Функциональные тождества в кольцах и их приложения

#
Содержание
Введение.................................................... 3
* . . ‘ • ‘ч;''4 Л* •'
1 Общая теория функциональных тождеств 14
1.1 Обобщенные функциональные тождества.................... 14
1.1.1 Определения и обозначения...................... 14
1.1.2 Доказательство теоремы 1.1.1................... 17
1.1.3 Замечание об образе решений.....................27
1.1.4 Тождества специального вида.....................32
1.2 Функциональные тождества: общая теория..................42
1.2.1 Алгебраичность подмножеств первичных колец ... 42
1.2.2 (/-свободные множества: определения и первые результаты ..............................................50
1.2.3 Какие множества (/-свободны?....................59
1.2.4 Квазиполиномы................................. 72
1.2.5 Тождества вовлекающие инволюцию.................90
2 Лиевы отображения 98
2.1 Лиевы гомоморфизмы лиевых идеалов.......................98
• ^ -2.2 Лиевы дифференцирования лиевых идеалов..................113
2.3 Лиевы гомоморфизмы лиевых идеалов кососимметрических элементов.................................................125
2.4 Лиевы дифференцирования лиевых идеалов кососимметрических элементов..........................................148
3 Отображения, сохраняющие алгебраические свойства элементов 168
3.1 Функциональные тождества на левых идеалах..............168
3.2 Отображения в кольцах с инволюцией.....................184
1
<*
ф
4 Приложение функциональных тождеств к некоторым задачам из теории алгебр Ли 196
4.1 Л и-совместимые отображения...............................196
4.2 Отображения, удовлетворяющие тождеству (/(и,и),г^] =
/([и, ш], и)+ /(и» [”’**’])..............................201
«
2
Ф
Введение
Первые результаты по функциональным тождествам связаны с описанием коммутирующих отображений, то есть отображений / кольца Я таких, что [/(х)ух] = /(х)х — х/(х) = 0 для всех х £ 71.'
В 1957 году была опубликована работа Познера [119], в которой было показано, что ненулевое дифференцирование первичного кольца 71 является коммутирующим отображением тогда и только тогда, когда кольцо Я — коммутативно; ;
Аналогичный результат для коммутирующих автоморфизмов был получен Мэйном [99].
Результаты Познера и Мэйна многократно обобщались разными авторами [7, 17, 21, 22, 30, 49, 50, 53, 54, 62, 63, 70, 71, 77, 78, 79, 82, 87, 97, 98, 100, 107, 125, 127). Из этих работ следует выделить статью Брешара [30], который описал все коммутирующие отображения первичных колец. Этот результат стал первой работой по функциональным тождествам. Как и в случае с теоремами Познера и Мэйна, к этому результату был проявлен значительный интерес и в течение нескольких лет появилось большое количество работ на эту тему [6,12, 16,19, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 43, 44, 45, 48, 83, 84, 86].
Существенное влияние на развитие этого направления теории колец оказали статьи Брешара [35, 36]. Основной результат работы [35] — это описание аддитивных отображений /ь /2, /з> /л первичного кольца Я удовлетворяющего тождеству
Мх)У + /гЫ* + хЫу) + УЛ(*) = 0 для всех х,у еЯ.
Такие тождества называются функциональными тождествами степени 2, поскольку в них участвуют 2 переменные х и у.
В работе [36] рассматривалось более сложное тождество
53 Жу)*в» + £ &*(х)уЬ{ + 53 чу НА*) + !С л&кАу) = о
»=1 1=1 1=1 ;=1
для всех ХуУ е Я, где ^,<7;,//,-, А; : Я —» Я аддитивные отображения первичного кольца Я и {аи ■ •. ,<**}, {Ьь.. -, М, {сь • • • ,<*}, И, • • • »4}
— подмножества элементов кольца 7£, линейно независимых над расширенным центроидом. Такие тождества называются обобщенными функциональными тождествами степени 2.
Однако не было ясно, можно ли описать отображения в функциональных и обобщенных функциональных тождествах степени отличной от 2, хотя высказывалось предположение, что результаты о тождествах степени 2 могут быть продолжены до более общего случая [36, стр. 691].
В первом общем результате теории функциональных тождеств [154] были рассмотрены обобщенные функциональные тождества произвольной степени и практически сразу же было показано, что аналогичные результаты могут быть получены для тождеств, вовлекающих фиксированный антиавтоморфизм [133].
Используя эти результаты Бейдар [14] рассмотрел функциональные тождества произвольной степени, а функциональные тождества с инволюцией были рассмотрены Бейдаром и Мартиидейлом в работе [18]. Тем самым был создай необходимый задел для развития общей теории функциональных тождеств.
Следующим шагом было создание конструкции ^-свободных множеств [147, 148], на базе которых были получены все основные приложения. Одновременно с этим исследовались некоторые тождества специального вида с целыо расширения класса колец, для которых применима техника функциональных тождеств [136, 138,139,140, 142, 146,152,153].
Наиболее важным приложением теории функциональных тождеств является полученное с их помощью описание отображений лиевского типа.
В 1961 году Херстейном [56, стр. 528) был сформулирован ряд открытых проблем. В частности им были поставлены задачи описания лиевых изоморфизмов и лиевых дифференцирований для
(I) простых и первичных колец 7£,
(II) лиевых колец [Я, 7£] и П [Я, 71], где 3 — центр кольца 7£,
(III) лиевых колец кососимметрических элементов АС простых колец 71 с инволюцией,
(IV) лиевых колец [АС,/С) и [АС,АС]/2 П [АС, АС].
Из первых работ по лиевым изоморфизмам отметим статью Хуа [64], где была рассмотрена задача описания лиевых автоморфизмов для колец матриц порядка п > 3 над телом в случае характеристики, отличной от 2 и 3. В случае простых колец 71 характеристики 2 задача описания лиевых изоморфизмов ф была исследована Херстейном и Клейнфельдом [60] при дополнительном предположения о том, что лиев изоморфизм сохраняет третью степень, то есть ф[х3) = ф(х)3 для всех х € 71. Важный вклад в изучение лиевых изоморфизмов и лиевых дифференцирований внес Мартиндейл, описавший эти отображения в кольцах с несколькими нетривиальными ортогональными идемпотеи-тами [88, 89, 90, 92, 93, 94]. Отображения лиевского типа изучались в операторных алгебрах [8, 9, 10, 103, 104, 105, 106], где также использовалась техника работы с идемпотентами.
В связи с этим интересно отметить, что хотя в кольцах матриц над телами описание лиевых автоморфизмов и дифференцирований было известно, в самих телах эта проблема до недавнего времени была открыта.
Проблемы Херстейна были полностью решены с помощью теории функциональных тождеств. Описание Брешаром [32] биаддитивных коммутирующих отображений стало ключевым результатом в решении проблем Херстейна о лиевых изоморфизмах и лиевых дифференцированиях первичных колец. Аналогично, описание триаддитивных коммутирующих отображений в кольцах с инволюцией, полученное Бейдаром, Мар-тиидейлом и Михалевым [19], привело к решению проблемы Херстейна о лиевых изоморфизмах лиевых колец кососимметрических элементов первичных колец с инволюцией. Эта же конструкция была использована Свэйном [126] для описания лиевых дифференцирований лиевых колец кососимметрических элементов первичных колец с инволюцией.
Однако, для решения (II) и (IV) потребовалось значительно более емкое использование общей теории функциональных тождеств, чем описание коммутирующих отображений. Используя конструкцию (/-свободных множеств [147, 148], в работе [150] удалось описать лиевы эпиморфизмы лиевых идеалов первичных колец, что не только дает ответ на вопрос Херстейна, но и-решает существенно более общую задачу. Характеризация лиевых дифференцировании на лиевых идеалах первичных колец дана в [151]. Аналогичные проблемы для лиевых колец кососимметрнче-скнх элементов решены в [143, 144]. Помимо этого в статье [143] описаны п-йордановы отображения кососимметрических элементов, что отвечает
5
на еще один вопрос Херстейна [56, стр. 528].
С середины 70-х годов XX веха в линейной алгебре и функциональном анализе были довольно популярны задачи характеризации линейных операторов, сохраняющих алгебраические свойства элементов. Одной из таких задач было описание отображений, сохраняющих коммутативность. В 1976 году Уоткинс [128] описал биективные отображения, сохраняющие коммутативность в кольцах матриц порядка п > 4. Затем аналогичная проблема изучалась для разных подпространств матричных алгебр и некоторых операторных алгебр [13, 51, 52, 115, 116, 117, 118]. Используя функциональные тождества, Брешар [32] описал биективные отображения, сохраняющие коммутативность в первичных кольцах, а Баннинг и Матье [12] получили аналогичный результат для полупервичных колец. В статье [146] дано описание биективных отображений, сохраняющих коммутативность на односторонних идеалах первичных колец.
Еще одним приложением функциональных тождеств является описание Ли-совместимых отображений. В 1948 году Альберт [4] инициировал изучение Ли-допустимых алгебр. Эти алгебры привлекали внимание как математиков, так и физиков. С некоторыми приложениями Ли-допустимых алгебр к физике можно ознакомиться в книгах Оку бо [113] и Мыюнга [111], мы же сосредоточимся на алгебраической стороне вопроса, связанной с проблемой Альберта классификации гибких Ли-допустимых алгебр А таких, что соответствующие алгебры Ли. «4” полу просты [4].
В 1962 году Лауфер и Томбер [81] дали классификацию конечномерных гибких Ли-допустимых алгебр А над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики таких, что операция возведения в степень ассоциативна и алгебры Ли А~ полупросты. Мыюнг [110, 111] получил описание конечномерных гибких Ли-допустимых алгебр А над алгебраически замкнутыми полями положительной характеристики таких, что операция возведения в степень ассоциативна и А~ — это либо классические алгебры Ли, либо обобщенные алгебры Витта.
В 1981 году Бенкарт и Осборн [24] и Окубо и Мыюнг [114] независимо получили классификацию конечномерных гибких Ли-допустимых алгебр А над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики таких, что алгебры Ли А~ полупросты, решив тем самым проблему Альберта.
В гибких алгебрах операция взятия третьей степени ассоциативна, то есть (х * х) * х = х * (х * х) и известно, что операция взятия любой степени ассоциативна тогда и только тогда, когда это справедливо для третьей и четвертой степеней (111). В статье [25] Бенкарт и Осборн описали все умножения на алгебре матриц, относительно которых операция взятия степени, ассоциативна, а в работе [23] Бенкарт Дала классификацию Ли-допустимых алгебр Л таких, что операция возведения в третью степень ассоциативна и алгебры Ли Л~ полупросты. Подобные задачи изучались также в случаях, когда Л~ — алгебра Вирасоро [112] или алгебра Каца-Муди [67]. Во всех этих работах используется техника работы с алгебрами Ли и матричными алгебрами. Применяя методы функциональных тождеств, в статье [149] были описаны все умножения на лиевых идеалах первичных алгебр и алгебрах Ли косимметричсских элементов, относительно которых операция взятия степени ассоциативна.
Цель данной работы состоит в создании математического аппарата, позволяющего решить ряд открытых проблем, возникших при исследовании дифференцирований и лиевых изоморфизмов первичных колец.
В работе используются методы и результаты теории колец с функциональными тождествами.
Краткое содержание работы. В первой главе излагается общая теория функциональных тождеств. Пусть г > 2 — целое число, 71 — некоторое множество и О. — некоторое кольцо. Для отображения Г : 71г~1 —* С? и 1 < і < г, определим отображение І7' : 717 —♦ О, 1 < і < г, по правилу
-Р(хь...,хг) = ^(Х1,...,ж,--1,Х|+1,...,ХГ) для всех XI,...,2Г € 71.
Аналогично, для отображения р : 717 ~2 —*Qul<i<j<r определим отображение р1] = : 71, —► О по правилу
Р • • • 1 Хг) — р(^1і • • • 1 ^«-1» Х,‘+ 1, . . . , , . . . , Хг).
Основным результатом первого параграфа является следующая теорема, в которой рассматриваются обобщенные функциональные тождества произвольной степени.
Теорема 1 Пусть 71, — первичное кольцо, (2 — максимальное левое кольцо частных, 71с — центральное замыкание, С — расширенный центроид, г > 2 — целое число и П{,гп{, і = 1,...,г — неотрицательные
*
целые числа. Пусть Ец, Р^ : 7£г-1 -* О, — такие отображения, что
Г П/ Г Ш|
13 13 ^(*1,- • • » + 13 13 ЬкХ^ЦхЬ • • ., ®г) = О
>=1 «=1 /=1 *г=1
Дсг 6СС2ГХ1 ...,хг е 71, где {в{,...,а£у} и {&{*••-»НуЬ / = с2/ть
„ С-независимые подмножества О. Тогда выполняется одна из двух возможностей:
({) 71е — примитивное кольцо с непулевым цоколем и еТ1се — конечномерная алгебра с делением над С для каждого минимального идемпотента е из 71с, или
(и) существуют и единственны отображения р;,/* : 7£г“2 —► О. и А,-/* : 72.р“1 —* С такие, что
т | т,-
Е]^х 1,...,хг)= 53 !С^Ия*(хь-''»*0 + 13л«*(*ь...»*гЖ»
><«<•• * = 1 *=1
. Т*,
. = - 13 23И5»(*ь.-м®г)*^-£Аг№(*ь-*м*г)в{.
V • ><;<<■ 1=1 1=1
Болес того, если все отображения Е$ и Р/к являются аддитивными по каждому аргументу, то это же справедливо для отображений Рщь и \ilk-
Во втором параграфе вводятся понятия ^-свободного множества, (£, с/)-свободного множества, квазиполиномов и на их базе формулируются результаты, необходимые для приложении. В частности, доказывается следующая теорема:
Теорема 2 Пусть О, — кольцо с единицей, Б — некоторое подмножество О., и Е : Бт -* О. — квазиполином степени < т. Если Е(хт) — О для всех Зсто 6 5т и подмножество 5 является (?п 4-1)—свободным, то псе коэффициенты Е равны нулю.
8
«Г
Глава 2 посвящена описанию отображений лиевского типа, то есть, решению проблем Херстейна [56, стр. 529]. В первом и втором параграфах рассматриваются лиевы изоморфизмы и лиевы дифференцирования лиевых идеалов первичных колец. Доказываются две следующие теоремы.
Теорема 3 Пусть А — первичное кольцо, С — расширенный центроид и Ас — центральное замыкание. Пусть % — лиев идеал кольца А, S — лиев идеал первичного кольца V и пусть а : S —* 72 — сюръектив-ный лиев гомоморфизм. Предоположим, что S и 72. порождают кольца Т> и А соответственно. Далее предположим, что char(^4) ф 2 и А не удовлетворяет Stu, стандартному тождеству степени 14. Тогда существуют гомоморфизм (антигомоморфизм) 7 : Т> —♦ Ае и аддитивное отображение р : V —» С такие, что ха = х1 + р(х) (соответственно, ха = -х7 + р(х)) для всех х в S и р([5,5]) = 0. Более того, если \S,S]=S, тоТГ = А.
4
Теорема 4L Пусть А — первичное кольцо и С — расширенный центроид. Пусть 72. — лиев идеал кольца А, В — подкольцо кольца А, порожденное 72. и пусть <5:72. —> 72. — лиево дифференцирование на 72.. Предположим, что сЬаг(Л) ^2 и А не удовлетворяет Stu, стандартному тождеству степени 14. Тогда существуют дифференцирование D : В —* ВС + С и аддитивное отобраоюение £:72. —► С такие, что
(a) С(|Я,Я]) = 0.
(b) xD = xs + £(х) для всех х € 72.
(c) Если [7£, 72-) = 72-, то BD С В.
В третьем и четвертом параграфах описаны лиевы изоморфизмы и лиевы дифференцирования лиевых идеалов кососимметрических элементов в первичных кольцах с инволюцией.
Теорема 5 Пусть V — кольцо с инволюцией, С — лиево кольцо косо-симмстрических элементов и S — лиев идеал С. Пусть А — первичное кольцо с инволюцией, К — лиево кольцо кососимметрических элементов А и 72. — нецентральный лиев идеал /С. Пусть С — расширенный центроид кольца А, 71 = 71/71 Г)С и пусть а : S 72. — сюръективный
*
лиев гомоморфизм. Предположим, -что сЬаг(Л) ф 2 и Л не удовлетворяет 5<40» стандартному тождеству степени 40. Тогда существует гомоморфизм ф : (Б) —+ (Я)С 4- С такой, что х* = ха для всех а: 6 5. Более того, если инволюция кольца А первого рода, то (Б)^ = (Я).
Теорема 6 Пусть А — первичное кольцо с инволюцией, К — лиево кольцо косо симметрических элементов, О, — О тг(Л) — максимальное правое кольцо частных и С — расширенный центроид. Пусть 'Я — нецентральный лиев идеал /С, 5 = 0.)^} 7£ = Я1ЯГ\С и пусть 6 : Я —* О. лиево дифференцирование, отображающее Я в (2. Пусть 7 : Я —* О любое отображение такое, что = х5 для всех х е Я, и Б = Яи Я?. Предположим, что сЬаг(Л) ф 2 и А не удовлетворяет 5<4о, стандарт-'Ш пому тождеству степени 40. Тогда существуют дифференцирование
д : (Я) —» (3)С 4*Си отображение /х :Я —> С такие, что
х* = х1 4* р[х) для всех х € Я (отсюда х6 = Xе1 для всех х £ Я). Болес того, если Я6 С Я, то справедливо следующее:
• (а) р([Я,Я]) С 2(Я) = ЯП С.
(b) х* — р(х) € Я для всех хбЯ (отсюда (Я)6 С (Я)С 4-С).
(c) Если Я = [Я,Я], то Я* С Я (отсюда (7Z)d С (Я)).
В третьей главе функциональные тождества используются для описания операторов, сохраняющих алгебраические свойства элементов. В первом параграфе рассматриваются операторы, сохраняющие коммута-^ тивпость. В частности, доказан следующий результат.
Теорема 7 Пусть А и А' — центрально замкнутые первичные алгебры с единицами над полем С, пусть Я и Я1 — собственные левые идеалы алгебр А и А' соответственно и пусть а :Я —* Я' биективное линейное отображение. Пусть (Я), с1е§(7£') > 4 и сЬаг(С) ф 2. Предположим, что [(а2)а,'а.в1 '= 0'для всех а £ Я. Тогда существуют 0 ф Ь е С, (антигомоморфизм 7 : Я —► Я' 4- С и линейное отображение г/ : Я —* С такие, что х° — Ьх'1 4- ц(х) для всех х & Я. Болес того, если у Я в А есть ненулевой правый аннулятор, то г; = 0 и 7 : Я —» Я' является из ом орфизм ом.
10
Второй параграф посвящен описанию операторов, сохраняющих нормальные элементы. Его целью явлются следующие теоремы.
Теорема 8 Пусть А и А! центрально замкнутые первичные алгебры над полем Т с инволюцией второго рода. Предположим, что с^(Л) > 2, <^(Л;) > 2, и сЬаг(^) ф 2,3. Пусть 0 : А —» А'- — биективное линейное отображение, что элемент 0(х) является нормальным при условии, что х Є А является нормальным. Тогда существуют 0 ф а Є Т, линейное отображение (3 : А —* Т и *—(анти)эпиморфизм ф алгебры А на А' такие, что 0(х) = аф(х) -+ 0(х) для всех х Є А.
Теорема 9 Пусть А и А' центрально замкнутые первичные алгебры над полем Р с инволюцией первого рода. Предположим, что <^(*4) > б, <^(Л') > 13 и сЬаг(^) ф 2,3. Пусть 0 : А —» А! — биективное *—линейное отображение, что элемент 0{х) является нормальным при условии, что х Є А является нормальным. Тогда существуют РьР2 6 Т, р\ ф рі, р\ ф ~Р7, линейное отображение и> : (АС) —* Т, и *-эпиморфизм ф алгебры (АС) на (АС') такие, что 0(х) = ф(р\Х + РъЯ*) + и>(х + х*) для всех х Є (АС).
В четвертой главе описаны умножения на лиевых идеалах первичных алгебр и алгебрах Ли косиммстричсских элементов, относительно которых операция взятия третьей степени ассоциативна. В частности, доказан следующий результат.
Теорема 10 Пусть Т — коммутативное кольцо с 1 и пусть С — алгебра Ли над Т, удовлетворяющая одному из двух условий:
I
(г) Существует'первичная Т-алгебра А с расширенным центроидом С и центральным замыканием АС такая, что с^(Л) >5 и С — нецентральный лиев идеал алгебры А.
(П) Существует первичная Р-алгсбра А с инволюцией первого рода, с расширенным центроидом С такая, что с^(*4) > 10 и С = АС(Л).
Пусть * : С2 —* С — Ли-совместимое умножение на С. Тогда справедливо:
11
(a) Операция взятия третьей степени относительно умножения * : С2 —» С ассоциативна тогда и только тогда, когда существуют, обратимый элемент / € С, элемент А £ С, Т-линейное отображение р : С —* С, и симметрическое Т-билинейное отображение т : С2 —» С такие, что
4 •
>Х * *£*'+ Ах о у + р(х)у + р(у)х + т(х,у)} (0.1)
для всех х,у £ С. Здесь х о у означает ху + ух.
(b) Алгебра (£,+,*) является гибкой тогда и только тогда, когда выполнено (0.1) и справедливо
р([х,у]) = 0 = т(х,[х,у]) для всех х,у € С.
Основные результаты работы следующие:
1. Рассмотрены обобщенные функциональные тождества произвольной степени. Это обобщает результат Брешара [36) и подтверждает предположение [36, стр. 691].
2. Изложены необходимые понятия и результаты, относящиеся к конструкции (/-свободных множеств, что является основой для приложений функциональных тождеств..
3. Решены проблемы Херстсйна описания лиевых изоморфизмов и лиевых дифференцирований для лиевых идеалов первичных колец [56, стр. 529].
4. Решены проблемы Херстейна описания лиевых изоморфизмов и лиевых дифференцирований для лиевых колец кососимметрических элементов в первичных кольцах с инволюцией [56, стр. 529].
5. Рассмотрены задачи описания отображений, сохраняющих коммутативность, и отображений, сохраняющих нормальные элементы, что дает новый метод для работы с операторами, сохраняющими алгебраические свойства элементов и обобщает некоторые результаты статей [13, 32, 51,52, 115, 116, 117, 118].
6. Описаны умножения на лиевых идеалах первичных алгебр и алгебрах Ли косимметрических элементов, относительно которых операция взятия третьей степени ассоциативна, что обобщает некоторые результаты работ [23, 25].
Вес полученные результаты являются новыми и могут быть использованы при исследовании некоторых вопросов теории колец.
Результаты диссертации докладывались на семинаре ”Кольца и модули” кафедры высшей алгебры механико - математического факультета МГУ в 1996-2003, на алгебраических семинарах Мариборского университета (Марибор, Словения), Тайваньского государственного университета (Тайбэй, Тайвань), университета им. Сунь Ятссна (Гаосюи, Тайвань) и университета им. Ченг Гуна (Тайнань, Тайвань), на конференции по теории колец в Мишхольце (Венгрия) в 1996, на конференции, посвященной памяти Д.К. Фаддеева, в Петербурге в 1997, на конференции, посвященной памяти А.Г. Куроша, в Москве в 1998, на алгебраической конференции в Тайиане (Тайвань) в 2001.
Основные результаты опубликованы в 26 работах, список которых приведен в конце диссертации.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Полный объем диссертации — 215 страниц, бибилиография включает 155 наименовании.
Автор выражает глубокую благодарность своим научным консультантам доктору физико-математических наук профессору МГУ Александру Васильевичу Михалеву и доктору физико-математических наук профессору ТулГУ Валерию Ивановичу Иванову за полезные обсуждения, постоянную поддержку и внимание к работе.
*
Глава 1 Общая теория функциональных тождеств
1.1 Обобщенные функциональные тождества *.у
1.1.1 Определения и обозначения
В теории функциональных тождеств особую роль играют кольца частных. Мы будем следовать терминологии книги [20]. Кольцо Я называют первичным, если для двух идеалов Ы и V кольца Я равенство ЫУ = 0 влечет И = 0 или V = 0. Введем понятие максимального правого кольца частных. Напомним, что правый идеал 3 кольца Я называется плотным, если для любых 0 ф г\ € Я, г2 б Я существует г £ Я такой, что гхг ^ 0 и г2г б 3 • Множество всех плотных идеалов кольца Я обозначим через V. Рассмотрим множество пар
где / - гомоморфизм 3 в Я как правых Я - модулей. Пары {/’,3) и {д\ АГ) считаются эквивалентными, если существует идеал С С 3 Л К такой, что С б V и / = <7 на С. Обозначим через {/; 3} класс эквивалентности с представителем (/; 3) € 'Н. Определим на множестве классов эквивалентности операции сложения и умножения по следующим правилам:
{/;Л+ {</;£} = {/ + я;У ПК},
14
*
*
■ ЛМ}{д\к:} = ид;д-1и)1
где
9-1^) = {а££\<Ла)е 3}
является плотным идеалом ввиду [20, Предложение 2.1.1.]. Множество классов эквивалентности с заданными операциями сложения и умножения является кольцом 0,тг(Щ, которое называется максимальным правым кольцом частных. Центр С кольца 0,тг(И) называют расширенным центроидом кольца 71. Подпольно 71с = 71С + С называется центральным замыканием кольца 71. Подмножество (2Г(71) элементов Ятг(71) таких, что для любого q € Фг('Я') найдется ненулевой идеал Ы такой, что (ЦП С 71 образует кольцо называемое правым мартинденловским кольцом частных. Нас.также будет интересовать подмножество (2а(71) элементов Qmr{7l) таких, что для любого </ € (2а{7£) найдется ненулевой идеал Ы такой, что qUУJltqC 7Ь. Это подмножество образует кольцо называемое симметрическим кольцом частных.
Аналогичным образом можно определить максимальное левое кольцо частных <2т1{71) и мартиндсйловское левое кольцо частных (21(71).
Пусть г — натуральное число, 71 — некоторое множество и О — некоторое КОЛЬЦО.
Для отображения ^ : 7¥~х —» О, и 1 < : < г, определим отображение Рх : 717 —» 1 < * < г, по правилу
агг) для всех ,хг € 71.
Аналогично, для отображения р : 7ЬТ~2 -» б и 1 < I < ; < г мы определим отображение р** = р>% : 71 —I» О по правилу
р3(х11... ,ХГ) = р(х\)... , Х,_1, Х*+1,..., Ху_1, Ху+1,... ,хг).
Для удобства подразумевается, что отображение, определенное на 7£°, является константой из О. и отображение, определенное на 7£-1, является нулевым. Мы будем также писать
F, вместо Р‘(х1,...,хг), вместо р'3(х 1,..., хг), вместо /г>(х1,...|Х*-1,Х^уХА+1,..м^г) где 1 < 1: < г и к ф i
15
«г
(здесь t Е Q — это такой элемент, что TZt С 7Z).
Основной целью этой главы является следующая теорема
Теорема 1.1.1 Пусть 71 — первичное кольцо, О Е {Qm/, Qmr}> С — расширенный центроид, г > 2 — целое число и щ, ті, і = 1,... ,r — неотрицательные целые числа. Пусть V — конечномерное подпространство векторного пространства Q над С, и пусть Eji, Fik : 7Zr~l —> Q — такие отображения, что
г п) _ г mi
52t2Eji(xb->-,xr)zjai + ^2^2 blkxiFlk(xu... ,xr) Є V (1.1)
j=l is 1 1=1 k= I
д.гя всех X\. >., xr E 71, где {a{,...,a^} и {&{,... ,6^}, j = 1,...,г, q/ть С-нсзависимые подмножества Q. Тогда выполняется одна из двух возможностей:
(i) 71с — примитивное кольцо с ненулевым цоколем и с71се — ко-нечномерная алгебра с делением над С для каждого минимального идемпотента е из 71с, или
(ii) существуют и единственны отображения pjuk :717~2 —* Q и А,ц : 71г~г —> С такие, что
mi т)
Е7(хи...,хг)= £ ь---,*г) + 53^(*ь---і*г)Ч,
1<«5г 1 = 1 к=1
ч>
ni nj
tfleixь • • • > Xr) = — 53 Р*]Ик(хI» • • • * Xr)XjGi ■“ ^3 > • • •» xr)ai‘
iSiS*" »=1 t=l
В частности,
Г Г Ш(
ЕЕ4(гь-^г)®Х + 5353^/?/ихь..-1^г) = о.
7=11=1 /=1 *=1
Более того, если все отображения В» и Ей являются аддитивными по каждому аргументу, то это же справедливо для отображений Р^Цк и XЦк.
16
*
і
Случай когда г = 2, V = 0 и образы отображений лежат в 7ZC был рассмотрен Брешаром в работе [36]. Помимо этого Брешар высказал предположение о том, что результаты о тождествах степени 2 могут быть продолжены до более общего случая (3G, стр. С91], что и подтверждает теорема 1.1.1.
В работе (133] теорема 1.1.1 была обобщена на тождества с фиксированным антиавтоморфизмом, а в работе [136] были рассмотрены тождества с дифференцированиями, автоморфизмами и антиавтоморфизмами. Поскольку стиль доказательств близок к теореме 1.1.1, но при этом требуется значительное увеличение терминов и обозначений, мы ограничимся доказательством теоремы 1.1.1.
Доказательство теоремы 1.1.1 будет опираться на серию вспомогательных результатов, которые мы приведем ниже.
1.1.2 Доказательство теоремы 1.1.1.
Пусть X — бесконечное множество, С(Х) — свободная алгебра с единицей на X и Q{X) — свободное произведение С-алгебр Q и С{Х). Элемент р(х,хп) € Q(X) называется обобщенным полиномиальным тождеством (GPI) на 7I, если р(гьг2)... ,гп) = 0 для всех n,r2,... ,rn € 71. Если 71 удовлетворяет ненулевому обобщенному полиномиальному тождеству, 'го 7Z. ми будем говорить, что 71 — GPI кольцо. Структура GPI колец описана в теореме Мартиндейла [20, Corollary 6.3.3].
#
Теорема 1Л.2 ([20, Corollary 6.3.3]) Пусть 71 — первичное кольцо. Предположим, что 7Z удовлетворяет ненулевому обобщенному поли-помиальпому тождеству. Тогда центральное замыкание 7ZC кольца 7Z содержит ненулевой идемпотпепт е такой, что е7£с — минимальный правый идеал (отсюда 7vc — примитивное кольцо с ненулевым цоколем) и e7Zce — конечномерная алгебра с делением над С.
Пусть N — множество неотрицательных целых чисел и N* = {п 6 .V | п > 0}. Обозначим через |5| — мощность множества S. Для любого q € С, определим отображения rq : Q —► Q по правилу
Ясно, что lq,rq Е Endc(£2). Положив
• N т;. Лг = {la \ а Е 71} и Rr - {re | а Е 7£},
заметим, что \1(71) = Я(/?т С Endc(Q) является подкольцом кольца эндоморфизмов Endc(Q). Если h = /аг^ Е М(Ц) и х Е (2, то
Л(ж) = ЕГ=1 «.«to-
Теорема 1.1.3 ([20, Theorem 2.3.3]) Пусть Л — полупервичное кольцо с расширенным центроидом С, Q Е {С2т/(Л), бтаг(«4)}, n Е jV\ п > 1 иЧ\>Я1у' *Яп € £2- Предположим, что q\ %У!=гСЯ\- Тогда существует Л € Л/(.Д) такой, что h(qi) ^ 0 и h(q,) = 0 всех г = 2,3,... ,п.
Лемма 1.1.4 ([20, Lemma 6.1.8]) Пусть71 — не GPI первичное кольцо, U — ненулевой идеал кольца 7Z и Т-х — {/,j(x) Е Q{X) | j — 1,2,...,п,), г = 1,2,...,т, подмножества Q( А'), каждое из которых С-псоаоисимо. Тогда существует такой элемент а Е И, что для каэ/сдого г = 1 Ti(a) = {/,у(а) | j = 1,2, является С-независимым
подмножеством Q.
Лемма 1.1.5 Пусть 71 — wc G.P/ первичное кольцо, пусть r,n;- Е где j = 1,2, ...,г, и пусть все подмножества {([ju qj7, • ■ ■ Q
Qmi(^), * = l,2,...,r, — С-независимы. Тогда существует такой элемент а Е 71, что каждое подмножество {aqji,aqj2,..., aqjn,} является С-независимым и все aqji Е 7£.
Доказательство. Пусть
•• У J = {х б И | aqu € Я}.
По [20, Lemma 2.1.8], J — плотный левый идеал 71. По [20, Lemma 2.19, Proposition 2.1.10], J — первичпое кольцо и Qmi{J) = Qm/(7£). Лемма 1.1.1 завершает доказательство.
■ Для элементов Xi, Х2, • • . ,xr Е 71, ПОЛОЖИМ Xr = (xi, Х2, ..., хг) Е '/2.г, где под 71Г мы подразумеваем r-ю степень декартова произведения множества 7Z.