2
Содержание
ВВЕДЕНИЕ ..................................................... 3
ГЛАВА I. ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА И СВЯЗАННЫЕ С НЕЮ ПОСТРОЕНИЯ.....................................15
§ 1. Постановка общей проблемы.................................15
§ 2. Матрица Грина вспомогательной спектральной задачи.........16
§ 3. Оценки функции Грина, полюсы..............................19
§4. Леммы об основных интегралах, связанных с матрицей Грина...23
§5. Интегральное представление и разложения в ряды непрерывной вектор-функции.................................................31
ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ И ЕЕ ОЦЕНКИ....................................................37
§ Г Представление решения через функцию Грина..................37
§2. Разложения в ряды...........;......................... 39
§3. Оценки решения линейной смешанной задачи...................40
§4. Оценка производной решения линейной задачи.................43
§5. Леммы о дифференцируемости специальных интегралов..........46
ГЛАВА III. СВЕДЕНИЕ ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ И ЕЕ РАЗРЕШИМОСТЬ...................................54
§ 1. Интегро-дифференциальное уравнение задачи (1)-(3).........54
§2. Система интегральных уравнений.............................59
§3. Заключительные теоремы................................... 62
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА.....................................67
3
ВВЕДЕНИЕ
Изучение смешанных задач для параболических уравнений относится к классическим проблемам уравнений математической физики. Разные аспекты этой проблемы не покидают поле деятельности многих математиков. Так укажем работы [15], [16], [25], [28], [32] относящиеся к случаю линейных задач. В последние годы наметилась интенсивность в изучении задачи для нелинейных параболических уравнений. Это вызвано в частности их многочисленными приложениями: в вопросах моделирования процессов диффузии и химических превращениях, при моделировании биологических процессов, процессов теплообмена и других областях, см. [6], [33]-[36].
Известны ряд методов решения смешанных задач, хорошо отражающие и развитие математической науки, метод интегральных преобразований, операторные методы, метод Галеркина, метод конечных разностей, метод Фурье и другие, см. [7]-[9], [14], [15], [25], [32]. Отметим важные фундаментальные исследования
О.А.Ладыженской, В.А.Солонникова, Н.Н.Уральцевой и их учеников, [ 19]-[21 ] по квазилинейным параболическим уравнениям общего вида методом априорных оценок. Особое место принадлежит также методу Фурье, связанному с большим математическим аппаратом и являющимся удобным и мощным инструментом исследования задач математической физики. Исчерпывающие результаты по обоснованию метода Фурье для линейных задач с разделяющимися переменными получены В.А.Ильиным [16].
В работах С.Н.Бернштейна, З.И.Халилова, Ю.Ф.Коробейника и их последователей [9], [13], [18], [22], [29], [30], разработан обобщенный метод Фурье, сводящий решение как линейных так и нелинейных задач к решению бесконечной системы интегральных уравнений.
4
Разрешимость этих уравнений исследуется в определенных банаховых пространствах. Необходимым условием реализации этого метода является «самосопряженность главной пространственной части задачи».
Отметим, что в работах предыдущих авторов, относящихся к обобщенному методу Фурье для нелинейных задач, случай задачи для параболических систем вообще не рассматривался ввиду несамосопряженности ее пространственного оператора.
В данной диссертации перенесен на случай плоских параболических систем метод решения, предложенный А.И.Вагабовым, [10]-[12]. Этот метод является дальнейшим развитием обобщенного метода Фурье предыдущих работ и действует в комбинировании с методом интегральных преобразований типа Лапласа. Существенным отличием диссертации является также то, что в ней удалось построить решение линейной части задачи в виде суммы простого ряда экспонент. Это обстоятельство определяет конструктивный характер всех последующих построений и теорем, в отличие, скажем, от работ относящихся к методу априорных оценок. Квазилинейная задача сведена нами к системе двух матричных интегральных уравнений (а не к бесконечной, как в традиционном обобщенном методе Фурье), решаемой по алгоритму последовательных приближений. Простота построенной системы, вместе с полученными оценками решений в линейном случае, позволила, при минимальных требованиях на нелинейные слагаемые (не предполагающих априорных ограничений роста /(/д,у^), доказать в нашем случае теорему существования и единственности и явно указать простые выражения временных границ в этой теореме.
В ходе решения задачи разработан новый значительный аналитический аппарат, представляющий самостоятельный интерес.
Дадим краткое изложение содержания работы и ее существенных сторон, изложенных в трех главах.
Проблемой диссертации является исследование квазилинейной параболической системы
ы дх2 Г ’
0<х<!, £</<7 с граничными и начальными условиями. у(/,0) = \((,1)=0, Г >0 \((),х) = ф(л'), 0 <х< 1,
(1)
(2)
(3)
где А-пхп - вещественная постоянная матрица с различными характеристическими числами 0., / = 1,п, вещественные части которых
положительны; У,/,(р - п -мерные столбцы, <р(х) е С1 [0,1], (р(0) = <$(1) = 0, /(I, х, V, х\) - непрерывно дифференцируема в области
0:0<1<Т, 0<х<1, ||у-Ф(/,х|<0,
\У
дФ
— < б, IIу(/, х| = тах|у(/, х)| ОХ \ Х4
= Ф - решение задачи (1)-(3) при / = 0.
В §2 гл. I. для вспомогательной краевой задачи с параметром X:
— X2Ау = 0, 0 <х< I у(р) = у{1) = 0
получено представление ее матрицы, (функции) Грина в виде
°^х)-^йГ+
(4)
(5)
Точный вид формулы (6) весьма существенен, так как все последующие построения связаны с функцией Грина.
В §3 установлена
Лемма 1. Для любой непрерывной функции / от матрицы А \/(А] = тах\/(в,).
В теореме 2 установлена экспоненциальность убывания нормы матрицы Грина при X -> ос вне 5-окрестности ее полюсов
\\=—1,кег,
V*
V, =7е» • з = 1,п-
В §4 установлены важные для всего изложения леммы об основных интегралах связанных с матрицей Грина. В них фигурирует контур
1 = £,и^,
Ь, = {А., |А.| = 1, \argXl ^ а„},
% 1 (К ^
<^=7+Д7_,Тсвг*м'*/
В лемме 2 доказаны формулы
- Київ+380960830922