ОГЛАВЛЕНИЕ
стр.
ВВЕДЕНИЕ.......................................................... 4
ГЛАВА 1. Приближенные методы решения одномерного слабо сингулярного интегрального уравнения первого рода с логарифмическим ядром........................................... 19
§1.1. Некоторые вспомогательные результаты................... 19
§ 1.2. Пространства Зигмунда и их свойства...................... 25
§1.3. Элементы теории приближения функций в пространствах 29
Зигмунда................................................
§1.4. Корректная постановка задачи ........................... 34
§1.5. Приближенные методы решения.:.......................... 37
1.5.1. Метод Галеркина.................................... 37
1.5.2. Метод коллокаций................................... 39
1.5.3. Метод вырожденных ядер............................. 40
1.5.4. Метод механических квадратур....................... 44
§1.6. Приближенные методы решения. Продолжение................. 47
1.6.1. Метод механических квадратур....................... 47
1.6.2. Итерационные методы................................ 55
1.6.3. Квадратурно-итерационные методы.................... 58
1.6.4. Проекционно-итеративный метод...................... 65
ГЛАВА 2. Приближенные методы решения двумерного слабо
сингулярного интегрального уравнения первого рода
с логарифмическими ядрами.............................. 69
§2.1. Постановка задачи и структура обратного оператора........ 69
2
§2.2. Вспомогательные результаты............................... 76
§2.3. Итерационные методы...................................... 79
§2.4. Метод механических кубатур............................... 83
§2.5. Кубатурно-итерационные методы............................ 87
§2.6. Общий проекционный метод................................. 95
Библиографический список использованной литерату ры.............. 102
3
ВВЕДЕНИЕ
В процессе решения большого числа теоретических и прикладных задач математики, механики, физики, химии и техники (см., например, работы [12, 31, 34, 40, 44, 51, 55, 60, 68, 71, 78 - 80, 84, 92, 97, 99] и библиографию в них) возникают слабо сингулярные интегральные уравнения (с.с.и.у.) первого рода с логарифмическими ядрами в главной части интегрального оператора вида
^ - сг
1 2*
—— fin sin ~—— x(a)dcи f h(s,a)x(cr)d<j = y(s); (0.1)
1/rr J 2 2л j
2л
-і .
о
2л2л
4 л2
JJh
о 0
(7 — S
sin---------------
In
. T-t sin----
x(a,T)dcrdT +
| 2л2л
+ T~* J1 Ks,t><r*T)x(<r9T)dadT = y(js,t), (0.2) 4;г о 0
здесь h(s,a), y(s), h(s,ty(j9T)y y(s,t) — известные непрерывные 2л-периодическис функции по каждой из переменных, х((т), x(aj) — искомые функции, причем слабо сингулярные интегралы понимаются как несобственные.
Из теории таких уравнений (см., например, [9 - 10, 12, 32, 50, 67, 70, 78, 82 - 83, 88] и библиографию в них) следует, что они решаются точно лишь в весьма редких частных случаях, но даже в этих случаях для доведения результата до числа необходимо вычислять регулярные, сингулярные и слабо сингулярные интегралы со сложными плотностями. В связи с этим для теории, и в особенности для приложений, проблема разработки приближенных методов решения слабо сишулярных интегральных уравнений первого рода с соответствующим теоретическим обоснованием представляется важной актуальной задачей.
О результатах, полученных в этой области отечественными математиками и механиками, а также рядом зарубежных авторов, достаточно
полную информацию можно найти, например, в монографиях [7, 10, 12, 26 -27, 31, 40, 55, 7.1, 78, 99], работах обзорного характера [22, 94], а также в диссертациях [3 -4, 11, 33, 41 - 42, 44 - 45, 77, 86, 90]. В последующем обзоре затронем только те работы, которые имеют непосредственное отношение к теме диссертации.
Особенностью слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода является их принадлежность к классу некорректных задач, в связи с этим основную трудность при решении таких уравнений представляет не разработка приближенных методов, а их теоретическое обоснование.
Существует несколько подходов к решению указанных уравнений. Первый из них основан на методах решения некорректно поставленных задач, разработанных выдающимися математиками АЛ [.Тихоновым, М.М.Лаврентьевым, В.К.Ивановым и получивших дальнейшее развитие в работах В.Я.Арсенина, Г.М.Вайникко, В.В.Васина, В.Г.Романова, В.А.Морозова, и ряда других авторов (см., например, [8 - 10, 49 - 50, 60, 69, 88]). Особенно широко используются хорошо разработанные методы регуляризации, однако их применение при решении с.с.и.у. первого рода сопряжено с определенными трудностями, вызванными специфической структурой ядер этих интегральных уравнений, что приводит к очень трудоемким алгоритмам.
В работах М.М.Хапаева (мл.) (см., например, [91 - 92]) предлагается другой подход к решению интегральных уравнений первого рода с логарифмической особенностью, основанный на обращении интегрального оператора с логарифмическим ядром. В этом случае теоретическое обоснование численных методов не представляет принципиальных трудностей, так как использование такого подхода приводит к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода, которые решаются прямыми численными методами. Однако для практической реализации эти методы не удобны в связи с трудоемкостью алгоритмов.
5
В следующих подходах к решению обсуждаемых с.с.и.у. используется тот факт, что наличие в ядре уравнения логарифмической особенности позволяет непосредственно решать его прямыми численными методами, что является более эффективным со многих точек зрения. В то же время обоснование этих методов представляет существенную трудность, которая в ряде случаев до сих пор не преодолена.
Применение прямого численного метода коллокационного типа для решения с.с.и.у. первого рода с логарифмической особенностью в ядре было предложено А.Н.Тихоновым, В.И.Дмитриевым, Е.В.Захаровым (см., например, [39]). Этот метод впоследствии был назван методом саморегуляризации Тихонова. Дальнейшее развитие он получил в работах Т.Н.Галишниковой, A.C.Ильинского, В.В.Воронина, В.А.Цецохо (см., например, [13 - 14, 31, 39 - 40, 94]). В то же время несмотря на многочисленные приложения полного теоретического обоснования этот метод не получил.
Наиболее перспективным, на наш взгляд, является подход, основанный на корректной постановке задачи решения исходных уравнений с последующим применением аппроксимативных методов решения. Корректная постановка задачи возможна при подходящем выборе пары функциональных пространств: пространства искомых элементов и
пространства правых частей. Тем самым решенной оказывается проблема академика А.Н.Тихонова саморегуляризации (в том числе оптимальной конечномерной саморегуляризации) некорректно поставленных задач, описываемых различными классами интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Исследованию приближенных методов решения указанных классов уравнений в условиях корректной постановки задачи посвящено большое число результатов группы казанских математиков под руководством автора указанной методики Б.Г.Габдулхаева (см., например, работы, в том числе монографии и диссертации, [3 - 4, 11, 15
6
- ЗО, 33, 41, 42 - 43, 45 - 46, 74 - 77, 86, 90] и библиографию в них). Остановимся на некоторых результатах.
Для одномерного слабо сингулярного интегрального уравнения первого рода с логарифмическим ядром в главной части интегрального оператора (0.1) в I главе [26] дана корректная постановка задачи его решения в пространствах квадратично суммируемых функций, приведены вычислительные схемы различных аппроксимативных методов и дано их теоретическое обоснование. Обоснование некоторых приближенных методов решения (0.1) дано также в диссертации Р.Т.Валеевой [11]. В основу исследований в этих работах было положено доказательство сходимости в пространстве квадратично суммируемых функций, равномерная сходимость и сходимость в пространстве гельдеровых функций получены как следствие сходимости в среднем. Диссертация А.В.Ожеговой [77] посвящена обоснованию приближенных методов решения указанных уравнений непосредственно в равномерной метрике. В работе построена пара функциональных пространств, полученных в результате сужения пространства непрерывных функций, в которых задача решения исходного уравнения ставится корректно.
Отметим, что при обосновании приближенных методов в указанных работах используется специально разработанный Б.Г.Габдулхаевым вариант общей теории приближенных методов функционального анализа, включающий в себя теорию академика Л.В.Канторовича и развивающий ее в различных направлениях, обусловленных приложениями к широким классам приближенных методов решения общих линейных уравнений, задача решения которых может быть поставлена как корректно, так и некорректно (см. в [23], гл. I).
Вопросы приближенного решения одномерных слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода с логарифмическим ядром
7
рассматривались также в работах [13 - 14, 23, 27, 34, 42, 45, 53, 74 -76, 86, 93].
Многомерные, в частности двумерные, слабо сингулярные интегральные уравнения первого рода часто встречаются в прикладных задачах, однако вопросы их приближенного решения исследованы гораздо в меньшей степени по сравнению с аналогичными для одномерных с.с.и.у. Во многих работах, посвященных приближенному решению многомерных с.с.и.у. первого рода, вычислительные схемы прямых методов рассматриваются в различных классах функций (аналогично одномерному случаю), в то время как теоретическое обоснование, как правило, не проводится.
Вопросы единственности решения многомерных интегральных уравнений рассмотрены в работах Ю.Е.Лниконова [1 - 2] и Л.Л.Сурай [86]. В диссертации [86] изложены также результаты по приближенному решению двумерного уравнения вида (0.2) методами наименьших квадратов, Галеркина, подобластей и методом механических кубатур. Кроме того, некоторые вопросы решения многомерных с.с.и.у., были рассмотрены в работах [16, 21, 27, 30, 44, 75, 77, 83,90].
Численные методы решения интегральных уравнений первого рода с логарифмической особенностью рассматривались и рядом зарубежных авторов (см., например, [96 - 102]).
Тем не менее, в рассматриваемой области все еще остается много нерешенных задач. Решению некоторых из них посвящена данная диссертационная работа.
Во-первых, автором предложена новая пара функциональных пространств Зигмунда, в которых обоснована корректность задачи решения рассматриваемых уравнений.
Во-вторых, доказаны полнота и несепарабельность этих пространств.
8
В-третьих, с помощью полученных результатов по теории приближения функций исследованы приближенные методы решения исходных уравнений в новой паре пространств.
В-четвертых, восполнены пробелы в обосновании известных приближенных методов решения указанных уравнений в ставших почти стандартными функциональных пространствах.
Основное внимание при этом уделяется теоретическому обоснованию приближенных методов, под которым, следуя Л.В.Канторовичу [52], гл. XIV, будем понимать следующий круг вопросов:
1) доказательство теорем существования и единственности решения аппроксимирующих уравнений;
2) доказательство сходимости приближенных решений к точному решению и определение скорости сходимости;
3) установление эффективных оценок погрешности приближенного решения, учитывающих структурные свойства исходных данных.
При выводе и обосновании результатов диссертации используются известные результаты из теории функций и приближений, из общей теории приближенных методов функционального анализа и теории интегральных уравнений; при этом мы полностью следуем методике исследования аппроксимативных методов решения слабо сингулярных уравнений первого рода, специально разработанной в работах [15 - 30] Б.Г.Габдулхаева.
Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть применены в теории функций и интегральных уравнений, в частности, при дальнейшем развитии аппроксимативных методов решения слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода. Они также могут быть применены при решении конкретных прикладных задач физики, механики, химии и математической физики, математические модели которых приводят к указанным выше уравнениям.
9
- Київ+380960830922