Содержание
Введение. 3
1 Локальные и глобальные конструкции прямых образов. 9
1.1 Дифференциалы и их прямые образы.................................. 9
1.1.1 Непрерывные дифференциалы.................................... 9
1.1.2 Прямые образы. . ......................................... 11
1.1.3 Адельные дифференциалы и морфизм Гизииа..................... 15
1.2 Прямые образы и символы.......................................... 18
1.3 К2- адели, когомологии функторов и К2- гомоморфизм Гизина . . 28
2 Бесконечномерный грассманиан и когерентные пучки ранга 2 на
кривых. 41
2.1 Отображение Кричевера............................................. 41
2.2 Детерминантноо расслоение..........................................45
2.3 Стабильные и нестабильные точки................................... 52
3 Соответствие Кричевера и высшие размерности. 57
3.1 Технические леммы................................................. 57
3.2 Конструкция и ее первоначальные свойства...........................68
3.3 Комплексы и их точность............................................73
3.4 Комбинаторные свойства и отображение Кричевера.....................77
2
Введение
Настоящая работа посвящена применениям многомерных локальных полей и методов, связанных с ними, к построению и изучению локальных и глобальных конструкций, связанных с лучками /Г-функторов и квазикогерентными лучками на алгебраических многообразиях.
Локальные поля естетственно возникают в алгебраической геометрии и алгебраической теории чисел при установлении различных связей между локальными и глобальными свойствами полей алгебраических чисел, арифметических схем и алгебраических многообразий.
Первоначально примеры одномерных локальных полей возникли в прошлом воке в комплексном анализе и алгебраической теории чисел. Это поло рядов Лорана С ((г)), элементы которого возникают при разложении мероморфыых функций на Ри-мановой поверхности в ряд по локальному параметру -г в аналитической окрестности точки, и поло р-адических чисел <^р, возникающее как естественное пополнение поля рациональных чисел по неархимедову р-адическому нормированию.
Сейчас мы говорим, что 1-мерное локальное поле — это поле частных полного кольца дискретного нормирования.
Объектом, связывающим локальные и глобальные свойства алгебраических чисел послужило кольцо адслей, которое определяется как ограниченное топологическое произведение полей р-адических чисел по всем нормированиям поля рациональных чисел. Само поле рациональных чисел вкладывается диагональным образом в кольцо аделей. При помощи кольца адслей были описаны абелевы части групп Галуа полей алгебраических чисел. (См. по этому поводу [8].)
С другой стороны, прямым обобщением полей алгебраических чисел являются поля функций, возникающих из кривых над конечными полями. Вспоминая также пример рядов Лорана из римановых поверхностей, можно в более общей ситуации построить одномерное локальное поле по точке на произвольной алгебраической кривой над произвольным полем (или в еще более общей ситуации: на схемах размерности
1), как поле частных пополнения локального кольца точки этой кривой (или схемы) по максимальному идеалу. См. описание и применения этого в [19].
В последние 25 лет развитие и применение методов локальных полей происходило в двух направлениях. С одной стороны, это применения в алгебраической геометрии и теории интегрируемых систем, связанные с соответствием Кричевера-Сато-Вилсона на кривой, а с другой стороны — это появление теории многомерных локальных полей для алгебраических схем размерности больше, чем 1. Остановимся на этих темах более подробно, так как это связано с результатами данной работы.
Суть конструкции Кричевера в следующем. (См. [9], [7], [20], [36], [43].) Мы выделяем и фиксируем одну точку на проективной кривой над полем к и локальный параметр в этой точке. Тогда в локальное поле этой точки к((г)), как некоторое дискретное подкольцо, естественным образом отображаются функции на кривой, ре-
3
гулярные вне выделенной точки.
Более того, мы можем аналогичным образом отобразить расслоения ранга 1 на кривой с некоторыми дополнительными данными в некоторые дискретные подпространства локального поля выделенной точки. И обратно: зная подпространство-образ в к((г)). можно однозначно восстановить исходные данные.
Более точно, пусть С — полная целая алгебраическая кривая над полем к, р — ^-рациональная неособая точка на этой кривой, Т — пучок без кручения ранга 1 на С (если кривая С не особа, то такой пучок всегда локально свободен), ер — три-виализация пучка Т в точке р, 1Р — локальный параметер в точке р. Тогда такой пятерке данных (С,р. Т, ер> £р), которую мы далее будем называть квинтетом, можно канонически сопоставить подпростанство в 1-мерном локальном поле к((г)). Это — отображение Кричевера. Отметим, что это отображение сразу же обобщается на квинтеты с пучками без кручения высших рангов.
Полученное подпространство будет иметь конечномерное над полем к пересечение с подкольцом к[[х]] (это пересечение канонически изоморфно нулевым когомологиям пучка Т) и конечную коразмерность своего образа в к((г))/к[[г]] ( фактор последнего кольца по образу канонически изоморфен первым когомологиям пучка Т). Подпространства в £((2)) с такими условиями называются фредгольмовыми. (Отметим, что их гораздо больше, чем подпространств - образов пучков). На множестве всех фредгольмовых подпространств можно ввести структуру бесконечномерного алгебраического многообразия, обобщающее конечномерное Грассманово многообразие. Полученное многообразие называется грассманианом Сато. (См. [45], [22], [18], [7].)
Отображение Кричевера и грассманиан Сато нашли многочисленные применения в теории интегрируемых систем (решение КП-иерархии, теория солитоннных уравнений, см. [7], [20]), в алгебраической геометрии (решение проблемы Шотки, пространства модулей кривых и расслоений, неабслевы т-функции, теория геометрического соответствия Ленглендса см. [7], [23], [24]), теории псевдодифференциальных операторов (описание коммутативных подколец в кольце дифференциальных операторов с регулярными коэффициентами, см. [36], [44], [7].)
С другой стороны, в середине 70-х А. Н. Паршиным было предложено понятие многомерного локального поля, обобщающее понятие обычного локального поля ([14],[38], [28]).
д-мерным локальным полем называется полное поле дискретного нормирования, полем вычетов которого является п — 1-мернос локальное поле.
Один из типичных примеров такого поля — это поле итерированных рядов Лорана к((г 1))((^)) • • • ((^п))- Элементы 21,..., хп называются локальными параметрами этого поля.
Такие поля служат естественным обобщением локальных объектов на 1-мерных схемах на случай многомерных схем. Рассмотрим алгебраическую схему X размерности п. Пусть Уо Э ... Э Уи — флаг замкнутых подсхем на А”, так что У0 = X, Уп = х — замкнутая точка на х} У{ — коразмерности 1 в 1 (1 < г < п). х — гладкая
4
точка на всех V; (0 < i < п). Тогда существует конструкция, являющаяся композицией пополнений и локализаций, сопоставляющая такому флагу каноническим способом л-мерное локальное поле. Более того, если X — алгебраическое многообразие над полем к, х — рациональная точка над полем к, и мы зафиксируем локальные параметры zi,z2,... ,zn € к(Х), так что zn-i+i = 0 — уравнение многообразия У* на многообразии Yi-i в окрестности точки х (1 < i < п), то полученное тг-мерное локальное поле можно отождествить с А;((я!))((22)) ... ((zn)). ([38], [28]).
При помощи n-мерных локальных полей, ассоциированных с полными флагами на многообразиях, были обобщены со случая кривых на случай высших размерностей классическая формула о равенстве нулю суммы вычетов рациональной дифференциальной формы, классический закон взаимности Вейля на кривой ([19]). (В многомерной ситуации известный сейчас как закон взаимности Паршина-Ломадзе [14], [11], [15], [28]).
Для схем высшей размерности был определен аналог кольца аделей, являющегося подкольцом в произведении всех локальных полей, возникающих из полных флагов целых замкнутых подсхем (для случая поверхности А. Н. Паршиным и в общем случае А. А. Бейлинсоном). Более того, были построены многомерные адельные резольвенты для произвольных квазикогерентных пучков, сводящие вычисление когомологий этих пучков к локальным (в схемном смысле) их составляющим. (См. [14], [2], [30], [31], [28].)
Конструкция многомерных аделей нашла применение для описания абелевых накрывающих арифметических схем и многообразий над конечными полями (высшая теория полей классов). При этом классические мультипликативные группы, используемые в 1-мерной теории полей классов, заменяются на высшие К- группы многомерных локальных полей. ([16], [15], [13], [28].)
Отметим также, что недавно появились работы [40], [41], [17], пытающиеся связать две стороны развития приложений локальных полей, описанные выше, и развивающие идеи, заложенные в соответствии Кричевера-Сато-Вилсона для кривых, на случай .многообразий высшей размерности в духе теории многомерных локальных полей.
Перейдем теперь к структуре диссертации. Данная работа состоит из трех глав. Опишем краткое содержание и основные результаты каждой из глав.
В первой главе рассматривается проективный морфизм алгебраической поверхности X па алгебраическую кривую 5, определенных над совершенным полем к. В этой ситуации, используя адельный язык на поверхности и на кривой, дается адель-ная интерпретация отображения Гизина (= морфизма прямого образа) в двух случаях: из Н'(Х,№х) в Hx~l(S,iVs) (i = 1,2), а также, если char к = 0 из Н'(Х, К2(Х)) в H'~l(S,Ki(S)) (г = 1,2).
Здесь и $25 — пучки 2 и 1 регулярных дифференциалов на X и S соответственно, Къ(Х) — пучок в топологии Зарисского на X, ассоциированный с предпуч-
5
ком {U K2(U)}, К2 — Af-функтор Квиллена. В аналогичной манере определяется пучок Ki(S) на кривой S, который будет являться пучком обратимых функций 0£.
В случае i = 2 построенное отображение для /Г-функторов имеет явный геометрический смысл как морфизм прямого образа из группы Чжоу ноль-циклов поверхности X по модулю рациональной эквивалентности СН2(Х) в группу Чжоу 1-циклов на кривой CH1(S) (или, что тоже самое, в группу Пикара кривой).
Для построения этого морфизма мы в первом случае, используя хорошо известные адельные комплексы для когерентных пучков Их и получаем адсльноо представление групп Нг(Х, U2X) и П5), и, таким образом, сводим отображение Гизина
к построению отображений прямых образов дифференциалов двумерных локальных полей в дифференциалы одномерных локальных полей.
Во втором случае строится АГ2-адсльная резольвента пучка К2(Х), квазиизоморф-ная резольвенте Герстена в К-теории, (см. теорему 1.49) и, таким образом, отображение Гизина сводится к построению символов из двумерных локальных полей, ассоциированных с парами х € С С X (точка и неприводимая кривая через нее проходящая), в одномерные локальные поля, ассоциированные с дискретными нормированиями на кривой S. Для этих отображений доказываются относительные законы взаимности, связывающие хорошо известные законы взаимности на кривой и на поверхности.
Следует отметить, что в случае двумерного локального поля, ассоциированного с точкой и кривой, не совпадающей со слоем отображения из X в 5, построенный символ оказывается хорошо известным ручным символом. В случае же двумерного локального поля, ассоциированного с точкой и кривой, являющейся слоем отображения из X в S', ситуация сложнее. Существование искомого символа, без задания его явной формулой, было доказано К. Като (см. работу [34, §1]). В данной работе в случае char к = 0 для этого символа предъявлена конкретная формула (см. теорему 1.28).
Все конструкции и доказательства в этой главе построены и проведены при помощи явных формул и не используют, в частности, высшую Квилленовскую К-теорию.
Во второй главе этой работы мы изучаем образы (полу)стабильных пучков без кручения ранга 2 на кривой в грассманиане Сато при отображении Кричевера квинтетов. {F — пучок ранга 2.)
Мы даем описание образов квинтетов с (полу)стабильными пучками Т в терминах шпокеровых координат бесконечномерного грассманова многообразия.
Кроме того, мы частично описываем клетки в клеточном разбиении грассманиана Сато, точки которых полностью отвечают за (полу)стабильные пучки.
На грассманиане Сато естетсвенным образом действует группа SL(2, k[[z]]). Мы вводим понятие полустабильных и стабильных точек на грассмане Сато относительно однопараметрических подгрупп, сопряженных с диагональной подгруппой: (А, Л-1), А € к*. Это понятие аналогично классическому определению из геометрической теории инвариантов([37]). После этого мы переформулируем полученное
б
описание образов квинтетов с языка плюкксровых координат на язык действия однопараметрических подгрупп в виде следующей теоремы, являющейся аналогом аналогичной теоремы в конечномерной ситуации при построении пространств модулей векторных расслоений на кривых.
Теорема. Рассмотрим произвольный квинтет (С,р,Т,ер,Ьр). Тогда пучок Т (по-лу)стабилен тогда и только тогда, когда точка в грассмане Сато, являющаяся образом квинтета {С,р,Т, ерАР) при отображении Кричевера, — (полу)стабильная точка относительно всех сопряженных подгрупп с диагональной подгруппой (А, Л-1), Л Є к* в группе 5Х(2,&[[;*]]).
В третьей главе мы строим для многообразий произвольной размерности аналоги комплексов Кричевера для кривых, а также обобщаем соответствие (отображение) Кричевера на многообразия произвольной размерности. Для случая поверхности это было сделано А. Н. Паршиным в [41]. В процессе построения мы пользуемся методами работ [2], [30], [31].
Для произвольного квазикогерентного пучка Т на схеме X и флага Уо Э ... Э замкнутых подсем на X мы строим комплекс абелевых групп А(р). Мы получаем следующую теорему.
Теорема. Пусть X — проективное алгебраическая схема размерности п над полем. Пусть У0 Э Уі Э ... Э Уп — флаг замкнутых подсхем, так что У0 = X, У является обильным дивизором на схеме Уі_і для любого 1 < і < п. Тогда для любого квазикогерентного пучка ? на X, для любого г: Н'(Х,Т) = Н*(А(Т)).
Отметим следующее: в условиях теоремы, а также, если дополнительно Уп есть замкнутая и гладкая точка на всех Уі (0 < і < п), Т — локально свободный пучок ранга 1, являются дивизорами Картье на Уі (1 < і < п), и X — равноразмерная схема Коена-Маколся, мы получим, что комплекс А{7-) будет являться комплексом подгрупп в л-мерном локальном поле.
Определим Мп —Г {X, (Уі,..., У^), (^і,..., гп), Т, еуп}, где X — проективная равноразмерная схема Коена-Маколея размерности п над полем к, X = Э У\ Э ... Э Уп — флаг замкнутых подсхем, так что У* является обильным дивизором Картье на схеме Уі_і (1 < » < п), Уп — гладкая /г-рациональная точка на всех Уі (О < і < п), 2Ь...,;гп — формальные локальные параметры в точке Уп, так что
^гп_і+і |у._1 = о) = Уі в формальной окрестности точки Уп на схеме Уі_і, Т — векторное расслоение (= локально свободный пучок) ранга г на АТ, еуп — тривиа-лизация Т в формальной окрестности точки Уп на X.
В поле К = к((хі))... ((*„)) имеем следующую фильтрацию
Обозначим А'-пространство V = Кфг, и фильтрацию У(пг) = К(т)фг.
7
- Київ+380960830922