ОГЛАВЛЕНИЕ
Перечень определений и условных обозначений............................3
Введение..............................................................9
Общая характеристика работы............................................15
Глава 1. Обзор результатов.............................................20
Глава 2. Предварительные сведения
2.1. Методы доказательств.....................................31
2.2. Используемые результаты..................................31
Глава 3. Общие свойства решеток ^-расслоенных формаций.................35
3.1. Решетки ОГФ0 и ..........................................36
3.2. Алгебраичность решетки ОГф...............................45
3.3. О^-индуктивные решетки ^-расслоенных формаций............48
3.4. Модулярные решетки О-расслоенных формаций................60
Глава 4. Булевы решетки кратно О-расслоенных формаций
4.1. Прямые разложения кратно О-расслоенных формаций 65
4.2. Кратно О-расслоенныс формации с булевой решеткой подформаций....................................................70
Глава 5. Свойства решеток СЖП и Кп
5.1. ©-отделимость решетки £ЖП................................76
5.2. О совпадении систем тождеств решеток Кп и Кт при различных целых неотрицательных пит......................................86
Выводы................................................................93
Литература............................................................94
2
ПЕРЕЧЕНЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Рассматриваются только конечные группы. Используемые в работе без ссылок обозначения, определения и классические результаты по теории групп можно найти в книгах [17, 48, 56], а по теории классов групп в [3, 33, 44, 49, 53, 58]
Класс групп — совокупность групп, содержащая с каждой своей группой С и все ей изоморфные группы.
X-группа — группа, принадлежащая классу групп X.
0 — некоторое непустое множество простых групп.
О' — дополнение к множеству простых групп П во множестве всех простых групп.
Р — множество всех простых чисел.
N — множество всех натуральных чисел.
7г((?) — множество всех различных простых делителей порядка группы С.
тг(Х) — объединение множеств 7Г(Ст), где С пробегает все группы из X.
К (С) — класс всех простых групп, изоморфных композиционным факторам группы (7.
К (X) — объединение классов К {С) для всех С 6 X
1 — единичная группа.
(1) — класс всех единичных групп.
0 — класс всех групп.
(25 а* — класс всех Л'-групп.
з
0д — класс всех единичных и таких неединичных групп, у которых каждый композиционный фактор изоморфен простой группе А.
— класс всех О-групп, т.е групп С таких, что К (С) С О.
0р/ — класс всех П'-групп.
3 — класс всех простых групп.
21 — класс всех абелевых групп.
ОТ — класс всех ннльпотентных групп.
01;, — класс всех р-групп.
© — класс всех разрешимых групп.
бсА — класс всех групп, у которых все главные А-факторы центральны.
ЩХ) — класс всех гомоморфных образов групп из X.
Ио(Х) — класс всех изоморфных копий конечных подпрямых произведений Э£-групп.
Ф(С) — подгруппа Фраттини группы <3.
Са{Н/К) — централизатор фактора Н/К в А.
Fp(G) — наибольшая нормальная р-нильпотентная подгруппа, группы С.
ОДС) — наибольшая нормальная р-подгруппа группы С.
-Рд(С) — пересечение централизаторов всех тех главных факторов группы <3, у которых композиционные факторы изоморфны группе А (если таких факторов у группы С нет, то полагают /'д(С) = С).
Од(С) — наибольшая нормальная в С подгруппа, у которой все композиционные факторы изоморфны группе А (полагают О а (С) = 1, если в О нет нормальных подгрупп с таким свойством).
#-корадикал группы С — пересечение всех тех нормальных под-
,, ы' < п і і / и і. .* • І * \ і і ■;» . і і -; • "«'її Iі [; і р [ і' І. і і:. І. ! ‘. 11. ■
групп М из б, для которых С/М Є 5.
С5 — произведение всех нормальных 5-подгрупп группы С.
(МС) = £0П.
А I В — регулярное сплетение группы .4 с группой В.
Ортогональная система классов — такая система {5; | і Є 1} непустых классов групп 5?* что
1) ІЛ > 1;
2) & П Зі = (1) для любых двух различных г,^ Є I.
Для любой ортогональной системы классов {5/ | 1 Є /} символом
®іє/3» (или иначе Зі Ф • • ■ 0 Зп в случае, когда I = {1,..., п}),
совокупность всех групп вида А\ х... х Л*, где Лі Є Зі15 •.., А* Є 3*, для некоторого натурального і и і’і,..., ц Є /.
Если |/| = 1 и 5,- = 5, то полагают 5 = Фіє/5і-
Прямое разложение класса 5 — всякое представление класса групп £ в виде £ = где |/| > 1.
Полу формация— класс групп, замкнутый относительно гомоморфных образов.
Формация. — класс групп, замкнутый относительно гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений.
5„ — множество всех нормально наследственных (т.е. замкнутых относительно взятия нормальных подгрупп) формаций.
ПР-функцил / — функция вида / : О и {Г2'} ^ {формации групп} принимающая одинаковые значення на изоморфных группах из П.
РЯ-функция р — функция вида ір : 3 —» {непустые формации Фиттинга} , принимающая одинаковые значения на изоморфных группах из 3.
5
С>-расслоенная формация с направлением р и О-спутником / — множество групп вида £ = ГЩ/,<р) = {С Е 0 | С/0«(С) Е /(О') и Е /(Л) для всех Л Е О П АГ((?)}? где / и <р ~ некоторые ОР-функция и № -функция соответственно.
5* — наименьший (по включению) класс Фнттинга, содержащий класс Фнттинга 5 11 такой, что для любых групп С и Н справедливо равенство (С х Н)$- = <?£• х Н$-.
Класс Локетта — такой класс Фнттинга для которого имеет место 5 = 5**
т — подгрупповой функтор, сопоставляющий со всякой группой некоторую систему ее подгрупп т((?), так, что для каждого эпиморфизма групп у : А —> В выполняется (т(Л))9 С т(В), (г(П))^ 1 С г (Л), и для любой группы С выполняется С Е т(С).
т — множество всех т-замкнутых формации, т.е. формаций 5 таких, что г(£?) С §" для любой группы С Е $•
П /» называется пересечением О-спутников
Минимальный О-спутник формации $ — такой О-спутник /, что
/ = Г) /», где {/,• | г Е /} — совокупность всех О-спутников формации
«€/
5.
Полагают / < /г, если /(Л) С /г(Л) для всех Л Е О и {О'}, где / и к — О-спутники.
Внутренний О-спутник / формации $ — такой 0-спутник, что /(Л) С 5 для всех Л Е О и {О'}.
Полная решетка формаций в — такая непустая совокупность формаций, что пересечение любой совокупности формаций из в снова принадлежит в, и во множестве в имеется такая формация что 5э С 5
для любой другой формации 9) Є 0.
Для произвольной формации 3 и полной решетки формаций в :
30 = {гЗЙ | £> Є 0}.
ІЇР^в — совокупность всех таких О-расслоенных формаций с направлением р, которые определяются 0-значними О-спутниками, т.е. такими О-спутниками, все непустые значения которых принадлежат некоторой полной решетке формаций 0.
Ущ^ДЗ» І г Є I) — верхняя грань для {&• | і € /} С ОР?0 в Ш^0. Ув{Іі І і Є І) — такой 0-спутник /, что /(Л) является верхней
гранью для {/,(Л) | і Є /} в 0, если и /г ф' 0 и /(Л) = 0 в противном
*€/
случае.
Оі7^ — решетка всех /г-кратно О- расслоенных формаций конечных групп с направлением <р.
02^1$ — решетка всех п-кратно О-расслоенных с направлением р формаций, содержащихся в # є Оі7^.
вїоппХ — пересечение всех формаций из в, содержащих совокупность групп X С 9) Є 0.
ОР0(Ж,р) = О рР0/огт{Х)
91Рп{Х,р) = П^/огт(Э£)
О днопорож денная п-кратно О -расслоенная с направлением р формация 5 — такая О^-формация, что для некоторой группы б имеет место 5 = ОРп(С, р).
Элемент 5 полной решетки формаций 0 называется компактным, если для любого подмножества р С в из неравенства # < вирор вытекает существование такого конечного подмножества р! С р., что 3 < эирор'.
Полная решетка классов называется алгебраической, если любой ее элемент является решеточным объединением компактных элементов.
Элемент ОТ решетки формаций 0 называется атомом решетки 0, если ОТ не содержит нетривиальных 0-подформаций.
Минимальная нормальная подгруппа группы С ф \ — неединичная нормальная подгруппа группы С, не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы (У.
Монолитическал группа — неединнчная группа, имеющая единственную минимальную нормальную подгруппу.
Цоколь группы С — произведение всех минимальных нормальных подгрупп группы С.
Зос(С) — поколь группы С.
Монолит — цоколь монолитической группы.
7Т-замкнутая группа— группа обладающая нормальной колдовской тг-подгруппой.
8
- Київ+380960830922