляют одну ив центральных областей математического анализа. Общая задача о представлении может быть сформулирована следующим образом.
Пусть дана система функций {<Рп}5£=ъ указан класс функций Р, при этом, как правило {<рЛ}5£=1 С Р, и выбран определенный тип сходимости Т последовательностей функций из класса Р.
Тогда для любой функции / 6 Р требуется найти такую числовую последовательность что справедливо представление
со
/ =
71=^1
ряд в правой части которого Т-сходится: / — Т — Нтп_»0о^2к-хХк<Рк-Несомненный интерес представляет уже тот важный частный случай, при котором класс функций Р является банаховым пространством и Т-сходимость суть сходимость по норме пространства Р.
Каждое конкретное положительное решение задачи о представлении оказывается полезным хотя бы тем, что позволяет распространить некоторое свойство 6Х/) па все функции класса Р\ проверив его только для функций системы {«Л» }$£=!, если, конечно, это свойство наследуется Запредельной функцией.
Вопросы представления функций рядами естественным образом возникают в задачах вычислительной математики, дифференциальных уравнеиений и многих прикладных задачах: в теории сигналов, в задачах хранения, передачи и обработки информации и так далее.
2
Истоки задачи о представлении функций рядами находятся в теории ортогональных рядов, в первую очередь - в теории тригонометрических рядов, центральном разделе теории функций. Исторические сведения и многие результаты этой теории собраны в классических монографиях Бари [1] и Зигмунда [2]. Теории ортогональных рядов посвящены книги Качмажа и Штейнгауза [3], Алексина [4], Олевского [5], Кашина и Саакяиа [6].
Во второй половине XX века развитие спектральной теории несамосопряженных операторов привело к естественной задаче обобщения результатов теории ортогональных рядов на более общие системы функций. Все большее распространение стали получать более широкие по сравнению с классом ортогональных систем классы систем элементов гильбертова пространства: базисы Бари, базисы Рисса, гильбертовы и бесселевы системы. системы Рисса - Фишера.
В 1952 году Даффином и Шеффером [7), в связи с изучением негармонических рядов Фурье (т. е. рядов экспонент с непериодическим спектром), было введено понятие фрейма. Прошло несколько десятилетий, прежде чем в конце XX века фреймы стали весьма популярны во многом благодаря возникшей теории всплесков и актуальным задачам передачи изображений, теории кодирования и сжатия информации. Задолго до своего недавнего бурного развития и, даже несколько ранее работы Даффи на, Шеффера, теория фреймов фактически во многом была развита в работах Бари [8], [9], Наймарка [10], Козлова [11]. Некоторые результаты этих работ были впоследствии переоткрыты другими авторами.
В последние десятилетия теория фреймов нашла свое отражение в монографической литературе. Фреймы упоминаются в книге Янга [12]. Подробное изложение общих сведений о фреймах имеется в монографии Добсши [13] (имеется русский перевод [14]). Семь лет тому назад опубликована монография Кристенсена [15], полностью посвященная теории фреймов и содержащая, кроме исчерпывающего изложения теоретического материала, исторические сведения, некоторые указания на иракти-
3
ческие приложения, а также подробную библиографию. Пять лет назад опубликована книга Новикова, Протасова, Скопиной [16], где фреймы обсуждаются в контексте теории всплесков.
Фреймы тесно связаны не только с системами экспонент, но и с другими системами функций, в первую очередь с всплесками. Напомним, что всплеском называют функцию ф € для которой семейство
ФМ = У/2Ф{Ух - к), j е Ъ, к Е 7/}
является ортонормированным базисом пространства Ь2 (Ж‘0-
Теория всплесков возникла в 80-е годы XX века. В настоящее время имеется обширная библиография по данному вопросу. Отметим здесь книги Мейера |17] ([18] - английский перевод), Добеши [13], Чуй [19] ([20] -русский перевод), Хернандеса и Вейса [21], Войтащика [22], Петухова |23], главу 7 нового издания книги Кашина и Саакяна [24] и уже упомянутую книгу Новикова, Протасова и Скопиной [16].
Известно, что как сами всплески, так и порождающие функции кратно-масштабно го анализа удовлетворяют определенным весьма жестким условиям. Вопрос об аппроксимативных свойствах инвариантных относительно сдвига подпространств
Ц(ф) = эрап{ф^к}к^, j е
в пространстве при самых общих условиях на порождающую
функцию ф был изучен в фундаментальной работе де Бура, ДеВора и Рона [25]. Близкий вопрос о представляющих свойствах всилескоподобных систем {ф],к} при минимальных условиях на порождающую функцию ф рассмотрен в работе Филиппова и Освальда [26]. Дальнейшее развитие этот вопрос получил в работах Альдруби, Сана, Танга [27], Чуй, Сана [28], Буи, Лаугесена [29] - [32], Лаугесена [33], [34], Бруна [35]. Именно, объектом исследования в этих работах стали так называемые аффинные системы функций, тесно связанные с представлениями аффинной группы евклидова пространства Н*.
4
Пусть {а^}^ - последовательность невырожденных вещественных сі х (I матриц, удовлетворяющая условию
Э—юо
Пт аі 1 = О,
и пусть Ь - некоторая невырожденная вещественная (І х сі матрица.
Для функции ф(х), х <Е М(/, натурального числа і Є N и целочислен ного вектора к Є Ъл положим
Семейство функций {'Фjtk}jeVlkeZd называется аффинной системой, порожденной функцией ф.
Классическим примером аффинных систем являются всплескоподоб-ные семейства функций вида {2^1/2ф{2Рх — А:)} с положительным спектром у > 0, соответствующие случаю скалярных матриц % = 25е и единичной матрицы Ь = е. Заметим, что условие положительности спектра является существенным, но далеко не единственным отличием общей аффинной системы от системы всплесков, где порождающая функция заведомо обязана удовлетворять целому ряду специальных дополнительных условий (см., например, книгу Новикова, Протасова, Скопиной [16]).
Аффинные системы естественным образом возникают в различных областях теории функций н функционального анализа: в теории всплесков, в теории фреймов, в вопросах гармонического анализа при дискретизации сверток и в некоторых других вопросах.
Пусть 1- некоторое функциональное пространство.
Под задачей аффинного синтеза в пространстве Г(М^) мы будем понимать задачу о представлении произвольной функции / 6 .Р(Е;г) посредством ряда
но элементам аффинной системы {Фэ^^^к^Ъ'Ч сходящегося по норме пространства Е(Ша).
Фі,к{х) = I йеЬа:\1/2ф(а^х - Ьк).
5
Принципиально, что задача аффинного синтеза ставится для достаточно общей порождающей функции ф. В частности, не предполагается, что порождающая функция удовлетворяет весьма ограничительным условиям кратно-масштабного анализа.
В настоящей работе задача аффинного синтеза решается на основе предложенного нами понятия фрейма в банаховом пространстве, основанного на обобщении подхода Бари [8], [9] и отличного от известных понятий атомарного разложения и банахова фрейма по Грошепигу [36], (безусловного) фрейма Шаздера по Хану и Ларсону |37], терминологии (frame for Bariach space, framing, framing model) Касаззы, Хана и Ларсона [38] и других определений фрейма в ситуации банахова пространства, см. Джанн, Кушик, Вашишт [39] и Касазза, Кристенсен, Стоева [40].
Прежде, чем дать соответствующее определение, напомним определение фрейма Даффина - Шеффера [7].
Пусть Я - гильбертово пространство и {<^n}^Li С Я \ {0} - система ненулевых элементов пространства Я. Система {</?п}5£=і называется фреймом, если существуют положительные постоянные /1, В > 0 такие, что для любого вектора h Є II выполняются неравенства
71 = 1
Одним из основных свойств фреймов является следующая теорема о представлении:
для любого вектора Н Є II существует числовая последовательность {сп}^! Є І2 такая, что
71=1
Последнее представление, вообще говоря, не единственно, но всегда существует двойственный (фрейм {^п}^]5 для которого
оо
(0.1)
со
со
71= 1
6
Теперь перейдем к изложению различных подходов к определению понятия фрейма для случая банаховых пространств. Впервые с достаточной степенью общности вопрос о распространении понятия фрейма Даффина - Шеффера на банаховы пространства был рассмотрен в работе Грошеиига [36], датированной 1991 годом. Воспроизведем здесь принадлежащие Грошенигу определения понятий атомарного разложения (atomic decomposition) и банахова фрейма (Banach frame).
Пусть F - банахово пространство. Кроме того, пусть задано некоторое банахово пространство X, состоящее из числовых последовательностей х = {п'п}^!, относительно которого предполагает!, что каждый координатный функционал 1л(х) = хп, п = 1,2,..., является непрерывным линейным функционалом на X.
Атомарным разложением банахова пространства F относительно пространства последовательностей X называется упорядоченная пара ({<М“ 1, систем {<Д,}“ 1 С F \ {0} и i сГ\ {0} йену-
левых элементов пространства F и сопряженного к нему пространства F*, соответственно, для которых выполняются следующие условия:
1) для всех } £ F числовая последовательность {(/, £>n)}55= i принадлежит пространству X,
2) существуют положительные постоянные А,В > 0 такие, что для всех / € F выполняются неравенства
A\\f\\F<\\{(f,ipn)}\\x<B\\f\\F, (0.2)
3) для любого вектора / 6 F справедливо представление
со
/ = <Р^)<Рп. (о.з)
П=1
Понятно, что в том случае, когда F = F* = Я - гильбертово пространство и X = /2 неравенства (0.2) из определения атомарного разложения превращаются (с точностью до извлечения квадратного корня из постоянных А и В) в неравенства (0.1) из определения фрейма Даффина
7
- Шеффера, записанные для системы {£>п}^1- В этом смысле понятие атомарного разложения является обобщением понятия фрейма.
Заметим, что в общем случае банахова пространства Р неравенства (0.2) не обеспечивают справедливость теоремы о представлении так, как это имеет место для фреймов Даффина - Шеффера. Поэтому выполнение представления (0.3) приходится постулировать дополнительно посредством условия 3).
Следующее определение понятия банахова фрейма обобщает понятие атомарного разложения.
Банаховым фреймом для банахова пространства Р относительно пространства последовательностей X называется упорядоченная пара ({^п}^!,^), где {<лЛ£11 С Р* \ {0} - система ненулевых элементов сопряженного пространства Р* и Б : X —► Р - ограниченный линейный оператор, для которых выполняются следующие условия:
1) для всех / 6 Р числовая последовательность {(/,^п)}^ 1 принадлежит пространству X,
2) существуют положительные постоянные Л, В > 0 такие, что для всех /б.Р выполняются неравенства (0.2),
3) для любого вектора / 6 Р справедливо равенство / — £{(/,£>п)}.
Очевидно, что последнее равенство обобщает представление (0.3) из
определения атомарного разложения. С другой стороны, в работе Касаз-зы, Хана и Ларсона [38] показано, что содержание понятий атомарного разложения и банахова фрейма одинаково, если система канонических ортов {еп}п=1 образует базис пространства коэффициентов X. А именно, если ({?п)^=1,^) - банахов фрейм, то ({б^п}^!» {^п}^) - соответствующее атомарное разложение.
Возвращаясь к вопросу о распространении понятия фрейма на случай системы элементов банахова пространства, обратим внимание на возникающую неоднозначность в прочтении двойственности (Л, у>п):
с одной стороны, можно говорить о выборке значений последовательности непрерывных линейных функционалов на векторе /г,
8
с другой стороны, можно говорить о коэффициентах Фурье непрерывного линейного функционала к но системе векторов {у?п}5£=1-
Первый подход реализуется посредством неравенств (0.2) из определения атомарного разложения. Реализуем здесь второй подход посредством следующих определений.
Пусть X - банахово пространство, состоящее из числовых последовательностей х = {ггп}^=1. Всюду в дальнейшем мы будем предполагать, что пространство последовательностей X удовлетворяет следующему основному требованию:
система канонических ортов {бд}^ образует базис в X. Напомним, что г-ый канонический орт имеет вид где 5%
- символ Кронекера.
Пространство последовательностей X, удовлетворяющее основному требованию, будем называть модельным пространством, а базис будем называть естественным базисом модельного пространства X.
Каждый непрерывный линейный функционал I на модельном пространстве Л' однозначно определяется своими значениями {^(^п)}^=1 на элементах естественного базиса. Поэтому сопряженное пространство Х+ к модельному пространству X можно отождествить с изометрически изоморфным ему некоторым банаховым пространством У, состоящем из ЧИСЛОВЫХ последовательностей у = {2/п}5£=1? причем
оо
(а-'. У) = ХпУп
71=1
- общий вид непрерывного линейного функционала на пространстве X.
Пусть X - некоторое банахово пространство и 0=1?*- сопряженное пространство к пространству Р. Пусть, далее, с /?\{0} - система
ненулевых элементов пространства Р.
Дадим теперь основное
Определение 0.1. Скаэюем, что система является фреймом,
в банаховом пространстве Р относительно модельного пространства
9
X, если существуют полоэюителъные постоянные А, В > 0 такие, что для любого непрерывного линейного функционала д С (2 последовательность его коэффициентов Фурье {(р, <£>п)}?Е=1 удовлетворяет неравенствам
Обсудим данное определение в контексте понятий фрейма Даффина - Шеффера и атомарного разложения по Грошеиигу.
Начнем с того замечания, что если Г = С = И - гильбертово пространство и X = У = /2, то рамочные неравенства (0.4) принимают вид
что совпадает с неравенствами (0.1) с точностью до возведения в квадрат и замены постоянных. Таким образом, фреймы Даффина - Шеффера -это в точности фреймы в гильбертовом пространстве Н относительно модельного пространства /2 в смысле принятого нами определения 0.1. Поэтому введенное понятие фрейма в банаховом пространстве является обобщением понятия фрейма Даффина - Шеффера.
Сравнивая неравенства (0.2) и (0.4), отметим, что первые прёдставля-ют собой, в определенном смысле, сэмплинг-теорему и безусловно полезны в вопросах характеризации принадлежности функций конкретным функциональным пространствам в терминах дискретных выборок значений функционалов, а вторые, как сейчас будет показано, имеют непосредственное отношение к задаче о представлении функций рядами.
Теорема 0.1 (о представлении). Пусть {<^п}$£=1 - фрейм в банаховом пространстве Р относительно модельного пространства X.
Тогда для любого вектора / 6 Р найдется числовая последовательность х — {жп}^=1 € X такая, что справедливо представление
М\я\\а < ||{($,(Рт.)}||г < В\\э\\а-
(0.4)
СО
/ = ^2 Хп<Рп-
10
Утверждение теоремы 0.1 показывает, что всякий фрейм в
банаховом пространстве Р относительно модельного пространства X является системой представления. Таким образом, рамочные неравенства (0.4) из определения 0.1 автоматически обеспечивают справедливость теоремы о представлении для фреймов в банаховом пространстве так же, как это имеет место для фреймов Даффина - Шеффера (0.1), в отличии от неравенств (0.2) из определения атомарного разложения, где, как уже отмечалось, выполнение соответствующего представления приходится постулировать дополнительно посредством условия 3).
В главе 1 настоящей работы изучается введенное определение 0.1 фрейма в банаховом пространстве относительно модельного пространства числовых последовательностей.
В пункте 1.1 даются некоторые предварительные сведения.
В пункте 1.2 обсуждается связь понятия фрейма в смысле определения 0.1 с упомянутыми выше известными понятиями и указывается универсальная роль данного понятия фрейма в задаче о представлении.
В пункте 1.3 продолжен анализ рамочных неравенств (0.4) из определения 0.1, в том смысле, что каждое верхнее и нижнее неравенство рассматривается отдельно. Получены аналоги результатов Бари [8], [9) о двойственности гильбертовых и бесселевых систем (в терминологии Вари). Установлен ряд проекционных результатов, в частности, получен аналог теоремы Шура о продолжимых системах функций (теорема 1.7) в ситуации абстрактных банаховых пространств. Для абстрактных гильбертовых пространств аналог теоремы Шура получен Новиковым [41].
В пункте 1.4 рассмотрен вопрос:
при выполнении каких условий фрейм в банаховом пространстве Р относительно модельного пространства X является непрерывной линейной проещией базиса объемлюхцего банахова пространства
Р' Э Р, пространство коэффициентов которого совпадает с исходным модельным пространством: Х(ф) = X?
Такие фреймы {^п}^1 названы проекционными. Точнее,
11
Определение 0.2. Проекционным фреймом назовем такой фрейм. {^п}5£-1 банахова пространства И относхітапьно модельного пространства X, для которого существуют объемлющее банахово пространство Р' Э Р, включающее в себя исходное пространство Р в качестве до-полняемого замкнутого подпространства, базис {'0п}^=і простри)їства Р', пространство коэффициентов которого совпадает с модельным пространством (фрейма: Х(ф) = X, и непрерывный линейный проектор Р : Р' —» р из пространства F/ на пространство Т7 такие, что
Критерий проекционного фрейма получен в пункте 1.4 в следующих терминах.
Определение 0.3. Пусть {^п}^ - фрейм в банаховом пространстве Р относительно модельного пространства X.
Обозначим
- пространство коэффициентов пуль-рядов (фрейма {рп}^=1.
Теорема 0.2. Пусть {<рп}і£=і ‘ Фрейм в банаховом пространстве F относительно модельного пространства X.
Тогда - проекционный фрейм в том и только том случае,
когда пространство коэффициентов нуль-рядов N является дополняемым подпространством модельного пространства X.
Если X = 12 - гильбертово пространство, то всякое его подпространство дополняемо и, следовательно, любой фрейм относительно модельного пространства І2 будет проекцией базиса объемлющего гильбертова (так как, по построению, Р' = X) пространства. Поскольку пространством коэффициентов этого базиса является І2, то эго - базис Рисса. Это означает, что теорема 0.2 является обобщенным аналогом известного проекционного результата Касаззы, Хана, Ларсона [38] и Кашина,
рп = Рфп, п= 1,2,...
12
Куликовой [42], который в свою очередь обобщает хорошо известную в теории функций и функциональном анализе теорему Иаймарка [10].
В банаховом пространстве не каждое подпространство дополняемо, поэтому имеются препятствия к свойству нроекционности фрейма. Основное препятствие возникает уже в геометрии банахова пространства Р, содержащего фрейм, который является проекцией базиса объемлющего пространства. Именно, такое пространство Р будет дополняемым подпространством банахова пространства с базисом, что равносильно тому, что пространство Р обладает ограниченным аиироксимационным свойством (Пелчиыскнй [43] и Джонсон, Розенталь, Циппии [44]). Существуют и другие препятствия геометрического характера, указанные в теореме 1.16 п ее следствии 1.19.
Построен конкретный пример фрейма, который не является проекционным.
Далее, в пункте 1.4 рассматривается вопрос:
при выполнении каких условий система представления в банаховом пространстве является непрерывной линейной проекцией базиса, объем-лкщего банахова пространства?
- без дополнительных условий на пространство коэффициентов этого базиса.
Теорема 0.3. Пусть С Р \ {0} - система представления в
банаховом пространстве И.
Тогда для, существования базисм, {'Фп}™=1 объемлющего банахова пространства Р' Э Р, включающего в себя пространство Р в качестве дополняемого замкнутого подпространства, такого, что
\Рп = Рфп, 71 — 1, 2, ... ,
для некоторого непрерывного линейного проектора Р : Р' —* Р из пространства Р' па пространство Р, необходимо и достаточно, чтобы пространство коэффициентов нуль-рядов М{р) было дополняемым подпространством пространства коэффициентов Х(<р) этой системы.
13
Наконец, теоремы 1.17 и 1.18 пункта 1.4 даюг, соответственно, внутреннюю характеристику фреймов Хана - Ларсона [37] и обобщение одного проекционного результат Чайа [45], [46].
Отмечается, что все проекционные результаты пункта 1.4 получены на основе единой операторной конструкции.
В пункте 1.5 изучаются линейные алгоритмы разложения но фрейму.
Пусть - фрейм в банаховом пространстве F относительно
модельного пространства X.
Скажем, что имеет место линейный алгоритм разложения по фрейму {<£„1^!, если существует система С G непрерывных линейных
функционалов на пространстве F такая, что для любого вектора / € F числовая последовательность {(/, принадлежит пространству X
и справедливо представление
п=1
Для фреймов Даффииа- Шеффера в гильбертовом пространстве всегда имеет место линейный алгоритм.
Теорема 0.4. Пусть ^ - фрейм в банаховом пространстве Р относительно модельного пространства X.
Тогда для существования линейного алгоритма разлоэюепия по фрейму необходимо и достаточно, чтобы этот фрейм являлся
проекцит тым.
В пункте 1.6 рассмотрены абсолютные системы представления из подпространств и получены критерий и признак абсолютной системы представления в терминах величин наилучшего приближения элементами данных подпространств. Результат иллюстрируется на одном простом примере.
В последующих главах 2-6 даются конструкции аффинных фреймов в пространствах Лебега, тем самым указываются конкретные решения задачи аффинного синтеза.
оо
14
В главе 2 рассматриваются аффинные системы
Фэ,к = І сіеі а.^\1/2ф(^х - Ьк), і е К, к Є
в пространстве Ь2(РФ).
Обозначим
ЛО=/ Пх)е-™**с1х
- преобразование Фурье функции / Є £2(М(І) и
Р»/(.т) = І(М Ь\ ^2кег/1 /(* - 6*0
- периодизацию функции / относительно решетки И4.
Будем говорить, что для функции ф выполняется условие Добеши, если существует постоянная В > 0 такая, что для почти всех ( 6 1 имеет место неравенство
Іаеї Й'І - ъ'к)\2 < в. (0.5)
Условие Добеши (0.5) означает, что Рь'(\Ф\2) Є Ь^Ж*1).
Следующий классический результат о полноте аффинной системы {Фьк}зек,кег* в пространстве 1/2(М^) принадлежит Добеши [13]:
если функция ф 6 Ь-2(Ж(1) удовлетворяет условию Добеши и функция
/Ч /V
|^’(£)| непрерывна в начале координат., причем |^(0)| Ф 0, то аффинная система полна в пространстве Ь2(Жс!).
В недавних работах Буи, Лаугесена [31], [32], получен, в частности, следующий результат:
если функция ф € Д>(]&**) удовлетворяет условию Рь(\ф\) Є Ь2(ЬС) и имеет отличный от нуля интеграл ф(х) дх ф 0; т.о
1) аффинная система {Ф],к}^ь\}к^ полна в пространстве Ь2(Ж(І),
2) для любой функции / Є Ь2(Ж(І) найдется числовое семейство {с^к}уен.кея* такое, что справедливо представление
? ~
15
и выполняется условие
£;eN (Zkez< ic^i2)1/2 < °°-
Здесь утверждение 2) означает, что имеет место аффинный синтез в пространстве П0 системе {Ф?,к}зеИ,к€&-
Сравним утверждение 1), точнее те условия, при которых оно имеет место, с классическим результатом Добеши.
Скажем, что для функции ф выполняется условие Буи - Лаугесепа, если
Лемма 2.2 пункта 2.1 и следующий за ней пример показывают, что условие Добеши (0.5) существенно слабее условия Буи - Лаугесепа (0.6).
Далее, заметим, что условие Буи - Лаугесена гарантирует принадлежность ф G Li(Rd). Наконец, поскольку ф G Li(Rd) и JR(i ф(х) dx ф 0,
/S /N
то функция \ф(£)\ непрерывна и |?/>(0)| ф 0.
Таким образом, утверждение 1) результата Буи, Лаугесена является следствием результата Добеши.
Возникает естественный вопрос: имеет ли место аффинный синтез в пространстве L2{Rd) в предположениях результата Добеши?
В работе Буи, Лаугесена [32] была высказана гипотеза, что утверждение 2) останется в силе в предположениях результата Добеши. В пункте
2.2 мы доказываем справедливость гипотезы Буи - Лаугесена, причем в усиленном варианте.
Теорема 0.5. Пусть функция ф G L2(Rd) удовлетворяет условию Добеши и существуют постоянная е > 0 и окрестность Q начала координат такие, что для почти всех f G О выполняется, неравенство
(0.6)
16
и выполняется условие
Е,ега (£*6*ы2)1/2<°°-
Нам стало известно, что более слабое утверждение недавно получено Буи, Кайблингером и Лаугесеном [47].
Сформулированная теорема показывает, что аффинная система ^егмобразует фрейм в пространстве (Мй) относительно модельного пространства ^(/2). Справедливы рамочные неравенства
АЩь*ра«) < (Е^ 1(/,^л)12) ' ^ ВН/Н ьт-
Наконец, заметим, что условия теоремы 0.5 немного слабее условий гипотезы Буи - Лаугесена. Действительно, мы не требуем непрерывности
XV XV
функции |0(£)| в начале координат. Если же функция |0(£)| непрерывна в начале координат и 1*0(0)| ^'0, то в силу сохранения знака функции в
XV
окрестности точки непрерывности, |0(О1 ^ Е в некоторой окресности С начала координат. Поэтому из условий гипотезы Буи - Лаугесена следуют условия теоремы 0.5.
В пункте 2.3 мы устанавливаем еще более сильный результат, основанный на локализации условия Добеши по модулю Ъ’Ъа.
Скажем, что для функции ф 6 Ьг(Мс/) выполняется локализованное условие Добеши, если существуют положительная постоянная С > 0 и окрестность .С начала координат такие, что для почти всех £ е С имеет место неравенство
(о.т)
Неравенство (0.7) представляет собой локализованное но модулю ЪЧД (поскольку учитываются значения функции ф(£) лишь в окрестностях С — Ь'/с, к € точек решетки 6'ЪЛ) условие Добеши Ры(\ф\2) 6
XV
Последнее условие вместе с условием отделимости, Т. е. |0(ц)| > £ > 0 для почти всех £ е гарантируют выполнение локализованного условия Добспти. Поэтому, при выполнении условий теоремы 0.5 локализованное
17
условие Добеши выполняется. Однако, в общем случае (без условия отделимости) неравенство (0.7) и условие Добеши (0.5) независимы.
Теорема 0.6. Пусть функция ф Є ІДЛ^) удовлетворяет локализованному условию Добеши и для почти всех £ Є Г2 из некоторой окрестности Q начала координат выполняется соотношение
Ш) ф 0.
Тогда для любой функции f Є Д*(М<г) найдется числовое семейство {cj,k}j<=N,kezd такое, что справедливо представление
f = IZjsN Е*е2* C3^j,k,
ряд в правой части которого абсолютно сходится по индексу j
I L2(jRd) < °°‘
Обозначим X пространство всех числовых семейств с = для которых конечна норма
ini* = £** |E^c^42(sd)<ooI
причем при каждом j Є N ряд
Efcezii ciJ=b.k
суммируется (неупорядоченно сходится) по норме пространства ІД^) или, что равносильно, безусловно сходится.
Теорема 0.6 показывает, что аффинная система {tyj,k}jgM,k<zZd образует фрейм в пространстве относительно модельного пространства
X.
В главе 3 рассматриваются аффинные фреймы в пространстве Lv(Rd), I < р < со.
Задача аффинного синтеза в пространстве Li(Rd) получила решение в работах Филиппова, Освальда [26] и Вруна [35]. В [26] показано, что
18
необходимым и достаточным условием положительного решения задачи аффинного синтеза при р = 1 является условие отличия от нуля интеграла от порождающей функции ф:
В |35) этот результат уточнен в следующем смысле: доказано, что синтезирующий оператор 5 : X —> Ьх(Кл), определяемый равенством
сюръективен для пространства X всех числовых семейств удо в л етворя ЮЩИ X уел ОВИІО
В случае произвольного р € (1,оо) в работе Филиппова, Освальда [26| показано, что если функция ф £ Ьу П ЬР(К(Л) по-прежнему имеет отличный от нуля интеграл и удовлетворяет дополнительному условию
где є > 0, то всякая функция / Є £л(Мгі) представима в виде суммы безусловно сходящегося ряда
Метод работы [20] не позволял получить информацию о коэффициентах представляющего ряда. Кроме того, условие на рост функции ф слишком ограничительно и не зависит от показателя р. В связи с этим в работе Филиппова, Освальда [26) была высказана гипотеза о справедливости соответствующей теоремы представления при ослаблении дополнительного условия на порождающую функцию:
М®)| < 0\х\ а е, \х\ -> оо,
Рь[\Ф\) = I с!еЬб| \ф(х ~ &*)І Є Д“.
19
Справедливость этой гипотезы была доказана автором в 1999 году. В работе Буи, Лаугесепа [31] были иостосны аппроксимирующие функцию / € ЬР{Ж(*) агрегаты вида
/з =
такие, что
При этом система {Ф^к} является аффинной системой, порожденной функцией ф* 6 1/р 4- 1/д = 1, удовлетворяющей условию
Л,(|-0*|) Е //оо(М(/). Однако конструкция работы [31] не предоставляла ряда по аффинной системе. В последствии, в работе Буи. Лаугесепа [32], в предположениях гипотезы Филиппова - Освальда [26], была получена конструкция, указывающая искомый представляющий ряд по аффинной системе. В [32] отмечалось, что соответствующая теорема получена ранее автором.
В этой главе мы устанавливаем дальнейшее обобщение условия А(М) € Ц*. А именно, таким более общим условием является р-бессслсвость системы сдвигов {'ф(х — Ьк)}ке%а.
Пусть А = {А} - некоторое счетное индексное множество.
Семейство элементов {*0л }лел банахова пространства К называется бесселевой системой в пространстве Г относительно модельного пространства /р(А), короче, р-бесселевой системой, если существует положительная постоянная М > 0 такая, что для любого неперрывного линейного функционала д £ С семейство его коэффициентов Фурье {{д,Ф\)}\ьл удовлетворяет н еравеиству
(ЕА6л|(5^а)1,7)1/,-м115|1с-
На основании следствия 1.1 теоремы 1.4 главы 1 семейство {Ф\}\^а является р-бесселевой системой в том и только том случае, когда существует положительная постоянная М > 0 такая, что для любого число-
20
вого семейства {с\} Є /Р(Л) выполняется неравенство
В частности, система сдвигов {ф(х — Ьк)}кявляется ^-бесселевой системой в пространстве ЬР(Ш(1), если существует постоянная М > О такая, что для любого числового семейства {с*} Є 1р(%а) выполняется неравенство
Теорема 0.7. Пусть ф Є Ьг П Ьр{Ка), 1 < р < оо, и д Є 1/р 4-
і/у = 1. Для j Є N и к Є обозначим
- коэффициенты Фурье функции д по элементам аффинной системы {^лЬбРи-ег*-
Пусть, далее, система сдвигов {Ф{х—Ьк)}кеявляетсяр-бесселевой системой о пространстве ЬР(Ш<1).
Тогда имеет место предельное соотношение
Сформулированная теорема устанавливается на основе изученых в пункте 3.2 условий ограниченности и сходимости дискретных матричных аналогов средних Соболева, т. е. результата дискретизации свертки
д * Фа = д(х + у)| с!е! а\ф{ау) (1у
в узлах х = а *Ьк, к 6 решетки а а - матричный параметр,
что дает коэффициенты Фурье функции д 6 1 /р + \/д = 1, по
(д, Ф],к) = / д{х)Ф3,к{х) <ІХ = / $(®)|<іеІ %|1/2^(о*я-*>&)<&;
•/й11
Ііш,-.«, І аеі а.^Т/2 1/" (| аєі&| 1(5. ^Ы1?) ^
I ф(х) (ІХ ІІРІІі,^). З4*
Из доказанной теоремы непосредственно вытекает
21