Симметрии функционально-дифференциальных уравнений

Введение
В диссертационной работе рассматривается класс обыкновенных функционально-дифференциальных уравнений вида
Р [х,у{х),у(1р{х)))г/{х),у'(<р{х)), ... ,у(п)(®),у(в)(^))) = 0. (0.1)
В обширной литературе, посвященной данному вопросу, различные подклассы уравнений такого типа называют также дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом, дифференциальноразностными уравнениями, уравнениями с запаздыванием.
Функционально-дифференциальные уравнспия (ФДУ) встречаются уже в работах математиков XVIII века, например, в связи с решением задачи Л.Эйлера о разыскании общего вида линии, подобной своей эволюте. Однако до 1940 года число работ, посвященных этим уравнениям, было сравнительно невелико. Укажем, что до 40-х гг. еще не были сформулированы основные теоремы теории ФДУ, в литературе не было даже четкой постановки начальной задачи [44]. В 50-60 гг. в связи с появлением многочисленных приложений интерес к теории ФДУ резко возрос.
Как известно [20,41,65], ФДУ возникают в теории автоматического регулирования, в теории колебаний, при изучении процессов
*
в реактивных двигателях, при решении ряда проблем теоретической физики, некоторых задач экономики, а также в различных отраслях биологии [23,62].
Среди основных направлений исследований ФДУ следует отметить:
1) теоремы существования и приближенные методы;
2) теория линейных уравнений;
3) теория устойчивости;
4) исследование периодических решений,
а также вариационные задачи с отклоняющимся аргументом и связанные с ними краевые задачи.
Нетрудно видеть, что проблема поиска точных решений в замкнутом аналитическом виде не входит в число основных направлений
2
- не в силу отсутствия ее актуальности, а по причине недостаточной общности подходов, что легко объясняется чрезвычайной сложностью задаваемых ФДУ многообразий.
Наиболее полный обзор методов построения точных решений ФДУ представлен в монографиях Э.Пинии [61], Л.Э.Эльсгольца [64], а также в литературе других авторов [19,21,35,43,63,66].
1. Метод интегральных преобразований (операционный метод, операторный метод). Э.Пинни считает его одним из наиболее сильных методов для решения ФДУ. Как правило, он применяется для линейных уравнений, в которых коэффициенты и отклонения аргумента являются линейными функциями независимой переменной.
Используя интегральные преобразования:
ФДУ в некоторых случаях можно свести к обыкновенному дифференциальному уравнению (без отклонения аргумента), к функциональным уравнениям и даже к алгебраическим, так как дифференцирование и сдвиг аргумента для функций /(т) переходят в простое умножение для образа ^(г).
Модификацией метода интегральных преобразований является метод производящих функций: приведенные ранее иптеграчы заменяются интегральными суммами. Эти суммы вычисляются и далее свертываются для получения решений. Чаще всего этот метод применяется, когда интерес представляют лигаь целочисленные значепия
Р(г) = / е :г/(х) ёх (Лапласа),
-00
+оо
п*) = / е г*/(х)ёа(х) (Лапласа—Стильтьсса),
-00
+00
“ОС
Ь
Р(г) = I е-”/(х) ёх (Эйлера — Лапласа),
а
3
переменной сдвига.
2. Метод интегрального представления или «метод определенных интегралов» по сути дела является эвристическим методом. Он основан на предположении, что решение &(х) системы функционально-дифференциальных уравнений может быть представлено в виде
где V* - функции, имеющие ограниченную вариацию на измеримых множествах X, в пространстве х. Функциям (7, и V* придана удобная форма. Задача состоит в определении функции У (г). Наиболее удобными являются представление Лацласа-Стильтьеса (функции (7, состоят из экспонент), а также представление в виде степенного ряда.
3. Метод последовательного интегрирования (метод шагов). Рассмотрим основную начальную задачу для простейшего уравнения с запаздывающим аргументом
Непрерывное решение у(х) рассматриваемой задачи находится из дифференциальных уравнений без запаздывания
так как при хр ^ х ^ хо + т аргумент х - т изменяется на начальном множестве (хо - т, хо) и, следовательно, третий аргумент у(х - т) функции / равен начальной функции $ъ{х - т). Предполагая существование решения у = (р\(х) этой начальной задачи на всем отрезке [хо,хо -I- т], аналогично получим дифференциальное уравнение без запаздывания
у,(х) = /(х,2/(х),у(х-г)),
где постоянное запаздывание г > О,
у(х) — <ро{х) при хо - т < х < Хо-
У = /(х,у{х), <ро(х ~ т)) при х0 ^ X ^ Хо + г, у(х0) = <Ро{х0),
У1 = /(х,у(х),<Р\ (х-т))
на отрезке [хо + г, хо + 2т], и т.д.
Л.Э.Эльсгольц называет уравнения, к которым применим метод шагов, интегрирующимися в квадратурах [64].
4. Метод квазиполиномов (метод характеристических квазиполиномов) применим для линейных уравнений с постоянными коэффициентами и с постоянными отклонениями аргументов
Т71 П
7=0 р=0
ам, Тд 6 К, 0 < то < п < ... < тт. Ищутся частные решения в виде у[х) = екх. При этом для определения постоянного к получается характеристическое уравнение
£Х>«л-г<-' = о.
7=0 /я=0
Левая часть этого уравнения называется характеристическим квазиполиномом.
Частные решения линейного неоднородного уравнения иногда легко подбираются или легко вычисляются операционными методами.
5. Метод, основанный на дискретных симметриях множества аргументов, широко представлен в работах Ю.Л.Майстрен-ко, Г.П.Пелюха, А.Н.Шарковского [40,49,50]. Авторы рассматривали функциональные и функционально-дифференциальные уравнения, содержащие несколько отклонений аргумента. Исследование таких уравнений можно свести к исследованию системы уравнений без отклонения аргумента, если группа преобразований аргумента б конечна (например, если неизвестная функция у(х) входит в уравнение при двух значениях аргумента х и — х). Покажем идею этого метода на простом примере - уравнении я/(х) = ау(—х), которое рассматривал Ч.Беббедж еще в начаче XIX века. Аргументы неизвестной функции, входящей в это уравнение, образуют циклическую группу С-2. Обозначим у[х) = у\(ж), у(~х) = У2(х), в результате получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка г/: = ау2, у о = -<*з/ь чт0 позволяет найти общее решение исходного
5
уравнения в виде
Если группа преобразований аргумента 0 бесконечна, по содержит бесконечную циклическую инвариантную подгруппу 5э, и фактор группа 0|й конечна, то исходное уравнение сводится к системе уравнений, содержащих меньшее число преобразований аргумента. Однако, заметим, возможности этого метода ограничиваются не только требованием конечности группы преобразований аргументов (или ее фактор-группы), но и требованием отсутствия инвариантности исходного уравнения относительно этой группы.
Идея редукции функционально-дифференциальных уравнений получила свое развитие в следующем методе той же группы украинских ученых.
б. Исследование ФДУ с позиции теории функциональных уравнений [42,49] можно охарактеризовать следующим образом. Ка-
можно сопоставить уравнение Пфаффа
А(х, и, ь)(1х + В(х, и, + С(х, и, ь)& = О,
которое может оказаться вполне интегрируемым [42]. Например, так будет, если А = 0, а В и С не зависят от х. Уравнения вида (0.2), которым соответствует вполне интегрируемое уравнение Пфаффа, были названы вполне интегрируемыми. Такие уравнения «интегрированием* сводятся к однопараметрическому семейству функциональных уравнений Ф(т,у(т),у(¥’(а;))) = С. Можно рассматривать и более общие уравнения, когда имеется несколько отклонений аргумента или отклонение зависит от неизвестной функции, и выделить среди них вполне интегрируемые.
ждому квазилинейному уравнению
А{х,у{х),у(ф))) + В(х,у{х),у{ф)))^1 +
+ С(х,у(х),у[(р(х)))
= О (0.2)
ах
Легко видеть, что методы, основанные на непрерывных симметриях многообразий, предложенные еще в конце XIX века С.Ли (6,7,32,33,45,46], для исследования ФДУ практически не использовались. Некоторые попытки применения группового анализа можно найти в работах В.Р.Петухова [51-60]. Оказалось, что основной трудностью для перенесения классических результатов С.Ли на класс ФДУ является неоднозначность трактовки продолжения инфшштезималь-ного оператора на переменные типа ^>(х), у(^(х)) и их производные. Поэтому все предложенные подходы не получили практического продолжения и не составили сколько-нибудь цельной, содержательной теории.
Следует отметить, что в последнее время интерес к групповым методам снова возрос. Однако основным объектом исследования стали недоопредсленные дифференциальные уравнения, например, обыкновенные дифференциальные уравнения относительно двух неизвестных функций. При введении фиксированной функциональной зависимости между неизвестными функциями такие уравнения превращаются в ФДУ [11,14,30]. Вместе с тем недоопредсленные дифференциальные уравнения встречаются и сами по себе, а дополнительная неизвестная может трактоваться, например, как управление.
Недоопределепные дифференциальные уравнения рассматривались, например, И.М.Андерсоном с коллегами [1], а также Г.Н.Яковен-ко [67-69], В.И.Легеньким [5] и В.И.Елкиным [26], однако Андерсон рассматривал их просто как пример применения классического группового анализа и теории групп Ли-Беклунда, а отечественные математики рассматривали исключительно задачи управления: «лишние» переменные являлись в них компонентами вектора управления и не имели функциональной связи с основными неизвестными функциями. В.И.Легенький отмечал, в частности, что групповой анализ недоопре-деленных уравнений неэффективен в силу того, что допускаемые операторы имеют функциональный произвол (т.е. допускается бесконечномерная алгебра Ли), порожденный не реальными симметриями, а самой недоопределенностью уравнения. Естественно, при этом алге-
7
бра оказывается «пустой#, т.с. упростить уравнение с ее помощью не удается.
Исследования, проведенные в последние годы [17,27], показали, что классы симметрий, изучаемые в групповом анализе, могут быть значительно расширены. При этом выявляется групповая природа уравнений, разрешимых в замкнутой форме, но не интегрируемых классическим методом С.Ли [27]. Введение формального оператора позволило сформулировать теоремы, лежащие в русле общих идей декомпозиции моделей, одна из которых состоит в «погружении изучаемого объекта в класс, где определено понятие об изоморфизме объектов, и в отыскании среди объектов, изоморфных данному, такого, который является “представлением” исходного объекта с помощью семейства более простых в некотором смысле объектов. Примером “представления” о котором здесь идет речь, является ситуация, когда система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка посредством диффеоморфизма сведена к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям, каждое из которых первого порядка# [47].
Легко усмотреть аначог декомпозиции в групповом анализе -как известно, любое уравнение, допускающее точечный оператор, может быть записано в инвариантах этого оператора. Таким образом, во-первых, понижается порядок исходного уравнения, а во-вторых, оно представляется в виде «матрешки» двух более простых уравнений, одно из которых «вложено» в другое. Такое представление является обобщением факторизации линейных дифференциальных операторов.
Целью настоящей работы является исследование симмстрийных свойств функционально-дифференциатьных уравнений, основанное на использовании как классического подхода, так и теории формальных операторов. Идея формальных операторов применяется к изучению свойств обобщенных дифференциальных уравнений, под которыми мы будем понимать недоопределенные дифферепциальные уравнения, имеющие дополнительную функциональную или дифференциальную связь между неизвестными функциями (тем самым автоматически включая в рассмотрение класс (0.1)).
8
Таким образом, можно сформулировать следующие задачи диссертационной работы:
* .< **> ' ' • :.Ч‘* ' / ' •
- продолжение теории формальных операторов на класс операторов, допускаемых обобщенными дифференциальными уравнениями;
- исследование свойств инвариантов формальных операторов и распространение принципа факторизации, заключающегося в представлении уравнения в инвариантах допускаемого оператора, на класс обобщенных дифференциальных уравнений;
- разработка алгоритмов поиска симметрий обобщенных дифференциальных уравнений;
- приложение построенной теории и алгоритмов для класса функционально-дифференциальных уравнений.
Основная часть диссертации состоит из из введения, трех глав и приложения.
Первая глава посвящена теории формальных операторов, допускаемых обобщенными дифференциальными уравнениями п-го порядка, и применению ее для поиска симметрий обобщенных дифференциальных уравнении, в частности, функционально-дифференциальных уравнений. В п.1.1 вводятся основные понятия и формулируются необходимые определения. В следующем п. 1.2 доказываются вспомогательные утверждения, касающиеся свойств оператора полной производной Дг, и используемые при доказательстве теорем пп. 1.3-1.4, в которых исследуются свойства и структура пространства инвариантов допускаемого формального оператора. Доказанные теоремы позволяют в п. 1.5 сформулировать и доказать принцип факторизации обобщенных дифференциальных уравнений. Так как задача поиска симметрий в общем виде не поддается решению, в последнем пункте первой главы (п. 1.6) особое внимание уделяется алгоритму' поиска инвариантов допускаемого оператора, а также рассматриваются наиболее перспективные, с практической точки зрения, типы операторов.
9