2
Оглавление
Введение......................................................................3
Глава I. Оценки спектрального радиуса положительного оператора, исходя из поведения линейной комбинации степеней этого оператора на фиксированном элементе конуса К. ..........................................................15
§1. Оценки спектрального радиуса линейною положительного оператора при условии
телесности конуса К............................................................15
§2. Дальнейшее развитие теорем об оценке спектрального радиуса.................28
§3. Распространение теорем об оценке спектрального радиуса на случай нетелесного
конуса и слабо неразложимого оператора.........................................35
§4. Несовместные неравенства...................................................38
§5. Оценки спектральной характеристики монотонного положительного оператора. 49 Глава II. Сравнение спектральных радиусов двух линейных положительных операторов. Построение уточненных значений спектрального радиуса и приближений к
решению линейного операторного уравнения....................................55
§6. Оценка спектрального радиуса линейного положительного оператора с помощью сравнения его некоторой степени с рядом степеней специально подобранного оператора...........................................................................55
§7. Пост роение последовательности приближенных значений к спектральному радиусу линейного положительного оператора..........................................63
§8. Квалифицированные оценки спектрального радиуса.............................75
§9. Метод ускорения сходимости приближений к спектральному радиусу линейною
положительного оператора и к решению линейного операторного уравнения 84
Глава III. К вопросу о разрешимости операторных уравнений с параметром 96
§10. С разрешимости операторных уравнений второго рода с линейными и нелинейными операторами...............................................................96
§11. Априорные оценки решения операторного уравнения второго рода по известной
невязке.......................................................................119
§12. О разрешимости операторных уравнений с нелинейно входящим параметром. 132 Литература.................................................................144
3
Введение
В осмыслении и решении ряда задач общей теории систем, теории управления, механики, прикладной математики и т. д. важную роль играет монотонность соответствий между данными и результатами, позитивность и монотонность линейных и нелинейных отображений. Математические модели подобных объектов во многих ситуациях приводят к уравнениям с операторами в пространствах, полуупорядоченных некоторым конусом. Это, в частности, объясняет широкое применение теории операторов и конусов.
Основными вопросами, на которые призвана отвечать теория операторов, являются, во-первых, вопросы качественного характера и. во-вторых, вопросы, касающиеся приближенных методов решения операторных уравнений. Приведем лишь некоторые из них.
1. Имеет ли решение данное уравнение, и если да, то единственно ли оно?
2. Устойчиво ли данное уравнение в том смысле, что малое изменение задаваемых величин влечет за собой малое изменение результирующих величин?
3. Если существует оператор, в каком-то смысле аппроксимирующий исходный, то позволяет ли решение уравнения с этим оператором строить достаточно хорошие приближения крешению соответствующего уравнения с исходным оператором?
4. Существует ли и каковы эффективные итерационные методы, позволяющие улучшать выбранное тем или иным способом начальное приближение к решению уравнения?
В настоящей работе исследуется лишь некоторая часть приведенных вопросов.
Диссертация состоит из введения и грех глав. В ней принята сквозная нумерация параграфов, для утверждений и формул введена двойная нумерация, включающая номер параграфа и порядковый номер утверждения или формулы. В диссертации приведен ряд известных результатов. Основные из них пронумерованы с помощью заглавных букв латинского алфавита для облегчения ссылок.
Часть результатов диссертации получена автором совместно с научным руководителем профессором Стеценко В.Я. При этом в соответствующих результатах Степенно В.Я. принадлежат постановка задач и общие рекомендации относительно метода их решения, а автору диссертации - реализация этих рекомендаций и доказательства соответствующих результатов.
4
В диссертации используется терминология функционального анализа и, в частности, теория полуупорядоченных пространств [16], [17], [19], [21], [5]. Прежде чем перейти к обзору основных результатов, приведем некоторые определения.
Будем рассматривать банахово пространство Е, полуупорядоченное конусом К, и оператор А произвольной природы, действующий в Е.
Конус К называется телесным, если он содержит внутренние элементы. Если любой элемент* пространства Е может быть представлен в видех=м-т (u,v є К), то конус К называется воспроизводящим. Конус К называется нормальным, если из неравенства 0<х<у следует, что ||*||<Лф||, где M^const - константа нормальности, не зависящая ни от я, ни от у.
Множество К* функционалов сопряженного пространства Е*, принимающих неотрицательные значения на элементах полугруппы Кс£, называется сопряженной полугруппой. Для того чтобы полугруппа К* была конусом приходится налагать дополнительные условия на конус К.
Будем говорить, что х0єКс1ї яв.тястся квазивнутренним элементом и обозначать х0 ->0, если для каждого ненулевого функционала ІєК* выполняется неравенство /(х„) 0. Положительный линейный оператор А назовем неразложимым, если из того, чго х Оу х>аАх (а>0), следует, что х»в. Линейный оператор называется вполне непрерывным, если он переводит каждое оіраничеішое но норме пространства Е множество в компактное множество.
Почти во всякой физической задаче, которая может быть сформулирована с помощью линейных операторов, важной характеристикой типа задачи является спекзр соответствующего оператора. Одной из основных характеристик спектра оператора является спектральный радиус этого оператора. Напомним, что те значения Я, при которых уравнение
Ax-Xx^f
где А - рассматриваемый оператор, имеет единственное решение, а оператор (А-1)~1 ограничен, называются регулярными. Совокупность всех значений Я, не являющихся регулярными, называется спектром оператора А и обозначается сг(А). Спскгральным радиусом р(А) оператора называется число, определенное формулой
р(А)=тах\Х\, (Хеа(А)).
Если уравнение
Ах=Ах (1)
при данном Я имеет решение, отличное от тривиального, то Я называется собственным значением оператора Л, а нетривиальное решение уравнения (1) называется собственным вектором, отвечающим этому собственному значению. При этом собственное значение Я называется позитивным, если Л>0 и отвечающий ему собственный вектор .V принадлежит конусу К.
Роль спектрального радиуса р(А) линейного положительного оператора А в теории операторов и ее многочисленных приложениях очень велика. Для таких операторов при определенных дополнительных условиях спектральный радиус совпадает с наибольшим модулем собственных значений. При этом существенную роль играют всевозможные оценки спектрального радиуса как снизу, так и сверху. Для пояснения важности получения оценок спектрального радиуса приведем известное утверждение о том, что если \Л1>р(А), то уравнение вида Ях^Ах+/при любом /из банахова про-странства /:' имеет и притом единственное решение, которое может быть получено по методу последовательных приближений
Ахп*1=Ахп+/, (п=0,1,2',...) (2)
при любом начальном приближении х0 из Е. Получению оценок спектрального радиуса линейного положительного оператора посвящена глава I.
В §1 рассматривается новый естественный подход к оценке спектрального радиуса р(А) линейного положительного оператора А, исходя из сравнения значения линейной комбинации степеней этою оператора на фиксированном ненулевом элементе и(1 конуса К со значением некоторой степени этого оператора А на элементе щ (ранее другими авторами оценки спектрального радиуса получались как следствия выполнения неравенств типа А’1и0>15ид, Ати0<аи0). Результаты параграфа продолжают исследования ряда авторов, приведенные в монографиях [17], [19], а также в работах [28], [29]. Имеет место следующая теорема, являющаяся обобщением известной [28] теоремы Стеценко В.Я.
Теорема 1.1. Пусть оператор А неразложим и А20, К телесный и нормальный конус и для некоторого элемента щ> 0 выполняется неравенство
Ати0<аци{, + а/ А и0-к.. +
6
Оо+«/+(3) Тогда справедливо неравенство
р(А)йф/0+сс, + ... + а5 .
Более того, р(А) не превосходит максимального из модулей корней многочлена рт(2) =2,п- а<г а ,2’... - а/.
Отметим, что ограничение (3) является существенным. Любопытно отметить, что в случае, когда вместо неравенства (3) выполняется неравенство противоположною смысла, справедлив аналогичный результат.
Теорема 1.3. Пусть оператор А неразложим и А >6, К телесный и нормальный конус и для некоторого элемента щ>0при т>5 выполняется неравенство
Атщ<аоио+ а;Аио+... + ауГ %
где (Х0), ссо' <*/+...+ ая>1. Тогда справедливо неравенство р( А)<т-А\а{ .
І і=0
Бели же выполняется неравенство
Атііо>рои0+РіА и0+...+ РА'в о,
где Рі>0, р,АРі+... +ря< I, тогда справедливо неравенство р(А)> Д .
\|/«о
Получены утверждения (в виде следствий и замечаний), позволяющие улучшать оценку спектрального радиуса.
Так как вопрос о нахождении корней многочлена (как точною значения, так и приближенного) изучен достаточно подробно, го представляет интерес дальнейшее исследование связи спектрального радиуса р(А) линейного положительного оператора Л с корнями соответствующего многочлена Р,„(2). Этому посвящен §2 диссертации. Здесь теоремы §1 развиваются в следующих направлениях:
1) понижение степени многочлена Р„,(г) до степени т-я\
2) получение оценок р(А) с помощью характеристических чисел построенной по коэффициентам линейной комбинации £сс,А'и0 матрицы и понижение ее порядка;
1=0
3) получение оценок р(А) с помощью вещественных корней и с помощью положительных корней многочлена Рт(г);
4) построение оценок р(А) с помощью нулей специальным образом подобранной ана-
7
литической функции.
В каждом из параграфов 1 и 2 в условиях георсм предполагалось, что конус К обладает свойством телесности. Это условие в некоторых случаях является достаточно жестким, так как уже такой распространенный в приложениях конус как конус неотрицательных функций в пространстве Тр (р>1) свойством телесности не обладает. В то же время указанный конус является воспроизводящим. В этой связи возникает естественное желание распространить полученные в предыдущих параграфах результаты на нстелесные конусы, при этом приходится предъявлять дополнительные требования к оператору А. В §3 мы, следуя идеям М.Г. Крейна [22], М. А. Красносельского [19], В.Я. Стеценко [28], развиваем результаты §1 и §2 в указанном направлении. Кроме того, результаты предыдущих параграфов удалось распространить на гак называемые слабо неразложимые операторы, которые ввела и исследовала Куркалова Л.А. [23].
Как известно [21], каждая пара утверждений об оценке спектрального радиуса оператора снизу и сверху влечет за собой несовместность некоторых неравенств. Утверждения типа несовместных неравенств бывают полезны при оценке точечного спектра (или позитивной его части) линейного положительного оператора. Получению утверждений такого типа посвящен §4, результаты которого продолжают исследования ряда авторов (Красносельский М.А., Стеценко В.Я. и др.), приведенные в работах [17], [21], [10], [27], [28]. В качестве примера приведем следующее у тверждение.
Теорема 4.1. Пусть конус К телесен и нормален, А - неразложимый положительный оператор, удовлетворяющий для некоторого ненулевого элемента гг0єК неравенству
Ат»оАРіЛ'кО’
1=0
.г
где т -соті, т>$, р>0 и Д >1. Тогда для каждого ненулевого хєК и при всех Л:
і=0
()<Л<Л0= £ Д 1=0
Лх*Атх.
Здесь знак у означает, что (х-у)єК. Приведенный результат позволяет ло-
8
кализовать позитивные значения оператора А.
Следствие. При выполнении условий теоремы 4.1 оператор А не имеет иозитив-
зитивные собственные значения оператора А лежат в области 2 > Д. комплекс
ной плоскости.
Очевидно, что утверждения §4 несут в себе больше информации, чем соответствующие результаты §1. При этом часть результатов предыдущих параграфов и некоторые известные ранее [28] утверждения могут быть получены как следствия из утверждений §4.
Уравнения вида Ях-Вх+/ приходится изучать и в тех случаях, когда оператор В не обладает свойством линейности. В этих случаях при определенных дополнительных предположениях (свойства монотонности, полу аддитивности и однородности оператора В) удается доказать результаты, аналогичные полученным выше для линейных положительных операторов, в терминах так называемой спектральной характеристики Я(В), роль которой аналогична роли спек грального радиуса.
Рассмотрим множество М чисел А>0, для которых не пусто множество элементов х=х(Я)>0, удовлетворяющих неравенству В(х)>Ях. Положим
В §5, следуя Стеценко В.Я. [28], мы развиваем некоторые известные результаты [28], а также переносим идеи оценки спектрального радиуса, реализованные в §1, для получения оценок спектральной характеристики Я(В). Здесь особый интерес представляют оценки Я(В) сверху, так как оценку Я(В) снизу легко получить исходя из определения. На этом пути получен ряд результатов, один из которых приведен ниже.
Теорема 5.1. Пусть В ио-ограниченный сверху оператор [17], [28] и для некото-
рого \'0>О, \'0>ри0, где р>0, выполняется условие Вп(у0)<. ^а,В!(у0), где а,>0
Одним из широко используемых для получения оценок спектрального радиуса оператора методов является метод мажорант. Идея лого приема заключается в сле-
пых собственных значений Я, удовлетворяющих неравенству
Я(В)-зир{Я: В(х)>Ях, хєМ}.
п-і
і = (),(п-1). Пусть конус К нормален и телесен. Тогда Я(В)<1 + тахаг
9
дующем: оператор А сравнивается каким-либо образом с оператором Ву спектральный радиус р(В) которого известен и на основании этого сравнения указывается соответствующая связь между спектральными радиусами р(А) и р(В) операторов А и В соответственно. Метод мажорант широко использовался рядом авторов: Красносельский М.А. [19], Стеценко В.Я. [28], Есаян А.Р. [9]. Он также используется в §6, открывающем главу 11.
Здесь была сделана попытка перенести идеи главы I на новую ситуацию. Это оказалось возможным при условии, что сопряженные к сравниваемым операторы Я и В* имеют обший собственный вектор. Это требование яв.лястся достаточно жестким. Однако при некоторых дополнительных условиях ему будут удовлетворять, например, полу ком мутирующие операторы. Поэтому, несмотря на жесткость условий полученных в §6 результатов, им удовлетворяет определенный класс операторов. Приведем типичные результаты.
Теорема 6.6. Пусть К телесный и нормальный конус, А и В линейные положительные операторы и один ил них неразложим. Пусть, кроме того, А* и В* имеют общий собственный вектор из конуса К* и для некоторого элемента и0>9 выполняется неравенство
Ати()<^а,В'и(),
і=і
где ссі>(). Тогда для наименьшего позитивного собственного значения ЯА оператора А
Г*
справедлива оценка ЛЛ £ /?,/>' (В).
Теорема 6.7. Пусть К телесный и нормальный конус, А и В линейные положительные операторы и один из них неразложим. Пусть, кроме того. А* и В* имеют общий собственный вектор из конуса К* и для некоторого элемента ио> 0 выполняется неравенство
/Ги„>£/?,яч,
/-у
где /30). Если Я/у- наименьшее позитивное собственное значение оператора, то справедлива оценка р(А ) > .
При решении ряда практических задач бывает важно знать значение спектраль-
10
ного радиуса р(А) с большой точностью. связи с этим широкое развитие получили различные методы, позволяющие строить последовательности, сходящиеся (желательно монотонно) к спектральному радиусу р(А) и отвечающим ему собственным элементам л- и /* операторов А и А* соответственно. Один из возможных приемов построения последовательностей, сходящихся к р(А) рассмотрен в §7. Результаты этого параграфа продолжают исследования главы I и §6 главы II. Аналогичный прием был использован М.Г. Крейном и Ф.Р. Гантмахером [7] для отыскания наибольшего собственного значения матрицы. Полученные результаты продолжают исследования Стеценко В.Я. в этом направлении. Так, например, теорема 7.1, равно как и теорема 7.2, являются обобщением некоторых известных результатов Стеценко В.Я. [28].
Теорема 7.1. Пусть А вполне непрерывный и0-ограннченныи ситу неразложимый оператор, К телесный и нормальный конус и выполняются неравенства:
Атщ<^1а\'п)А'ио, где s=const, m-s+J,s+2 ajm)20 (i=0,s) и ^a(m) при каждом
i=0 i-0
конкретном m минимальна. Тогда p(A)= lim •
т-"°Ь=о
s
При этом если на каждом конкретном шаге учитывать значение суммы ,
i=0
j
т е. в зависимости от величины £а\т) пользоваться теоремами 1.1 и 1.3 для получе-
i-0
ния оценок р(Л), то полученная последовательность приближений будет сходится сверху.
Аналогичное развитие получили теорема об оценке р(А) снизу и теоремы об оценке р(А) с помощью сравнения некоторой степени оператора А на ненулевом элементе конуса с линейной комбинацией степеней специальным образом подобранного оператора Н на этом элементе.
В §8 предложен метод построения последовательностей, сходящихся, в том числе и монотонно, к собственным векторам х* и /*, отвечающим р(А) фокусирующего
~ Ах
оператора А. Положим Ах- —, где щ>в- фиксированный элемент конуса. Рас-
сматриваемый метод основан на следующей теореме:
Теорема 8.3. Пусть А - фокусирующий оператор с постоянной фокусирования
11
к. Тогда А имеет в Ки() собственный вектор х , которому отвечает собственное значение р(А). К этому вектору х* сходится метод
*«/ = Ах„ (п-0,1,...)
при любом х0 є Ки^, х0 ф 0.
Кроме того, для собственного вектора х* справедлива оценка
ип<х'<х'п,
где
и„- \ -
к-1(к-}
а 1 2 \к+і
)”~
Л"х0,
к-і(к-іХ
2{к*і)
Апх0,
а постоянные а и Ь таковы, что ах0<Ах0<Ьхо.
Наличие последовательностей, сходящихся к х и /, позволяет строить последовательности, сходящиеся к р(А).
В §9 предложен метод ускорения сходимости к р(А) и собственным векторам х*, / операторов А и А соответственно, отвечающим р(А), известной итерационной процедуры [36]. Здесь построение всех трех последовательностей, в отличие от метода §8, происходи т одновременно.
Пусть А - линейный положительный оператор. Исходя из произвольных элементов у0еК,уо*0,10еК, 1о*0, строим последовательности
Т„ = /»= т,А'1п-1, У,Г т,Ау,1-1 (п=1,2,...).
К-1(Упч)
Тогда хп->р(А), у,—>х\ 1,,—Я при п-усо. Если векторы х* Г нормировать условием ||х*||=]|/*||=У, то имеют место асимптотические оценки
К-Я, 1=0
и*
2п
х* - Уя
IIУ»
г-1*4=0
і А
где Я] и Я2 соответственно наибольшее и следующее за ним по абсолютной величине собственные значения оператора.4.
На наш взгляд в работе предлагается новый итерационный метод приближенного решения операторног о уравнения
х=Ах+/ (4)
в важном для приложений случае р(А)>1, т.е. в случае, когда обычный итерационный
12
метод не сходится. Приведенный метод имеет смысл использовать и в тех случаях, когда р(А), будучи меньше 1, достаточно близок к У (в этом случае итерационная процедура хотя и сходится, но сходимость достаточно медленная, и естественно возникает желание так изменить этот метод, чтобы получить более высокую скорость сходимости).
Болес общими по сравнению с уравнением (4) являю гея операторные уравнения, содержащие параметр Л, т. е. уравнения вида
шч-
Для таких уравнений естественно рассматривать вопросы: для каких значений Л уравнение имеет решение при любом /из некоторого множества, будет ли это решение единственным, предложить метод построения приближений к решению данного уравнения и т.д. Глава III посвящена исследованию этих вопросов.
Так в результатах §10 указываются условия разрешимости линейного уравнения второго рода
Лх=Ах+/
с линейным положительным, линейным ограниченным или подлинейным оператором А, выявлены условия сходимости к решению х* метода последовательных приближений (2) при любом начальном приближении д0 из некоторого множества. Полученные результаты развивают ряд ранее известных [28], [9] и в определенных условиях улучшают их Приведем соответствующий пример.
Теорема 10.3. Пусть конус К нормальный, линейный ограниченный оператор В удовлетворяет условию -А< В* <А, где А - линейный положительный оператор, при-
т-1 т-1
чем Ати0 < ^(Х;А,и0 (иоеК, и„^0) и а£0. Тогда при \ +1,у = Уа,- и любом/из
1=0 /=о
Е„п последовательные приближения
Хо=ё, Лх„=Вхп.г/ (п-1,2,...) (5)
сходятся к решению х* уравнения Лх=Вх+/, начиная с любого начального приближения у е Еи .. При этом в Еи не может быть других решений, кроме х*.
Эта теорема является развитием следующей теоремы Есаяна А.Р. [9|: пусть конус К нормальный, линейный ограниченный оператор В удовлетворяет условию -А</Т<АУ где А - линейный положительный оператор, причем выполняется неравенст-
13
во Ат°и0йЛ0и0. Тогда при |Я|>^Я^ и любом / єЕЫф, последовательные приближе-
ния (5) схожая гея к решению х* уравнения Лх~Вх+/ начиная с любого ненулевого приближения х0 є Ещ. При этом в Еч не может быть других решений, кроме X .
При этом в ряде случаев оценка \Л\>$]у +1 лучше оценки ]Л\>Я$Л^. С другой
стороны, оценка | Я |> *^Л0 всегда будет лучше оценки для |Я|, получаемой по теореме
10.3, при Ао<1 или при т I.
В ряде задач важно уметь получать оценки решения операторного уравнения
Лх=Ах\/ (()
с линейным оператором /1 и заданным элементом /єЕ, не находя фактически самого решения X . Как правило, оценки решения получаются много проще, по сравнению с отысканием самого решения х . Вместе с тем значение таких оценок очень велико, т.к. в ряде случаев они отвечают на вопрос об адекватности математической модели изучаемому явлению. Существует целый ряд методов получения оценок х* или приближений к решению х*. Однако, довольно часто возникают ситуации, когда необходимо знать не только оценку решения или приближения к нему, но и близость этой оценки к точному решению, точность найденного приближения.
Пусть *г - точное решение уравнения (6), х - каким-либо образом найденное приближение к нему, а элемент невязка, т.е.
(У = Ах+/ - Лх,
В §11 предложены оценки выражения ||х* -х|| по известной невязке как для случая линейного положительного оператора Л, так и для случая линейного ограниченного оператора. Полученные результаты основываются на интерпретации известных теорем [9] и теорем, полученных автором.
В §12 рассматриваются операторные уравнения, нелинейные относительно параметра Л. Такая ситуация является менее изученной по сравнению со случаем, когда параметр Я входит в операторное уравнение линейно. Однако существуют методы, с помощью ко торых задача вида
рам г (V
где
Р(Л) =П-Х"-‘Ат.гГ-2Ат.2-...-АА ,-Ао (8)
- Київ+380960830922