Сопряженное банахово расслоение

Содержание
§ 1. Вспомогательные результаты ........................ 11
§2. Гомоморфизмы банаховых расслоений .................. 29
§ 3. Операторное расслоение ............................ 47
§ 4. Сопряженное банахово расслоение ................... 61
§ 5. Слабо непрерывные сечения ......................... 81
3
Введение
Расслоения традиционно используются в математическом анализе для исследования разнообразных алгебраических систем. Техника расслоений применяется при изучении банаховых пространств, банаховых решеток, С*-алгебр. банаховых модулей и др. (см., например, [10,12,13,19-21]). Реализация некоторых объектов функционального анализа в виде пространств сечений соответствующих расслоений послужила основой для самостоятельных теорий. Одна из таких теорий, изложенная в работах [3,14-17], посвящена понятию непрерывного банахова расслоения (НБР) и его приложениям к исследованию решеточно нормированных пространств (РНП). В рамках этой теории, в частности, получено представление произвольного РНП в виде пространства сечений подходящего НБР.
В определенном смысле, НБР над топологическим пространством Q формально отражает интуитивное представление о семействе банаховых пространств (Xq)qeQ. непрерывно изменяющихся от точки к точке пространства Q. Точнее говоря, банахово расслоение X над Q представляет собой отображение, сопоставляющее каждой точке q Е Q банахово пространство X (q), называемое слоем X в точке q. При этом расслоение X снабжается дополнительной топологической структурой, позволяющей говорить о непрерывности сечений этого расслоения — функций и, определенных на подмножествах Q и принимающих значения u(q) Е X(q) для всех q Е dom д. Понятие сечения можно считать обобщением понятия вектор-функции: если X — банахово пространство, то X-знатные функций являются сечениями банахова расслоения, все слои которого равны А .
Во многих вопросах анализа существенную роль играет теория двойственности, одним из основных объектов которой является сопряженное пространство (см., например, [6]). Наличие функциональной
4
реализации исходного пространства посредством сечений некоторого расслоения предоставляет возможность построения аналогичной реализации для сопряженного пространства. В частности, задача реализации сопряженного РНП приводит к понятию сопряженного банахова расслоения.
Вопрос о том, какое НБР X' следует считать сопряженным к данному расслоению X (затронутый, например, в работах [3, 13—15,22]), тесно связан с понятием гомоморфизма. Гомоморфизм v непрерывного банахова расслоения X над Q представляет собой функционально-значное отображение v: q v(q) G X{q)',
переводящее любое непрерывное сечение и расслоения X в непрерывную вещественную функцию (u\v): q (w(g)|v(g)).
Определяя сопряженное НБР Х\ естественно руководствоваться следующими двумя требованиями: во-первых, гомоморфизмы
должны быть непрерывными сечениями расслоения X' и, во-вторых, все непрерывные сечения X1 должны быть гомоморфизмами.
Задача определения и исследования сопряженного расслоения значительно облегчается, если рассматриваемое расслоение является просторным. Мы сделаем небольшое отступление и коротко остановимся на понятии просторного расслоения.
Непрерывные вещественнозначные функции на экстремально несвязном компакте обладают одним замечательным свойством: всякая ограниченная непрерывная функция, определенная на всюду плотном множестве, продолжается на весь компакт с сохранением непрерывности. Ни непрерывные вектор-функтши, ни тем более непрерывные сечения банаховых расслоений, вообще говоря, не обладают этим свойством. Обычные банаховы расслоения не обеспечивают достаточный простор для продолжений своих сечений. Однако среди банаховых расслоений есть и такие, которые этот
о
простор обеспечивают. Эти расслоения называются просторными. Точнее говоря. НБР над экстремально несвязным компактом называется просторным, если всякое ограниченное непрерывное сечение этого НБР, определенное на всюду плотном множестве, продолжается на весь компакт с сохранением непрерывности.
Просторные расслоения встречаются довольно редко. Например, постоянное расслоение является просторным только в том случае, когда его слои конечномерны или базовый компакт конечен.
Ценность просторных расслоений определяется в том числе заметным упрощением техники по сравнению с обычными расслоениями. В частности, для таких расслоений значительно облегчается и задача, определения и изучения сопряженных расслоений.
Для случая просторных расслоений над экстремально несвязными компактами проблема определения сопряженного НБР решена в работе [3] (см. также [14]). Однако применяемый в этом случае подход к определению понятия сопряженного расслоения существенно опирается на специфические свойства просторных расслоений и экстремально несвязных компактов и по этой причине не может быть распространен на более широкий класс расслоений. Естественное стремление расширить круг приложений теории двойственности приводит к проблеме построения сопряженного НБР для произвольного банахова расслоения над произвольным топологическим пространством. Исследование этой проблемы и составляет основу данной диссертации, где, в том числе, дано определение сопряженного расслоения, удовлетворяющего сформулированным выше требованиям, и предложен ряд необходимых и достаточных условий для существования сопряженного расслоения.
Перейдем к обзору основных результатов диссертации.
б
Помимо введения и списка литературы текст диссертации содержит пять параграфов.
В параграфе 1 собраны вспомогательные результаты, касающиеся топологических и банаховых пространств, а также функций, действующих в этих пространствах.
Параграф 2 посвящен исследованию понятия гомоморфизма банаховых расслоений. Здесь, в частности, предложено описание гомоморфизмов для широкого класса расслоений и исследован вопрос о непрерывности поточечной нормы гомоморфизма.
Некоторые из фактов, приведенных в параграфе 2, представляют самостоятельный интерес, но основная ценпость большинства результатов этого параграфа раскрывается позже при изучении операторных банаховых расслоений (см. §3,4).
Первая группа результатов (см. 2.1-2.4) предлагает ряд условий, при выполнении которых непрерывные сечения некоторого банахова расслоения с операторными слоями являются гомоморфизмами.
Разделы 2.5--2.7 предоставляют неоднократно используемый в дальнейшем удобный способ построения сечений, гомоморфизмов и банаховых расслоен и й.
В разделах 2.8 и 2.9 исследуется понятие размерности банахова расслоения. Полученные здесь результаты об областях постоянства размерности, на наш взгляд, представляют самостоятельный интерес.
В 2.10 предложено описание гомоморфизмов банаховых рассло-епий над топологическим пространством, удовлетворяющим первой аксиоме счстности. Этот результат снабжен примерами (см. 2.11), которые подтверждают существенность ограничений, накладываемых на рассматриваемое топологическое пространство.
Параграф 2 завершается исследованием вопроса о непрерывности поточечной пормы гомоморфизма, действующего из НБР с постоянной
7
конечной размерностью в произвольное НБР (2.12). Ряд примеров (см. 2.13) показывает, что постоянство размерности является сух 1 хественным требованием.
Вопрос о возможности реализовать пространство всех гомоморфизмов из НБР X в НБР У в виде пространства непрерывных сечений некоторого банахова расслоения приводит к понятию операторного расслоения В(Х,У). Исследованию этого расслоения посвящен параграф 3. В этом параграфе, в частности, предложен ряд необходимых и достаточных условий существования банахова расслоения В(Х,У). Отдельно рассмотрены случаи произвольных расслоений X и У. расслоений с конечномерными слоями, а также случай постоянных НБР и НБР, имеющих постоянную конечную размерность.
В параграфе 4 введено и исследовано понятие сопряженного банахова расслоения, которое представляет собой частный случай операторного расслоения (рассмотренного в параграфе 2). Сформулированное здесь определение сопряженного расслоения обобщает определение, данное в работе [3], где рассмотрен случай просторного банахова расслоения над экстремально несвязным компактом. В той же работе, в частности, установлено, что сопряженным расслоением обладает всякое просторное НБР. В общем же случае сопряженное расслоение существует далеко не всегда. Тем не менее отмеченное обобщение оправдывается появлением новых классов НБР, которые имеют сопряженные. В параграфе 4 приведены разнообразные необходимые и достаточные условия существования сопряженного расслоения, установлены нормативные соотношения двойственности между расслоениями X и Х‘\ а также исследованы вопросы существования второго сопряженного расслоения и вложения банахова расслоения во второе сопряженное.
В разделе 4.2 перечислены разнообразные необходимые и
8
достаточные условия существования расслоения Х\ сопряженного к данному расслоению X. Предложение 4.3 утверждает существование сопряжспного расслоепия для НБР с гильбертовыми слоями.
Естественным шагом при исследовании понятия сопряжепного расслоения является установление нормативных соотношений двойственности между расслоениями X и X'. Этой теме посвящен раздел
4.5. Предварительно в 4.4 обсуждается условие послойной нормировки слоев НБР значениями соответствующих гомоморфизмов.
В разделах 4.6-4.9 рассматривается связь между сепарабельностью отдельного слоя банахова расслоения и конечномерностью его слоев или слоев сопряженного расслоения.
Оставшаяся часть параграфа (4.10 4.15) посвящепа изучению второго сопряженного расслоения. В круг исследуемых здесь вопросов входит существование расслоения X", изометричность рассматриваемых расслоений, а также вложепис банахова расслоения во второе сопряженное.
Одним из этапов при изучении понятия сопряженного расслоения является рассмотрение слабо непрерывных сечений (т.е. сечений, непрерывных относительно двойственности между исходным и сопряженным расслоениями). Понятие слабо непрерывного сечения вводится и исследуется в параграфе 5. Здесь, в частности, обсуждается вопрос о непрерывности слабо непрерывных сечений для различных классов банаховых расслоений, а также предлагаются условия совпадения пространства слабо непрерывных сечений постоянного банахова расслоения и пространства слабо непрерывных вектор-функций со значениями в соответствующем слое.
Поскольку слабо непрерывные сечения тесно связаны с гомоморфизмами сопряженного расслоения (которые, как известно, имеют локально ограниченную поточечную норму), одной из естественных за-