Единственность и регуляризация операторных уравнений Вольтерра в шкале банаховых пространств

Введение.............................................................4
Глава 1. Примеры неединственности решения для интегрального
уравнения Вольтерра 1 -го рода................................ 12
§ 1.1. Пример неединственности для ядра, удовлетворяющего
условию Гёльдера..............................................15
§ 2.1. Неединственность решения, не удовлетворяющего условию
Гёльдера......................................................25
§ 3.1. Пример неединственности решения для ядра с модулем
непрерывности пол- между Л и И\М..............................28
§ 4.1. Примеры неединственности решения, двойственные ДЛЯ теоремы единственности решения интегрального уравнения 2-го
рода......................................................... 32
§ 5.1 О неединственности решения в математических моделях
физических и химических процессов.............................36
Глава 2. Регуляризация операторных уравнений Вольтерра 1-го рода в
шкале банаховых пространств................................... 40
§ 1.2. Регуляризация линейных операторных уравнений Вольтерра 1-
го рода.......................................................41
§ 2.2. Регуляризация нелинейных операторных уравнений Вольтерра
1 -го рода....................................................51
Глава 3. Регуляризация операторных уравнений Вольтерра 2-го рода в
шкале банаховых пространств....................................62
§ 1.3. Регуляризация уравнений при помощи семейства
аппроксимирующих операторов...................................63
§ 2.3. Логарифмическая выпуклость нормы как функции от 5 для областей специального вида.................................68
§ 3.3 Регуляризация обратной задачи для уравнения
теплопроводности............................................ 71
Заключение.....................................................78
Литература....................................................... ВО
ВВЕДЕНИЕ
Диссертационная работа посвящена исследованию единственности и регуляризации операторных уравнений Вольтерра в шкале банаховых пространств.
Отмеченные вопросы относятся к теории некорректных задач математической физики и анализа, основы которой были заложены работами Л.
Н. Тихонова [48 — 51], М. М. Лаврентьева [29 — 33], В. К. Иванова [24, 25], и их учеников.
Единственность решения интегральных и операторных уравнений Вольтерра изучалась М. М. Лаврентьевым [29, 29], А. Л. Бухгсймом [12 — 14, 16], А. Асановым [8, 9], А. С. Аиарцнным [5, 6], и другими авторами [2], [27], [36], [46].
Регуляризация интегральных и операторных уравнений Вольтерра 1-го рода исследовалась М. М. Лаврентьевым [29, 30, 31 ], А. С Анарциным [3 — 6], А. Б. Бакушинским [7], В. К. Ивановым, В. В. Васиным и В. П. Тананой [24, 25], Н. А. Магницким (34], А. Н. Тихоновым [48 — 52] и другими авторами [1, 9, 19, 21, 35,37, 44, 46,47, 53].
В работах М. М. Лаврентьева [30] и А. Л. Бухгейма [15, 16] изучалась регуляризация операторных уравнений Вольтерра 2-го рода с неограниченным оператором.
В диссертационной работе проведено исследование по актуальной и современной тематике. Работа лежит в русле работ, проводимых признанными научными школами по теории некорректных задач и их приложениям. В настоящей диссертации применены и развиты методы решения некорректных задач математической физики и анализа.
4
Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитированной литературы. В преамбуле каждой из глав дополнительно приводится краткий обзор результатов по тематике главы, даются ссылки на литературу. Нумерация формул ведется по главам, в каждой главе сквозная. Работа исполнена в формате текстового редактора Word-97 и занимает 88 страниц машинописного (распечатанного принтером) текста. Имеется электронный оригинал работы. Библиография содержит 73 названия.
Краткое содержание работы
Во введении излагается общая постановка задачи, обосновывается актуальность темы, дается краткий обзор результатов в рассматриваемой области исследований, отмечается роль и место данной работы в круге работ по операторным уравнениям Вольтерра и обшей теории условнокорректных задач.
В первой главе излагаются примеры неединственности для линейного интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода. Примеры построены явно,
т. е. непосредственно подобрано решение уравнения — функция **(■*), не
равная тождественно нулю, и ядро интегрального уравнения К(х,0, также не равное тождественно нулю, такие что
X
JK(xyt)u(t)dt = О
о
Пример неединственности решения для интегрального уравнения Вольтерра 1 -го рода
X
\K{x,i)u(t)dt = f(x) (10)
о
5
с ядром, равным единице на диагонали, т . е. (лг, дг) ^ 1, построен в работе Л. Б. Мацнева [36]. В настоящей диссертационной работе построена бесконечная серия примеров, которые являются контрпримерами для известных теорем единстенпости.
Впервые пример неединственности для уравнения Вольтерра (1.0) построен Ю. Е. Аниконовым [2].
А. Л. Бухгеймом доказано [12 — 14, 16], что решение операторного уравнения типа Вольтерра 1-го рода (1.0) единственно в классе функций, удовлетворяющих условию Гельдера, если
\K{xnt)-K(x2,t)<M\xt -*,(|ln|*,-х2\9
и , (2-0)
м - const.
В § 1.1 главы 1 настоящей работы излагается техника проведения оценок при построении примеров неединственности, структурированная в 5 леммах, строится пример ненулевого решения для линейного интегрального уравнения Вольтерра 1 -го рода с нулевой правой частью. Для функций — решения u(t) и ядра K(x,t), дающих примеры неединственности, вычислены модули непрерывности и показано, что условия теоремы единственности А. Л. Бухгейма не выполнены. В § 2.1 показано, что условие принадлежности решения к классу гбльдеровых функций в теоремах единственности [16] существенно и не может быть отброшено. В § 3.1 примеры модифицированы так, что u(t) - гельдерова с показателем
(X < 1, а ядро K(x,t) не удовлетворяет условию (2.0), но в качестве модуля непрерывности для ядра K(x,t) по переменной можно взять функцию
co(h) = h\\nh\ при любом Я > 1.
Это доказывает, что теоретические результаты А. Л. Бух1ейма [12, 14, 16] по единственности решения операторного уравнения типа Вольтерра
6