Математические вопросы гидродинамики неньютоновских и электропроводных сред

Оглавление
Введение.........................................................7
Гл. I. Теоремы существования для системы уравнений магнитной
гидродинамики нелинейно вязких сред...........................51
§ 1. Некоторые функпиокальные пространства и вспомогательные
результаты......................................................51
§ 2. Нестационарная система уравнений магнитной гидродинамики степенной жидкости в трехмерном пространстве...............57
2.1. Постановка задачи
2. 2. Определение обобщенного решения
2.з. Существование обобщенного решения
§ з. Система уравнений двумерного магнитогидродинамического течения степенной жидкости с условиями дифракции..............74
3. 1. Постановка задачи
3.2. Определение обобщенного решения
3. з. Существование обобщенного решения
§ 4. Стационарная система магнитной гидродинамики степенной
жидкости........................................................88
4.1. Постановка задачи
4. 2. Определение обобщенного решения
2
4. з. Существование обобщенного решения
§ 5. Теоремы существования для системы уравнений гидродинамики сред Оствальда-де-Вале.......................................99
5.1. Нестационарная система уравнений
5. 2. Стационарная система уравнений
Гл. п. Математические задачи теории пограничного слоя степенных жидкостей.................................................102
§ 1. Вспомогательные предложения.................................102
1.1. Принцип максимума для квазилинейного вырождающегося параболического уравнения
1. 2. Принцип максимума для системы обыкновенных дифференциально-разностных уравнений второго порядка
1. з. Теорема Лере-Шаудера о неподвижной точке
§ 2. Стационарная система уравнений пограничного слоя псев-допластической жидкости в окрестности критической точки 106
2.1. Постановка задачи и сведение системы пограничного слоя к одному уравнению
2. 2. Основная теорема
§ з. Продолжение пограничного слоя псевдопластической жидкости .............................................................109
3.1. Постановка задачи и сведение ее к вспомогательной задаче в переменных типа Крокко
3. 2. Построение обобщенного решения с помощью метода
прямых
3.3. Теорема единственности решения вспомогательной задачи
3.4. Основной результат
§ 4. Система уравнений пограничного слоя дилатантных сред.
3
Продолжение пограничного слоя....................................132
4.1. Постановка задачи. Вспомогательная задача в переменны:«: Мизеса
4.2. Априорные ОЦеНКИ
4.3. Существование решения вспомогательной задачи
4. 4. Некоторые условия существования коинцидентного множества в пограничном слое
4. 5. Теорема единственности
4. 6. Основной результат
§ 5. Система уравнений пограничного слоя дилатанткых жидкостей в окрестности критической точки.............................159
5. 1. Постановка задачи и определение обобщенного решения
5.2. Существование обобщенного решения
5.3. О существовании коинцидентного множества. Теорема единственности
5. 4. Основная теорема Гл. ш. Система уравнений магнитогидродинамического (МГД)
пограничного слоя................................................
§ 1. Пограничный слой электропроводной псевдопластической жидкости в поперечном магнитном пола..........................175
1. г. Осесимметрический пограничный слой
1.2. Нестационарный пограничный слой § 2. Некоторые свойства автомодельных решений системы уравнений магнитогидродинамического пограничного слоя дилатант-
ных жидкостей....................................................184
§ з. Задача продолжения пограничного слоя электропроводных
дилатанткых жидкостей.............................................^0
з.1. Постановка задачи
4
з. 2. Существование решения вспомогательной задачи
3. з. Существование коинцидентного множества и теорема
единственности
з.4. Основная теорема § 4. Пограничный слой электропроводных дилатантных жидкостей В окрестности критической ТОЧКИ.............................197
4. 1. Постановка задачи и основной результат
4.2. Решение вспомогательной задачи в переменных Мизеса
4.3. Теорема единственности
Гл. IV. Задачи дифракции для системы уравнений пограничного слоя.............................................................205
§ 1. Слой смешения ньютоновских жидкостей с различными
свойствами.......................................................205
1. 1. Постановка задачи. Основной результат
1. 2. Решение задачи дифракции для вспомогательного урав-
нения в переменных Мизеса § 2. Задача о вдуве в пограничный слой жидкости с иными реологическими свойствами..........................................214
2. 1. Постановка задачи. Основной результат
2. 2. Метод Мизеса и вспомогательная граничная задача
2.3. Решение вспомогательной задачи в переменных Мизеса
2. 4. Единственность рвШеНИЯ
§ з. Пограничный слой электропроводных жидкостей с поверхностью разрыва...................................................227
3.1. Постановка задачи
3.2. Переменные Мизеса; сведение задачи с неизвестной границей к задаче дифракции
3.3. Решение задачи дифракции
5
3.4. Основной результат
Гл. V. Асимптотические методы в теории уравнений пограничного слоя........................................................240
§1. Асимптотическое решение задачи об образовании МГД - пограничного слоя при импульсном разгоне...........................240
1.1. Постановка задачи об образовании МГД - пограничного слоя
1.2. Решение задачи в переменных Крокко и асимптотическое разложение решения
1.3. Теорема существования и единственности решения задачи об образовании МГД - пограничного слоя
§2. Усреднение системы уравнений Пракдтля при быстро осциллирующем вдузе-отсосе.......................................... 248
2.1. Обобщенное решение системы уразнений Прандтля
2.2. Усреднение уразнений Пракдтля з переменных Мизеса
2.3. Сходимость решений вспомогательной задачи к решению усредненного уравнения
2.4. Сходимость решения системы Прандтля к решению усредненной задачи
§3. Усреднение системы уравнений МГД - пограничного слоя в
быстро осциллирующем поперечном магнитном поле...................259
3.1. Обобщенные решения системы уравнений магнитогидродинамического пограничного слоя
3.2. Усреднение уравнений МГД - пограничного слоя
3.3. Сходимость осциллирующего решения к решению усредненной задачи
Литература .....................................................265
6
Введение
Математические проблемы гидродинамики привлекают внимание ученых различных научных направлений в течение более двух столетий. Причина этого в том, что теоретическая гидромеханика не только дает практически приложимые результаты, ко и является источником новых, постоянно усложняющихся задач.
Основным инструментом изучения гидродинамических явлений являются дифференциальные уравнения, и поэтому многие проблемы гидромеханики изучаются в теории дифференциальных: уравнений. Нелинейность дифференциальных уравнений гидромеханики приводит к значительным трудностям в вопросах существования и единственности решения соответствующих краевых задач, требует новых подходов к определению их обобщенных решений, стимулирует развитие новых методов качественного изучения полученных решений.
Длительное время основным средством описания динамики вязкой несжимаемой жидкости была система уравнений Навье-Стокса.
7
Сравнение экспериментальных данных о движении реальных
жидкостей и математических результатов, относящихся к
уравнениям Навье-Стокса, показало определенные несоответствия
предложенной модели вязкой несжимаемой жидкости реальным течениям. Кроме того, с развитием новых технологий в последние десятилетия возникла потребность в новых моделях реальных жидкостей и газов. Успехи реологии дали возможность создать модели, учитывающие сложные и аномальные явления, возникающие при движении сплошных сред. В итоге были получены системы уравнений, обобщающие систему Навье-Стокса и описывающие движение неньютоновских жидкостей. Это привело к новым математическим задачам теоретической гидромеханики.
Изучение движения электропроводной жидкости во внешнем магнитном поле является предметом магнитной гидродинамики. Результаты, полученные в области этой науки, обеспечили создание принципиально новых технических устройств и источников энергии, использующих магнитогидродинамические эффекты.
Естественно, что при этом возникают разнообразные математические задачи.
Самостоятелькым разделом гидромеханики является теория пограничного слоя. Вязкие силы в потоке жидкости, обтекающей твердое тело, существенно сказываются лишь в слое жидкости, непосредственно примыкающем к твердой поверхности. При больших числах Рейнольдса этот слой очень тонок, что позволило Л. Прандтлю существенно упростить уравнения Навье-Стокса при описании движения жидкости в пограничном слое. Теория пограничного слоя оказалась очонь плодотворной при решении задач о сопротивлении, возникающем при движении тела в вязкой
з
жидкости, в задачах теплообмена жидкости и обтекаемых тел, при разработке методов управления течением посредством вдува или отсоса среды и т. д. Эта теория применима также в гидродинамике неньютоновской жидкости и в магнитной гидродинамике. Здесь обнаружен ряд явлений, не имеющих места в механике ньютоновской жидкости.
Некоторые из обширного многообразия задач, указанных выше, и составили предмет дайной работы.
Укажем основные обозначения и дадим определения, применяемые ниже.
Кп - л-мерное евклидово пространство, *=(* , ..., *п) - точка Кп; если я - область (ограниченная, если не оговорено противное) в йп, то о означает замыкание о, а дп - границу я;
со
с0(Я)=в(Я) - пространство бесконечно дифференцируемых в о
функций с компактным носителем;
ск (Г2> (ск (гГ)), к - целое положительное число, совокупность непрерывных в я (Я) функций, имеющих непрерывные производные в я (Я*) до порядка к включительно;
<^+сх(Я), о«х<1, - пространство функций, непрерывных В (Я),
производная порядка к которых по переменной х., удовлетворяет в я условию Гельдера с показателем а;
с(Я) (С(Я)) - пространство функций, непрерывных на я (Я);
Са(Я), 0<а<1, - пространство функций, непрерывных в я и
удовлетворяющих в ?Г условию Гельдера с показателем а;
||^; х|[ - норма в банаховом пространстве х элемента гех;
/
х - пространство, сопряженное банахову пространству х;
<£, д> - значение функционала ^ех на элементе дех\
(Г, д)х - скалярное произведение в гильбертовом пространстве х;
9
l2 (Я) - гильбертово пространство вещественных функций,
определенных з я, со скалярным произведением
(f, g)=ff(x)g(x)dx.
Я
Lp(fi) - пространство вещественных функций, определенных на я, с нормой
р l/p
II f; L (Я) ||= (J \f{x)\ dx) при l£p<co И
г
я
||f, Loo (Я) ||=ess sup I f (x) | ;
я
L^(a, 3; x) - пространство (классов эквивалентности) функций
f(t), определенных: на интервале (а, з), измеримых, принимающих значения в х и таких, что
Р г г/г
||f; Lr(a, е; X)||=(J||f; х|| at) <ш при 1<г<оо,
а
||f; L (a, 3; X) ||=ess sup ||f; x||<oo при r=co.
Г
Y (a, 3; X) - пространство функций f(t)ex,t€(a, 3), норма
которых в пространстве х как функция переменной с принадлежит
пространству у ((а,3));
я5 (Я) (s - целое неотрицательное число) - гильбертово
пространство, пополнение пространства cs(Я) по норме
IK: и3(П)||=
"a a ' 2
a + . . . ?a =a dx 1. . . dx n l n 1 n
1/2
ur* (Я)нн1 (Я) ;
^(Я),р>1, банахово пространство функций f(x), определенных на я, с нормой
IIf> ^(Q)||-||f; L (Я) ||+ 2 II ; Ь (Q) II;
1=1 1 1
1/р(Я) - замыкание о(Я) в норме пространства v (Я); г , г
р2(Я), яdR2, - анизотропное пространство Соболева, пространство функций f(x), определенных в я, с нормой
ю
н (П), ОсК , - пространство Никольского, см. [26];
РГ Р2
ДЛЯ функции £{Х^ х2, хз), опредененной В Пс£3, Гт'к(хз) (т, К -целые) означает £(тк, кЬ, х ), где Ь=сопб1:>0, (тЬ, кЪ, х )еП;
3 3
д (Гш'к-гт_1 ' к)/7}^ д гк= (Гт> к-1) /Ь.
1 2 запись дпес2 означает, что граница области о является
многообразием класса с2.
В главе I диссертации изложены теоремы существования решения
ряда задач гидромеханики неньютоновских жидкостей. Эти
результаты получены В работах [59-62] И [71; 72].
Предположим, ЧТО и={и^(х, С), и2(х, С), и^(х, С)>, хеК3, -
вектор скорости жидкости. Для несжимаемой жидкости уравнения
движения имеют вид
ди. з ( ди. дсг. . (ц)
1=1^ ^ 1 1
=К., 1=1, 2, 3,
div и=0,
где cгij (и) - тензор напряжений в среде, р - плотность среды,
к={к , к , к } - вектор массовых сил.
1 2 3 ди. ди.
Пусть В_(и) = -^- + - тензор скоростей деформаций.
Для степенных жидкостей, динамика которых изучается в диссертации,
П- 1
2
а. . (и) =-р*5 . +к\1влхв1 ,1 в. .(и),
11 * 11 2 1к к 1 11
где р* - давление, к>о - показатель консистенции среды, о<п<с», 8ij - символ Кронекера, по повторяющимся символам
предполагается суммирование. Если л=1, то о-. . зависит от в. . линейно и жидкость называется ньютоновской ( жидкостью с
обычными свойствами), при о<п<1 среда называется псевдопластической, при п> 1 - дилатантной (средой Оствальда-де Вале).
Если жидкость электропроводна и находится под воздействием внешнего магнитного поля, то уравнения движения содержат, кроме того, члены, учитывающие электромагнитные силы, и к уравнениям движения присоединяются уравнения Максвелла. В результате получается система уравнений магнитной гидродинамики (МГД).
В § 1 главы I введены некоторые функциональные пространства вектор-функций и указаны их основные свойства.
В § 2 рассмотрена система уравнений магнитной гидродинамики степенной жидкости в трехмерном пространстве. В цилиндре С2=Ох(о, т) решается система уравнений вида
ди.
dt
-I/ 2
i = i
д
дх
з 2
L wj = i з
+ 2 и
i=i
ди
ди.
дх. дх. J 1
i дх. р 1
дд з
0 1 н.
1 = 1
"V
_1 д_
9 дх.
Р*(*/ t) +
ДД Я'
(р-2)/2
дх.
1
, к=1, 2, 3
ди, ди.
k + 1
дх. дх 1 к
(0.1)
div u=0,
rot £=-дд
дН
~dt‘
rot н=сг (£Ч-ддо [и, H])+jQ,
div(uu Н)=О, о
с граничными условиями
U|sx(O,T)=0/ Hn\sx(O,T)=0' £'x|sx(O/T)=0/ SssdQ-и начальными условиями
и(х,о)=и (х), Н{х, О)=Н (X) , Х£П.
о о
Здесь н(х, t) = {Я1, н2, я^} - напряженность магнитного поля, Е(х, t)={ej/ е2, ез> - напряженность электрического поля,
(0.2)
(0.3)
12
f{x, t)-{fi/f2#f3> - вектор внешних СИЛ, J0lX't)-{joi, jQ2, j'o3} - заданные токи, д - магнитная проницаемость, до -магнитная постоянная, <j - проводимость жидкости, р связано с параметром п из выражения ст_ (и) равенством p=n+i,
-Zz_2
*«-£(4> 2 » н - нормальная составляющая вектора я, е -
р z п ь
касательная составляющая вектра е на поверхности sx(o, г).
Неизвестными в задаче (о.1)-(о.з) являются и, и, е, рЛ. Введено понятие обобщенного решения этой задачи таким образом, что возможно разделить нахождение и, я и е, р*. Пусть и(П) означает пространство соленоидальных векторов, компоненты
о о
которых пренадлежат пространству w1(Я), a j (П)
р 1 » п
пространство соленоидальных векторов, компоненты которых
принадлежат а нормальная составляющая на s равна нулю.
/
Введем оператор л(u): v(Q)^v (Q) такой, что для любой
вектор-функции veV(tt)
л 3 г 3 п (р-2) / 2
<Л(ц), v>=-y f 1 2 в2 (и) В .ли) В (v)dx,
Q 1/ j =1 Li/j=l J J J j
и трилинейную форму на множестве соленоидальных векторов
з dv.
Ъ {и, v, I/)» 2 Ju . -fof- w ■ d*•
i,j=. n 1 i J
Определение o.i. Обобщенным решением задачи
(о.i)-(о.з) называется пара векторов и, я, заданных в Q, таких,
о
что иевр(о, т; к(П)), неьг(о, т; j^ nW), и и я удовлетворяют почти всюду начальным условиям (о.з) и при почти всех t€[o, г) интегральным тождествам
/ дд
(a (t), ip)+v(A(u), <р)+b (и, и, <p)-—S-b(Ht И, <p) = (f(t), ip) ,
дДо(Я (t), ^) + -i-(rot Н, rot ^)+ддоЬ(аг Н, ф)-цц0Ь(Я, и, ^) =
-■?(v rot
при любых (P6L (О, Т; И(П)), tpeL (О, Т; J (П) ); titL (0T'V'te»
iffj/ о / * / ”4 ^ J ^ *v
н4€Ч(о,т;(51Л(п>))/ р?=рп
13
Теорема o.i. Предположим, что f(x, t)еь '(о, т; к(П))п
р
/ •
№ (Q), Р+Р=РР/ J (x,t)eb (Q) ,и (х) принадлежит замыканию в 2 0 2 0
l (О) множества гладких финитных в о соленоидальных векторов,
2 о
но(х) принадлежит замыканию в l ^ (Q) пространства Ji
р>5/2. Тогда задача (о.1)-(о.з) имеет обобщенное решение.
Обобщенное решение задачи (о.1)-(о.з) получено методом
Фаэдо-Галеркина с использованием монотонности оператора и (а).
Функции е{х, t) и p*U, t) определяются по а и я таким образом,
/
что уравнения (0.1) выполняются в смысле пространства d (Q).
В § 3 главы I рассматривается система уравнений двумерного МГД-течения степенной жидкости с условиями дифракции магнитного и электрического полей.
Пусть ПсК2, s=<?Qec\2 q=qx(o/ т). В цилиндре q рассматривается система дифференциальных уравнений
2 (ди . ди . 2
дЗГ+'ЗЗґ'
J і
L1' J = 1
(р-2)/2Г (?Uk <?U.
dx.+ дх
і к
2 ди цц 2 дН , цц Н2
+ Г ui 2 Hi W“fk“ ■р' "3F (р*(*' t)+—2 1 '
1=1 і 1=1 і к
>£=1/ 2,
div u=0, (0.4)
дН
rot E=~uu
о dt '
rot H=a(E+UH0[U, H])+jQ, div (uuqH)=0.
Здесь вектор-функции u(x, t)={u (x, t) , и (x, t)}, H(x, t) =
1 2
= {hi(x, t), h 2 (x, t)}, E(x, t) и скалярная функция p*(x, t)
являются искомыми, вектор-функция f(x, t)={f (x, t), f (X, t)}
1 2
и вектор-функция jQ(xt t) заданы. Постоянные ^>0, p>o, p>2 зависят от реологических свойств жидкости, функции и и <7 определяют электромагнитные свойства среды, ио - магнитная
14
постоянная, [и, И] 2 и и -и Н . В системе (0.1) rot Я={0, о,
дН дН ' 2 2 1
- fa1)- Вектор тока сг(Е+ддо[и, H))+jQ коллинеарен вектору 1 2
е , если (е , е , е ) - базис векторов пространства (R3{x , х ,
3 12 3 12
*зЬ Считая, что jQ(x, t)={o, о, jQ3(x, с)>, имеем в(х, t) = {о,
О, Е (х, t) } . В (0.4) отождествляем Е(х, t) О Е (X, t), j {X,
3 г <?Е <?Е Л 3 °
t) с j (X, t). При ЭТОМ rot Е=< -fa , - -fa, о .
2 1 J
Предположим, что а состоит из области Qt, заполненной
жидкостью, твердого проводника о и области я , являющейся
3 3
диэлектриком и изолирующей о. от и окружающего пространства; S =дП ес2, S =дп єс2. Первые три уравнения системы (о. 4) должны
11 3 3
вьшолняться в qi=Qix(o, г), последние три уравнения - во всем Q. Так как все среды предполагаются однородными и изотропными,
ТО В Q =Я х(О, Т) должно выполняться равенство div Е=0, что
2 2
автоматически выполнено из-за дЕ/дх =о.
3
Будем предполагать, что о-=о- при xeQ ; сг=о, ; <F=<r ,хєп ;
1 1 2 3 3
д=д , хєП ; д=д , хеО ; д=д. , ;гєП. ; o' , o', >сг >0; д>Я >0.
1 1 2 2 3 3130 О
Кроме ТОГО, jQ(x, t)=0 при X€Q1UQ2.
Система уравнений (0.4) рассматривается при условиях
и=о на s; я =о, е=о на s; (о.5)
п
(дя ]=о, (Я 1=0, [Е]=0 на s us (о.б)
ПС 13
где [•] - скачок функции. Кроме того, задаются начальные
условия
и(х, о)=ио(х), Н(х, 0)=Hq(x), хеп. (0.7)
Задача (о.4)-(о.7) решается в обобщенной постановке. Для этого вводится пространство К(П) - гильбертово пространство векторов ір(х) = {ф ^(х), Ф2(х)}, принадлежащих в и П2
соответственно классам ur1 (fi ) и ) и удовлетворяющих
2 1 2 2
уелоВИям
15
div (ц.ф(х))-О, xeQ., i=l, 2, rot ф(х) =0, xefl ,
1 1 2
[д(х)1р (х)]=о на s , [ф (х) ]=о на s , ф (х)=о на s. Скалярное
П 1C 1 п
произведение в к(Q) введем следующим образом:
(Ф, Х)и(о\ = М' X) , +(^' X) ,
KU) V1 (П ) W1 (Q )
2 v 1 2 2
Рассматриваются также двумерные аналоги оператора л (и) и
формы Ь(и, v, v) , определенных выше.
Определениео.2. Обобщенным решением задачи
(о.4)-(0.7) назовем пару векторов и(х), я(х), заданных в Q, при
чем U(X, t )€Lp(0, Т, ГС^)), Н(Х, t )€L2(0, Т, Я(П)), u(x, t) И
ы(х, t) удовлетворяют почти всюду начальным условиям (О.7) и
при почти всех te(o, т) интегральным тождествам
дд
(u(t), <p)+v(A(u), <p)+b{u{t), u(t), <p) - — b(H(t), H(t) , <p) =
=(f(t), <p),
ддо(Я(С), ^) + y (rot Я, rot Ф) +vvQb(u(t) , H(t) , Ф)-- ДДQb(H(t), u(t), ф)=±-и^, rot Ф)
ПрИ ЛЮ0ЫХ <p€L^(0, T, V(Q)), феЬ^О, T, К(Q) ) уU^L^yЦ)),
Теорема 0.2. Предположим, ЧТО р>2, f(x, t)€L '(О, Г;
И(П ))Пь (Q ), j (х, t)(=l (Q), и (x) принадлежит замыканию в
* О 1 V с U
l (П) множества гладких финитных соленоидальных векторов, я (х)
2 О
принадлежит замыканию в ь (П) пространства я (П). Тогда задача
2 2
(0.4)-(0.7) имеет обобщенное решение.
Функция Е (X, t) принадлежит при ПОЧТИ всех t€(0, Г)
о
пространству v^(Q) и определяется с помощью равенства -дд н =
2 О w
=rot Е{х, t). Давление Р*(х, С)=-рд-ддоЯ2/2/ Где дев'(П)
таково, что
£+„д(и) + I 0 I t).
k-i к k=i к
=grad q (х, t).
16
В § 4 изучается стационарная система уравнений магнитной гидродинамики степенной жидкости в К3. При этом предполагается наличие дифракции магнитного и электрического полей, как в предыдущей задаче.
Система дифференциальных уравнений вида
д
~дх. 1 = 1 1
з
1
ди.
Hr J = i дд з дн —° 1«
дх. J
+
ди.
____L
дх.
-ВТ2.
диу ди.
L , L
дх. дх 1 к
ди.
i дх-1=1 1
Р дх
Р+М +
дд н-
о
1 = 1 1
к=1, 2, 2,
div и=0, rotE=0,
rot Н-а (£Г+ддо [u, H])+Jo# йЬу(ддоЯ)=0
(0.8)
рассматривается в области ficR3.
Смысл величин, входящих в (0.8), указан выше. Будем предполагать, что п^ис^ис^, причем о заполнена жидкостью, п. - твердый поводник, о - диэлектрик, изолирующий Q от п и
2 13
от окружающего пространства. Поверхности s=dn, s.=<?п., i=i, 2, з, являются многообразиями класса с2. Величины д и о- на этих поверхностях могут иметь разрыв, как указано в предыдущей задаче.
На поверхностях s, s, sз заданы граничные условия и условия сопряжения
и=о на s ; я =о, е =о на я; (о.э)
1 П Т
(дя 1=0, (Я 1=0, [Е 1=0 на sus . (о.ю)
П с с 13
Пространством к(П) будем называть гильбертово пространство векторов Ф(х)={Ф1{х), Ф2(х), Фз(х)у, хеп, принадлежащих в п. классу ^(п.), i=i, 2, з, и удовлетворяющих условиям
Н1у(д^(х) )=0, xeQ., i=l ,2,3, rot ф(х)=0, хеП2>
I
I
17
Сц(х)ф (а:) ]=о на s us ; [Фт(х))=о на s us ; ф (х) =0 на s
п з
со скалярным произведением (Ф, х)К(П) = 2 (Ф, у
X ““ 1 2 І
Определение о.з. Обобщенным решением задачи
(0.8)-(0.10) назовем вектор-функции U(x)eV(Q^) И Я(Х)€К(П) ,
которые удовлетворяют интегральным тождествам
Д/І
v(A(u), tp)+b(u, и, <р) -— Ь(Н, И, <p) = (f, <р) ,
-i- (rot Я, rot ф) + ддоЬ(а, Н, ф)-цц^Ь(И, и, ф) = -i- (jQ , гоЬф)
При ЛЮОЫХ 4>(x)eV(Qi) , ф(х)<=Н(П).
Основным результатом о разрешимости задачи (о.8)-(о.ю) является следующая теорема.
Теорема о.з. Предположим, что £(х)<=У(П^), Уо(х)еВ2(й1ийз), р>9/5. Тогда существует обобщенное решение задачи (о.8)-(о.ю).
Аналогичный результат имеет место также при £2=^ и П2=е>, п =0. В двумерном случае теорема, аналогичная теореме о.з, справедлива при р>з/2.
В § 5 главы і приводятся результаты о разрешимости краевых и начально-краевых задач для системы уравнений гидродинамики степенных жидкостей без учета электрмлагнитных явлений.
Пусть «сКп, граница 5 области я достаточно гладкая, в цилиндре о=Ях(о, т) рассматривается система уравнений
р дх '
к
дР*
5 *uk
(0.11)
с граничными условиями
ui
Sx(0,Т)
(0.12)
и начальными условиями
18
и(х, 0)=и^(х), хеп.
(0.13)
Вектор внешних СИЛ f(xlt)={f , . .., ^п(*/ t)) И ио(х) =
={ао1(х),
и (х)} считаются заданными, а неизвестными
о п
.., ип(х,С)} и
ЯВЛЯЮТСЯ скорость среды и(х,С)={и1(X,С), ...
давление р^(х,ь).
Определение 0.4. Предположим, ЧТО К(Я), А{и), Ъ{и,
V, V) означают л-мерные аналоги пространства, оператора и
формы, указанных в определении 0.1. Обобщенным решением задачи
(о. и) - (о. 13) называется вектор-функция и (х, с) едр (о,т;у(л));к^)€
*Цо,т;И(П)), которая почти всюду в п удовлетворяет условию (0.13) и % '
при почти всех се(о, т)удовлетворяет интегральному тождеству (и'(С), ¥>)+!/(Л (и), <р) +Ь (и (С) , и(С), <р) = (Г(С), <р)
ДЛЯ любой вектор-функции <регр(0, Г; И(П)).
Теорема 0.4. Пусть р^1+2п/ (л+2) , Г(Х,С)е1. ' (О, Т ;
/ / /
и(0)), р+р =рр , ио(х) принадлежит замыканию в ^2(0) множества гладких финитных соленоидальных вектор-функций. Тогда обобщенное решение задачи (о.и)-(о. 13) существует.
Стационарная задача, соответствующая задаче (о.и)-(о.13), состоит в отыскании в области ЯсЖп таких и{х)={и^(х), .
ип(*)Ь Р*(*)' что
-I/ I
дх. 1-1 1
ди. ди . N 2
. 'г {-аТ + -д^.\
/ 3 = 1 ^ J х' _
Р"2
2
ди, ди.
ч __1
дх дх 1 к
дР*
ди.
(х, С) - — -з—
к4 ' р дх
, к=1, 2,
п; дх 0 к = 1 к
(0.14)
И
Л15=0 (0.15)
Обобщенным решением задачи (0.14), (0.15) называется
вектор и(х)еи(0) такой, что при любом <*>ен(0) выполняется равенство
19
v(A{u), <p) +b(и, u, <p) = (f, <p) .
/
Теорема o.5. Если f(x)ev (Я) и pz3n/(n+2), то
обобщенное решение задачи (0.14), (0.15) существует.
Следующие четыре главы диссертации посвящены математическим
задачам теории пограничного слоя степенных жидкостей как в
обычной, так и в магнитной гидродинамике. На основании гипотезы
Прандтля о том, что пограничный слой очень тонок, давление
поперек него неизменно, а движение жидкости внутри слоя
происходит преимущественно вдоль обтекаемой поверхности, из
системы уравнений вида (о.п) для описания течения жидкости в
пограничном слое может быть выведена более простая система
уравнений (см. [22], [85], [87]), называемая системой уравнений
пограничного слоя.
В случае двумерного течения система уравнений пограничного
слоя степенной жидкости имеет вид
ди иди ди д {I ди \ П“1 ди ) , ди lTT <HJ
- ~dt~ ~дх ~ду ~ду (I ~$у \ \ +~дГ+и ~дГ ' 0<л<со'
ди dv
дх ду (0.16)
и рассматривается в области D={o<t<co, о<х<х, о<у<со}. Здесь u(t,
х, у), v{t, х, у) - компоненты скорости жидкости в пограничном
слое, y=k/p, u(t, х) - заданная продольная компонента скорости
внешнего потока, связанная с давлением p(t, х) соотношением
и+ии =-р /р. t х х
Система (0.16) рассматривается с начальными и граничными условиями вида
ult=0=tV*' У)' и|х=0=0' и 1 у=0~°' у'У=0=у0(t' Х)‘
u(t, X, y)*u{t, X) при у-*о, (0.17)
где функции ио и считаются заданными.
В § 1 главы II приведены предложения, которые для
20
последующего имеют вспомогательное значение.
В §2 изложена теорема существования и единственности решения стационарной системы уравнений пограничного слоя псевдопласти-ческой жидкости в случае симметрического течения. Эти результаты получены в [41], опубликованы также в [38, 42].
Для стационарного плоскопараллельного симметрического течения система уравнений пограничного слоя имеет вид
с)и
*д (
VI
ду
п 1 ди\ ди ди сШ(х)
ду] дх ду дх (018)
ди ^дь_ дх ' дх
и рассматривается в области И = {0 < х < X, 0 < у < оо} при условиях
Ч*=0 = и\у=° = Иу=о = и(х,у) -> ос при у -> 00, (0.19)
причем 6Г(0) = 0, и(х) > 0 при х > 0.
71- 1
Предположим, что и(х) = хУ(х), У{х) > 0, г>о(#) = хп+]-У\(х)> У{х) и г>1(ж) - ограниченные функции. В задаче (0.18), (0.19) перейдем к новым независимым переменным
£ = х, Г] = и/и
и введем новую неиззестную функцию
п — 1
ю = \иУГ\/(хп + 1и).
В результате система уравнений (0.18) с условиями (0.19) сведется к уравнению
1 — п 1 + п
ипУ п |гс?| п уощ — у^Уго^ + Агип + В и) = 0 (0.20)
в области = {0 < £ < X, 0 < у < 1} с условиями
Ч,=1 - 0, (уи>\ш\(1~пМпь)п - М0ЧЧ(1-п)/п + С) |,=1 = 0, (0.21)
А = (г,2 - 1)(У + еИт), В = -Т! + £^) , с = + №).
21
Задача (0.20), (0.21) решается методом прямых. С помощью ее решения (/(С, Ю строится решение задачи (0.18), (о. 19). В итоге получается следующий результат.
Т е О Р е М а 0. 6. Предположим. ЧТО и{х)=х{а+ха ^{х)), V ^{х)=.
П- 1
х П+1 {Ь+хЬ (х)), а-сопэЪХ), Ь=сопз*:, и>О При х>0, а , а
X 1 IX,
а , ь , ь ограничены, и >о при о<х<х. Тогда в области о,
1 X X 1 IX X
где х зависит от в, уо, п, существует единственное решение и, V задачи (о. 18), (0.19), которое обладает следующими свойствами:
п- 1 п ———
и >0 при у^о и х>о; и/и, и /х п 1 и ограничены и непрерывны в
У У П-1
— п —Т7~
В; и>0 при У>0 И х>0; и->(/ при у-»со; и^/х п и->0 ГфИ у-»со; ,
и , и ограничены и непрерывны В В; V непрерывна по у при х>0
У У У
в в, непрерывна по х и у внутри в и ограничена при ограниченны
п- 1
—7 2 — П
у И х>0; и Ии непрерывны В В; и /*п 1 и
ХУ УУУ г г УУ У
непрерывно по у з в. Имеют место неравенства
п-1 2п п-1 2 п
М X П+1 У(1-^)П+> * и"£ М X П+1 (7(1 ут- ) п+1 ,
1 '17 7 У 2 ' и ' '
П- 1 _ П* 1 П- 1 _ П* 1
п(п+1) ——— П~1 П ( П+ 1 ) —-— П-1
{Их и п у+1) <1-/±-<:(Мх и п у+1)
3 и 4
М^=сопэЪХ), 1=1, . . . , 4.
В § 2 гл. и рассмотрена задача о продолжении пограничного слоя псевдопластической жидкости, в нем изложены результаты работ [43, 44]. Система уравнений (о.18) решается при условиях
и1Х’=о=ио(У) ' и1у= о=°’ К|у= о=Уо(Х)' и*иМ приу^с», (0.22)
причем и(х)>о при х*о и ио(о;=о, ио(у)>о при у>о. Физический смысл этой задачи в том, что распределение продольной составляющей скорости ^0(у) при х=о продолжается на отрезок [о, х], соответствующий определенному участку обтекаемой поверхности.
22
С помощью замены независимых переменных £=*, т\=и/и и
п-1
неизвестной функции иг=\иу\ иу/и, обобщающей замену переменных Крокко (СМ. [22, 27, 85]), задача (о.18), (о.22) приводится к одному квазилинейному уравнению
1 - П 1 ч-п
п П 2 іти її/! иг -7)111/(Т7 — 1) ииг -т\и і/=0 (0.23)
■Тч ^ "П х
в области п={о<£<х, о<п<1> с условиями
?=0=|иоу|П 'иоу/и=^0 (7)) ^1Ч=1'
=0 (0.24)
1 ~ П 1 ~ П П~ 1
(мг\иг\ п иг -V VI1/1 п +и п и ) I
т? о х У]=о
Решение задачи (о. 23) (о.24) рассматривается в обобщенном смысле. Определение о.5. Обобщенным решением задачи (о.23), (0.24) называется ограниченная измеримая функция
Ю, положительная при о<£<1, имеющая обобщенную
производную I/ (£, -ц)<=ь (О) и удовлетворяющая интегральному
ч 2
тождеству
1 - п
п иг? -т]и<р_ —і— (-о2-!)а (р —. +
^ТП7 . ,1 / п * ' ' х 7} ., і / п
п ^
1 - п
+ -^-1Т117 р —— ]с?№- Г С/ п Г —-— с?7)=0
П хг 1 / п ' о 4 ^ ^
иг 77=0 г;=0 и/
при любой дважды дифференцируемой функции <Р($, Т7), такой что,
¥>Т),Т,= О = 0*
Обобщенное решение задачи (о.23), (о. 24) получается с помощью метода прямых. Как следствие получен результат об однозначной разрешимости задачи (о.18), (0.22).
Т е о р е м а 0.7. Предположим, что функция и(х) непрерывна
при ойх<.х,и (х) непрерывна по Гельдеру и к (*•) непрерывна при
X О
о<*<х, и (х)>сопвь>о. Предположил также, что а (у) непрерывна
X о
При 0<у<со, ио(0)=0, ио(у)>0 При у>0, ио(у)-Я/(0) При
у-> со производная “(у) непрерывна при о<у<а>, и >о, и
У
23
выполняются неравенства
2 2
l/n i/n u / v n+i i/n i/n u (у) n+i
K1 ü *«оу<У>*к2 u (0)(1“Tr7ïïr}
существует обобщенная производная и (у) такая, что
°УУ
“ гп-з г и
Ju а (1 g-) dy<œ. Тогда существует обобщенное
о 0 у 0 у у
решение и(х,у), v(x, у), задачи (о. 18), (о.22) в следующем
смысле: и(х, у) измерила, ограничена и непрерывна по у в о ,и>о при у>о, и=о при у=о; и (х,у) ограничена в в, выполняются
У
неравенства
l/n i/n г/(п-м) i/n i/n 2/(n+i)
Kit V (i-f) SVKI2 y (1-f)
l/n , (i-n)/n (n+i)/(n-i)
U-U(1+K12 TTVU y) sus
l/n - (l-n)/n (n+l)/(n-l)
<U~U ( 1+K -=zr~u У)
1 1 1+n 7
существуют обобщенные производные ti Ии , причем
У У У У У
2П-3 2 ( 1 - — )
Я»у / (X “ ) ltn
D УУ V '
D
и . п+ 1
6 2П пи и +п(п-2)и
УУУ У____________УУ
U 4-П
U ydxdy<ca ;
^(*,у)- измеримая в о функция такая, что
п + з
п- 1
у) (1+У) dxdy<co.
О
Уравнения (о.18) и граничные условия (о.22) при х=о и у=о выполняются в смысле интегральных тождеств
JjlLL “у^уу <Руиуу _!_хД_ 2 ,р _
[l,u --------------“V7 V
1-2П v *
Л 1 - п со
+ n u<pU u^]dxdy-fu п (х)ф(х, 0)vo(x)dx-fuQ(y)<p(0, у) х
о о
1 - п
х17 п (0)dy=0,
24
оо
П-1 .. и
иуу¥>+-^— <р^-УЦу<р+ии^<р) <2Х(1у+$—4^-о(0, у)<3у =0
при любой функции ч>{х,у), имеющей в о непрерывные ограниченные производные <р , © , <р , и такой, что
У УУ
П+ I
Р(Х,У)=0, <ру(х,0)=0, \9(х, у) 1<К13(1+К14У) П_1 при у-*о.
Решение а, V задачи (о.18), (0.22), обладающее указанными
свойствами, единнственно.
В §§ 4, 5 главы и изучается система уравнений пограничного слоя дилатантных жидкостей. Излагаются результаты,
ОПубЛИКОВаННЫе В [51, 53, 55).
В § 4 рассматривается система уравнений вида
д , I ди | р‘ 1 ди . ди ди .. (ди . . ^
” ~ду~(I ~3у I ~5у ] _и Их ~У Ту ~~и ~&Г ■ 1<л<0°'
ди оу п (0.25)
~дх+Чу-°'
В Области С={0<х<Х, 0<у<оо} с условиями
^(0, У)-и0(У)> и(х, 0)=0, У{Х, 0)=у^{х), и->и(х) при у-»со. (0.26)
Как обычно, и(х), и0(у), V0{X)-известные функции, ио(0)=0
ао(у)>0 при у>0, и(х)>0 при *>0.
Система уравнений пограничного слоя дилатантных жидкостей
(п>1), В отличие от рассмотренной выше (0<л<1), имеет ряд
особенностей: классическое решение этой системы уравнений может
не существовать даже при бесконечно гладких данных задачи,
кроме того, при некоторых условиях существует постоянная Уо>о,
такая, что при у>уо выполняется равенство и(х, у)*и(х). Это
приводит к необходимости рассматривать обобщенные решения
задачи (о. 25), (0,26).
Предполагаем, что ио(о)>о, и (у)ч>и(о)*о при у->со, их(х) и
/
г0(х) непрерывно дифференцируемы при хе[0, X); ^(у), и (у) / /
ио (у) ограничены при о^у<«> и удовлетворяют условию Гельдера; выполнено условие согласования в точке (о,о):
25