- 2 -СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ............................................... 3
ГЛАВА I. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КВАДРАТИЧНОГО САМОСОПРЯЖЕННОГО
ПУЧКА.......................................................16
§1. Спектральные свойства однопараметрических матриц-функций со значениями во множестве я-самосопряженных операторов..........................................16
§ 2. Об одновременной приводимости двух самосопряженных операторов к "диагональному виду" ................ 32
§ 3. Структура спектра самосопряженного пучка .... 37
^4. Существование метрики Понтрягина, симметризующей оператор-функцию с самосопряженными коэффициентами ..........................................................44
ГЛАВА II. ВОПРОСЫ ПОЛНОТЫ И БАЗИСНОСТИ ЖОРДАНОВЫХ ЦЕПОЧЕК САМО-
«
СОПРЯЖЕННОГО ПУЧКА I........................................70
§ 1. Двукратная полнота и базисность жордановых цепочек пучка I . . . •..........................................70
§ 2. Полнота и базисность жордановых цепочек пучка I в
исходном пространстве ...........................79
ГЛАВА III. КВАДРАТИЧНЫЙ ОПЕРАТОРНЫЙ ПУЧОК С ПАРАМЕТРОМ .... 88
§1. Постановка задачи........................................88
§2. Расположение на комплексной плоскости спектра
пучка Ье................................................92
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.....................................................115
«
ВВЕДЕНИЕ
В математической литературе пионерской работой по созданию и применению теории пространств с индефинитной метрикой является знаменитая статья Л.С.Понтрягина [24], написанная в связи с постановкой С.Л.Соболевым (см. [25]) задачи об условиях устойчивости вращения волчка,заполненного жидкостью, вокруг своей оси симметрии. Эта проблема редуцировалась к изучению спектра самосопряженного оператора в пространстве, ныне называемом пространством Понтрягина Пае (при ае * 1), а такие операторы называют тс-самосопряженными.
Далее результаты спектральной теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой были использованы С.Г.Крейном и
Н.Н.Моисеевым [21], рассматривавшими движения аналогичного объекта, близкие к состоянию покоя и в предположении, что жидкость имеет свободную поверхность. При этом задача о нахождении нормальных колебаний сводилась к задаче о собственных числах линейного пучка L(w) - <оА - В, где А - положительный оператор, а самосопряженный оператор В задает в гильбертовом пространстве Н структуру пространства Понтрягина Пае (1 < ае < 6) с индефинитной метрикой [u, v] - (Ви, v). Эта задача сводится к спектральному анализу соответствующего я-самосопряженного оператора.
Впервые теорию операторов в пространствах с индефинитной метрикой к изучению квадратичных пучков L(A) - A2I + АВ + С, где В - В* - непрерывный оператор,С > О, С - вполне непрерывный оператор (( Тс») привлекли М.Г.Крейн и Г.К.Лангер, [17], [18], предложившие пучку ставить в соответствие квадратное операторное уравнение z2 + Bz + С - О и ассоциированный с ним оператор
полнота системы жордановых цепочек пучка L эквивалентна полноте
- В
При этом оказывается, что двукратная
- 4 -
л»
системы корневых векторов оператора К в пространстве Н - Н+ © Н-(Н+ - Н- - Н) [12].
При изучении полиномиальных операторных пучков теория операторов в пространстве Крейна использована Н.Д.Копачевским [143,
Н.Д.Копачевским, С.Г.Крейном, Нго Зуй Каном [15], Г. Ланге-ром С35], [36], П. Ланкастером, А.Шкаликовым и Е.Кванг [37],
A.С.Маркусом [23], А.С.Маркусом и В.И.Мацаевым [38], [39].
В работах С.Г.Крейна [20], Н.К.Аскерова, С.Г.Крейна, Г.И.Лаптева [7], рассматривался квадратичный пучок
1
L(X) - ХА + - С - I, где А > 0, С > 0, А ( Гр, С 6 Tq , (1) X
возникающий при изучении задачи о движениях тяжелой вязкой несжимаемой жидкости в открытом сосуде. Было показано, что спектр этого пучка состоит из не более чем счетного множества собственных значений конечной алгебраической кратности расположенных в правой полуплоскости, а точками сгущения спектра являются только точки
X - 0, X - со.
Предложенное Г.И.Лаптевым преобразование пучка к системе двух линейных пучков позволило с помощью известной теоремы М.В.Келдыша [6] доказать дважды полноту в пространстве Н системы собственных и присоединенных векторов пучка (1).
Дальнейший шаг был сделан Е.А.Ларионовым [22] и независимо
B.Гринли [34]. Ими был использован критерий полноты и базисности системы корневых векторов л-самосопряженных операторов (см. [2]) и доказано существование двух базисов Рисса для пучка (1).
Изучению квадратичного пучка L ограниченных самосопряженных операторов:
L(A) - С + АВ + А2А, А - А*, В - В*, С - С*.
являющегося компактным возмущением сильно демпфированного пучка с отделенными спектральными зонами, т.е.
L(A) - Lo(A) + Li(A), где Lo(A) - Со + АВо + А2Ао - сильно демпфированный пучок, Li(А) - Cl + ABi + A2Ai, Ai, Bi, Cl ( посвя-щена работа А.А.Шкаликова, В.Т.Плиева C323. В ней обсуждаются вопросы базисности производных цепочек Келдыша длины 2, построенных
'V
по собственным и присоединенным элементам пучка L в Н - Н © Н, приведены достаточные условия безусловной базисности в пространстве Н системы Е+(Е~) собственных и присоединенных векторов пучка L.
Обобщением пучка С.Г.Крейна (1) на случай нагреваемой жидкости является квадратичный операторный пучок
1
L(А) - I - sQ - АА - - С, (2)
А
А, С, Q ( А > О, С > О, Q - Q*, £ 6 R+,
возникающий в задаче о нормальных колебаниях однородной вязкой жидкости,частично заполняющей сосуд [153. Там же поставлена задача: изучить поведение собственных значений пучка (2) при выполнении условия ellQH > 1 и получить достаточные условия неустойчи-
вости. Детальному рассмотрению этого вопроса посвящено исследование Н.Д.Копачевского и В.Н.Пивоварчика С163.
Другим обобщением пучка С.Г.Крейна (1) является пучок
L(A) - AZA + АВ + С, (3)
где операторы А, В, С - являются непрерывными и самосопряженными в
гильбертовом пространстве Н.
А.Г.Костюченко была поставлена задача - выделить класс пучков
типа (3), которым можно поставить в соответствие it-самосопряженный
- 6 -
оператор.
В данной работе рассматривается определенный класс пучков типа
(3), строится некоторое пространство Понтрягина Пае, и в этом пространстве пучку ставится в соответствие оператор, являющийся самосопряженным относительно метрики пространства Пае. Указан пример компактных операторов А, С, когда этого сделать нельзя.
Цели настоящей работы. 1. Найти условия, при которых в некотором гильбертовом пространстве можно ввести структуру пространства Понтрягина, относительно которой линеаризатор квадратичного пучка Ь(Х) - Х2А + АВ + С будет самосопряженным;
2. изучить спектральные свойства указанного квадратичного самосопряженного пучка через свойства соответствующего тс-самосопряженного оператора;
3. найти необходимые и достаточные алгебраические условия двукратной полноты и базисности жордановых цепочек квадратичного пучка;
4. исследовать расположение в комплексной плоскости собственных значений квадратичного пучка, подобного возникающему при малых конвективных движениях жидкости в частично заполненном сосуде.
Методы исследования. В работе используются методы спектральной теории операторов, действующих в пространствах с индефинитной метрикой, некоторые способы линеаризации рассматриваемых квадратичных пучков, в зависимости от решаемой проблемы, а так же другие общие результаты функционального анализа.
Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми.
Из них можно выделить следующие:
1. выделен класс самосопряженных квадратичных пучков, которым можно поставить в соответствие линеаризатор, являющийся самосопряженным оператором в некотором пространстве Понтрягина;
2. доказаны новые необходимые и достаточные условия двукратной
- 7 -
полноты и базисности жордановых цепочек квадратичного самосопряженного пучка;
3. получен новый критерий принадлежности оператора классу К(Н), позволивший доказать полноту и базисность части жордановых цепочек пучка в исходном пространстве;
4. исследованы вопросы расположения в комплексной плоскости собственных значений квадратичного самосопряженного пучка с параметром;
5. получено описание всех положительных операторов из 1У1, матрицы которых в произвольном ортонормированном базисе будут иметь доминирующую главную диагональ.
Приложения. Результаты диссертации могут найти применение в дальнейшем развитии теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой, спектральной теории квадратичных пучков и ее приложениях в гидродинамике.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на XIV Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах в г.Новгороде, 1989 г.; на I-IV Крымских осенних школах-симпозиумах по спектральным и эволюционным задачам (КРОМШ I-IV) 1990-1993 гг.; на семинаре "Несамосопряженные операторы" механикоматематического факультета МГУ, руководители - профессоры А.Г.Кос-тюченко, А.А.Шкаликов, 1993 г.; на Всесоюзной Воронежской математической школе "Понтрягинские чтения IV" 1993 г.; на Международной конференции по проблемам теории операторов в Вене 1993 г.; на семинаре "Краевые задачи", руководитель - профессор Ю.В.Покорный.
Публикации. Основные результаты полностью опубликованы в работах [33 - [53, [263 - [303, СЗЗЗ. В работах [33 - [63, [333, написанных совместно с научным руководителем профессором Т.Я.Азизовым постановка задач принадлежит научному руководителю, а их решение -
- 8 -
- автору диссертации.
Структура диссертации. Диссертация изложена на 118 страницах, состоит из введения, трех глав, разбитых на восемь параграфов, и списка литературы из 40 наименований. Нумерация формул и утверждений в параграфах независимая - первая цифра показывает номер параграфа, а число после точки - номер формулы или утверждения в данном параграфе.
Содержание работы.
В § 1 главы I рассматривается модельный пример модифи-
1
цированного пучка С.Г. Крейна ЦА) « АА + - В - Лае в конечномерном
X
пространстве С11: матрицы А, В - эрмитовы и
А - II аи
п
і,о«і....п. А>0, аи > Ё і^ізі+еі^, ЄіА>0, і-1,2,
0-1
І+1
.. п»
П
В - ІЬиІ і.з*і....п. в>0, Ьі і > £ І Ьіз |+£іВ, Еі^>0, 1-1.2....пі
0-1 0*1
(4)
'Іае - ||Лп1, і. о = і. ... п. >1 і а = 0 і + 0, 111 = 1,
1 - 1, 2, ... п-зе, Лі і - -1, 1 - п-зе + 1, ... п.
Обозначим Ьсі ’’диагональ" указанного пучка:
1
Ьа - Хсііа^А + - сІіа^В - Лає. А
Теорема 1.1. Пусть матрицы А, В, Лае, определяющие пучок Ц удовлетворяют условиям (4). Если все собственные значения Ьа лежат в угле
- 9 -
ФОН { : І Ье ?і І < 2(ЄіА • ЄіВ)1/2 >,
1-І
то 2ае собственных значений пучка І лежат в открытой левой полуплоскости, а 2(п - ае) - в открытой правой полуплоскости.
Так же получено описание всех положительных операторов из матрицы, которых в произвольном ортонормированном базисе будут иметь доминирующую главную диагональ.
Теорема 1.3. Пусть А : Я™ -> ІЇ1 симметрический положительный оператор, Атіп и Атах соответственно наименьшее и наибольшее его собственные значения. Тогда матрицы этого оператора имеют доминирующую главную диагональ в любом ортонормированном базисе И11 тогда и только тогда, когда выполнено условие:
/Атіп / Атах / П
+ / < 2/------------------------
(5)
чпах Атіп П - 1
Следствие 1.3. В условиях Теоремы 1.3 неравенство (5) эквивалентно следующему:
Атах ( |/П + 1 )2
<
Ат1п П - 1
В §2 излагаются утверждения, которые носят вспомогательный характер и используются при доказательстве основных результатов.
Теорема 2.1. Пусть А, В - непрерывные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве Н, В - непрерывно обратим и порождает В-метрику Сх, у] - (Вх, у). Тогда следующие условия эквивалентны:
- Київ+380960830922