Оглавление
Введение 4
»
Глава 1. Задача Трикоми для одной системы уравнений смешанного типа 21
§1.1. Постановка задачи........................................... 21
§1.2. Экстремальные свойства решений системы в области эллиптичности ............................................................ 23
§1.3. Экстремальные свойства решений системы в области гипербо-
Ф личности...................................................... 28
§1.4. Экстремальные свойства решений системы в смешанной области 31
§1.5. Примеры .................................................... 35
§1.6. Об условной разрешимости задачи Трикоми..................... 37
Глава 2. Существование решения задачи Трикоми для одной системы уравнений смешанного типа 46
• §2.1. Постановка задачи............................................ 46
§2.2. Интегральное представление решения задачи Коши - Гурса . . 48
§2.3. Интегральное представление решения задачи Хольмгрена ... 71
2
§2.4. Сведение задачи Трикоми к системе сингулярных интегральных
уравнений.................................................. 81
Глава 3. Разностный метод решения задачи Трикоми для одной системы уравнений смешанного типа 92
§3.1. Аппроксимация дифференциальной системы уравнений разностной. Постановка разностной задачи Трикоми...................... 93
§3.2. Принцип максимума в области эллиптичности................. 98
§3.3. Принцип максимума в области гиперболичности...............101
§3.4. Принцип максимума в смешанной области и его применения . . 105
Библиографический список 113
Введение
Уравнения смешанного типа возникли в 20 - х годах прошлого века. Позже они получили значительное развитие благодаря многочисленным приложениям в газовой динамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в безмоментной теории оболочек и в других областях физики и техники.
Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в известных работах Ф. Трикоми и С. Геллерстедта, где были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа с одной линией параболического вырождения, теперь известные как «задача Трикоми» и «задача Геллерстедта».
В 40 - х годах прошлого века Ф.И. Франкль обнаружил важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в околозвуковой аэродинамике. Кроме того, приложения краевых задач для уравнений смешанного типа указаны в работах О.С. Рыжова, А.Д. Пилия и В.И. Федорова, М.Н. Когана, Э.Г. Шифрина, Г.Г. Черного в связи с проблемами теории сопел Лаваля, теории плазмы, магнитогидродинамики и другими вопросами.
В 50 - е годы в работах Ф.И. Франкля (63], A.B. Бицадзе [3] - [4], К.И. Бабенко [1] было положено начало современной теории уравнений смешанного типа. В этих работах наряду с задачами Трикоми и Геллерстедта были поставлены и изучены новые краевые задачи для уравнений смешанного типа. В дальнейшем эти краевые задачи изучались многими авторами как в нашей стране
4
так и за рубежом. Основные результаты этих работ и соответствующая им библиография приведены в монографиях A.B. Бицадзе [3, 5], М.М. Смирнова [53| - [56], М.С. Салахитдинова [51], Т.Д. Джураева [13].
В целом, обобщение результатов Ф. Трикоми ведется в первых четырех из следующих направлений:
1) усложнение уравнения смешанного типа за счет:
а) добавления новых слагаемых,
б) повышения порядка,
в) добавления новых линий вырождения;
2) усложнение области смешанного типа, в которой ищется решение;
3) изменение граничных условий задачи или условий склеивания искомого решения на линии вырождения;
4) изучение спектральных свойств уравнений смешанного типа;
5) распространение идей и методов решения краевых задач со случая уравнения смешанного типа на случай систем таких уравнений.
Следует отметить, что системы уравнений смешанного эллиптико - гиперболического типа второго порядка исследованы сравнительно мало.
Изучением задачи Трикоми для нелинейной системы уравнений смешанного типа
yUixx “I" Uiyy = f%(xt У, Ui} ..., ?2n), i = 1, Пу
занимался И.В. Майоров. В работе [29] им установлен принцип максимума мо-
(п \ 1/2
дуля \и(х}у)\ = ( J2uHx>y) ) решения. В работах [30], [31] данная система исследована в областях эллиптичности и гиперболичности соответственно.
Работы Т.Б. Зайкиной (Цымбал) [14] - [16] посвящены изучению системы уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями степенного
5
вырождения
sgn у • \у\т ихх + Sgn X • |*|» иуу + Ф» у)и = 0}
где с - квадратная матрица, и — (их, Исследованы экстремальные свойства модуля решения, доказано существование «слабого» решения.
В.П. Диденко функциональными методами исследовал разрешимость краевых задач для систем уравнений смешанного и смешанно - составного типов в пространстве И^О^) [10] - [12].
В работе М.М. Овезовой [41] на основании интегральных оценок доказана единственность решения задачи Трикоми для системы уравнений
где а, 6, с - квадратные матрицы, и = (их, ...ип). В работе [39] того же автора получены интегральные представления решений первой и второй задач Дарбу для подобной гиперболической системы.
В работах Ф.И. Карамышева [20], З.А. Киквидзе [23] и A.B. Рябова [43] задача Трикоми исследована для систем уравнений смешанного типа первого порядка.
В работе К.Б. Сабитова [48] установлены экстремальные свойства модуля
решений задачи Трикоми для системы уравнений смешанного типа в областях эллиптичности, гиперболичности и, в целом, в смешанной области Д и приводятся применения этих свойств при исследовании задачи Т.
Новые экстремальные свойства решений системы уравнений смешанного типа были установлены К.Б. Сабитовым в работах [46], [47].
Приближенное решение краевых задач для систем уравнений смешанного типа методом конечных разностей ранее не изучалось. Поэтому приведём
sgn у ихх + иуу 4- а(х, у) их + Ь(х, у) иу + с(х,у)и = 0,
1/2
Ы1
краткий обзор наиболее близких результатов для уравнений смешанного типа. Так, например, в работе В.Г. Карманова [21] предложен метод конечных разностей для определения приближенного решения щ задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева - Бицадзе, при условии существования точного решения. При этом приближенное решение сводится к алгебраической системе со столькими неизвестными сколько имеется узлов сетки в области D.
В работе O.A. Ладыженской [27] задача Трикоми для уравнения Лаврентьева - Бицадзе сводится к эллиптической задаче, которая решается методом конечных разностей. В работе [28] она указывает на то, что «метод конечных разностей может быть использован и как вычислительный метод, и как метод доказательства теорем существования, и, наконец, как метод исследования дифференциальных свойств решений».
Для доказательства существования решения задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева - Бицадзе метод конечных разностей был впервые применен в работе В.Г. Карманова [22].
В работе А.Ф. Филиппова [62] построен разностный аналог задачи Трикоми для уравнения Т, установлены принципы максимума для сеточной системы уравнений в областях эллиптичности, гиперболичности и, в целом, в смешанной области. На их основе доказано существование и единственность решения разностной задачи Трикоми.
Аналогичный результат получен для более общего уравнения смешанного типа в работах H. Ogawa [74] и Л.И. Коваленко [24].
Диссертации Ву Ван Тхоа [8] и А.И. Ивлевой [19] посвящены исследованию приближенного решения краевых задач для уравнения Лаврентьева - Бицадзе с отходом от характеристик и с условиями сопряжения Франкля соответственно.
7
В работах Ф.А. Тагиева [58], [59] методом конечных разностей исследована задача типа Трикоми для уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения.
В данной работе рассматривается система уравнений смешанного типа L{U = К(у)Щхх Ч" ^Муу Ч- А{(х^ y)Uix~\~
п
-\-Bi(x, у)Щу Ч- ^ ^ Сy)uk = (^-1)
k=l
гд,еу-К(у) > 0 при у ф 0, г = 1,п, п > 2, U = (ui, ...,un), в области D С R2,
ограниченной простой кривой Жордана Г, лежащей в полуплоскости у > О
с концами в точках Л(0,0) и В(/,0), / = const > 0, и характеристиками АС
и СВ системы (0.1) при у < 0. Пусть х = x(s), у = y(s) - параметрические
уравнения кривой Г; s - длина дуги кривой Г, отсчитываемая от точки В\ L
- длина кривой Г; D± = D П {у ^ 0}.
В области D~ переходим к характеристическим координатам
у у
£ = хЧ- J y/-K{t) dty tj = х - j yj - К (t)dtt
о о
где К (у) G С[усу 0] П С2[ус, 0), ус - ордината точки С. В этих координатах система (0.1) имеет вид
п
LiU(t,r)) = + а<(£, т))щ( + bi(£,T))uin + (0-2)
k=1
где
а,(Є,г;) = (А, + - К'/2^К)ІАК,
ЬііІ.ч) = (Л- - В.-У^К + К'/2/^К)/4К, Сікії, г,) = Сік/4К, /<(£, г,) = Ъ/4К,
а область отображается в Д = {(£, у) : 0 < £ < т) < /}.
В области В для системы (0.1) исследуется аналог задачи Трикоми.
Задача Т. Найти функцию и = (и\,П2, ...,ип), удовлетворяющую условиям:
где Ф = (у?1, у?2, • • •, <£п) и Ф = (^ь ^2> • • •, ^п) “ заданные достаточно гладкие вектор - функции, <#(£) = ^«(0).
Целью данной работы является:
1) исследование экстремальных свойств решений задачи Т в областях эллиптичности, гиперболичности и, в целом, в смешанной области О в классе регулярных и обобщенных решений системы (0.1);
2) доказательство существования и единственности регулярного решения задачи Т для системы (0.1) при ортогональном подходе эллиптической границы области к линии вырождения;
3) доказательство существования обобщенного решения задачи Т для системы (0.1) произвольном подходе эллиптической части границы области к линии изменения типа, за исключением случая касания.
4) разработка численного метода решения задачи Т для системы (0.1).
Работа состоит из трёх глав.
Следуя работе [46] под максимумом решения и(х,у) системы (0.1) будем понимать число тахта хм* (я, у). В главе 1 установлены экстремальные свой-
ства решений задачи Т в областях эллиптичности, гиперболичности и в целом в смешанной области О в классе регулярных и обобщенных решений систем!»!
и{х,у) Е С(й)Г\ С‘(£));
(0.3)
(0.1). На основании этих свойств получены теоремы единственности и существования обобщенного решения задачи Т при произвольном подходе кривой Г к оси Ох, за исключением случая касания. Для доказательства существования обобщенного решения задачи Т построен альтернирующий процесс типа Шварца, который ранее применялся в теории эллиптических уравнений и уравнений смешанного типа.
В §1.1 и §1.2 для системы (0.1) в области D приведена постановка задачи Т и исследованы экстремальные свойства решений системы (0.1) в области эллиптичности.
Лемма 0.1. Пусть : 1) функция U(x,y) G C(~D+ ) П02(О+) и LtU = Fi в D+ при всех i = 1,п; 2) коэффициенты системы (0.1) в области D+ ограничены и
п
Qk(x9y) ^ 0 при Y^Cikfay) ^ 0, Fi'Z 0« 0), (0.8)
к= 1
при этом функции щ(х, у) не равны постоянной в любой подобласти области
D+. Тогда если тахтах и* (х) > 0 (minminwj(x) < 0), то этот максимум
» 2Г 'D*
(минимум) достигается только на границе области D+.
Лемма 0.2. Пусть : 1) U(x,y) € С(Т5* )nCl(D+ U АВ)ПС2(£>+), UU = F{ в D+ при г = 1,п; 2) в области D+ коэффициенты системы (0.1) ограничены и удовлетворяют условию (0.8); 3) тахтахц,(х,у) = иДхо,0) > 0
* ТУ*
(minminщ = Uj(xо,0) < 0), 0 < хо < I. Тогда * Id*
Дт Ujv(xQ,y) < 0 (> 0). (0.9)
В §1.3 исследованы экстремальные свойства решений системы (0.1) в области гиперболичности. В области Д введем обозначения: <*,- = а,Д-, ßi = exp f Ь(д£, hi = а% + - сц\ Aq = (0,0), Bq = (/,/), Cq = (0,/) - верши-
ны треугольника Д. Будем предполагать, что коэффициенты системы (0.2)
ю
- Київ+380960830922