Двойственные нормальные связности на гиперполосном распределении

Содержание
Общая характеристика работы...................................4
1. Постановка вопроса.................................... 4
2. Актуальность темы..................................... 7
3. Цель работы........................................... 8
4. Методы исследования .................................. 9
5. Научная новизна полученных результатов................ 9
6. Теоретическая и практическая значимость.............. 10
7. Апробация ........................................... 11
8. Публикации .......................................... 11
9. Вклад автора в разработку избранных проблем.......... 11
10. Структура и объем работы............................. 12
11. Некоторые замечания.................................. 12
Содержание диссертации......................................14
ГЛАВА I. Двойственные нормальные связности на гинерполосном распределении /?г-мерных линейных элементов........................................29
§1. Поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов на гинерполосном. распределении т-мерных линейных элементов.................29
1. Дифференциальные уравнения гиперполосного распределения /п-мерных линейных элементов..........................29
2. Поля охваченных геометрических объектов на регулярном гиперполосном распределении...........................33
3. Двойственный образ регулярного гиперполосного распределения /л-мерных линейных элементов............35
4. Инвариантное оснащение гиперполосного распределения
в смысле А.П. Нордена...................................37
5. Инвариантное оснащение гиперполосного распределения
в смысле Э.Картана......................................43
6. Инвариантное оснащение гиперполосного распределения
в смысле Э.Бортолотти...................................46
7. Сильно оснащенные гиперполосные распределения..........51
-3 -
§2. Двойственные нормальные связности, индуцируемые в расслоениях нормалей первого и второго родов на гиперполосном распределении..........................53
1. Нормальные связности, индуцируемые в расслоении нормалей первого рода на гиперполосном распределении т-мерных линейных элементов...................................53
2. Нормальные связности, индуцируемые в расслоении нормалей второго рода на гиперполосном распределении лг-мериых линейных элементов.........................69
3. Двойственные нормальные связности па сильно оснащенном гиперполосном распределении т-мерных линейных элементов............................................75
4. Поля плоскостей, параллельные в нормальных связностях... 77
ГЛАВА II. Двойственные нормальные связности на регулярной гиперполосе...............................80
§1. Поля фундаментальных и охваченных объектов
т-мерной гиперполосы....................................80
1. Дифференциальные уравнения гиперполосы
и её двойственный образ ...............................80
2. Инвариантные оснащения регулярной гиперполосы.........83
§2. Двойственные нормальные связности на регулярной гиперполосе...............................87
1. Двойственные нормальные связности в расслоениях нормалей первого и второго родов на регулярной гиперполосе ...87
2. Двойственные нормальные связности на сильно оснащенной регулярной гиперполосе............................. 100
3. Поля плоскостей, параллельные в нормальных связностях. 102
§3. Двойственные нормальные связности на гиперполосах специальных классов....................104
1. Нормальные связности на плоских и конических гиперполосах....................................... 104
2. Нормальные связности на (л*-2)-мерной гиперполосе... 110
3. Двойственные нормальные связности на регулярных гиперполосах с заданной сетью...................... 112
ЛИТЕРАТУРА
119
- 4 -
Общая характеристика работы
1. Постановка вопроса. Теория связностей представляет собой обширную область исследования расслоенных пространств. Свое начало эта теория берет от работ Т. Леви-Чиви-та [83] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии. Эта идея была обобщена в различных направлениях, например, в общей теории относительности. Для построения единой теории поля Г.Вейль [87] дал понятие пространства аффинной связности. Э.Картан ввел в рассмотрение общее понятие «неголономного пространства с фундаментальной группой в» [78]. Р.Кениг [82] изучал линейные связности в векторном расслоении над областью числового пространства. Связь между концепциями Кенига и Картана установил И.А.Схоутен [85].
К середине нашего столетия назрела необходимость ввести понятие связности в расслоенном пространстве, что и сделали (независимо друг от друга) В.В.Вагнер [9] и Ш.Эресман [81]. Г.Ф. Лаптев [20], развивая эти результаты, отождествил понятие связности, возникшее как обобщение понятия параллельного переноса, с понятием геометрического объекта специального вида. У него объект связности является геометрическим объектом относительно дифференциальной группы соответствующего порядка, например, проективной дифференциальной группы [21]. Дальнейшее развитие общей теории связностей отражено в работе Ю.Г.Лумисте [24].
Существенное место в дифференциальной геометрии занимает теория связностей в однородных расслоениях, а также применение этой теории при изучении оснащенных подмногообразий, погруженных в различные пространства.
- 5-
Оснащение погруженного многообразия характеризуется строением основных функций у* (#), определяющих оснащаю-щий объект %■' (фундаментальный оснащающий объект многообразия):
где со'1 -первичные формы, о'2 -вторичные формы Пфаффа на многообразии (см. [20]). В зависимости от строения этих функций имеем различные типы оснащений подмногообразия (например, в смысле А.П.Нордена [28], Э.Картана [79], Э.Борто-лотти [77] и т. д.).
Изучением геометрии многообразий плоскостей в классических пространствах с помощью связности в расслоениях занимался В.В.Вагнер [86], а затем Ю.Г.Лумисте [23].
Геометрия подмногообразия принимает более стройный вид, если использовать связность не только в касательном, но и в нормальном расслоении.
Понятие нормальной связности в проективном пространстве ввели Чен [80], А.П.Норден [28] (который называет такого рода связность внешней) и А.В.Чакмазян [64]-[66].
Монография Чена [80] содержит значительную часть результатов изучения геометрии подмногообразий при помощи нормальных связностей. Обзор результатов исследований нормальных связностей приведен в работе Ю.Г. Лумисте [25], а также в его совместной с А.В.Чакмазяном статье [26].
В связи с актуальностью проблемы теория нормальных связностей получает развитие и в настоящее время в трудах ряда геометров. В первую очередь следует упомянуть А.В.Чакмазя-на, который в своих работах [64]-[70] подробно изучает локальное строение подмногообразия в классических однородных
-6-
пространствах (проективном, аффинном, проективно-метрическом и евклидовом) с привлечением связностей в нормальных расслоениях. Например, в работах [5], [65] и [69] он исследует оснащенные подмногообразия евклидова и аффинного пространства с плоской нормальной связностью.
Использование данного А.В.Столяровым [45] определения двойственных пространств с проективной, аффинной и нормальной связностями позволяет существенно продвинуться в изучении геометрии оснащенных подмногообразий, в том числе и неголономных. A.B. Столяров в своих работах [45], [46] вводит понятие двойственных нормальных связностей на гиперполосе и на гиперполосном распределении пространства проективной связности. Развивая его идеи, С.В.Фисунова [59]-[62] исследует эти связности на распределении m-мерных линейных элементов, распределении гиперплоскостных элементов и на поверхности в проективном пространстве.
А.К. Рыбников [34], ассоциируя связность с полями плоскостей специального типа, изучает проективные и конформные связности (в частности, нормальную связность) на гладком многообразии.
Необходимо отметить усилившийся в последнее время интерес к изучению связностей в нормальных расслоениях калининградских геометров. Так, например, 10.И.Попов [32] исследует нормальные аффинные связности на оснащенной гипер-полосе аффинного пространства. ТЛО.Попова [33] рассматривает нормальную центропроективную связность на тангенциально вырожденной гииернолосе проективного пространства. К).И.Шевченко в своих работах (см., например, [72]) исследует групповые связности в главном расслоении и линейные связности в
-7-
расслоении реперов, а также [73] связности в расслоениях над голономным и неголономным центропроективными многообразиями. С.Н.Юрьева [76] изучает обобщенные аффинные связности, индуцируемые полями нормалей первого рода на гипер-полосном распределении аффинного пространства. Отметим, что A.B. Столяров [45], изучая такого рода связности на гиперпо-лосном распределении пространства проективной связности, назвал их линейными связностями аффинного типа.
Предметом исследования в диссертации являются связности, индуцируемые в расслоениях нормалей (нормальные связности) на оснащенных подмногообразиях, погруженных в п-мерное проективное пространство Р„. В первой главе в качестве подмногообразия берется регулярное- гиперполосное распределение m-мерных линейных элементов & (то есть неголономная гиперполоса), а во второй главе — регулярная гиперполоса Н,„.
2. Актуальность темы. Теория связностей занимает большое место в современной дифференциальной геометрии, особенно это касается исследований разнообразных структур на многообразиях. Эта теория в расслоенных пространствах находит широкое применение в современной теоретической физике. Это связано с прогрессом теории калибровочных нолей, которые соответствуют связностям в главных расслоенных пространствах.
При изучении связностей широко применяются классические результаты известных ученых, таких как Э.Картан (см. [16], [78], [791), Г.Ф.Лаптев [17]-[21] и А.П.Норден [28]. В частности, А.П.Норден разработал метод нормализации, позволяющий индуцировать аффинные связности в касательных расслоениях подмногообразий, погруженных в различные
пространства. II.Л.Широков и Л.II.Широков [74] исследовали локальное строение подмногообразий в аффинном пространстве с помощью аффинной связности в касательном расслоении. Двойственную теорию оснащенных подмногообразий разработал А.В.Столяров [45].
Геометрами раньше рассматривались нормальные связности, в основном, лишь на нормализованных голономных подмногообразиях, погруженных в различные пространства (см., например, [4], [5], [25], [26], [28], [32], [33], [67], [69], [70], [80]). Слабо исследовалась взаимосвязь между аффинными и нормальными связностями, индуцируемыми оснащениями подмногообразий. Почти не проводились исследования связностей в нормальных расслоениях на неголономных подмногообразиях (распределениях), а также двойственных нормальных связностей на оснащенных подмногообразиях (как голономных, так и неголономных). Исключением являются работы A.B. Столярова [45], [46] и С.В. Фисуновой [59]-[62].
Исследования по изучению двойственных нормальных связностей, индуцируемых оснащением составных [9] неголономных подмногообразий (каковым является гиперполосное распределение) ранее геометрами, за исключением работы [46], не проводились.
Всё вышесказанное подтверждает актуальность темы исследования и раскрывает основные цели работы.
3. Цель работы. Целью настоящего диссертационного исследования является построение основ двойственной теории нормальных связностей, индуцируемых на оснащенных гиперполосах (неголономных и голономных), погруженных в л-мер-ное проективное пространство P«. Решаются следующие основ-
ные задачи:
1) изучение двойственных центропроективных (то есть нормальных) связностей, индуцируемых в нормальных расслоениях при различных классических оснащениях (в смысле Л.П.Нордена, Э.Картана, Э.Бортолотти, сильном оснащении, согласованном оснащении) гиперполосного распределения димерных линейных элементов (глава I);
2) исследование геометрии двойственных нормальных связностей на регулярной гиперполосе, в том числе на гиперполосах специальных классов (глава II);
3) установление взаимосвязи между индуцируемыми на оснащенной регулярной гиперполосе аффинными и нормальными связностями (глава II).
4. Методы исследования. В диссертационной работе используются инвариантные методы дифференциально-геометрических исследований: метод продолжений и охватов Г.Ф.Лаптева [20] и метод внешних дифференциальных форм Э.Картана [47]. Использование этих инвариантных методов позволило исследовать геометрию связностей, определяемую в дифференциальных окрестностях высоких (до третьего) порядков.
В работе все результаты получены в минимально специализированной системе отнесения, а именно, в репере первого порядка; это позволило получить их в инвариантной форме. Следует также заметить, что геометрия нормальных связностей исследуется с применением теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г.Ф.Лаптевым [20].
5. Научная новизна полученных результатов. Все результаты, полученные в диссертационном исследовании в ходе решения указанных выше задач (см. цель работы), являются
- 10-
новыми. Научная новизна их обусловлена тем, что:
а) нормальные связности на оснащенных гиперполосах (неголономной и голономной) и, тем более, их двойственная геометрия ранее почти не изучались;
б) в работе изучение геометрии нормальных связностей на оснащенных голономных и неголономных гипериолосах проводится инвариантными аналитическими методами [20], [47] посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцированных полями фундаментальных и оснащающих объектов подмногообразия.
В работе приведены доказательства всех основных выводов, которые сформулированы в виде теорем.
6. Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретическое значение. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании подмногообразий, погруженных в пространства более общей (или подчиненной) структуры, при изучении пространств с линейной связностью, индуцированных оснащением изучаемых подмногообразий.
Теория, разработанная в диссертации, может быть использована в качестве специальных лекционных курсов для студентов старших курсов и аспирантов математических факультетов, а именно:
а) по теории двойственных линейных связностей на оснащенных подмногообразиях классических пространств с фундаментальными группами или пространств с линейной связностью;
б) по теории гиперполосных распределений т-мерных линейных элементов и гиперполос.