СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ.....................................................4
ВВЕДЕНИЕ ..............................................................6
КРАТКИЙ ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ .................................15
1. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭВОЛЮЦИОННОГО ВЕКТОРНОГО ИПТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОПЕРАТОРОМ .................................................19
1.1. Начально-краевая задача для эволюционною векторного интегро-дифферен-циального уравнения с сильно эллиптическим оператором ................19
1.2. Некоторые свойства оператора }[и] и примеры оператора $[и\ ...20
1.3. Вспомогательная начально-краевая задача для линейною векторного сильно параболического уравнения ............................................23
1.4. Теорема о существовании и единственности решения начально-краевой задачи для эволюционного векторного интегро-дифферепциального уравнения с сильно эллиптическим оператором .............................................26
1.5. Начально-краевая задача для эволюционного векторною интегро-дифференциального уравнения с равномерно эллиптическим оператором и третьим однородным краевым условием .................................................29
1.6. Выполнение фазовою ограничения для однородной второй краевой задачи специального вида ....................................................31
1.7. Пример взрывной неустойчивости решения скалярного интегро-дифференци-ального уравнения с частными производными с начальным и краевыми условиямиЗЗ
1.8. Нахождение функции р для линейною оператора /[«]..............34
1.9. Нахождение функции р и пример оператора /[и] для любого фиксированного неотрицательного к и неоднородных уравнения и граничных условий.......36
2. ПРИНЦИП МИНИМУМА В ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ ВЕКТОРНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОПЕРАТОРОМ...............................39
2.1. Постановка, задачи оптимального управления....................39
2.2. Необходимые условия оптимальности, представленные в виде принципа минимума ...............................................................41
2.3. Вычисление приращений функционалов............................44
2
2.4. Свойства приращения функции р" ...............................46
2.5. Вычисление первых вариаций функционалов.......................50
2.6. Вычисление первых вариаций функций Г; ........................54
2.7. Отделение конусов ............................................55
2.8. Вывод принципа минимума ......................................60
3. ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ БИОФИЗИКИ, ОПИСЫВАЕМЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНДИАЛЫ1ЫМИ УРАВНЕНИЯМИ .........................63
3.1. Обобщенная модель Вольтерра “хищник - N конкурирующих жертв” _63
3.2. Математические модели динамики роста биомассы ................66
3.3. Оптимальное управление для интегро-дифферснциального уравнения специального вида 70
ЛИТЕРАТУРА ...........................................................73
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
Rn - n-мерное евклидово пространство векторов;
под символом ' будет пониматься операция транспонирования: А' - матрица, полученная транспонированием матрицы А; если I - век тор-строк а, то /' - вектор-столбец; под перемножением двух N-мерных функций понимается их скалярное произведение;
ÇI - ограниченная область в Rn с кусочно-гладкой границей Е;
Q = Cl х (О, Г), Q(t, t) = Q х (т, t) - цилиндры в Яп+1;
S = Е х (0,!Г), S(r,t) = S х (г,<) - боковые поверхности цилиндров Q, Q{r, t) соответствен но;
х € П С Я\ t 6 [О,Г);
Da - обобщенная частная производная порядка s, отвечающая мультииндексу а = (о*,о*), |а| = s; Da = д3/ dxai,dxa/f
{/?***(«, f)}|öj<m - совокупность всех возможных обобщенных производных функции u(x,t) до ?п-го порядка включительно;
если / Ç Яп, то /а = lcrjat—la, ( о; = (оь...,ая), |а| = $ - мультииндекс);
5>{и;} = {щ : |щ — гс| < /?}, для w € Rn, - шар в пространстве Rn с центром в щ С[О, Т] - пространство непрерывных функций на отрезке [О, Т);
С1 [О, Г] - пространство непрерывно-дифференцируемых функций па отрезке
[о ,П;
В[0,Т] - пространство ограниченных на [0,Т] функций u(t) : [0,Т] —» Я1 с нормой
IH0II = s»? MOI;
<€(0,71
L2^(E) - пространство Лебега N-мерных суммируемых с квадратом на множестве Е вектор-функций с нормой
1М|2,Б = (/«2<гя)Ь
Е
ЬпЛЕ) - пространство Лебега функций с нормой
IMIoo.E = vrai sup |tt(i)|ï
tÇE
W™n(E) - пространство Соболева, содержащее функции из L2,tf{E), которые имеют обобщенные производные из 12,лг(£) До порядка m включительно, с нормой
иТлДЯ) = {“ : е и МБ), М < пг};
КЯ" (С}) - пространство Соболева, содержащее функции из которые
имеют обобщенные производные ИЗ Ь2,х(С}) по х до порядка гп и по I до порядка пц включительно,
$11 ___________________
УУ?Р(Я) = {и : В* и 6 Ь2МО)А«\ < гп,-^ <Е £2,*«2),/ = М^};
У£ы(Я) - подпространство И^д^ф), состоящее из функций с конечной нормой
|М|д = (тах||п||221П + || £ ХГ«|ВЛ)2)*,
0<|ог|<т
имеющих следы на всех сечениях цилиндра (} по непрерывно зависящие от I в метрике /,2,лг(^)-
>
<г
5
ВВЕДЕНИЕ
Интегро-дифференциальные уравнения привлекают внимание большого круга исследователей как в нашей стране, так и за рубежом (10.А.Агранович, Н.В.Азбелев, Е.А.Барбашпн, А.И.Булгаков, В.С.Владимиров, О.А.Кузенков, В.И. Максимов, Г.И.Марчук, А.П.Михайлов, С.Ф.Морозов, П.Е.Соболевский, В.И.Сумин, R.C.Grimmer, J.llale, D.Sforza, J.Warga и др. [4] [5], [9]—[11] [17], [21], [28], [54], [59], [60], [87]—[89], [96], [97], [132], [138], [165], [166], [175]). Они занимают видное место в исследованиях, связанных с математическими моделями в физике [96], [158], [159], [171], химии [173], биологии [142] и многих других.
Важным классом являются интегро-дифференциальные уравнения с частными производными, в которых интеграл, присутствующий в уравнении, берется по некоторой области пространственных переменных. Посредством таких уравнений, в частности, описываются многочисленные процессы типа “реакция-диффузия”: распространения тепла [80], газовой динамики [54], горения [173], отравления продуктами метаболизма [162], распространения инфекционных заболеваний [154], динамики сражения войск [155] и многие другие. Подобные уравнения играют значительную роль в математических моделях биофизики, в частности, популяционной биологии [119], [121]—[123], [135].
При изучении интегро-дифференциальных уравнений возникают вопросы о существовании, единственности и виде его решения, а также об определении обобщенного решения подобных уравнений [9]—[11] [59], [60], [132], [138], [165], [166], [175]. В ряде случаев интегро-дифференциальные уравнения исследуются как частный случай различных классов функциональных [21], [132], функционально-дифференциальных [5], [17], [138] дифференциально-операторных уравнений [46], [136]. В [58]-[60], [168] О.А.Кузенковым было показано, что многие классы интегро-дифференциальных уравнений в случае, когда интеграл, берется по некоторой области пространственных переменных, можно единообразно представить посредством эволюционного уравнения в семействе вероятностных мер Радона, что позволило обосновать их разрешимость, исследовать предельные свойства решения, а. в ряде случаев найти решение в явном виде. Существенной особенностью таких уравнений является паличис первого интеграла, что соответствует равенству единице полной меры в любой момент времени при любых начальных условиях. Метод их решения основан на использо-
6
%
- Київ+380960830922