Некоторые задачи последовательного планирования экспериментов

ВВЕДЕНИЕ
§ I. Актуальность темы.
В экспериментальных исследованиях широко применяется последовательное планирование экспериментов, при котором выбор условий и момента N окончания экспериментов определяется результатами предшествующих этому эксперименту измерений. Теоретически вначале был исследован случай, когда выбирается только моментЫ. пионерской работой этого направления в применении к проверке гипотез была [з]. Оценивание параметров в такой схеме, по-видимому, впервые изучалось Дж. Волфовицем, который обобщил на этот случай классическое неравенство Рао-Крамера. С современных позиций та же схема рассмотрена в [б], где доказано, что при некоторых условиях регулярности последовательное планирование асимптотически не дает выигрыша по сравнению со статистическим (непоследовательным) в смысле локального асимптотически минимального риска. Условия этой работы ослаблены в [4].
Первая общая математическая постановка последовательного планирования экспериментов в задачах проверки гипотез была изучена Черновым [17].
В [23] была подчеркнута настоятельность изучения статистических свойств оценок параметров при последовательном планировании экспериментов и необоснованность некоторых имевшихся к тому времени эмпирических рекомендаций, относящихся к этому случаю.
Некоторые асимптотически оптимальные последовательные рекур-
[ю].
рентные стратегии оценивания изучались в
Ряд результатов, относящихся к общим последовательным планам (включая обобщение неравенства Рао-Крамера), и полезный
технический аппарат, основанный на теории мартингалов, даны в [э]. Со времен фундаментальных работ Л. Ле Кама, Я.Гаека, И.А.
- 3 -
Ибрагимова, Р.З.Хасьминского и др., подытоженных в [б], известно, что основную роль в исследовании статистических свойств оценок играет изучение локального поведения отношения правдоподобия соответствующего семейства мер. Эта задача для семейства мер, отвечающих последовательно спланированным измерениям, оставалась неизученной. Поэтому в общем случае последовательного плана не были известны свойства типичных оценок параметров, например, оценок наибольшего правдоподобия и оставалась задача получения возможно более точных нижних границ риска оценок для произвольного последовательного плана.
При исследовании отношения правдоподобия семейства мер, отвечающих последовательным планам, важную роль играет современный вариант центральной предельной теоремы (ЦПТ) для мартингалов. История последней прослеживается, начиная от работ С.Н. Бернштейна (1927), П.Леви (1935), П.Биллингсли (1961), И.А.Ибрагимова (1963) и др.
Современный вид ЦПТ приобретает, начиная с работы Б.М.Брауна (1971), который отказывается от излишних для ее справедливости условий типа стационарности или эргодичности, ограничиваясь условиями на условные дисперсии приращений мартингала, близкими к тем, которые приняты у нас в § 2 гл. I. Формулировка и доказательство ЦПТ совершенствовались с тех пор в работах нескольких десятков авторов, обзор см. в^гэ"]. В частности, в работах Ы, [18], [21] исследовался случай (рассматриваемый нами в § 3 гл. I), когда мартингал сходится к смеси нормальных распределений. Возможно, что следствием этих работ является и доказываемая нами совместная предельная теорема для мартингала и суммы условных дисперсий его приращений, играющая основную роль в гл.2.
Вместо того, чтобы модифицировать рассуждения этих авторов,
4
мы сочли целесообразным дать свое более прямое доказательство (причем в многомерном случае) этой теоремы, основанное на идее, близкой к используемой в работе Р.Ш.Липцера и А.Н.Ширяева [в].
Мы накладываем более слабое условие связи между сериями потоков С^-алгебр, чем условие " nested <j - algebras" в [1б], [ie], [19], [21]. Наше условие более естественно для приложений в центральной гл. 2 диссертации. Краме того, наше условие на момент j\J остановки минимально и гораздо слабее, чем в [19], однако в § I гл. I замечается, что достаточно простой редукции, чтобы свести его к обычно рассматриваемому условию конечности N почти наверное.
Инфинитезимальное представление отношения правдоподобия гл. 2 выводится при довольно общих условиях, его достаточно для целей § I гл. 3, однако § 2 гл. 3 требует определенной равномерности такого представления, для ее вывода накладываются гораздо более сильные условия, которые, по-видимому, можно ослабить. Получение инфинитезимального представления отношения правдоподобия следует пути, проложенному JI. Ле Камом, Я.Гаеком и др.
§ 2. Содержание работы
Во введении ставится задача и обосновывается ее актуальность, приводятся основные результаты диссертации и некоторый вспомогательный материал.
В главе I для применения в последующих главах получена уточненная по сравнению с [ 1э] форма теоремы о совместном предельном поведении мартингала и некоторого функционала от его приращений в ослабленных по сравнению с [19} условиях.
Для упрощения чтения диссертации вначале в § 2 изучается частный случай основной теоремы, его обобщение тем же методом приводится в § 3 и § 4.
- 5 -
Пусть ( О', Э~\ рп ) - последовательность вероятностных гг'п
пространств, (^ ) - неубывающий поток -алгебр, такой, что
• -^ТП. пусть 1 Ып] - последовательность марковских моментов, такая, что
(А) (\1 <00 Пв(т.е. ЙтрП^И
£П СГ'^ П.-^оО
и семейство ^ ) последовательностей квадратично
интегрируемых мартингал-разностей. Из (А) вытекает существование возрастающей последовательности С1 £ !2,П£ 2^ такая, что
&*Л^Ч^МП)=1, Ип = Мплап.
Обозначим:
^ := Е1 1СЗД-<£>•■= ?К1?И).
Пусть выполнено условие Линде-берга: для любого 6. > О
(Б)
М.д.____________рп
Ап(^= £ & <£> *0 , Л
п ы
оо
чисел и :
Из условия (Б) вытекает:
(Б5) существуют монотонные последовательности положительных &т ( =0 ,
а-^со такие, что
Кроме того, в § 2 предполагается:
Ип Рп ^ ~
(В) ь -^п > С ,п 00 , где С - некото-
1
рая константа. В общем случае § 3 (В) заменяется на
о
Чп = X 41 -^->4. 00 где 7
Ъг 1 ^п
есть о* ~ измеримая случайная величина с распределением С1
— 6 —
на К . Здесь рассматривается следующая схема: а',о, г-минимальная СҐ-алгебра подмножеств О , содержащая все
на задана вероятностная мера Р такая, что
рп =р1Гп
(сужение меры Р на •Г >.
Дополнительно требуется условие
(A’) Р ( i\] — NP) - 1 для любого ^
Kl->oo u
В отличие от [1э] используем следующее ослабление условия иерархичности ( nested ).
(Г) Для всех достаточно больших Л >VY\ :
с ^ для всех I ^ k где после-
довательность, получаемая в условии (А).
В § 2 кроме простых технических лемм I.I - 1.3 доказаны:
Лемма 1.4.
Для всех £ > 0, сГп- £jx| , где £п- последовательность из условия (Б’), X £ R N 10 \ и при (Б) и (В)
справедливы неравенства:
WV ___________
-2An(IXIcp)+cfn(a£) пв.
ТІ
Пусть для любого t > О
R.-R-U>4*.ча?* Ct£
n 'V1-' ' 8 1 - if max ** '