Введение
Диссертация посвящена построению аттракторов и интегральных многообразий эллиптических и параболических уравнений. Исследуется поведение решений заданного в цилиндрической области нелинейного эллиптического уравнения второго порядка с малым параметром при старшей производной, взятой вдоль оси цилиндра. Установлены теоремы о сходимости аттракторов и интегральных многообразий указанных уравнений к аттрактору и, соответственно, интегральному многообразию предельного параболического уравнения.
Теория аттракторов бесконечномерных динамических систем быстро развивается в последние десятилетия. Для задач математической физики, имеющих единственное решение, построены максимальные аттракторы, элементами которых являются точки фазового пространства этих задач ([2], [28], [29]). Книга [29] содержит систематическое изложение теории аттракторов неавтономных уравнений с частными производными. Для построенных аттракторов пол .учены оценки их фрактальной и хаусдорфовой размерностей ([2], [21], [22], [28]).
Аттракторы эволюционных уравнений могут иметь сложную структуру, которую трудно описать. Поэтому представляет интерес построение конечномерных инвариантных многообразий, экспоненциально притягивающих все траектории динамической системы. В работах [19], [24], [25], [27], [30] при выполнении некоторых спектральных условий изучены инвариантные многообразия автономных динамических систем, соответствующих параболическим и эллиптическим уравнениям. В неавтономном случае такие многообразия называются интегральными многообразиями. Интегральное многообразие эллиптического уравнения в полосе исследовано в работе [31].
2
Для некоторых задач математической физики не доказана до сих пор или не имеет места теорема единственности их решений. В этом случае строится траекторный аттрактор заданного уравнения, элементами которого являются траектории динамической системы. Траекторный аттрактор трехмерной системы Навье-Стокса исследован в [23] и [32].
Примером динамической системы, решения которой существуют, но, вообще говоря, не единственны, является эллиптическое уравнение
д2и — 2Ьдьи + Ди — /(и} £) = г/(.т, £), (0.1)
рассматриваемое в цилиндре 0+ = и; х К+, х € и, £ £ М+, где
и — ограниченная область в К“, а Е+ = [0, +оо). На границе
области Г2+ ставятся условия
и\о» = °> Ч=о = и°- (°-2)
Кроме того задается некоторое условие ограниченности решений задачи (0.1), (0.2) при £ -> +оо. Задача вида (0.1), (0.2) изучена в книгах [5], [7], [8]. Её траекторный аттрактор построен в работе [4].
В главе 1 настоящей работы исследуется эллиптическая система уравнений с малым параметром €
е2д2и — 2 Ьдги + Д и — /(и, £) = д(х, £) (0.3)
при граничных условиях (0.2). Здесь и = (и1,... ,ит”). / = (/\... ,/ш), д = (/у1,... ,дш) — т-мерные векторные (функции, а Ь > 0 — некоторая константа. Предполагается, что функция / непрерывна, и справедливы следующие неравенства:
/(•?;, <)л/ > — Ки V € Мш, £ > 0, (0.4)
|/(М)| < к2\у\р + К3, р< п/(п - 2), (0.5)
3
где К і, Я2, Кз — положительные константы, a v.w — скалярное произведение в Rm векторов v и w. Правая часть у имеет конечную норму
klav = sup \\д{х,і)\\(Ь2(Пт)Г < ОО, (O.G)
Т€К+
где Пт — и х [Т, Т + 1].
Предполагается, что граничная функция щ лежит в пространстве которое определяется следующей нормой:
IMU. = е1/2Ц^||(Я3/2,2(а>))т + НИ1(Я?,2ИГ> (°-7)
где Н3,р - (б',р)-пространства Соболева.
Чтобы определить класс рассматриваемых решений уравнения (0.3) введем пространство Ає(Пт), состоящее из функций ф(х,1), равных нулю на границе области и/, у которых конечна норма
ІМІЛЄ(ПГ) = ^\\діФ\\(І2(^т)Г + ІІ^ІІ(І2(ПГ)Г + \\аФ\\(ь2(Ят)Г ■
(0.8)
Заметим, что формула (0.7) задает эквивалентную норму в пространстве следов ЬгАе(По) пространства АЄ(П0) при t = 0, то есть У(р Є Se выполнено неравенство
СіІМк ^ 11^11*гЛ«(По) < C2||^||se-
Параметр є входит в определение норм (0.7) и (0.8) так, что константы С[ и С2 не зависят от е.
Под решением задачи (0.3), (0.2) понимается обобщенное решение и, имеющее конечную норму
ІМІЛ.(ЙТ) < 00• (°-9)
Т>0
4
Пространство функций, имеющих конечную норму (0.9), обозначим через Л+.
В параграфе 1.1 доказано, что при выполнении перечисленных выше условий задача (0.3), (0.2) имеет хотя бы одно решение и, и справедлива оценка
Нк(Пг) < с(1Ык<з~7Т + Ыау + 1)й, т > б > 1,
где константа С > 0 не зависит от е и щ.
Для построения аттрактора системы (0.3) введем следующие определения и обозначения. Обозначим через Е замыкание множества {(/(• + $),#(• + $)),£ > 0} в топологии некоторого пространства П+. Пространство П+ определено в параграфе 1.2. Наряду с системой (0.3) рассмотрим семейство уравнений
е2д2и - 2Ьдьи + Аи - /(и, £) = д(х, Ь)> (/, д) € Е, (0.10)
порожденное сдвигами по £ исходного уравнения (0.3) и их пределами в соответствующей топологии.
Элементы множества Е будем называть символами, а само множество Е пространством символов семейства (0.10).
Обозначим через множество решений уравнения (0.10) с фиксированным символом <т, а через К у множество всех решений семейства (0.10):
к+ = и^к+.
Введем на пространстве К£ топологию, индуцированную вложением К£ С О*. Пространство 0+ задаётся системой
полунорм ||^||дв(и;х[0,1])> |М1лс(и>х[0.5,1.5])> |М|лс(о;х[1,2]), • • • , И На-деляется слабой топологией.
Пространство функций, имеющих конечную норму (0.9), обозначим через Л+.
В параграфе 1.1 доказано, что при выполнении перечисленных выше условий задача (0.3), (0.2) имеет хотя бы одно решение и, и справедлива оценка
1Мк(о-г) ^ ^ОМке-77 + Ыау +1)5, 7 > о, <>' > 1,
где константа С > 0 не зависит от в и щ.
Для построения аттрактора системы (0.3) введем следующие определения и обозначения. Обозначим через Е замыкание множества {(/(• + + з)),з > 0} в топологии неко-
торого пространства П+. Пространство П+ определено в параграфе 1.2. Наряду с системой (0.3) рассмотрим семейство уравнений
е23$и — 26с?*г1 + Аи — /(и,<) =д{х,Ь)) (/></) 6 Е, (0.10)
порожденное сдвигами по I исходного уравнения (0.3) и их пределами в соответствующей топологии.
Элементы множества Е будем называть символами, а само множество Е пространством символов семейства (0.10).
Обозначим через К+ множество решений уравнения (0.10) с фиксированным символом а, а через К$ множество всех решений семейства (0.10):
К$ = и 0&к+.
Введем на пространстве К£ топологию, индуцированную вложением К£ С 0*. Пространство 0+ задаётся системой полунорм |Н|л«(Пт)> Т = 0,1/2,1,3/2,..., и наделяется слабой топологией.
5
Нетрудно проверить, что семейство {К+,а Є Е} является трансляционно согласованным, то есть
Т5к+ С К£>сп где (!»(*) = и(і + я), г,в е м+.
Таким образом оператор Т$ отображает пространство К% в себя:
Т3К+ С к+.
Определение. Множество Ае С К£ называется траектор-ным аттрактором семейства (0.10), если Ае — компакт в топологии пространства 0+, Ае инвариантно относительно оператора Т8 и Ає — притягивающее множество. Последнее означает, что для любого ограниченного в пространстве А;1' множества В С К£ и любой окрестности 0(Ае) в топологии 0+ существует такое число я0, что Т8В С 0(Ае) для любых 5* > Под аттрактором уравнения (0.3) понимается аттрактор Аг всего семейства (0.10).
Предельное (б = 0) уравнение (0.3) является параболическим и имеет вид
—2 Ьдіп + Аи — /(и, і) = д(х, I). (0.11)
Его траекторный аттрактор Ау С 0^ определяется по схеме, приведенной выше для эллиптического уравнения. Определение. Будем говорить, что семейство А,с полунепрерывно сверху при є = 0 в пространстве 0д\ если для любой окрестности £)(Ао) множества Ао в топологии пространства 0^, существует такое є о > 0, что множество Ае С О(Ао) при любом Є < £().
В главе 1 доказана следующая теорема.
Теорема 0.1. Предположим, что выполнены условия (0.4) ~ (0.6) и множество Е компактно в пространстве П+. Тогда
6
- Київ+380960830922