Введение
содержание
3
Глава I. Неравенства для логарифмических емкостей плоских множеств
§1. Предварительные сведения 14
§2. Линейные радиальные преобразования 16
53. Теоремы единственности 20
54. Оценка емкости множества через меру проекции
этого множества на стороны угла 25
55. Задача Фокете 29
56 Теоремы покрытия для мероморфных
в круге функций 32
Глава II. Приведенные 2-модули пространственных кодснсаторов
51. Гармонический радиус области и 2-емкость конденсатора -39
§2. Приведенный модуль относительно совокупности точек 44
53. Теоремы об экстремальном разбиении 50
§4. Диссимметризация семейств кривых 53
Глава III. Оцепки конформной емкости пространственных конденсаторов
§1. Поляризация конденсатора 60
§2. Симметризация относительно гиперсферы 64
§3. Изопериметрические неравенства 73
54. Теоремы искажения для квазирегулярных
отображений 80
Литература 86
Введение
Теория емкостей множеств и конденсаторов находит многочисленные приложения в различных областях математики. Наиболее изучены 2-емкость и конформная емкость пространственных конденсаторов и связанное с ними понятие модуля семейств кривых или поверхностей. Систематическому применению емкостей в теории квазнрегулярных отображений посвящены работы Вяйсяля, Геринга, Б.В. Шабата, Ю.Г. Решетника, С.К. Водопьянова, В.М. Гольдштейна, Рикмана, Мартно, Вуорипена и других математиков.
Значительное место в теории емкостей занимают оценки »попериметрического характера. Одним из немногочисленных методов получения этих оценок является метод симметризации. Пионерские исследования симметризации были выполнены Штейнером, и, несколько позже, Харди, Литтлувудом, Полна и Сеге. Актуальность получения неравенств для емкостей множеств и конденсаторов заключается в их теоретических и практических приложениях в различных областях науки. Представления о современном развитии метода симметризации можно получить в обзорных статьях Калохла, Таленти,
В.И. Коляды, Берстайна, D.H. Дубинина и других авторов. Развитие метода симметризации в геометрической теории функций комплексного переменного связано также с именами Хеймана, Дженкинса, И.П. Ми пока, Маркуса, Ахаронова. Кнрвана, В.А. Шлыка, АЛО. Солынина. Однако в этом направлении существует eine много нерешенных проблем. В связи с этим остается актуальным построение новых видов енмметризационных преобразований.
С понятием емкости конденсатора тесно связано понятие приведенного модуля. Простейшие приведенные модули в пространстве рассматривались еще Гречем и Тейхмюллером. Интересные обобщения этого понятия даны в работах Альфорса, Бейрлинга, Дженкинса, И.П. Миткжа, Б.Е. Левицкого, Г.В. Кузьминой, Е.Г. Емельянова, В.Н. Дубинина. Задачи определения верхней
3
грани сумм BnaaaiMi + a2A/-> + ...+anA/ri, где а*— заданные положительные числа, а М* модули или приведенные модули попарно нсналегающих областей называются задачами об экстремальном разбиении. Эта задачи восходят к известной теореме М.А. Лаврентьева о произведении конформных радиусов неналегающих областей и и плоском случае имеют богатую историю. Отметим исследования Г.М. Голузина, П.П Куфарева, II.А. Лебедева, Г.В. Кузьминой, Г.П. Бахтиной, Е.Г. Емельянова, А.Ю. Сол ын и на, В.О. Кузнецова. В пространстве трех и более измерений к настоящему времени известен только аналог теоремы М.А. Лаврентьева, полученный Б.Е. Левицким.
Целью диссертационной работы яiшлется разработка методов решения за-дач об экстремальном разбиении в «-мерном евклидовом пространстве, п > 3, получение новых неравенств для логарифмической емкости плоских множеств, а также неравенств для конформной емкости пространственных конденсаторов
В первой главе диссертации рассматриваются задачи, ассоциированные с двумя классическими нижними оценками логарифмической емкости множества Е.
Если fi - конечная борелевская мера на комплексной плоскости С* с компактным носителем, то ее энергия определяется как
Под логарифмической емкостью спр(Е) множества Е С Сг понимается sup;le,M, где супремум берегся по всем борелевским вероятностным мерам ц на Е, для которых supp р С Е.
Пусть Q - выпуклое замкнутое множество, и пусть PqE - проекция мно-жества Е на Q. Какова нижняя оценка сар(Е) через линейную меру пересечения PqE П ÖQ7 В случае, когда Q - полуплоскость, ответ вытекает из классического результата: логарифмическая емкость множества Е больше
4
либо равна одной четверти линейной меры ортогональной проекции этого множества на любую прямую. Далее, если (} - круг, то оценка следует ив классической теоремы Вейрлннга (см., например [11, с.45].) В диссертации рассматривается проблема, когда (} представляет собой замкнутый угол раствора ах, 0 < а < 1.
Вторая задача восходит к Фекете и касается оценки логарифмической ем-хости множества Е снизу через линейные меры пересечений Е с п лучами, выходящими из заданной точки г0 под равными углами [54. с.117). Согласно гипотезе Фекете емкость произвольиого множества не меньше емкости множества, состоящего из п отрезков, выходящих из точки го под равными углами и одинаковой длины, равной среднему геометрическому соответствующих мер. Доказательство гипотезы Фекете в случае, когда Е состоит из отрезков, выходящих из точки г0, привело Сеге [04] к понятию ” усредняю шей” симметризации, которая впоследствии была развита Маркусом и нашла приложения в исследовании других математиков. В общем случае решение задачи не было известно.
Рассмотренные выше оценки логарифмической емкости связаны с радиальным преобразовали ем замкнутых множеств, при котором эти множества переходят в множества, звездообразные относительно некоторой точки так, что емкость сар(Е) не увеличивается, а линейная мера пересечения Е с системой радиальных лучей не уменьшается.
Первый параграф главы I носит вспомогательный характер. Здесь собраны сведения из теории потенциалов и свойства логарифмической емкости, необходимые для дальнейшего изложения. Во втором параграфе рассматривается линейное радиальное преобразование замкнутых множеств на плоскости. Это преобразование дополняет радиальное преобразование Маркуса. Приведем точное определение.
5
Пусть Е - компакт, и пусть - произвольная точка плоскости С.. Для неотрицательного р определим
звездообразное относительно точки го. В работах Маркуса было доказано
/ *
неравенство
Нетрудно видеть, что если точка го не принадлежит компактному множеству Е, то для любого луча К(0) имеем 11(0) = 0, то есть в этом случае радиальное преобразование Маркуса не эффективно. Поэтому возникает вопрос, как изменится логарифмическая емкость множества при радиальном преобразовании с заменой меры Л(0) на линейную меру пересечения множества Е с лучом К (в) (линейном радиальном преобразовании). Во втором параграфе первой главы доказаны частные случаи, когда при линейном ра-дцальном преобразовании множества Е его емкость не увеличивается. Кроме того, указан прием сведения ряда других случаев к этим частным. 11о существу, этот подход является реализацией одного из видов кусочно разделяющей симметризации [11).
При решении экстремальных задач методами симметризации важное значение имеют теоремы единственности, то есть теоремы, в которых приводятся необходимые и достаточные условия сохранения емкости множества
Кр(в) = [г = г{) + гс‘* : р < г < ос}, 0 < 0 < 2зг.
ЩЕ) = {г = г0 + ге'* : 0 < г < Я{в), 0 < 0 < 2тт},
сар(Е) > сар{71(Е)).
6
или конденсатора при той или иной симметризации. Теоремы единственности для симметризации Штейнера и круговой симметризации были впервые получены Дженкинсом [44]. Вопрос о теоремах единственности для в- спиральной симметризации и усредняющих преобразований был решен в работах И.П.Минска и В.Л.Шлыка [27], [28], [34]. Утверждения о сохранении емкости множеств при других известных типах преобразований могут быть найдены в обзорной статье В. Н. Дуби и и на [11]. Третий параграф главы I посвящен доказательству теоремы единственности для линейного радиального преобразования, введенного выше.
В четвертом параграфе получена сцена логарифмической емкости, обобщающая результат Полна.
Теорема 1.14. Пусть Е - ограниченное замкнутое множество а плоскости С. и (1 - произвольный замкнутый угол этой плоскости раствора ап. О < а < 1. Обозначим через р в I линейные меры пересечений проекции Рс}Е со сторонами угла (}. Справедливо неравенство
сар(Е) > Ур1(4 - 2а)<х/7-\2а)-а'7.
Знак равенства при а < 1 для неполярного множества Е выполняется тогда и только тогда, когда Е = Е‘ и В, где Е‘— множество, лежащее на границе угла 0 и состоящее из двух равных отрезков, выходящих из вершины этого угла, В - полярное множество.
При подходящем выборе угла С} раствора тг получим классический результат: логарифмическая емкость множества не меньше четверти линейной меры проекции этого множества на любую прямую.
Используя введенные ранее радиальные преобразования, в пятом параграфе главы I решена задача Фекете, причем удалось исследовать случай равенства. Решение задачи содержится в следующей теореме:
7
- Київ+380960830922