Содержание
Введение 3
ГЛАВА 1. Асимптотика функции объема множества меньших
значений полинома яК" 11
§1. Обшие формулы ...................................................11
§2. Функция объема для эллиптических полиномов ......................14
2.1. Случай однородного полинома..................................14
2.2. Случай общего эллиптического полинома........................23
§3. Функция объема для некоторых гиперболических полиномов в К2 30
§4. Функция объема длп эллиптических ростков аналитических функций.. 37
ГЛАВА 2. Объемы трубок вокруг аналитических подмножеств 41
§1. Обобщенные трубки и вариация формулы Вейля.......................41
§2. Трубки вокруг комплексных аналитических множеств ................44
Заключение 53
Литература 54
Введение
В диссертационной работе речь идет о вычислении объемов некоторых полуал-гебраических множеств, зависящих от вещественного параметра р. Основное внимание уделяется типичной ситуации, когда полуалгебраическое множество задано в виде
фр = {т € Ж" : /(х) < р}.
В частности, когда
!(х) — 1Л (г)12 + • •■ + |/Р(^)|2|
где /-{(г),..., /р(г) - многочлены из (С [г\,..., Фр представляет собой трубку в С" ~ К2п над нулевым множеством, определяемым системой уравнений:
Л(*) = -" =/?(*)= о.
Такие трубки играют важную роль в теории многомерных вычегных потоков [19], [32], [30], [33]. Кроме того, асимптотика функции объема множества Фр тесно связана с числом целых точек в нем (формулы Пика, полином Гильбсрта-Эрхарта, проблема Гаусса о числе целых точек в круге [12]).
Видимо, исторически первый результат по объемам трубок был получен Г. Вейлем [34]. Он рассматривал несколько иную ситуацию, а именно, брал подмногообразие М сК^ив каждом нормальном подпространстве АГХ(М) к подмногообразию М в точке х выбирал евклидов шар Вр(х) с центром в точке х и радиуса р. Под трубкой тр(М) понимается совокупность Вр(х) для всех х £ М.
Теорема (Г.Вейль, 1939). Если М с - многообразие размерности п, то функция объема V(тр(М)) является полиномом по р вида:
У ММ)) =
/с=0
где коэффициенты рк выражаются через инварианты, построенные по тензору кривизны Римана.
Тем самым функция объема не зависит от вложения М в а зависит только от внутренней геометрии М.
Основная цель диссертации состоит в обобщении теоремы Вейля на случай трубок над аналитическими множествами в или при этом вместо евклидовых шаров в нормальном расслоении берутся множества вида {/(х) < р), где / - полином, или росток аналитической функции со свойством /(0) = 0.
Таким образом, эталонной ситуацией является трубка вокруг точки, имеющая вид:
Фр = {х е К” : }{х) < />}, или Фр = {х е и0 : /(х) < />},
где £/0 - некоторая окрестность начала координат в I'1, а / - полином в первом случае, и росток аналитической функции с единственным нулем в точке 0 € К” - во втором случае. При этом в первом случае нас интересует поведение функции объема при р -> оо, а во втором - при р —> П.
В первой главе изучается указанная эталонная ситуации, а во второй главе исследованы трубки над алгебраическими подмножествами в С”.
Напомним, что полином / называется эллиптическим, если его старшая однородная составляющая обращается в нуль лишь при х = 0. Основной результат первой главы составляет
Теорема 1.4. Пусть ](х) = Р(х) + (2{х) - эллиптический многочлен, где (}(х) - неотрицательный однородный многочлен старшей степени у,
— 5 —
а Р(х) - многочлен, степень которого меньше д, тогда при р —> ос
У(Ф,) =кр? +о (/>«),
(1)
(2)
а бесконечно малая величина о (/?») представляет собой ряд Лорана, сходящийся
при достаточно больших р; в формула (2) {},[]— знаки дробной и целой части числа, а В - бетта-функция Эйлера.
Здесь уместно отметить следующие моменты.
• Функция объема эталонной трубки (то есть обобщенного шара) аналитически зависит от р и раскладывается в степенной ряд.
• Главный коэффициент к асимптотической формулы (1) выражен через интеграл по И”, и в этом смысле формула (2) для этого коэффициента может рассматриваться как обобщение леммы Ватсона на многомерный случай.
• Согласно результату А. А.Алякринского и А.К.Циха [2], коэффициент к является функцией гипергсометричсского типа от коэффициентов многочлена С](х).
Случай неэллиптических многочленов исследован только в двумерной ситуации, то есть для площади плоской фигуры
где / - многочлен с вещественными коэффициентами. Выделяя у главной однородной составляющей / гиперболическую часть, то есть произведение всех линейных над полем К множителей, запишем / в виде:
ФР= {(«.V) € Ж2 : /(ж,!/) < р},
Дя.У) = П {°Чх+0зУ)Я> ' 9{х,у) + Р{х,у), а,,0) Є К, (3)
— 6
где д(х,у) - неотрицательный однородный эллиптический многочлен степени 2d (ввиду эллиптичности, д имеет четную степень), а Р{х,у) - произвольный
s
многочлен степени меньше q := cleg / = 2d.-\- ^ 21 j. Теперь, в отличие от эллип-
i=i
тического случая, площадь У[ФР) может быть бесконечной (в частности, это происходит, если В (3) ХОТЯ бы ОДИН линейный множитель OtjX + (3)У входит в нечетной степени: в этом случае / отрицательный в некотором секторе по одну сторону ОТ прямой OjX+fljy = 0 ). Для конечности Т(ФР) необходимо наложить условие на соотношение степеней в определении многочлена f(x,y), а именно, имеет место следующее
Предложение 1.2. Пусть /(х.у) - многочлен вида (3) степени q. Тогда площадь У (Фр) конечна для каждого р > 0, если
lj < q/4 для всех j = 1,..., s. (4)
Оказывается, как и в случае эллиптического полинома, площадь фигуры Фр как функция параметра р разлагается при достаточно больших р в ряд Лорана-Пюизо по дробным степеням р, а коэффициент при главном члене ряда, определяющий асимптотику V = V{p) на бесконечности, выражается таким же интегралом по пространству R2, как и в эллиптическом случае (см. формулу (6)
ниже).
Теорема 1.5. Если для многочлена f(x,y) вида (3) выполняются условия (4), то площадь фигуры Фр при р —» оо допускает представление
К(Ф„) = кр*+о{р1) (5)
с коэффициентом
Я f dxdy
где величина о(рї) является рядом Лорана, сходящимся при достаточно больших р, a Q - старшая однородная составляющая для /.
- Київ+380960830922