Содержание
ВВЕДЕНИЕ 4
1 РЕГУЛЯРИЗУЕМОСТЬ В ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 25
1.1. Основные определения и простейшие свойства регуляризуемости ................................... 25
1.2. Регуляризуемость и тихоновская регул яри зуемость . 31
1.3. Свойство С и линейная регуляризуемость............. 35
2 КРИТЕРИЙ ЛИНЕЙНОЙ РЕГУЛЯРИЗУЕМОСТИ 42
2.1. Критерий линейной регуляризуемости в терминах теории двойственности............................. 42
2.2. Регуляризуемость в иолурефлексивных пространствах 50
2.3. Случай банаховых пространств....................... 59
3 НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ РЕГУЛЯРИЗУЕМЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 69
3.1. Спектральные операторы скалярного типа............. 69
3.2. Спектральные операторы конечного типа.............. 80
3.3. Один метод построения подпространств в С*(0,1) с различной характеристикой....................... 87
3.4. Интегральные операторы............................. 95
2
4 КОНЕЧНОМЕРНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ПРИ РЕШЕНИИ НЕУСТОЙЧИВЫХ ЗАДАЧ 104
4.1. Критерий сходимости конечномерных аппроксимаций метода невязки..................................105
4.2. Метод регуляризации........................122
4.3. Метод L-регуляризации .....................130
4.4. О сходимости аппроксимаций в методе М.М.Лаврентьева 144
5 КОНЕЧНОРАЗНОСТНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ МЕТОДА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ А.Н.ТИХОНОВ А n-го ПОРЯДКА 158
5.1. О сходимости конечномерных аппроксимаций но различным метрикам.................................158
5.2. Сходимость конечноразностных аппроксимаций к ре-гуляризованному решению.........................161
5.3. Сходимость конечноразностных аппроксимаций к точному решению....................................170
ЛИТЕРАТУРА 178
3
Введение
Теория регуляризуемости отображений возникла в связи с решением некорректно поставленных задач. В своей книге [151] Ж. Ада-мар сформулировал условия, которым должны удовлетворять постановки задач для уравнений с частными производными, чтобы эти задачи имели физический смысл. В абстрактной постановке для уравнения
Ах = у, (0.0.1)
где АТ, У - метрические пространства, А : X —> У - некоторое отображение, эти условия принимают следующий вид:
1) для любого у Е У существует х € X такой, что Ах = у (существование решения);
2) если Ах 1 = Ах2, то = ж2 (единственность решения);
3) решение уравнения (0.0.1) непрерывно зависит от у € У, т.е. отображение А~1 непрерывно (непрерывная зависимость решения от исходных данных).
Задачу решения уравнения (0.0.1), для которого не выполняется какое-нибудь из сформулированных условий, после Ж. Адамара стали называть некорректно поставленной задачей или просто некорректной задачей. Наиболее важным случаем некорректных задач является случай, когда не выполняется условие 3), т.е. решение не является непрерывной функцией исходных данных. В этом случае будем данную задачу называть неустойчивой задачей.
Ж. Адамар полагал, что только задачи с непрерывной зависимостью решения от исходных данных могут иметь физическую интерпретацию. Однако на практике большое распространение имеют именно задачи, в которых нет непрерывной зависимости ре-
4
шения от исходных данных, ибо к ним относятся интегральные уравнения первого рода, многие уравнения в частных производных, численное дифференцирование и многие другие задачи. Оказалось, что неустойчивые задачи часто возникают при описании различных физических явлений (см. [56, 72, 73, 108, 120, 140, 141]) в геофизике, гидродинамике, спектроскопии. Все это указывает на принципиальную важность их решения.
Первый шаг в решении неустойчивых задач был сделан в 1943 году А. 11. Тихоновым в работе [132]. В этой работе предполагалось, что известна дополнительная информация о решении уравнения (0.0.1), а именно, известно, что оно принадлежит некоторому компакту М С X. В этом случае отображение А'1 будет непрерывным на АМ и задача становится корректной. Задачи, допускающие такую информацию о решении, в работе [72] М.М. Лаврентьевым были названы корректными по Тихонову, а М - классом корректности.
Следующий шаг в решении неустойчивых задач был сделан М.М. Лаврентьевым и В.К. Ивановым. Если в методе А.Н. Тихонова предполагалось, что решение принадлежит компакту М и приближенное значение правой части не выходит из АМ, то М.М. Лаврентьеву и В.К. Иванову удалось освободиться от предположения о принадлежности приближенного значения правой части множеству АМ. Для этой цели М.М. Лаврентьев в [69, 72] заменял уравнение (0.0.1) уравнением второго рода, а В.К. Иванов в [47] использовал введенное им понятие квазирешения.
Понятие регуляризуемости и регуляризующего алгоритма были введены А.Н. Тихоновым в работах [133, 134] 1963 года. Эти работы характеризовали новый подход к решению некорректных за-
5
дач. Если предшествующие методы решения некорректных задач тем или иным образом сводили эти задачи к корректным задачам, то этот метод трактует решение именно некорректных задач. Рассмотрим сущность понятия регуляризуемости.
Пусть X, У - метрические пространства и / : X -+ У - непрерывное отображение. Если вместо элемента# £ X задано некоторое приближение к нему Хб такое, что р{х.х^) < 6 и надо вычислить приближенно /(#), то естественно за это приближенное значение взять уь = }(х&). Погрешность определится через модуль непрерывности и стремится к нулю, если -» X.
Так решаются устойчивые задачи. Теперь допустим, что / ~ произвольное отображение с областью определения И С X и множеством значений в У, и вместо х £ X задано приближенное значение Хб так, что р(х^Хб) < 6. Поставим задачу найти приближенно }{х). Теперь уже нельзя положить у$ = /(#<*), так как, во-первых, х$ может не принадлежать В и тогда }(х&) не существует, а, во-вторых, даже если х& £ £>, то у& = /(х&) может не приближаться к /(#), если / не является непрерывной функцией. В этом случае поступим следующим образом. Для нахождения приближения уь к /(х) мы применим к не отображение /, а некоторое другое отображение, которое обозначим через Д. Итак, за приближенное значение /(#) возьмем уб = Д (зд). Причем ясно, что для удовлетворительного решения поставленной задачи нахождения приближенного значения f(x) надо, чтобы область определения отображений Д совпадала со всем пространством X и Д(ж$) -> /(х) при 5 -4 0 и р{х.х^) < 6 для любого х £ О. Задачу нахождения значений /(#) (или просто отображение /) называют регуляризуемой, если существует семейство {Д}, 0 < 8 < с указанными выше свойствами, а само
6
это семейство называют регуляризующим алгоритмом или просто регуляризатором. Задачу решения уравнения (0.0.1) назовем регу-ляризуемой, если регуляризуемо отображение А~1.
В указанных выше работах А.Н. Тихонова 1963 года были построены конкретные регуляризаторы для интегральных уравнений. В последовавшей затем серии работ [135-141] А.Н. Тихонова показывается применимость построенных им регуляризаторов к различным задачам математики и физики.
Многообразным свойствам и применениям тихоновских регуля-ризаторов посвящены работы В.Я. Арсенина [3-5], В.В. Васина [14-16], A.C. Леонова [74, 75], O.A. Лисковца [76, 77], В.11. Маслова [79, 80], И.В. Мельниковой [81], В.А. Морозова [104-108], В.Н. Страхова [119-121], В.П. Тананы [122-128], А.Г. Яголы [148, 149[ и многих других математиков.
Практическим приложениям к различным областям естествознания посвящены работы [36, 37, 119, 120, 136-141], в которых показывается эффективность метода регуляризации.
Впервые новые классы регул яризаторов были построены А.Б. Ба-кушинским в работах [7-10]. Для построения этих регуляризаторов
A.Б. Бакушинским была использована техника спектрального разложения операторов. А именно, им было показано, что некоторые функции от оператора А являются регуляризатором для отображения А-1.
Далее начала развиваться общая теория регуляризуемости. Впервые в работах В.А. Винокурова был дан ответ на вопрос: для любого ли уравнения (0.0.1) существует регуляризатор? В [21] В.А. Винокуровым было найдено необходимое условие регуляризуемости.
B.В. Васин и В.П. Танана [17[ показали, что любой линейный непре-
7
рывный инъективный оператор .4, определенный на сепарабельном Е -пространстве имеет регуляризуемое обратное отображение А 1. А.Б. Бакушинским [9] показана регуляризуемость /I“1, если Л -линейный непрерывный инъективный оператор, определенный на равномерно выпуклом пространстве. В.А. Винокуров [22] показал, что для регуляризуемости А~1 достаточна лишь рефлексивность сепарабельного банахова пространства X.
В.А. Винокуровым [23] было найдено необходимое и достаточное условие регуляризуемости отображения /, которое заключается в следующем. Если / - отображение с областью определения V С X и множеством значений в сепарабельном пространстве У, то / регу-ляризуемо тогда и только тогда, когда отображение /. рассматриваемое как отображение из Б в /(!)), является В-измеримой функцией первого класса.
В работе [28] В.А. Винокуровым, Ю.И. Петуниным и А.Н. Плич-ко условия регуляризуемости отображения А-1, где А - линейный непрерывный инъективный оператор, были сформулированы в терминах теории двойственности банаховых пространств. Как впоследствии выяснилось, этот подход оказался весьма плодотворным при изучении различных видов регуляризуемости отображений, обратных к линейным операторам. Опишем существо этого подхода.
Пусть А, У - банаховы пространства, X сепарабельно и А : X —» У - линейный непрерывный инъективный оператор. Оказалось, что регуляризуемость отображения А~1 связана с подпространством А*У* С X* сопряженного к X пространства X*. Вначале проведем неформальное обсуждение этих идей. Регуляризуемость А~[ говорит о том, что это отображение хотя и может быть разрывным, но не отходит ’’далеко” от непрерывных отображений, точнее, оно
8
должно быть В-измеримым отображением первого класса. Хорошо известно, что если отображение А“1 непрерывно, то А*У* = X*. Естественно предположить, что, в случае регуляризуемости А-1 подпространство А*У* не должно быть слишком ”малым”. Перейдем к точным формулировкам.
Подпространство М С X* называется подпространством ненулевой характеристики, если норма
1/(*)1
* 1 = йиР цтг
/ем./^о II/II
эквивалентна исходной норме пространства X ([67]).
Введем на пространстве X новую норму по формуле
ИГ = \\M\- (0.0.2)
Оказалось, что условия регуляризуемости отображения А 1 можно сформулировать в двух эквивалентных формах:
1. Отображение А-1 регуляризуемо тогда и только тогда, когда А*У* С X* - подпространство ненулевой характеристики.
2. Отображение А“1 регуляризуемо тогда и только тогда, когда замыкание единичного шара в X по норме (0.0.2) является ограниченным множеством в исходной метрике пространства X.
Используя эти критерии в [28] показано, что если X - квазире-флексивное пространство, то любой линейный непрерывный инъективный оператор А имеет регуляризуемое обратное отображение А"1; для любого неквазирефлексивного банахова пространства. X существует банахово пространство У и линейный непрерывный инъективный оператор А : X -4 У такой, что отображение А“1 нерегуляризуемо. Применяя подход, основанный на теории двойственности, Ю.И. Петунии и А.Н. Пличко [111] исследуют различные
9
классы регуляризуемых отображений. В этой работе доказывается, в частности, следующее важное утверждение.
Если X, У, X - банаховы пространства, X сепарабельно, У рефлексивно, А : X -) У и В : У —> 2 - линейные непрерывные иш>ектитшые операторы, отображение А 1 регуляризуемо, то регу-ляризуемо и отображение (ВА)~1.
Из этого утверждения выводится регуляризуемость нескольких классических некорректных задач, в частности показывается, что если А : С(а,Ь) —» Ьъ(а,Ь) - интегральный оператор, действующий по формуле
ь
А : /(х) I Х(ж, £)/(£)<&, (0.0.3)
а
причем А/ ф 0, если / Е Ьч(а, Ь) и / ф 0, и
ь ь
Л \К[х,1)^(1хс11 < оо,
а а
то отображение А~1 регуляризуемо. Этот результат - далеко идущее обобщение работ А.II. Тихонова 1963 года по регуляризации интегральных уравнений.
Если X и У - нормированные пространства и для отображения / с областью определения В С X и множеством значений в У существует регуляризатор {Ял} такой, что все отображения Ял -(конечномерные) линейные непрерывные операторы, то / называется (конечномерно) линейно регуляризуемым отображением.
В работах [29, 30] В.А. Винокуров, Л.Д. Менихес и А.Н. ГТлич-ко изучали линейную (конечномерную) регуляризуемость отображения А \ если А - линейный непрерывный инъективный оператор, также с использованием теории двойственности. В этих работах были введены понятия добазисных и квазибазисных подпро-
10
странств в сопряженных пространствах и с их помощью сформулированы критерии линейной (конечномерной) регуляризуемости. Подпространство М С Xх называется добазисным, если существует последовательность линейных непрерывных операторов {Яп}, Вп : X —» X такая, что В*Х* С М и = х для любого
х € X. Подпространство М называется квазибазисным, если в предыдущем определении Вп - конечномерные операторы. С помощью найденных критериев в [84] доказано, что если X- квазирефлексив-ное банахово пространство со свойством ограниченной аппроксимации, то для любого линейного непрерывного инъективного оператора А, А : X —> У, отображение А~1 конечномерно линейно регул яризуемо.
В [23] было введено несколько определений регуляризуемости и показано, что все они эквивалентны. В этой работе было названо тихоновской регуляризуемостью то, что мы назвали регуляри-зуемостью, а регуляризуемость определялась иначе (см. определения 1.1.1 и 1.1.2). Регуляризуемость в смысле определения 1.1.2 может быть перенесена на топологические пространства. В работе [31] изучалась таким образом определенная регуляризуемость в топологических пространствах. Впервые понятие регуляризуемости в топологических пространствах было дано В.К. Ивановым [54] в несколько иных терминах.
Наряду с развитием общей теории регуляризуемости большую роль играют вопросы, связанные с практическим решением неустойчивых задач. Здесь одним из основных вопросов является вопрос о конечномерной аппроксимации. Действительно, при практическом применении любого регуляризатора, необходимо заменять его конечномерным аналогом. Так, в работах [19, 20, 35, 39, 128,
11
130, 160] рассматриваются конечномерные аппроксимации для методов невязки и регуляризации. Здесь основным является вопрос о сходимости конечномерных аппроксимаций.
Уже в своих первых работах 1963 года по регуляризации интегральных уравнений А.Н. Тихонов рассматривает вопрос и о конечномерной аппроксимации. Причем А.Н. Тихонов изучает вопрос о сходимости конечноразностных аппроксимаций к точному решению.
Потом, однако, более распространенной становится задача о сходимости конечномерных аппроксимаций к регуляризованному решению ([128]).
Для нахождения условий сходимости конечномерных аппроксимаций В.П. Танана [126, 128] вводит понятие т-равномерной сходимости линейных операторов. Сильная сходимость аппроксимацион-ных операторов к оператору задачи недостаточна для сходимости аппроксимаций, равномерная сходимость является слишком сильным условием и не всегда на практике выполняется; т-равномерная сходимость является как раз нужным добавлением к сильной сходимости, обеспечивающим сходимость аппроксимаций.
Затем появляются понятия слабой замкнутости пары и полноты последовательности операторов ([19], [128]). С помощью этих понятий формулируются условия сходимости конечномерных аппроксимаций ([35], [160]).
Перейдем к изложению результатов диссертации.
В главе I вводится и изучается тихоновская регуляризуемость в топологических векторных пространствах. Регуляризуемость в топологических пространствах была введена В.А. Винокуровым в [31]. Недостаток этой регуляризуемости состоит в том, что на ее осно-
12
ве нельзя ввести понятие линейной регуляризуемости, показавшей свою плодотворность в банаховых пространствах. При введении понятия тихоновской регуляризуемости в топологических векторных пространствах автор руководствовался двумя соображениями: во-первых, необходимостью изучения линейной регуляризуемости в пространствах более общих чем банаховы; и, во-вторых, возможностью исследовать регуляризуемость отображений, действующих в пространствах обобщенных функций. В главе II будет показано, что первое соображение удалось осуществить полностью: критерии линейной регуляризуемости и многие результаты, известные в банаховом случае, удалось перенести на более общий случай. Второе соображение, касающееся обобщенных функций, удалось осуществить лишь частично.
В параграфе 2 главы I показывается естественность тихоновской регуляризуемости в топологических векторных пространствах. Доказывается теорема о совпадении понятий регуляризуемости и тихоновской регуляризуемости при очень общих предположениях. Здесь надо отметить, что как регуляризуемость, так и тихоновская регуляризуемость определяются не абсолютно, а относительно некоторого базиса окрестностей нуля. Вопрос о независимости регуляризуемости от базиса в общем случае не решен. В третьем параграфе доказывается независимость тихоновской регуляризуемости от базиса в случае метризуемых пространств. Также в этом параграфе решается вопрос о связи линейной (конечномерной) регуляризуемости со свойством С (СК). Хорошо известно и просто доказывается, что в случае банаховых пространств, линейная (конечномерная) регуляризуемость совпадает со свойством С(СК). Здесь доказывается, что и в произвольных метризуемых просгран-
13
ствах этот факт имеет место, но доказательство существенно более сложно, чем в банаховом случае. Необходимо отметить, что тихоновская регуляризуемостъ и свойство С (СК) определяются с помощью некоторых базисов окрестностей нуля, но в разных пространствах. И это обстоятельство оказывается существенным, хотя в случае банаховых пространств оно затемнялось тем фактом, что в них есть счетный убывающий базис окрестностей нуля. Во второй главе мы увидим, что для сохранения критериев линейной регу-ляризуемости в терминах теории двойственности, как это было в случае банаховых пространств, нужно определять свойство С (СК) и тихоновскую регуляризуемость через базисы окрестностей нуля в разных пространствах.
В главе II рассмотрен критерий линейной (конечномерной) регул яризуемости в терминах теории двойственности, который обобщает известный ранее в случае банаховых пространств. Для этого вводятся и изучаются понятия добазисных и квазибазисных подпространств в случае топологических векторных пространств. Здесь так же как и раньше для тихоновской регуляризуемости или для свойств С (СК) понятия добазисных и квазибазисных подпространств рассматриваются относительно некоторого базиса окрестностей нуля. В теоремах 2.1.1 и 2.1.2 доказываются критерии обладания свойством С (СК) отображения А~1 для линейных непрерывных инъективных операторов А в топологических векторных пространствах.
В теоремах 2.1.3 и 2.1.4 рассмотрены критерии линейной (конечномерной) регуляризуемости отображения А'1 в терминах теории двойственности. Во втором параграфе изучается регуляризуемость в полурефлсксивных пространствах. Обобщаются хорошо известные в банаховом случае вопросы о регуляризуемости в рефлексив-
14
ных банаховых пространствах.
Для этого вводится новое понятие ограниченной регул яризуемос-ти для отображения Л-1 (см. определение 2.2.2). В случае банаховых пространств ограниченная регуляризуемость совпадает с регул яризуемостыо, но в произвольных топологических векторных пространствах это разные понятия. Для вновь введенного понятия сохраняются свойства регуляризуемости, имеющие место в рефлексивных банаховых пространствах, что доказывается в теоремах 2.2.1 и 2.2.2. Таким образом, теоремы 2.2.1 и 2.2.2 можно рассматривать как обобщающие свойства регуляризуемости в рефлексивных банаховых пространствах на случай общих топологических векторных пространств. Можно поставить вопрос: а не будут ли справедливы полученные результаты и для обычной регуляризуемости? Оказывается, что нет. Далее приводится пример оператора А на рефлексивном пространстве Фреше с базисом, для которого отображение Л~] не регуляризуемо. Этот пример показывает на резкое отличие банахова случая от ненормируемых пространств. Тем не менее из результатов этого параграфа следует, что отображение А~[ из рассмотренного примера, ограниченно регул яризуемо. В предложениях 2.2.3 и 2.2.4 рассмотрено понятие регуляризуемости в некоторых пространствах, встречающихся в теории обобщенных функций.
В третьем параграфе рассмотрены некоторые приложения полученных результатов для случая банаховых пространств. Рассматривая критерии конечномерной линейной регуляризуемости и регуляризуемости, мы видим, что они отличаются от критерия линейной регуляризуемости тем существенным обстоятельством, что как конечномерная линейная, так и обычная регуляризуемость опреде-
15
л я юте я только образом сопряженного оператора, в то время как для линейной регуляризуемости в теоремах первого параграфа, необходимо еще задавать образ самого оператора. Лежит ли это обстоятельство в существе дела или зависит от недостаточной техники рассмотренных доказательств? В теореме 2.3.1 показано, что это обстоятельство существенно. Итак, линейная регуляризуемость, в отличие от всех других видов регуляризуемости, не определяется только образом сопряженного оператора, а еще зависит и от вложения образа самого оператора в объемлющее пространство. Одновременно теорема 2.3.1 дает ответ и на вопрос, поставленный в [29]: существует ли банахово пространство У и его замкнутое подпространство X С У такие, что для вложения А : X —> У отображение А 1 не обладает свойством С? В указанной теореме строятся такие пространства А' и У. Далее изучается связь между квазиба-зисными, добазисными подпространствами и подпространствами ненулевой характеристики. Теорема 2.3.2 утверждает, что каждое добазисное подпространство имеет ненулевую характеристику. Это утверждение очень естественно, так как подпространства ненулевой характеристики связаны с регуляризуемостью, а добазисные подпространства - с линейной регуляризуемостью.
Далее приведен пример недобазисного подпространства ненулевой характеристики в пространстве, сопряженном к несепарабельному банахову пространству, и показано, что если X - сепарабельное банахово пространство без свойства ограниченной аппроксимации, то в X* существует недобазисное подпространство ненулевой характеристики. В теореме 2.3.4 доказывается, что в пространствах со свойством ограниченной аппроксимации каждое добазисное подпространство является квазибазисным.
16
В главе III рассмотрены некоторые конкретные классы операторов, для которых регуляризуемы обратные отображения. В первых двух параграфах исследуется вопрос о линейной регуляризуемос-ти отображения А-1, если А - спектральный оператор (в смысле Данфорда). Эти результаты представляют обобщение результатов Л.В. Бакушинского [6-8] на случай банаховых пространств. Обычно в банаховых пространствах при изучении аналогичного вопроса используется операционное исчисление, основанное на интеграле Коши
/{А) = Ь!/(Л)(А£- аг1
где /(А) - аналитическая функция в окрестности спектра оператора А, контур / окружает спектр. Однако этот метод наталкивается на многочисленные трудности. Для спектральных операторов имеется более полное операционное исчисление, основанное на спектральном разложении таких операторов.
В первом параграфе рассмотрен спектральный оператор скалярного типа. Показано, что если {^>п(А)} - последовательность функций, заданных на спектре оператора А, А - инъективный спектральный оператор скалярного типа, ограниченный или неограниченный, и удовлетворяющая следующим условиям:
1) фп(^) ~ измерима и ограничена для п = 1,2,...;
2) фп{А)А - ограничена равномерно по п = 1,2,...;
3) фп{\)\ —> 1 при п —> оо для любого Л € <^(А), Л ф 0;
то отображение А-1 линейно регуляризуемо и /^ = фкп(Л) является регуляризатором для А 1 при некоторой последовательности номеров (кп).
Затем вводится определение оператора, обладающего свойством 5, с некоторым ограничением на спектр, и показывается, что резоль-
17
- Київ+380960830922