/
/
- 2 -
Оглавление
Глава I
Некоторые математические методы
ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ §1. Начально-краевая задача для уравнений Навье-Стокса и основные функциональные пространства.
Стокса.
§3. Бифуркация рождения цикла в некоторых задачах с симметрией.
§3. Метод Ляпунова-Шмидта в многопараметрических задачах.
§3а. Применения метода Ляпунова-Шмидта для изучения возникновения автоколебаний в жидкости.
§ЗЬ. Алгоритм построения рядов Ляпунова-Шмидта.
§3с. Вырожденные бифуркации в задачах Колмогорова и Куэтта- Пуазей л я.
Глава II
Неустойчивость некоторых плоских течений вязкой несжимаемой жидкости
§1. Введение.
§2. Постановка задачи о потере устойчивости и бифуркации плоского течения Пуазейля.
§3. Разложение автоколебательных решений в ряды по малому параметру.
§4. Бифуркация течения Пуазейля в окрестности точки вырождения.
§2. Аттракторы начально-краевых задач для уравнений Навье-
I
- 3 -
§5. Численное решение спектральной и краевых задач.
§6. Потеря устойчивости и бифуркация течения Колмогорова. Постановка задачи.
§7. Линейная задача об устойчивости.
§8. Бифуркация обобщенного течения Колмогорова.
Глава III
Задача Куэтта-Тейлора §1. Спектральная задача об устойчивости течения Куэтта и ее дискретизация.
§2. О стационарной бифуркации течения Куэтта.
§3. О бифуркации течения Куэтта на периодическое по времени течение.
§4. О вихрях Тейлора.
§5. Исследование устойчивости вихрей Тейлора.
§6. О бифуркации вихрей Тейлора.
Глава IV
Пространственная динамика
ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ.
§1. Введение.
§2. Линейный пространственный оператор и его свойства.
§3. Задача об устойчивости З-Б течения Пуазейля.
§4. Редакция нелинейной задачи.
§4а. Обсуждение.
1. Сравнение с амплитудным уравнением Дэви-
1
- 4 -
Стюартсона-Хокинга.
2. Бегущие и стоячие волны с нулевым расходохм.
3. Бегущие волны с ненулевым расходом.
§5. Неустойчивость стоячих волн с большим пространственным периодом в задачах с 0(2) симметрией.
§5а. Постановка задачи.
%
‘ §5Ь. Пространственная динамика.
Глава 1
Некоторые математические методы гидродинамической теории устойчивости
1.1 Начально-краевая задача для уравнений Навье-Стокса и основные функциональные пространства.
Имеется целый ряд задач математической физики и, в частности, гидродинамики, где рассматриваемая физическая система является столь протяженной, что неоднородные структуры (течения) обладают собственным характерным масштабом (напр, длинной волны), который много меньше размеров системы и практически не зависит от их вариации. В таких ситуациях область (течения) естественно считать неограниченной, чтобы исключить влияние удаленных границ. Поэтому многие гидродинамические задачи могут рассматриваться в подходящих координатах в области <3 Е 1К3 (? = П х Мт с т = 1 или т — 2 неограниченными координатами, где ограниченное гладкое поперечное сечение размерности 1 или 2.
Одной из основных задач нелинейной теории гидродинамической устойчивости является описание структур около порога неустойчивости основного, максимально однородного течения. Эта, как её ино-
і
- б -
гда называют, слабо нелинейная теория является первым шагом в изучении процесса усложнения течений и перехода к турбулентности.
Классический подход к задаче состоит во введении условий периодичности по всем неограниченным направлениям и изучении задачи в фундаментальной области. Не претендуя на оригинальность, вве-дем основные функциональные пространства и напомним ключевые факты из теории разрешимости начально-краевых задач для системы Навье-Стокса
Предположим теперь, что - цилиндрическая область С? = х
V, Р уравнений Навье-Стокса. Область £1 предполагается гладкой и ограниченной, а 2 направлено вдоль неограниченной координаты. Обезразмерив задачу, получим уравнения для возмущений основного течения
Общий групповой анализ уравнений Навье-Стокса данный в [Овсянников [1978]] позволяет найти полную группу симметрий зада-
в области с граничным и начальным условиями
и\і=д = ^(ь ^|с?(?х[0,Т) = 0.
(1.1.2)
ІК1, в которой существует стационарное и не зависящее от г рещение
с граничным условием:
и\дПхЯ = 0.
(1.1.4)
I
-7-
чи (1.1.1), (1.1.2), однако в дальнейшем будет существенно использоваться только инвариантность относительно группы Галилея. Инвариантность задачи относительно сдвигов и твердотельных вращений делает обычным появление в редуцированных конечномерных задачах инвариантности относительно подгрупп группы 0(2) х 0(2) х при условии, что но всем неограниченным направлениям введено
9
условие периодичности.
Наличие непрерывной группы симметрий оказывается особенно существенным при изучении редуцированной задачи на центральном многообразии.
Покажем теперь, как при наличии условия периодичности по всем неограниченным направлениям, начально-краевая задача для уравнений Навье-Стокса может быть сведена к эволюционному уравнению в некотором подходящем функциональном пространстве. Приведенные ниже результаты о разрешимости в целом не новы, однако условие периодичности требует некоторых уточнений в стандартных определениях и конструкциях. Стандартным источником для ссылок в этой области являются [Ладыженская [1972]], [Вишик, Фурсиков [1980]], [Темам [1981]], [Юдович [1984]].
Предположим для определенности т = 1 и будем рассматривать течения в фундаментальной области = 9 х [0,2тг/оф Обозначим Ь\(<2а) замыкание в метрике Т^СФа) множества непрерывных 2тг/су периодических по г функций. Положим
Н{да) = {и 6 [12(<?а)]3 : (1пг и = 0, (у • п)|й,х[о,2»/сг] = 0} ,
У(<2а) = {1)6 [#’(<3„)]3 : V = 0, (и • 1^)|сЗПх[012я'/а] = 0} ,
со скалярными произведениями индуцированными из ((З«)]3 и [Н1 (С?а)]3 соответственно. Пространство Н(С2а) является ортого-
I
-8-
нальным дополнением пространства всех grad<£, ф £ Hl(QfX)) где Н1 обычное обозначение соболевского пространства функций интегрируемых вместе с их первыми производными с квадратом. На пространстве [L^O)]3 вводится ортогональный проектор Р на H(Qa) . Именно этот проектор позволяет исключить из задачи давление и
учесть условие div v = 0. В сущности указанная декомпозиция бази-
<
руётся на справедливом для гладких функций тождестве Грина
/Jgradp • v)dx + Jqj(V ■ v)dx = • n)do,
где n-внешияя нормаль к dfl х [0,27т/а). Практически, в частности, и при построении численных алгоритмов, проекция P(v)> v G #*(Qa)]3 строится
следующим образом [Ладыженская [1970]], [Юдович [1984]]; вектор V записывается в виде
v = и + gradp,
где V € Hk{Qa)f и удовлетворяет div и = 0, {v ■ п)|0Пх[о,2*/<*] = 0-Поскольку и = Pvy получаем задачу для р
Др = divt; £ Hk~l(Qa))
Iе, г =(«'")№х[0>м (1Л'5)
дп |апх[0,2т/а] 1
Тем самым р определяется с точностью до аддитивной постоянной из задачи Неймана.
Отметим, что данная декомпозиция предполагает наличие условия периодичности на давление. Тем самым для описания течений с ненулевым расходом через поперечное сечение канала
Q = JQ{v ■ n)ds
1
- 9 -
необходимо ввести в рассмотрение либо течения с условием периодичности не для давления, а для gradp, либо рассматривать течения, происходящие под действием (ненулевой) постоянной силы F = (/ь/2>/зУ* Этот вопрос будет подробнее рассмотрен в главе 2 на примере задачи о плоском течении Пуазейля. Построенная ортогональная проекция позволяет ввести (неограниченные) линейный LM и квадратичный BM(v, v) операторы,
L„v = Р(^Д — gradp — (V • V)v — (v ■ V)V),
<
B^(v,v) = -P(v ■ V)u, где вектор представляет параметры задачи, и записать начальнокраевую задачу для системы уравнений Иавье-Стокса в виде dv
— = L^v + B^v.v), vlt=0 = v0e Dn. (1.1.6)
Здесь через Da обозначена область определения оператора Lfn
Da = D{L^) = [и £ H(Qa) : и £ [H2(Qa)]'\ W|^x[o,2ir/a] = 0}.
Известны следующие факты [Iooss [1984]], [Хенри [1985]]:
Утверждение 1.1 Оператор LИ обладает компактной резольвентой и его спектр расположен в секторе, симметричном относительно вещественной (отрицательной) полуоси; т.е. оператор Lц - секториальный.
Утверждение 1.2 Оператор является генератором голоморфной, компактной полугруппы в H(Qa). Полугруппа exp(L^) анали-тична по t в некотором секторе, симметричном относительно положительной полуоси с углом полураствора не зависящем от р.
Утверждение 1.3 Квадратичный оператор Btl(v,v) действует непрерывно из Dn в Ка = {v £ H(Qa) : v £ [Я!(<5а)]}.
Если ограничиться плоскими и трехмерными течениями, то по теореме Соболева вложения.Н2(Qq) в C°(Qq) и Hl(Qa) в L^{Qa) непрерывны. Поэтому для гладкого основного течения и фиксированного числа Рейнольдса выполняется неравенство
WB»(V’V)\\к* < C{Qa)\v\\Do.
Локальная теорема существования гласит [Ладыженская [1970]], [Вишик, Фурсиков [1980]],[Темам [1981]], [Юдович [1984]]:
Теорема 1.1 а) Для VT > 0,3<5 такое, что для ||г>о||яа < б задача (1.1.4) имеет на отрезке [0,Т] единственное решение, непрерывное по t в Da и дифференцируемое в H(Qa).
b) Для Vr Є Dq,3T > 0, такое, что решение v(t.) существует и единственно на [0,Т].
c) Решение u(t,p,vо) зависит от t,p,vо аналитически.
Тем самым па Da определен полупоток Ft{vо) = v(t).
Устойчивость базисного потока, соответствующего решению v = 0 задачи (1.1.6) определяется расположением собственных значений линейного оператора L(l. В соответствии с принципом линеаризации [Юдович [1965а]], [Юдович [1984]] решение устойчиво в Яа, если все собственные значения имеют отрицательную вещественную часть и неустойчиво, если имеется хотя бы одно собственное значение с А > 0. Очевидно, что если а, и собственное значение и собственный вектор задачи
а и = Lflu,
то существует q такая, что gradg Є [L<i(Q<*)]3 и 1
о и = — gradp — (V • V)u — (u • V)V — (u ■ V)u,
P j (1.1.7)
div t> = 0,
I
-11 -
и € [Н2^^)]*, с граничным условием:
|
«|«|хЛ = 0. (1.1.8)
I
Это замечание показывает, что йереход от одной формы записи задачи к другой трудностей не вызывает и в разных ситуациях оказывается удобным применять разные языки (см. глава 3, §6).
Рассмотрим случай, когда значение (векторного) параметра близко к критическому р о = 0) лежащему на нейтральной поверхности Я = Я(а, • • •). Для /.10 = 0 собственные значения с максимальной вещественной частью удовлетворяют условию
ЫесгД/то) = 0.
Обозначим коммутирующий с Ьц проектор на инвариантное пространство отвечающее критическому спектру. Тогда благодаря свойствам аналитической полугруппы ехр ЬД и свойствам нелинейных членов, можно получить следующее утверждение:
Теорема 1.2 (о центральном многообразии.)
Для Уз > 0 существует окрестность нуля (0,0) 1x0 С 1Яп х Д, в которой задано отображение Ф класса Сь такое, что его график у = Ф(р,х) задает локально инвариантное и локально притягивающее многообразие Мц в Д* т.е.
1) Мо касается б)ц0Оа в начале координат,
2) МИ локально инвариантно относительно полупотока
3)Мц является локально притягивающим; т.е. если начальные данные та,ковы, что решение Е 0, т,о сИб! (Д)А/г?о, МД —»
0 при £ —» оо.
)
- 12 -
Из этой теоремы следует, что локальная рекуррентность в окрестности точки потери устойчивости определяется конечномерным уравнением на*центральном многообразии
^ = /(м,Х), ХеСЭо(<Э) (1.1.9)
Историю появления теоремы о I центральном многообразии и об-суждение различных методов доказательства можно найти в [Уапс1егЬагш11е<1е, 1ооб5 [1992]]. В случае, если исходная задача обладает группой симметрий, то центральное многообразие можно выбрать симметричным и задача (1.1.9) будет обладать некоторой индуцированной группой симметрий [ЛиеИе [1973]].
1.2 Аттракторы начально-краевых задач для уравнений Навье-Стокса.
В 70 — 80* годы появился ряд работ объясняющих, что начально- ^ краевая задача для уравнений' Навье-Стокса, рассматриваемая на больших временах, является в некотором смысле конечномерной [Ладыженская [1972]], [^аз, Тешат [1979]].
В сущности, речь идет об очень простых свойствах полупотока, порожденного в двумерном случае начально-краевой задачей для уравнений Навье-Стокса. Ниже, следуя [Афендиков, Бабенко [1987]], [Афендиков, Бабенко [1989]], показано, что, если не гнаться за предельными оценками, то конечность емкости (или метрического порядка), а значит и хаусдорфовой размерности, устанавливается крайне просто. Обсуждаются также принципиальные недостатки этой красивой математической теории с точки зрения гидродинамики.
I
- 13 -
Возвратимся к исследованию полупотока в двумерном случае
для течений в ограниченных областях. У течений в каналах, даже
если ограничится рассмотрением периодических вдоль оси канала
течений, имеется некоторая специфика и ниже (см. глава 2, §1),
на примере течения Пуазейля в плоском канале, этот вопрос будет
затронут. Известно, что задача (1.1.1),(1.1.2) имеет решение для лю-
•
бы* начальных данных щ Е Н - слабое решение Хопфа. Однако, если правая часть и границы области - гладкие, то и решение и(х, <) будет гладким при ^ > 0. Известны следующие классические неравенства (см.[Ладыженская [1970]], [Ладыженская [1972]]):
К,<)Ь < Ы-)Ье-Л“" + {^, V = 1/Я, (1.2.1)
где | * 12 “ норма в £2, а А) - минимальное собственное значение расширения оператора -РА в Н(С2а) до самосопряженного. В этом неравенстве отчетливо проявляется диссипативный характер уравнений Навье-Стокса. Через || • || обозначим норму в V; при I Е [е, оо] имеет место неравенство
1М, ОН <С€(\/\2,*1 (1.2.2)
где С£(|/|2, ^) - константа, зависящая только от |/|2, и. Поскольку пространство V вложено в И компактно, то полутраектория -{и Е Н : и = н(т,£),0 < £ < оо} будет устойчива по Лагранжу, г.е. множество её предельных точек будет компактным. Обозначим через СОио - предельное множество ТОЧКИ Но* Это множество можно получить, взяв предельные точки всевозможных последовательностей {д(т,^)}, tj | оо, где и(х,£) - полутраектория, начинающаяся в щ. Оно замкнуто, инвариантно относительно полупотока 7^ и в
I
- 14 -
силу (1.2.1) лежит внутри шара
5/ = {и € Я : |г/|2 < (Лг/^}. (1.2.3)
Важным свойством функции и(х^) является её аналитичность по t в области : е < Ые£ < оо, |1т£| < <5}, причем <5 при фиксированном £ зависит только от V. Естественно, гг(х, £) рассматривается как
$
аналитическая функция от £ со значениями в Н. Если гг(т,^) —► й при ] —у оо, то в области = {< : —М < КеЛ < М, |1т£| < 6} к последовательности {д(а;,г + ^)}^/у, где Лг достаточно велико, можно применить теорему Монтеля о нормальных семействах, поскольку из оценки (1.2.1) следует равномерная ограниченность семейства -
\и(х, I + </)|2 < С,
причем норма берется в комплексификации пространства Н. Поэтому можно считать, переходя, если это необходимо, к подпоследовательности, что Нп1^_оо гг(х, t + tj) существует В Им и является, в силу соответствующих теорем единственности [Ладыженская [1970]], [Ладыженская [1972]], частью траектории потока Р}, проходящей через й. В силу произвольности М множество а?11о будет состоять из объединений полных траекторий.
Таким образом, начально-краевая задача (1.1.1), (1.1.2) на а;ио корректна также в сторону отрицательных значений t, траектория неограниченно продолжима на (—оо,0) и является аналитической функцией в полосе {£ : |1т2| < <5}.
Пусть Т = {и Е V : и = и(*, £), —оо < t < оо} - траектория потока Р*, лежащая в множестве с^о- Замыкание траектории, очевидно, состоит из целых траекторий. Если Тп = {н Е V : и = ц(-,£),— п < t < п} и множество Т = 1)пТп замкнуто, то его топологическая раз-
мерность <1. В самом деле, токологическая размерность множества и поэтому по Tn,dimTn < 1 i| поэтому но классической теореме
[ Гуревич, Волмен [1948]] dimT k 1. Итак, множество (JUQ состоит
I
из набора множеств - целых траекторий потока Ft. Рассмотрим множество
•4 = U wU0,
tiGtf
где черта сверху обозначает замыкание. Ясно, что множество Л С S/ и Л С V, т.е. Л - компакт в Я, состоящий из полных траекторий потока Ft. Назовем его аттрактором полупотока Ft. При рассмотрении конкретных задач о течениях вязкой жидкости мы чаще всего интересуемся либо стационарными течениями, либо эволюцией течения на достаточно большом временном промежутке. Более того, отыскивая численно стационарное течение, часто используют метод установления, при котором стационарное течение отыскивается как предел нестационарных течений при неограниченном увеличении времени. Как разъяснено выше, решение начально-краевой задачи (1.1.1), (1.1.2) неизбежно стремится к аттрактору Л, и поэтому он является тем объектом, который нужно изучать, в частности, и в теории возникновения турбулентности. Точка зрения, что изучение динамических свойств потока Ft на аттракторе и является задачей теории турбулентности, по-видимому, впервые была четко высказана в [Ладыженская [1972]]. Отметим, что определение аттрактора, данное в [Ладыженская [1972]], отличается от вышеприведенного.
Целесообразно рассматривать минимальные подмножества аттрактора Л, т.е. непустые, замкнутые, инвариантные множества, не имеющие истинных подмножеств, обладающих этими тремя свойствами. Пусть Ло - минимальное подмножество (такие на Л обяза-
-16-
тельно имеются). По теореме Н.М.Крылова и Н.Н.Боголюбова на Ао можно построить вероятностную меру р, инвариантную относительно потока
!
Измеримое подможество А С Ао называется р - инвариантным,
если р{(А \ ^(^4)) и{^{А) \ А)) = 0 для всех t.
Определению. Динамическая система называется эр г одической,
$
если для любого р ~ инвариантного подмножества А либо р(А) = О, либо р(А) = 1.
Эргодические системы играют роль простейших неразложимых объектов, и для них имеет место одна из основных теорем эргодиче-ской теории - теорема Биркгофа-Хиичииа, которая гарантирует, что для всех д € Ь{(Ао,р) и для почти всех и £ Ао
1 Т
&т/о 9(Р1ч)сН = 10д(у№.
Кратко эту теорему формулируют так: средние по пространству и по времени совпадают почти всюду.
Будем предполагать, что # эргодична на Ао. Однако, когда «говорят о стохастическом поведении динамической системы, задаваемой системой Навье-Стокса, то имеют в виду свойство более сильное, чем эргодичность. Предполагается наличие в динамической системе перемешивания. Под перемешиванием понимают следующее. Пусть д,}г - интегрируемые с квадратом по мере р функции, определенные на Ао. Тогда, если
Нт / [д(Ди - д][к(и) - 1г](1ц = 0, (1-2-4)
1—>±оо JAo
где через /г обозначено среднее но мере р значение функции Л, т.е.
7 = /■
I
I
I
- 17 -
то динамическая система Е% - система с перемешиванием.
Заметим, что соотношение (1.2,4), по существу, является аналагом
известного в теории турбулентности условия убывания корреляци-
вольная точка П, а и(х, •) - элемент множества До, вычисленный в точке х. Усреднение по мере р - это усреднение по ансамблю, которое используется в теории турбулентности, и(х) - средняя скорость в точке X.
Можно связать возникновение турбулентности в жидкости.
с появлением минимальной компоненты Ло аттрактора Л, па которой динамическая система ^ является перемешивающей относительно некоторой инвариантной меры р.
Заметим, что естественно потребовать, чтобы мера р была неатомическая, т.е. каждое /^-измеримое подмножество Ло положительной меры содержало измеримое подмножество меньшей меры. Иначе возникают патологические ситуации; например, стационарная точка с единичной мерой, в ней сосредоточенной, удовлетворяет вышеприведенному определению турбулентного аттрактора.
В связи со сказанным сделаем следующее замечание. По известной теореме минимальное множество, состоящее из почти периодических движений, строго эргодично. Другими словами, в системе существует единственная инвариантная мера и все точки системы являются точками плотности относительно этой инвариантной меры. Однако, для таких динамических систем соотношение (1.2.4) не имеет места, и корреляционная функция пульсаций скорости не стремит-
онной функции пульсаций скорости
где* точка обозначает скалярное произведение векторов, х - произ-
1
- 18-
ся к нулю. Согласно предположению Л.Д. Ландау, турбулентность возникает посредством механизма увеличения числа частот условнопериодического решения задачи (1.1.1), (1.1.2) с помощью последовательных бифуркаций, происходящих из-за потери устойчивости при росте числа Рейнольдса. Само турбулентное движение характеризуется как условно-периодическое с большим числом частот. Выше было разъяснено, что аттрактор системы с перемешиванием не может состоять из почти периодических движений.
' М при попытке численного решения начально-краевой задачи
, (1.1.2^и при обработке результатов эксперимента важную роль играют ёмкостные свойства аттрактора Л. Поскольку в большинстве работ эта величина характеризуется хаусдорфовой размерностью компакта, дадим определение этой величины. Пусть X -произвольный метрический компакт, и если X С У, то через й(У)
обозначим диаметр множества У. Пусть X,, ^ = 1,2, конечное
или счетное покрытие X множествами диаметрами < 2е. Положим 7Пр(Х) = т1^[ЛХу]р9 где нижняя грань берется по всем покрытиям диаметра < 2е, и положим
Тогда хаусдорфова размерность компакта X но определению равна
где dim (Л') - топологическая размерность компакта А’. В теории приближений под ёмкостными характеристиками аттрактора
тр = sup Шр( А).
е>0
h(X) = sup{p Є Ш : тр(Х) > 0}.
Имеет место фундаментальное неравенство
/і(А) > dim (А)
I
- 19-
имеют в виду величины, определяющие объем информации, необходимый для задания компакта с некоторой заданной точностью, и используют для этой цели понятия 6-энтропии и 6-ёмкости [Колмогоров, Тихомиров [1959]]. Обозначим через N(6, X) минимальную мощность покрытия компакта X замкнутыми множествами диаметра < 2б. Подмножество метрического пространства называется 6- различимым, если любые две его точки лежат на расстоянии, большем 6. Через М(е>Х) обозначим мощность максимального 6-различимого подмножества множества А'.
Двоичные логарифмы величин Л^(б,АГ) и М(е>Х) называют соответственно 6-энтропией и 6-емкостью компакта и обозначают через Н(еуХ) и С(б, X). Элементарно доказывается, что
С(е)Х) < Н(вуХ) < С{2е,Х).
Несложно показать, что если А" - компакт в Л1Г\ имеющий внутренние точки, то
Н(е,Х) = п1од2(1/е) + 0(1).
Если X - выпуклый бесконечномерный компакт, то
\iminl Н(бу Х)/1од2(1/в) = оо.
Таким образом, грубо говоря, лишь для конечномерных компактов имеет место неравенство Н{е, X) < с1одч{1/о) и по сложности задания конечномерные компакты - наиболее простые объекты после конечных множеств. Л.С.Понтрягин и Л.Г.Шнирельман в 1932 г. (см. [ Гуревич, Волмен [1948]] ) ввели понятие метрического порядка
к = ИшШ Н(бу Х)/1од2(1/е).
В некоторых обзорах эту характеристику называют емкостью компакта X. Этот термин, может быть, и более выразителен, но сильно
1
-20-
перегружен. Например, в классической теории потенциала под этим термином фигурирует другое понятие.
Очевидно неравенство
к{Х) > h{X)
для тех компактов, для которых обе размерности определены. Оце-
•
ним сверху 6-энтропию компакта А. С этой целью заметим, что оператор —РА|// - самосопряженный и положительно определенный. Пусть Aj = 1,2,--- — его собственные значения и соответствующие им собственные функции. Собственные функции образуют полную ортонормированную систему в Н. Если dQ £ С°°, то сi>j € C°°(Q), j = 1,2, ••• . Собственные значения занумеруем так, чтобы Ai < А2 < • • *, тогда A j | оо при j —> 00.
Обозначим через Ьп подпространство в Я, натянутое на ф\, • • •, фп и пусть Vn - оператор ортогонального проектирования на Ln.
О.А.Ладыженская установила важное неравенство, позволяющее элементарно оценить А;(Л). Пусть u,v £ Я, тогда существует .п такое, что
|(Е - Vn)(Ftu - Ftv)|2 < о>\и - v\2, (1.2.5)
где и) < 1, а при достаточно большом ть и фиксированном о; < 6, где 6 - сколь угодно малое количество. В тоже время, если u, V две точки на аттракторе, то следуя [Ладыженская [1972]] несложно доказать, что
|(Ftu - Ftv)|2 < \и - v|2exp Bt, (1.2.6)
где В = Al/Av, А0 = гпахи6д maxieg |u(z)|.
Из неравенств (1.2.5) и (1.2.6) несложно получить, что
Н(е, А) < alogi(\/e) + 0(1). (1-2-7)
- Київ+380960830922