Геометрия некоммутативных главных расслоений

Предисловие
1. Актуальность темы
Главной задачей диссертации является разработать возможно более полную теорию характеристических классов алгебр, на которых кодействует та или иная квантовая группа, или, более общо, алгебра Хопфа.
С формальной точки зрения такие объекты аналогичны, точнее, двойственны, пространствам, на которых действует группа Ли. В самом деле, если рассмотреть алгебры функций на пространстве и на группе, то отображение, двойственное умножению на элементы группы, определит обратный гомоморфизм на указанных алгебрах, удовлетворяющий (при некоторых не слишком ограничительных предположениях) всем условиям, задающим кодействие. Преимущество такого чисто алгебраического подхода состоит в возможности рассматривать не только коммутативные алгебры, тем самым значительно расширяя область применимости теории. Конечно, полученным таким образом результатам нельзя дать непосредственной геометрической интерпретации, однако в последнее время и, прежде всего, в рамках так называемой некоммутативной геометрии появились многочисленные примеры некоммутативных алгебр, тесно связанных с геометрическими объектами, изучение которых приносит значительную информацию о самом объекте. Прежде всего речь идёт о С“-алгебре слоения. Кроме того, можно рассматривать скрещенные произведения алгебр функций на многообразиях и групповых алгебр дискретных групп, изучение которых, несомненно, даёт достаточно информации о действии группы. Далее, теория групп и алгебр Ли поставляет два класса естествеено возникающих некоммутативных алгебр: универсальные обёртывающие алгебры алгебр Ли и алгебры функций относительно свёртки. Другие обширные классы примеров некоммутативных алгебр приходят из теории деформационного квантования, квантовой механики и квантовой теории поля. Все эти и другие примеры некоммутативных алгебр дают широкое поле для применения идей и методов некоммутативной геометрии, одним из разделов которой является теория некоммутативных главных расслоений.
Термин «некоммутативная геометрия» был предложен в начале 1980-х годов французским математиком А.Конном, [21], в связи с его исследованиями по теории слоений. Хотя некоммутативные алгебры, в частности С*-алгебра слоения, не могут быть отождествлены с алгебрами функций ни на каком топологическом пространстве, но оказалось чрезвычайно полезным рассматривать их в таком качестве и ио мере возможностей применять к ним те же конструкции, которые имеются в обычной дифференциальной геометрии. На этом пути были получены многочисленные результаты, прежде всего в теории характеристических классов (см. [21, 22, 19, 18]). Оказалось, что конструкция Чжсня-Вейля, позволяющая строить характеристические классы векторных расслоений над гладкими многообразиями, почти дословно переносится на случай конечпо порождённых проективных модулей над произвольными ассоциативными унитальными алгебрами. С другой стороны, известно, что в классическом случае характеристические классы векторных расслоений являются частпым случаем характеристических классов соответствующего главного расслоения. Поэтому естественным желанием исследователей было построить аналогичную конструкцию и в некоммутативном случае.
Прежде всего, необходимо найти замену структурной группы некоммутативного главного расслоения. Ясно, что «некоммутативными аналогами» групп Ли являтся алгебры Хоифа. Однако, произвольная алгебра Хопфа — слишком общий объект для
2
этих целей. Достаточно богатый класс алгебр Хопфа, обладающх многими свойствами алгебр функций на группах Ли, был обнаружен в середине 80-х годов. Речь идёт о квантовых группах, появившихся одновременно в работах нескольких математиков, см. например [13, 2].
В течение 90-х годов было предпринято несколько попыток создать на основе теории квантовых групп разумную теорию некоммутативных (квантовых) главных расслоений и изучить геометрию с «квантовой структурной группой». К числу таких работ относятся, например [20,17]. Наиболее последовательная и развитая теория была создана югославским математиком Джорджевичем (Г)игс1е\чс). Не вдаваясь в подробности его определений, аккуратно изложенных в тексте диссертации, см. Главу 1, скажем, что одной из главных трудностей было дать правильную алгебраическую интерпретацию свободного действия группы. Тем интереснее кажется факт, что это условие оказывается слегка ослабленным определением «расширения Галуа-Хонфа», объекта давно изучавшегося в алгебре. Именно работы Джорджевича и послужили отпраной точкой данной диссертации.
2. Содержание диссертации
Первая глава
В этой главе мы даём определения и обсуждаем основные свойства квантовых групп и квантовых главных расслоений. В главе практически нет утверждений и теорем, напученных автором диссертации, за исключением конструкции обобщённого гомоморфизма Вейля для случая немультипликативной регулярной связности, являющейся, по-сугцеству, небольшим уточнением соответствующего результата для мультипликативных связностей, принадлежащего Джорджевичу. Кроме того, автору принадлежит конструкция замены структурной группы при помощи гомоморфизма.
Первый параграф посвящён теории квантовых групп. Основными источниками нам служат работы Вороновича [1]-[4]. Следует указать, что определения и результаты, которыми мы пользуемся, основаны на интерпретации квантовых групп, как некоммутативных алгебр функций на «квантовом пространстве», а не как деформированных универсальных обёртывающих алгебр, каковое описание принято в большинстве рабо т, посвящённых вопросу. То, что эти два подхода эквивалентны, следует, например, из основополагающей работы [13]. Содержание этого параграфа естественно разбивается на три частя. Во- первых, мы даём определение (Определение 1.1) и описываем основные свойства, квантовых групп, в частности мы вводим понятие классической части квантовой группы (см. Определение 1.2). Далее, мы, следуя работам [1] и [3] описываем свойства «дифференциальных исчислений» на квантовых группах. Конец первого параграфа посвящён основам теории представлений квантовых групп в смысле Вороновича (см. [2]). Не претендуя на полноту изложения, мы ограничиваемся фактами, которые нам потребуются позднее для работы с главными расслоениями. Теоремы 1.1 и 1.3 являются сводками результатов работ [3] и [2, 4] соответственно.
В следующих четырёх параграфах мы последовательно излагаем теорию квантовых главных расслоений, связностей на них и характеристических классов, при этом мы опираемся на работы Джорджевича [5]-[9]. Некоторые другие подходы к теории квантовых главных расслоений и вообще некоммутативной дифференциальной геометрии с квантовыми структурными группами можно найти также в работах [20, 17].
Во втором параграфе даётся определение квантового главпого расслоения по Джорджевичу (Определение 1.3), обсуждается его геометрический смысл, в частности указывается на связь этих объектов с расширениями Галуа-Хопфа. В конце параграфа
3
приводятся примеры некоммутативных (квантовых) главных расслоении. В качестве одного из способов построения квантовых главных расслоений рассматривается принадлежащая автору конструкция замены структурной группы (см. пример 1.2.5 и предложение 1.4).
Третий параграф посвящён теории дифференциального исчисления па некоммутативных главных расслоениях. В начале параграфа даётся определение дифференциального исчисления на тотальном пространстве расслоения, согласованного с исчислением Г на структурной группе (Определение 1.4) и приводится пример, доказывающий существование таких объектов. Далее мы определяем алгебру дифференциальных форм на. базе расслоения, П(Л4), алгебру горизонтальных дифференциальных форм, 1)ог(Р), алгебру разложимых дифференциальных форм ой(Р) (при этом мы показываем, что два. возможных способа определить её — эквивалентны, Предложение 1.5).
В четвёртом параграфе излагаются основные результаты работы Джорджевича [6]. Именно, дав вслед за этим автором определение псевдотеизориальных, тензориаль-ных форм и связностей на некоммутативном главном расслоении (Определение 1.5), мы формулируем без доказательства теорему о существовании связностей (Теорема 1.6). Даше мы определяем мультипликативные связности (условие 1.30) и отображение : іф(Р) -» П(Р). Затем мы приводим без доказательства, ещё одно техническое утверждение, принадлежащее Джорджевичу, Теор. 1.7.
Вслед за этим, при помощи отображения определятся горизонтальное проектирование (формула 1.31), и ковариантное дифференцирование (Определение 1.6). Теорема 1.8, принадлежащая Джорджевичу, содержит список свойств ковариантного дифференцирования, построеннного по произвольной связности.
Совершенно аналогично случаю обычного главного расслоения, мы определяем кривизну Я^ связности <*;, Опр. 1.7. Список свойств форм кривизны общих связностей на некоммутативном главном расслоении содержится в Теореме 1.9. Её, как и предыдущую теорему мы приводим без доказательства.
Чтобы обойти трудности, связанные с немультипликативностыо связности, мы вводим ” накрывающее отображение” Я^ : кете —> *)0г(Р) и доказываем, что квадрат ковариантного дифференцирования равен умножению на форму, определяемую при помощи этого отображения (Предложение 1.10). Это отображение пе рассматривалось Джорд-жевичем явно, однако, все доказательства свойств формы кривизны основывались, по существу, на рассмотрении этого отображения.
Следующее определение, Опр. 1.8, является ключевым для всего нижеследующего изложения. Именно, в нём мы выделяем важнейший для нас класс связностей — регулярные связности. На идейном уровне, связность называется регулярной, если она фиксированным образом коммутирует с горизонтальными формами на расслоении (см. формулы (1.39) и (1.39')). Существование этого требования, как нетривиального условия — чисто квантовый феномен, не существующий в обычном случае. Понятие регулярной связности введено Джорджевичем, им же исследованы свойства регулярных связностей, а так же горизонталной проекции, ковариантного дифференцирования и формы кривизны, определяемых регулярной связностью. Список этих свойств, без доказательств, которые, будучи чисто техническими, заняли бы весьма много места, мы приводим в виде теоремы (Теорема. 1.11). При этом, мы переформулируем некоторые из свойств в терминах отображения Яа (свойства (щ) и (Ф)). Грубо говоря, регулярные связности — естественно выделяемый класс связностей, по своим свойствам максимально напоминающих обычные связности на главных расслоениях. Именно эти свойства и позволяют использовать их при построении гомоморфизма Вейля. Именно, оказывается, что очевидная перефразировка классической конструкции Чженя-Вейля
•1
(см., например [16]), позволяет почти дословно перенести доказательства из книги па случай регулярной связности па некоммутативном главном расслоении (Теорема 1.12). Отметим, что в работах Джорджевича не ставится вопроса о существовании регулярных связностей на некоммутативных главных расслоениях, ответ на который даётся в третьей главе данпой диссертации.
Завершается параграф несколькими замечаниями, касающимися образа и области определения отображения из теоремы 1.12, а также её переформулировкой на случай немультипликативной регулярпой связности (Теорема 1.13 и следующие за ней замечания). В конце параграф мы определяем гоморфизм Вейля в случае регулярной (мультипликативной или немультипликативной) связности, как отображение, фигурирующее в теоремах 1.12 или 1.13.
Последний параграф первой главы посвяшёи теории векторных расслоений, ассоциированных с данным главным. Вслед за определением и списком основных свойств этих объектов (опр. 1.10 и теорема 1.14) мы возвращаемся к предложению 1.4 и доказываем недостающие утверждения. Далее, мы описываем связь между категорией ассоциированных векторных расслоений некоторого главпого квантового расслоения и самим расслоением (теорема. 1.17), что позволяет нам строить новые примеры некомутатив-ных главных расслоений. Аналогично ранее данному определению векторного расслоения £и, ассоциированному с некоммутативным главным расслоением при помощи некоторого представления структурной квантовой группы, мы определяем пространство
-значных дифференциальных форм на базе. Список свойств этих пространств содержится в теореме 1.18.
Далее мы, следуя работе Джорджевича [6] вкратце излагаем теорию характеристических классов ассоциированных векторных расслоений. Для этого мы определдяем канонический след градуированного автоморфизма пространства £и -значных дифференциальных форм на базе (см. диаграмму (1.48)), который нам затем понадобится в третьей главе при изучении препятствий. Оказывается, что канонический след квадрата «транспонируемого дифференцирования» (см. Опр. 1.12) такого модуля задаёт характеристические классы в когомолгиях центра алг ебры базы, не зависящие от выбора такого дифференцирования (теор. 1.22 и следствие 1.23). В том случае, когда дифференцирование, фигурирующее в указанных утверждениях порождено регулярпой связностью на некоммутативном главном расслоении, построенные таким образом классы оказываются в образе обобщённого гомоморфизма Вейля (предл. 1.24).
Заканчивается параграф ещё одной теоремой Джорджевича (теор. 1.25), описывающей связь между дифференцированиями пространств £)л-значных дифферсциальных форм и регулярными связностями.
Вторая глава
В этой главе, состоящей из трёх параграфов, мы описываем явно, во что превращаются обгцие конструкции предыдущей главы в важных для приложений частных случаях.
Так, в первом параграфе мы разбираем случай «локально-тривиального» главного квантового расслоения над гладким многобразием. Именно, взяв за основу работу [5], мы, вслед за Джорджевичем определяем локально-тривиальные квантовые расслоения, как алгебры В, для которых существуют тривиализующие гомеоморфизмы (Определение 2.1). Прежде, чем приступить к исследованию данного класса квантовых главных расслоений, мы приводим пример не локально-тривиального некоммутативного главного расслоения над гладкой базой, с «квантовой структурной группой» 51. Возвращаясь после этого к локально-тривиальному случаю, мы доказываем (Теорема. 2.5), что в этом образ обобщённого гомоморфизма Вейля И'такого расслоения состоит из
характеристических классов «классической части» расслоения В, определение которой приводится выше (см. Теорему 2.1). Теорема 2.5, является основным содержанием данного раздела. Прежде, чем доказать её, приходится провести много вспомогательных рассуждений. Так, мы описываем набор векторных расслоений, асоциированных с локально-тривиальным квантовым главным рассллоением (Лемма 2.4 и Теорема 2.3) и, пользуясь этим результатом и Теоремой 2.2, взятой из [5], мы описываем связности на локально-тривиальном главном квантовом расслоением над гладким многообразием как иавбор связностей на ассоциированных векторных расслоениях (Теорема 2.3). Все эти результаты используются при доказательстве теоремы 2.5, однако они нред-сатвляют интерес и сами по себе, например в связи с возможными исследованиями структуры пространств связностей и уравнения Янга-Миллса для некоммутативного главного расслоения.
Даше, в параграфах 2.2 и 2.3 мы разбираем более общий случай, когда базой расслоения (необязательно локально-тривиалыюго) служит произвольная унитальная алгебра М. В этом случае мы строим алгебру «полуклассических горизонтальных дифференциальных форм» на расслоении Р, 1}0г“с(Р)), удовлетворяющую всем условиям пункта (м) теоремы 1.25. После этого мы доказываем, что понятие связности в этом случае экви-валентно понятию «лифта дифференцирований», а теория характеристических классов ассоциированных векторных расслоений во многом аналогична теории, развитой в работах [18], [19].
Параграф 2.2 посвящён описанию «полуклассичсского» дифференциатъного исчисления на главном квантовом расслоении, точнее, алгебры «полуклассических» горизонтальных форм на главном квантовом расслоении, построенной по алгебре Ли дифференцирований базы. Определение этой алгебры (Опр. 2.3) полностью аналогично определению алгебры дифференциальных форм, построенной по дифференцированиям произвольной ассоциативной алгебры (см. Опр. 2.1), данной в [18]. Небольшое отличие проявлется в том, что нам приходится работать с алгебрами, снабжёнными инволюцией, в связи с чем определения указанной работы было необходимо несколько видоизменить (см. Определение 2.2). Другое отличие состоит в необходимости описывать кодейсгвие квантовой структурной группы на этой алгебре.
Основной теоремой данного параграфа является Теорема 2.10, описывающая свойства алгебры полуклассических дифференциальных форм на квантовом главном расслоении. Оказывается, что для построенной алгебры справедливы все разложения, которые выполняются для алгебр горизонтальных диффенренциальных форм на главном квантовом расслоении (сравни Теор. 1.25). Важность этого утверждения в том, что мы не предъявляем никакого дифференциального исчисления на квантовом раслоении, алгеброй горизонтальных форм которого могла бы служить 1)ог*с(Р), однако, благодаря утверждению (и) теоремы 1.25, мы можем говорить о регулярных связностях на главном расслоении, заменяя их на подходящие дифференцирования алгебры ()ог*с(Р). Более того, ограничиваясь одним из модулей, входящих в разложения Теоремы 2.10, мы можем изучать классы Чженя соответствующего ассоциированного векторного расслоения, изучая «транспонируемые дифференцирования» указанного модуля, см. §1.5.
В последнем параграфе второй главы мы изучаем связности и кривизны на главных квантовых расслоениях в случае, когда алгебра горизонтальных форм — полу-классическая. А именнно, в предложении 2.12 вводится понятие «лифта дифференцирований-), аналогичное классическому понятию «лифта векторных полей», см. [16], и доказывается, что задание лифта дифференцирований на алгебре полуклассических горизонтальных дифференциальных форм эквивалентно заданию регулярной связности на подходящем дифференциальном исчислении на главном квантовом расслоепии.
Далее мы изучаем структуру кривизны в случае полу классического дифференциального исчисления на главном квантовом расслоении. Оказывается (см. предложение 2.13), что кривизна, определяемая общими методами из главы 1, совпадает в рассматриваемом случае с тем, что дают конструкции из работ [19], [18].
Третья глава
Последняя глава диссертации посвящена следующему важному вопросу: существуют ли fia гланом квантовом расслоении регулярные связности? Дело в том, что все конструкции Джорджевича, описанию которых посвящена первая глава, никак не отвечая на поставленный вопрос, тем не менее целиком и полностью основываются на предположении, что ответ на него положительный. В качестве оправдания, в работе [6] приводится конструкция, позволяющая изменить дифференциальное исчисление на главном расслоении таким образом, что необходимые для работы связности появляются. Однако, структуру нового дифференциального исчисления, полученного подобным путём, совершенно невозможно предсказать. Например, может случиться, что новое дифференциальное исчисление будет тривиальным (равным нулю в размерностях выше нулевой). То же самое касается и второй из представленных в главе 1 конструкций характеристических классов, связанных с ассоциированными векторными расслоениями (см. §1.5): вопрос о существовании необходимых для её успешной реализации «транспонируемых дифференцирований» соответствующих бимодулей никак не решается.
Решению этих двух проблем и посвящена третья глава. В первом параграфе мы изучаем вопрос о существовании регулярных связностей. Оказывается, основываясь ка произвольной связности на расслоении, можно построить класс в когомологиях специально построенного по алгебре f)Ot(P) пространству Г,пу коцепного комплекса (см. формулы (3.4) и (3.5)), служащий препятствием для существования связности на главном квантовом расслоении - равенство этого класса нулю необходимо и достаточно для существования регулярной связности (теорема 3.5 и следствие 3.6). Более того, при помощи этого препятствия мы построим аналог гомоморфизма Вейля, принимающий значение в Хохшильдовых когомологиях алгебры М. со значениями в П(Л4)(или, более общо, в когомологиях Хохшильда градуированной алгебры П(Л1), см. теорему 3.8 и замечание после неё).
В общем случае, однако, вычислить подобное препятствие не представляется возможным. Поэтому во втором параграфе мы разараба-тываем более простой аналог вы-шеуказанной конструкции, позволяющий ответить на второй из поставленных вопросов: существование дифференцирований на присоединённых векторных расслоениях, прежде всего, в случае иолу-классического дифференциального исчисления (см. главу
2). В начале параграфа разбирается более простой вопрос, а именно, впрос о препятствии для существования связности па произвольном правом модуле над алгеброй М. В этом случае удаётся построить несложный комплекс и указать класс в его гомологиях, служащий препятствием для существования связности, см. (3.15), (3.17) и предложение 3.10. В случае, когда модуль £ — проективный, мы получаем, в качестве следствия из предыдущих конструкций, хорошо известный езультат (см. [18], [21], [22]), гласящий, что на £ существует связность, предл. 3.11. Далее мы приводим аналогичную конструкцию, позволяющую строить препятствия для существования связности на бимодулях, см. (3.18) - (3.21) и предложение 3.12. В случае, когда бимодуль £ является векторным расслоением, ассоциированным с некоторым некоммутативным главным расслоением, его свойства (см. теор. 1.14) позволяют значительно упростить данную конструкцию, а именно, вместо достаточно громоздкого комплекса (3.18), являющегося на самом деле тотальным комплексом бикомплекса. (3.23), мы можем рассмотреть более простой
7