Линейные и нелинейные некорректные задачи на классах функций с особенностями

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 4
ГЛАВА 1. Предварительные утверждения 22
1. Исследование вспомогательной функции 22
2. Аппроксимация положения разрывов и величин скачков 26
3. Вспомогательные равенства и оценки 31
ГЛАВА 2. Линейные уравнения 1 рода 36
1. Восстановление функций с конечным числом разрывов по зашумленным данным \ 36
2. Решение линейных уравнений типа свертки на классах разрывных функций 44
3. Решение линейных уравнений типа свертки на классах обобщенных функций 48
ГЛАВА 3. Уравнения типа свертки с конечномерной нелинейностью 54
1. Решение нелинейных уравнений на классах функций с разрывами 54
2. Решение нелинейных уравнений на классах обобщенных функций 77
ГЛАВА 4. Решение прикладных уравнения 1 рода 94
1. Решение нелинейных уравнений на классах функций с особенностями 94
2. Расшифровка структуры бинарного аморфного сплава 101
3. Метод коррекции параметров для уравнений 1 рода 109
4. Обратная задача гравиметрии 119
о. Решение задачи наклонного зондирования ионосферы 123
ПРИЛОЖЕНИЕ 131
АЛ. Вспомогательные утверждения 131
А.2. Прикладные интегральные уравнения 1 рода 138
ЛИТЕРАТУРА 148
3
Введение
В диссертации рассматриваются (не)липейные проблемы, характеризующиеся тем, что их решение неустойчиво к малым возмущениям исходных данных, т.е. некорректно поставленные задачи. Теория регуляризации некорректно поставленных задач была основана в работах А.Н. Тихонова, В.К. Иванова, М.М. Лаврентьева, их учеников и последователей [27], [29], [34]. [38], [39]. В настоящее время теория некорректно поставленных задач изложена в многочисленных монографиях, например, в [18], [22], [31], [36]. [40], [44], [50], где можно найти ссылки на соответствующую литературу.
Неустойчивые проблемы возникают во многих областях науки, техники и естествознания. В частности, линейные и нелинейные интегральные уравнения 1 рода, возникающие при обработке экспериментальных данных в физике твердого тела [15], [59], привели к задачам, рассматриваемым в диссертации (примеры прикладных интегральных уравнений 1 рода см. также, например, в [19], [35], [39]). В работе не рассматривается огромная и активно развивающаяся область обратных коэффициентных задач [20], [30]. Также не обсуждаются статистические методы регуляризации [41].
В диссертации изучаются следующие задачи: восстановление функции по зашумленным данным, решение линейного уравнения тина свертки и решение уравнения с конечномерной нелинейностью специального вида. Задача сглаживания зашумленных данных исследовалась во многих работах, в которых использовались разнообразные
4
методы: метод Тихонова [38]; методы регуляризации с использованием сплайнов [22], [34], стр.192; алгоритмы на основе сглаживающих (усредняющих) функций [36], [44]. Регуляризующие алгоритмы для решения линейных интегральных уравнений типа свергки изложены, например, в [19], [38], гл.5, [39]. стр.38, [40], гл.6. Построению регуляри-зованных вариантов итерационных процессов для нелинейных некорректных задач посвящена обширная литература, ссылки на которую можно найти в [50], [51], [59].
В прикладных проблемах часто искомая функция имеет разрывы или другие особенности. Методы решения некорректных задач для разрывных функций изучались многими авторами, и эта тематика продолжает активно развиваться в настоящее время. Кратко остановимся на трудностях, возникающих при восстановлении функций с особенностями.
Каждый метод регуляризации, как правило, связан с той или иной априорной информацией об искомой функции в виде ее принадлежности некоторому классу (множеству корректности). При этом, с одной стороны, искомое решение должно принадлежать этому множеству. С другой стороны, чем уже рассматриваемый класс, тем лучше стабилизирующие свойства соответствующего метода регуляризации, позволяющие получить сходимость в более сильной норме.
Наиболее слабым регуляризатором, позволяющим восстанавливать разрывные функции, является вариационный метод Тихонова 0-го порядка [38], гл.2, §2. При этом сходимость получается в исходном пространстве, и дать оценки точности аппроксимации в общем случае невозможно (см. [27], гл.2 §3).
Также рассматривались регуляризаторы, использующие пространства функций ограниченной вариации. Для функций одной перемен-
5
пой такого рода алгоритмы конструировались, например, в [1), (24], (26], [32] и др. (случай многих переменных см. [17], [54], [55]). Для функций непрерывных, за исключением конечного числа разрывов первого рода, в этих работах была получена сходимость в равномерной метрике вне малой окрестности разрывов [1], [21], [32] и [40], стр.205.
В работе [2] был построен регуляризатор в пространстве Соболева И'2' и получена сходимость в норме И’/. Отметим, что пространство И 2 при 0 < $ < 1/2 содержит разрывные функции.
В целом ряде работ использовалась априорная информация о положительности, монотонности или выпуклости искомых функций (например, см. [34], гл.4 и [39], гл.2,3). Для задачи сглаживания зашумленных данных на основе сплайнов в [34], гл.4, строились регу-ляризующие алгоритмы, позволяющие аппроксимировать функции с известными положениями максимумов, перегибов или изломов (разрывов первой производной).
В теории приближения функций известны результаты по аппроксимации решений с известным положением особенностей. Отметим работу [37], в которой в другой постановке строились алгоритмы, позволяющие локализовать разрывы искомого решения, для решения уравнения I рода типа свертки при точных данных.
В главах 1 3 диссертации предложены новые методы регуляризации, использующие априорную информацию неклассического типа: принадлежность искомого решения классу функций с конечным числом особенностей заданного вида (разрывов или «5-функций). Разработана специальная техника, основанная на использовании аналогов явления Гиббса. Для задачи восстановления функции по зашумленным данным, решения линейного уравнение типа свертки и решения уравнения с конечиомерной нелинейностью построены алгоритмы, по-
6
эволяющие находить приближения для характеристик особенностей искомых функций (в частности, для функций с разрывами это положения разрывов и величины скачков) и аппроксимировать искомые функции вне малой окрестности особенностей в равномерной метрике.
Для всех полученных приближений получены порядковые по параметру регуляризации оценки точности. Эти оценки говорят об эффективности предложенных алгоритмов. Насколько известно автору, рассмотрение задач на введенных в диссертации классах функций ранее не встреча юсь и эти результаты не имеют близких аналогов.
К прикладным результатам диссертации, изложенным в главе 4 относятся: разработка эффективных численных процедур, их программная реализация и проведение методических расчетов решения линейных и нелинейных интегральных уравнений (или систем уравнений) 1 рода. Для задач, возникающих при исследовании структуры однокомпонентных материалов и бинарных сплавов [15], [18], гл.6, разработаны экономичные методы коллокации с использованием полиномов Лежандра. Для этих же задач был реализован метод коррекции параметров (о). Также рассматривались задачи: наклонного радиозондирования ионосферы и нелинейная обратная задача гравиметрии для двух контактных поверхностей [6]. Автором была проведена серия модельных расчетов, показывающих эффективность предложенных алгоритмов.
Перейдем к краткому изложению результатов диссертации.
Для удобства читателя сначала введем два класса функций с особенностями, которые используются на протяжении глав 1-3. Далее, если не указано иначе, то Т2 = L2(-oo,+оо); через / будем обозначать преобразование Фурье функции /.
7
1. Функция х имеет конечное число / разрывов первого рода в точках Величины скачков Д* ф 0 (£ = 1,2,...,/). Вне точек разры-
ва функция непрерывно дифференцируема, и в каждой точке разрыва существуют левые и правые конечные пределы производной. Сама функция х и ее производная х' вне точек разрыва интегрируемы с квадратом.
2. Функция х имеет вид
х($) = ад + Д* • Ч3 - **)»
*=1
где <5($) ^-функция, Д* Ф 0(/г = 1,2,...,/). Функция х непрерывно дифференцируема. Сама функция х и ее производная х принадлежат
Ь2-
Заметим, что разработанная техника переносится и на другие классы функций. Например, на функции, имеющие конечное число изломов.
В главе 1 получены основные технические результаты, на основе которых в главах 2 и 3 конструируются алгоритмы решения некорректных задач и получаются оценки точности регуляризованных решений. В теории тригонометрических рядов хорошо известно явление Гиббса (см., например, (43], стр.490), возникающее в окрестности точек разрыва первого рода. В качестве метода регуляризации по 2 и 3 главах используется метод срезки [38], стр. 168, с параметром регуляризации В (В > О, В —► оо). При этом на классах функций 1 и 2 вокруг каждой особенности возникают явления, аналогичные явлению Гиббса. Предлагается использовать эти эффекты для определения характеристик особенностей 5*1 2, ..../)•
Рассмотрим функцию описывающую аналог явления Гиббса
8
от единичного разрыва в точке ноль
В главах 2 и 3 получены следующие уравнения для определения характеристик особенностей
X] - «*) = ^0 М + (0.2)
*=1
где фв + Ди>5 функция, вычисляемая по исходным данным задачи. Точные значения *>*, Д* (Л = 1,2,...,/) удовлетворяют уравнению (0.2) при точной правой части фв. В функцию Афв входит погрешность модели, используемой для получения уравнения (0.2) и погрешности задания исходных данных задачи. Для каждой из задач получается своя оценка малости Афв.
Отметим, что при выводе уравнения (0.2) можно использовать другие функции, аналогичные фв. Данный конкретный выбор функции фв существенно упрощает ее дальнейшее аналитическое исследование. В §1 главы 1 изучаются свойства функции фв. В лемме 1.1 показан факт локализации функции ов(з) в окрестности точки ноль: для достаточно большого В для всех $ таких, что (в) > Л > 0, получена оценка сверху по параметру В функции <£й(.$) в равномерной метрике.
Пусть Л = (1/2) пмп{|£* - 5>|: к ф у). В силу локализации функции фв, для 5 6 («*—/», 5*+Л] вместо (0.2) имеет место следующее уравнение (А: = 1,2,...,/)
ДкфВ(8 - 5*) = Фь{$), (0.3)
где фвЫ) = Фв{$) + &Фв{ъ). Для задач, рассматриваемых в главе 2, показано, что погрешность ДФв{э) удовлетворяет следующему усло-
9
ВИЮ
(/) Atl>l(s) -o-g^s), sup |<*(*)(4)| < A\fBp,
\s- sk\<h
где A\,p — положительные константы.
Для задач, рассматриваемых в главе 3, погрешность удо-
влетворяет условию
(II) А*?« = «? (») + <*§,,(»).
sup \dmaB{s)jdsm\ < КтВт(т =0,1,2,3), sup \a§{k)(8)\<A2/Bp,
|«|<2rf js - 5*|<Л
где d > max{|s*| : k = 1,2,Аг, P, Km(m = 0,1,2,3) — положительные константы.
Ясно, что все рассуждения можно проводить только для к - 1. Обозначим через точку глобального максимума функции <j>B(s -si): s™“ = *1+ъ/(ЗВ). Конструктивно мы умеем вычислять точку sjj?“ максимума функции фв. Основным результатом §1 главы 1 является лемма 1.4, в которой получена оценка близости точек affi* и 5™ах.
В §2 решается уравнение (0.3) при А* = 1. Выписаны формулы для определения приближений К Sl, Ai и получены оценки точности (по параметру регуляризации В) их аппроксимации при различных возмущениях Афв (леммы 1.5-1.8). Например, в лемме 1.5 показано, что, если выполняются условия (I) и точка s™ax € [s\ - h,S\ + Ь], то для достаточно большого В имеет место оценка |$i — Sj| < C\/BUp'\ где s\ = s™** - */(3£) для Ai > 0 или h = s™1* + тг/(3В) для Ai < 0. Отметим, что при выполнении условий (II) оценки получаются хуже.
В §3 приведены три технических утверждения, необходимых для обоснования сходимости итерационного процесса решения нелинейного уравнения 1 рода в главе 3. При решении этой задачи кроме уравнения (0.2), используемого для аппроксимации характеристик особенностей,
J0
аналог явления Гиббса также используется для построения итерационного процесса. Исследуется поведение следующих функций
дп /sinBs\ дп (cosBs— 1\ f V1
а? (“Г") ’ â? (—і—) ’ і«ч*")*- " = °’>>2..........................
— В
где функция х удовлетворяет условию 1 или 2 при I = 1.
В §1 главы 2 рассматривается задача восстановления неизвестной функции х*, удовлетворяющей условию 1, по заданной функции ху, предполагается, что х* € Ьч, Цх4 - х*|| 7 г < 6, уровень погрешности Ь известен.
Возмущенная правая часть уравнения (0.3) да я определения характеристик особенностей вычисляется следующим образом Фб(з) = x7tB{s) - *?(«), где
1 в
xfi8) = -7к= / *Кг)ехР{izs)dz, В > О,
ч/2я-JB
есть регуляризованное решение задачи сглаживания зашумленных данных методом регуляризации срезкой. Для функции xf при (5 = 0 (индекс 6 = 0 будем опускать), для s ф st(k = 1,2,...,/) имеет место представление (см. следствие 1 в приложении А.1)
**(«) = **(*) + É *1 ' ЧВ, » - st) + а§(s),
к= 1
где Ф(В, s) = I sup \oo(s)\ < Ао/Вр,
л D\t\ ^ *€(-00,00)
р = 0.5, Aq — константа, В дальнейшем вместо sup будем писать
«€(-00.00)
просто sup. В лемме 2.1 показано, что при достаточно малом 6 и связи
$
параметров В = Л//62^1Г2р) (М — константа), для всех к = 1,2,...,/, характеристики разрывов удовлетворяют уравнениям (0.3) с точной правой частью, а для погрешности выполняется условие (I).
11
Сформулирован алгоритм (процедура П) аппроксимации точек разрывов и величин скачков искомой функции. В теореме 2.1 доказано, что с помощью данного алгоритма можно найти все точки разрыва и выписать оценки точности определения st и Л* (к = 1,2,...,/)
h - 4| < |д* - А6к\ <
Для равномерного приближения искомой функции вне окрестности разрывов строится функция
ДW = - Е »- 4), (0.4)
к~\
где si (к = 1,...,/) определены с помощью алгоритма П. В теореме 2.2 получена следующая оценка
sup И*) - хЦ8)\ < Сз62р^1+2р),
*£WS
где х*($) — искомая функция, Wf, = R \ (ujL^sJ - 6^,4 + б*41)), pf) = (2 - р){{\ + 2р).
В §2 рассматривается линейное интегральное уравнение с оператором типа свертки
оо
Ах = I К{1 - s)x{s)ds = y{t), t € (-оо, +ос), (0.5)
-ОО
где оператор А определен на функциях вида 1 и действует в Ь2. Предполагается существование точного (искомого) решения х*. Вместо точной правой части у* = Лх* известно у6: |у* — у*|| < Ь. Также предполагается, что точное решение уравнения (0.5) удовлетворяет условию 1.
Л
Обозначим через / преобразование Фурье функции /. Ядро исходного уравнения (0.5) должно удовлетворять условию
3. Функция K(t) € L? является четной (или нечетной); функция K(z) ф 0 для г е (—ос, оо).
12
Правая часть в (0.3) вычисляется следующим образом: ipB(s) = (*)> где
y\z)/K(z), \z\ < В.
0, Iz\> В.
*?М =
Возмущения Аф{? (к = 1,2,I) удовлетворяют тем же условиям (I), что и в задаче сглаживания. Для определения количества точек разрыва, приближенного определения их положений и величин скачков используется алгоритм П §1. Оценки точности определения положений разрыва, величии скачка и равномерная оценка приближения решения вне окрестности точек разрыва, построенного по формуле (0.4), имеют тот же порядок по В, что и в задаче восстановления функции по зашумленным данным, при другой зависимости В = В(Ь)
h - 4| < ададг, (0.7)
|Л* - Д|| < Сі/(ВДЛ (0.8)
sup |z(s) - їд(»)| < С3/(В(6))К, (0.9)
w» = r\ (u?=1(4 - в(бу°, 4 + ваг")),
где РО = 1 - р/2, рі = 1 + р/2, р2 = Рз = Р-
F1 §3 рассматривается линейное интегральное уравнение типа свертки (0.5) для функций, удовлетворяющих условию 2 при тех же условиях 3 на функцию Л'(<)> что и в §2. Возмущенная правая часть уравнения (0.3) для определения характеристик особенностей вычисляется по формуле гр*(s) = }{xsB(t) - xf (r))</r, где xf — регуляризован-ное решение исходного уравнения, полученное но формуле (0.6). При <5=0 для функции xf (индекс Ь = 0 будем опускать) дня з ф зк (к = 1,2,имеет место представление (см. следствие 2 в приложе-
13