Содержание
Введение ......................................3
Глава 1. Обратные краевые задачи в односвязных областях
§1. Решение задачи с тремя участками по параметрам (х,у,в) и (у,х,6) ............19
§2. Случай 3п участков......................29
§3. Решение задачи по параметрам (х,у,х) и (у>ж?х) с тремя участками ...............39
§4. Симметричные решения обратных краевых задач и условия их однолистности ........49
Глава 2. Новый подход к решению краевой задачи Гильберта в многосвязной области и ее приложения
§5. Случаи двусвязных и трехсвязных областей 65
§6. Обратные краевые задачи в двусвязных областях.................................77
§7. Краевая задача Гильберта с разрывными коэффициентами...........................83
§8. Обратная краевая задача по параметрам
(ж,у,0) в многосвязной области .............91
Литература...................................101
2
Введение
В диссертации изучаются многопараметрические обратные краевые задачи (ОКЗ) для аналитических функций в конечносвязньгх областях.
Толчком к возникновению теории ОКЗ послужила необходимость решения задач в аэрогидромеханике и теории упругости, в которых требовалось построить объекты, обладающие заранее заданными свойствами [38], [39], [54]. В настоящее время ОКЗ в результате более чем полувекового развития образуют интересный и обширный раздел теории аналитических функций, который был создан преимущественно трудами казанских математиков и механиков (обзор [15]). Исторически сложилось так, что первые ОКЗ, имевшие приложения в механике, ставились Г.Г. Тумашевым и его учеником М.Т. Нужиным по дуговому параметру 5 [54]. В односвязном случае задача состоит в отыскании области Д на сфере Римана С и аналитической в Пг функции гц(г) по ее граничным значениям
= ц(я) + м;(з), 0 < 5 < /, (0.1)
где 5 - дуговая абсцисса неизвестного спрямляемого граничного контура Ьх области Д и / - его длина. В зависимости от того, принадлежит бесконечно удаленная точка области Д или нет, ОКЗ делятся на внешние и внутренние. Во внешних задачах существенным оказалось то, задано или нет положение точки гу0, являющейся образом в плоскости ги бесконечно удаленной точки. ОКЗ с заданной величиной гио впервые рассмотрел М.Т.Нужин [39], и с тех пор они называются задачами в постановке М.Т.Нужина. Внешняя ОКЗ в случае, когда гу0 заранее не задается, рассмотрена Ф.Д.Гаховым [23]. Им же была доказана разрешимость уравнения, из которого определяется гУо и которое впоследствии стали называть уравнением Гахова.
В связи с требованием физической реализуемости построенных объектов в механике большую роль в теории ОКЗ играют достаточные условия однолистности решений. В этом направлении получено большое количество результатов, которые отражены в обзорах [10], [11].
3
С последующим развитием теории и появлением новых прикладных задач возникла необходимость в рассмотрении ОКЗ по параметрам, отличным от 5. Из таких задач можно выделить задачу об определении крылового профиля по заданной хордовой диаграмме [25, гл. 8], [55, §17]. При этом распределение скорости выражается функциями от абсцисс х точек на профиле. ОКЗ по параметру х возникает и при построении плотины по заданной эпюре напора на ее контуре [29]. В качестве другого примера, когда граничные условия задаются как функции от г = \г\7 можно привести задачу об определении формы поперечного сечения стержня по заданным на контуре продольным смещениям [39]. Все это породило интерес к изучению ОКЗ по различным параметрам из набора
х = Кег, у = 1шг, г — \г\, 9 = х ~ гчgdz) (0.2)
что отмечено в работах [36], [55]. В этом направлении имеется большое число работ [7]-[9], [43], [44]. Следующим шагом стало изучение многопараметрических ОКЗ в многосвязных областях, когда на некоторых контурах граничные условия (0.1) заданы от одного параметра, а на оставшихся - от другого параметра из набора (0.2). Более общим случаем является постановка ОКЗ, когда значения аналитической функции на различных участках границы искомой области заданы как функции различных параметров. При этом были выявлены ’’родственные” пары таких параметров: (ж, у), (г,9), (я,х)> решение ОКЗ по которым сводится к известной в теории краевых задач смешанной задаче о нахождении аналитической в известной области И функции ^(г) по краевым условиям
= Л(0> ^
1ш.Р(*) = /2(*), Ь е Ь2,
где Ь\ и 1/2 = дИ. Подобные задачи исследованы в работах [48, §9], [31], [32], где указаны условия их разрешимости. При этом плодотворным оказалось введение произвольных постоянных в постановку ОКЗ, впервые предложенное Р.Б.Салимовым [48, §9]. Для внешней ОКЗ по параметру 5 в многосвязной области этот способ был применен Л.Н. Журбенко [26], а по параметрам ($,0) - М.И. Киндером [31] и А.В. Киселевым [32].
Более сложной проблемой оказалось дальнейшее увеличение числа параметров. Исследование таких ОКЗ приводило к нелинейным краевым задачам, метода точного решения которых не существовало. В данной диссертации удалось выделить наборы трех параметров, например, (ж, у, 0), ОКЗ по которым сводились к краевой задаче Гильберта в извест-
4
ной области из плоскости ъи или из плоскости вспомогательного переменного С- Хорошо развитый аппарат решения этой задачи [20], [21], [27], [37] позволил дать достаточно полное исследование таких ОКЗ. При этом к процессу решения краевой задачи Гильберта в многосвязной области был применен новый подход, который позволил сделать этот процесс более наглядным и связать его с построением отображений на некоторые канонические области.
Актуальность диссертации заключается в необходимости изучения многопараметрических ОКЗ, которые берут свое начало от прикладных задач механики сплошных сред. Целью данной работы является построение решений и исследование картины разрешимости таких ОКЗ, которые сводятся к классу хорошо изученных краевых задач Гильберта.
Кратко изложим основные результаты работы.
Диссертация состоит из двух глав, разделенных на восемь параграфов. Нумерация формул и утверждений ведется по параграфам.
Для сокращения записи договоримся о следующем. Краевую задачу Гильберта (Шварца) о нахождении аналитической и однозначной в некоторой конечносвязной области И функции непрерывно продолжи-мой на границу Ь = дБ, по краевому условию
будем называть задачей (0.3) (задачей (0.4)) или задачей Гильберта (0.3) (задачей Шварца (0.4)).
Первая глава посвящена исследованию трехпараметрических задач в односвязной области, а также построению симметричных решений ОКЗ по параметрам х и (х,у),
В §1 изучается внутренняя ОКЗ в следующей постановке. Требуется определить конечную односвязную область и аналитическую в этой области функцию У){г), непрерывно продолжимую на границу £2, если ья = ь\иь\иь\ и известны граничные значения функции ю(г):
Ч2) |*е£‘= 4>з{т) + *Ч(Ч> 0 <т<1й
Ч2) !геь;= ЫЧ + *Ч(Ч> о < «т < г2; (о.5)
Ч2) |г€£1 = <Рз(9) + *Ч(0)> 0 < а17Г < ^ < а2П < Ч2-
Функции и трку к = 1,2,3, предполагаются однозначными гель-
деровыми функциями своих аргументов. Правые части равенств (1.1) являются параметрическими уравнениями кривой Ляпунова ЬЮ) которая ограничивает конечную односвязную область Охо.
Ле [(а(£) + г&(£)) /ф)] = с(£), £ е Ь, (Л^(£) = с(£), £ Е Ь)
(0.3)
(0.4)
5
Если т = х, а = у, то, после отображения Dw на единичный круг D^ в плоскости вспомогательного переменного £ и установления зависимостей х(7), у(7) и 0(7) на дугах L£, L* и соответственно, для определения
аналитической в D^ функции <?(£), непрерывно продолжимой на единич-
ную окружность, получена следующая краевая задача
Re2(e17) = ж(7), е’7 G Li,
lmz\eiy) = 2/(7), е<7 € Li, (0.6)
argz(e*'1') = 0(7), е^еЬ].
Функцию z(() в дальнейшем понимаем как решение исходной ОКЗ. Так как
arg2(e‘7) = 0(7) <=> 11е[ег^_*(7));г:(е*7)] = 0,
то (0.6) представляет собой краевую задачу Гильберта с разрывными коэффициентами. Ее индекс в классе функций, ограниченных в точках стыка дуг L£, оказывается равным —2. Решение этой задачи существует при выполнении одного условия разрешимости
х Зх/2
~l\ J £(7) ехр [-Го(е17)] d~t +12 J у(у) ехр [—Г0(е>7)] d'f = 0, (0.7)
х/2 *
где х(7) = x[pi)Hu У(7) = у{*f)/h‘ Из этого условия при заданной величине /2 > 0 постоянная 1\ > 0 определяется однозначно. Функция 2(C) определяется по формуле
40-«»™ ;72*№г<- «°-8>
о ъ
Функции Г0(е17) и Г(С), входящие в формулы (0.7), (0.8), определяются по начальным данным (подробный вид этих функций находится на с. 20).
Если же г = уу о = ж, то 2(C) определяется как решение краевой задачи (0.5), в которой первые два условия нужно поменять местами. Индекс этой задачи Гильберта оказывается равным —1, поэтому она является безусловно разрешимой и ее решение выражается по формуле
*«) = { I/ '«■Wprf'T + <»“}• (°9)
Далее в диссертации приведен примерный вид искомой области как в случае набора (?/,х,0), так и в случае набора (ж,у,0). Затем с топологической точки зрения пояснено различие между этими двумя случаями.
6
После этого доказана единственность и однолистность полученного решения исходной ОКЗ по обоим наборам параметров.
В качестве вывода получена
Теорема 1.1. Внутренняя ОКЗ (0.5) в случае набора (у,х,в) безусловно разрешима, и ее решение определяется по формуле (0.8), а в случае набора (х,у, 0) ее решение определяется формулой (0.9) при выполнении одного условия разрешимости (0.7). В обоих случаях однолистное решение единственно.
Внешняя ОКЗ в постановке Нужина заключается в нахождении области DZ) содержащей бесконечно удаленную точку, и функции w(z), аналитической в этой области и непрерывно продолжимой на ее границу, если ее граничные значения определяются по формулам (0.5), а положение точки ш0 = w(oo) задается заранее. Коротко эта задача названа внешней ОКЗ (0.5).
После перехода к вспомогательной плоскости £, при котором точке wo соответствует точка ( = 0, искомая функция найдена в виде z0(C) = Ф(С) + С/(9 где Ф(С) ” новая неизвестная аналитическая в D^ функция, С = выч£=о-го(С) - неопределенная комплексная постоянная. Итоговый результат для внешней ОКЗ представляет
Теорема 1.2. Решение внешней ОКЗ (0.5) по параметрам {у,х,0) и (х, у,6) дается формулой z0(C) = Ф(С) + СУС> где Ф(£) определяется по формулам (0.8) и (0.9) соответственно. Эти решения являются единственными, если величина С = выч£=ого(С) фиксирована.
В §2 задача по параметрам (я, у, 0) обобщается на случай, когда граница искомой области Dz разбита на Зп участков. Для этого вначале рассматривается задача по параметрам (х,у) в следующей постановке [48, §9]. Пусть Ai, Bi,...,An, Вп - точки границы Lz искомой области Dz, следующие друг за другом в положительном направлении и пусть начало координат принадлежит Lz. Будем считать, что эти точки заданы декартовыми координатами: Ak(mk •+■ е*,р*), Bk(nk + е*,д*), где ™>к < Щч Рк < Як - заданные величины, а величины е* отыскиваются в процессе решения. Во внутренней задаче требуется отыскать конечную область Dz и аналитическую в Dz, непрерывную в Dz функцию w(z), если известны ее граничные значения
w(z)|z€AkBk = fk(x'), тк + ек < X* < пк+ек,
w(z)\zeBkAk+I = Як(у), Pk<y<qk, к = 1 ,п, Ап+1 = Ап.
Функции fk{x*) и дк{у) считаются удовлетворяющими условию Гельде-ра, а х* - переменная, связанная с абсциссой х точки Ьг на дугах АкВк равенством х* = х + е*.
7
После перехода к прямой задаче в верхней полуплоскости Д искомая функция определится по формуле Синьорини [63]
*(С) = *2/М +
тгг
^ /**(О , , А Г 2/(0 — у(°°)
Это решение с дополнительным условием Пег(оо) = 0 существует при выполнении п условий разрешимости
(0.10)
являющихся системой п линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных е*. Доказана однозначная разрешимость этой системы. Тем самым наличие произвольных постоянных в исходной постановке позволяет сделать исходную ОКЗ безусловно разрешимой.
Та же идея используется при решении внутренней ОКЗ по параметрам (£,у,0) в следующей постановке. Требуется определить конечную область Д* с границей Ь2 = ии аналитическую в Д*, непрерывную в Дг функцию если
= /зн-1(я*)> тк + ек<х‘ <пк + ек,
= /з*+2Ы. О < У < Як, _______
ад(г)и^*+3 = МО), а*7г < в < /Зктг, к = 0,п - 1.
Здесь д*. > 0 и 0 < Пк < гпк - фиксированные, а ек - пока неопределенные константы. Величины 0 < а к < Дь < 1 также заранее не задаются. Переменная х* на Ь*к+1 связана с х = Кег соотношением х* = х + ек. Все функции /;- предполагаются гельдеровыми функциями своих аргументов, которые определяют в плоскости ю границу Ью конечной односвязной области Д*, являющейся кривой Ляпунова.
Так как в постановке указанной выше задачи участвуют неопределенные константы е*, то отмечены интервалы изменения функции в(у) в зависимости от ек:
0{Ък+з) = о, 0{Ък+*) < I при тк+1 + ек+1 > О,
0(Ък+з) = К, 0(73*:-и) = | при тш + ек+1 = О,
0(Ък+з) > |, в{Ък+1) = 1Г при тк+1 + ек+1 < 0, к = 0,п- 1,
где дуга является прообразом участка при отображении функцией г(£), 5 == 1,3п. Сама функция г(() определяется единственным образом
8
- Київ+380960830922