Динамика нелинейных внутренних гравитационных волн в трехслойной жидкости

СОДЕРЖАНИЕ
Введение...........................................................4
Глава 1
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВНУТРЕННИХ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН В СЛОИСТОЙ ЖИДКОСТИ 23
§1.1. Введение 23
§ 1.2. Линейная теория внутренних гравитационных волн в слоистой жидкости 25 § 1.2.1. Линейная теория двухслойная жидкость 31
§ 1.2.2. Линейная теория • трехспойная жидкость 31
§1.3. Слабонелинейная теория внутренних гравитационных волн в слоистой жидкости 42
§ 1.3.1. Обзор слабонелинейных моделей, используемых для описания динамики внутренних гравитационных волн в слоистой жидкости 44
§ 1.3.2. Асимптотическая процедура получения обобщенного уравнения Кортевега-де Вриза для жидкости с трехслойной стратификацией плотности 49 § 1.4. Полнонелинейная модель внутренних гравитационных вот в стратифицированной жидкости 53
§ 1.5. Заключение 56
ГЛАВА 2
ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИКИ СЛАБОНЕЛИНЕЙНЫХ ВНУТРЕННИХ ВОЛН В ТРЕХСЛОЙНОЙ ЖИДКОСТИ............................64
§ 2.1. Введение 64
§ 2.2. Внутренние гравитационные волны быстрой моды в трехслойной жидкости 66
§ 2.3. Внутренние гравитационные волны быстрой моды в симметричной трехслойной жидкости 69
§ 2.3.1. Уточненное модифицированное уравнение Кортевега-де Вриза-масштабирование и асимптотическое преобразование 75
§ 2.3.2. Уединенные внутренние волны быстрой моды в симметричной трехслойной жидкости КО
§ 2 4. Внутренние гравитационные волны медленной моды в трехе юйной жидкости 82
§ 2.5. Внутренние гравитационные, ваты медленной моды в симметричной трехслойной ж идкости 86
§ 2.5.1. Уточнение нелинейных эволюционных уравнений в зависимости от сочетания условий в среде 88
§ 2.5.2. Уединенные, внутренние волны медленной моды в симметричной трехслойной жидкости 88
§ 2 6. Заключение 88
Глава 3
ДИНАМИКА СИЛЬНОНЕЛИНЕЙНЫХ ВНУТРЕННИХ ВОЛН В
СТРАТИФИЦИРОВАННОМ ОКЕАНЕ .......................................109
§31. Введение 109
2
§ 3.2. Свойства уединенных внутренних волн в трехслойной жидкости • сравнение моделей 111
§ 3.2.1. Особенности генерации уединенных внутренних волн в симметричной трехслойной жидкости 111
§ 3.2.2. Свойства уединенных внутренних волн при фиксированном соотношении толщин слоев в симметричной трехслойной жидкости 111 § 3.3. Исследование вертикальной структуры интенсивных уединенных внутренних вот в трехслойной жидкости 115
§ 3.4. Моделирование внутренних гравитационных волн на стратифицированном морском шельфе 120
§ 3.5. Трансформация бризер-солитон в шельфовой зоне океана с двумя пикноклинами 120
§ 3.6. Заключение 129
Заключение.........................................................144
ПРИЛОЖЕНИЕ.........................................................146
СПИСОК Л ИТЕРА ГУ РЫ 153
3
Введение
Изучение внутренних гравитационных волновых движений - актуальная задача механики жидкости, интерес к которой остается высоким на протяжении нескольких десятилетий. История открытия внутренних волн в связи с эффектом «мертвой воды» приведена в [Mercier et al., 2011]. В настоящее время сложно переоценить роль интенсивных внутренних волн в динамических процессах, происходящих во всех природных стратифицированных водоемах: от озер и водохранилищ до морей и океанов. Особый интерес представляют уединенные внутренние волны (солитоны), которые часто проявляются как стационарные, весьма значительные, энергонссущие образования и играют ведущую роль в процессах, происходящих в окружающей их среде. Эти солитоны проявляются на спутниковых изображениях морской поверхности фактически во всех районах Мирового океана, и их амплитуды достигают 100 метров и более. В настоящее время составлен атлас интенсивных внутренних волн [Jackson. 2004].
Первые теоретические результаты по проблеме внутренних волн были получены в рамках уравнений гидродинамики (уравнений Эйлера) несжимаемой стратифицированной жидкости; см. например, [Краусе, 1968]. В частности, было показано, что в случае непрерывной стратификации число мод внутренних волн неограниченно, и наиболее быстрой является первая мода. Вертикальная структура волновых движений находится из решения краевой задачи (задачи Штурма - Лиувилля), а скорость распространения волны является собственным значением этой задачи. В случае же слоистой стратификации число мод конечно. Показано также, что при слабой стратификации, характерной для природных водоемов, смещение водной поверхности во внутренних волнах очень мало. Развита также асимптотическая теория распространения внутренних волн в океане с плавно меняющейся глубиной [Булатов и Владимиров, 2011].
Нелинейная теория внутренних волн развивалась по двух» направлениям. В первом из них рассматривают установившиеся волны в рамках нелинейной краевой задачи, основанной на уравнении Дюбрей-Жакотин - Лонга [Dubriel-Jacotin, 1932; Long, 1953]. Этот подход позволяет исследовать внутренние уединенные и периодические волны любой амплитуды. В рамках второго направления исследуются неустановившиеся волны малой, но конечной амплитуды в рамках уравнения Кортевега-де Вриза, выведенного для внутренних волн как в слоистой, гак и в непрерывно стратифицированной жидкости; см., например, [Миропольский, 1981]. Последний подход активно использовался для изучения трансформации внутренних волн в океане переменной глубины, как правило, при
4
использовании двухслойной стратификации [Helfrich and Melville, 2006; Талипова и др., 2012].
Следующий шаг в аналитической теории внутренних волн связан с обобщениями уравнения К'ортевега-дс Вриза, в частности включением в него дополнительных слагаемых, связанных с кубической нелинейностью, вращением Земли и донного трения [Holloway et al, 1997, 1999, 2001; Ostrovsky, Grue, 2003; Grimshaw et al., 2007, 2010]. Другое направление -вывод уравнений типа Буссинеска для внутренних волн большой амплитуды в двухслойном потоке [Camassa et al., 2010; Choi and Camassa, 1996, 1999; Craig ct al., 2004; Funakoshi, 1985; Funakoshi and Oikawa, 1986; Guyenne, 2006], наиболее известны здесь уравнения Камассы-Чоя [Choi and Camassa, 1999].
Стремительное развитие вычислительной математики и ЭВМ позволило создать ряд вычислительных программных комплексов [Lamb, 1994; Marshall et. al., 1997; Vlasenko et al, 2005; Adcroft ct al., 2008; Maderich ct al., 2009, 2010], позволяющих решать задачу о генерации и распространении внутренних волн путем прямого численного интегрирования полной системы уравнений гидродинамики стратифицированной идеальной или вязкой жидкости. Такие модели достаточно универсальны и за ними большое будущее.
Большинство исследований, посвященных изучению динамики солитонов внуфенних волн, проводится в рамках упрощенных моделей среды - в рамках концепции слоистой жидкости, как правило, двухслойной. Но двухслойная жидкость, все же, является очень упрощенной моделью природных стратифицированных бассейнов. В мелких морях вертикальная стратификация плотности имеет трехслойную структуру с хорошо различимым сезонным пикноклином на глубине ~ 100 м и основным пикноклином на большей глубине [Knauss, 1996]. Балтийское море, имеет более или менее постоянную трехслойную структуру, вызванную стоком пресных вод на поверхности и проникновением .наиболее соленой воды в придонные слои [Leppàranta, Myrberg, 2009]. Различимая трехслойная стратификация плотности встречается и в Южно-Китайском море [Yang et. al., 2010]. Некоторые аспекты волновой динамики r трехслойной жидкости были исследованы ранее в рамках слабонелинейных [Grimshaw et. al., 1997; Талипова и др., 1999] и полнонелинейных моделей [Lamb, 2000; Rubino ct. al., 2001; Rusas and Grue, 2002], главным образом численно. Многие важные вопросы, однако, остались не исследованными. Во-первых, в трехслойной жидкости могут распространяться так называемые медленные волны, которые не изучены в литературе. В трехслойной жидкости могут распространяться специфические классы нелинейных уединенных волн - бризеры, которые пока еще слабо исследованы как аналитически, так и численно. Кроме того, при специфических соотношениях на параметры среды расширенное уравнение Кортевега - де Вриза вырождается, и необходим учет
5
нелинейности высших порядков. Все это указывает на актуальность проблемы изучения внутренних волн в трехслойной жидкости.
Актуальность проблемы
Последние десятилетия характеризуются интенсивным освоением морских берегов, океанического шельфа и прибрежных регионов. Внутренние гравитационные волны оказывают важное влияние на гидрологический режим шельфовой зоны. Интенсивные внутренние волны представляют особый интерес, так как могут затруднять осуществление хозяйственной деятельности человека на шельфе, влияя на сверхдальнее распространение акустических сигналов, движение подводных аппаратов, размывы г рунтов под нефтяными и газовыми платформами, продуктивность планктона, процессы вертикального перемешивания, перенос примесей и загрязнений. Очевидно, что создание прогностических моделей, позволяющих предсказывать возможность существования и свойства интенсивных внутренних волн в зависимости от условий среды, является актуальной и практически значимой задачей.
Настоящая диссертация посвящена разработке теоретических моделей длинных нелинейных внутренних волн в невязкой несжимаемой трехслойной жидкости.
Цели диссертационной работы
Основной целью диссертационной работы является изучение динамики нелинейных гравитационных волн в трехслойной жидкости. В частности, предполагается:
1. Вывести расширенное уравнение Кортевсга - де Вриза (уравнение Гарднера) для внутренних волн в трехслойной жидкости при произвольном соотношении толщин слоев и перепадов плотностей для волн первой (быстрой) и второй (медленной) моды в трехслойной жидкости.
2. Произвести уточнение динамики волн первой моды в рамках слабонелинейной теории в частном случае жидкости с симметричной трехслойной стратификацией при одновременном вырождении коэффициентов квадратичной и кубической нелинейности в обобщенном уравнении Кортевега - де Вриза.
3. Исследовать влияние эффектов полной нелинейности на процессы генерации и свойства уединенных внутренних волн в трехслойной жидкости, в том числе на вертикальную структуру волновых полей.
Научная новизна результатов работы
Научная новизна диссертационной работы определяется полученными оригинальными результатами:
I. Получено расширенное уравнение Кортевега - де Вриза (уравнение Гарднера) для внутренних волн в трехслойной жидкости при произвольном соотношении толщин слоев и
6
перепадов плотностей. Продемонстрировано, что для медленной (второй моды) невозможно, чтобы оба нелинейных коэффициента (квадратичной и кубической нелинейности) одновременно обращались в нуль, в то время как для быстрой (первой) такое возможно, что было известно ранее. Тем не менее, для медленной моды возможно обращение квадратичной нелинейности в нуль, в то время как коэффициент кубической нелинейности всегда отрицателен. Показано, что в частном случае симметричной трехслойной стратификации коэффициенты нелинейного эволюционного уравнения для медленной моды совпадают с аналогичными коэффициентами двухслойной жидкости, если одну из границ переместить в середину потока.
2. Выведено так называемое «2+4» уравнение Кортсвега - дс Вриза (с точностью до нелинейности пятого порядка), справедливое для быстрых волн я трехслойной (симметричной) жидкости при одновременном вырождении коэффициентов квадратичной и кубической нелинейностей. Это уравнение не является полностью интегрируемым, но допускает существование солитона, форма которого стремится к платообразной при приближении амплитуды к критической. Численно изучены процессы двух-солитонного взаимодействия, приводящие к образованию дисперсионных пакетов.
3. Исследованы эффекты полной нелинейности для интенсивных локализованных внутренних гравитационных волн, которые в слабонелинейном пределе описываются фундаментальными неизлучающими решениями (солитонами и бризерами) соответствующих упрощенных моделей - эволюционных уравнений типа Кортевега - де Вриза. Численным интегрированием исходных уравнений гидродинамики продемонстрировано существование широких солитоноподобных волн в среде с нулевой квадратичной нелинейностью, исследованы свойства уединенных волн в такой среде, определена предельная амплитуда. Сравнение результатов моделирования с решениями уравнения модифицированного Коргсвега - де Вриза показывает, что область применимости последнего для количественных оценок характеристик уединенных волн относительно узка. Прогнозирование количества солитонов, возникающих из начального возмущения с помощью слабонелинейной модели приводит к переоценке числа уединенных волн по сравнению с полно нелинейной моделью.
4. Выполнено исследование вертикальной структуры солитонов, полученных путем численного интегрирования начальной задачи для полной системы уравнений гидродинамики в сопоставлении с солитонами расширенного модифицированною уравнения Кортсвега - де Вриза для трехслойной среды. Выявлены количественные различия структуры профиля горизонтальной и вертикальной скорости течений в солитоне в рамках слабо и сильно нелинейных моделей.
7
5. Доказано, что солитон может трансформироваться в бризер в трехслойной жидкости переменной глубины в рамках полно нелинейной модели внутренних волн (ранее этот процесс был известен только для слабонелинейных волн).
6. Показано, что вклад внутренних волн в формирование придонных потоков сравним с вкладом приливных волн даже для областей, находящихся на достаточно большой глубине по сравнению с пикноклином, что доказывают результаты численных экспериментов для Охотскою моря, а, значит, бароклинная составляющая придонных скоростей должна учитываться при решении инженерных задач, связанных с обеспечением безопасности экосистем океанов и морей. Важно отметить, что коротковолновые цуги, наблюдаемые во всех расчетах, вносят основной вклад в придонные и приповерхностные скорости, что влияет на процессы переноса примесей и взвесей.
Положения, выносимые на защиту
1. Уравнение Гарднера для внутренних волн в трехслойной жидкости при произвольном соотношении толщин слоев и перепадов плотностей. Для быстрой моды коэффициенты квадратичной и кубической нелинейности могут менять знак. Для медленной моды коэффициент квадратичной нелинейности может менять знак, а коэффициент кубической нелинейности всегда отрицателен.
2. «2+4» уравнение Кортевега - де Вриза (с точностью до нелинейности пятого порядка), справедливое для быстрых волн в грехслойной (симметричной) жидкости при одновременном вырождении коэффициентов квадратичной и кубической нелинейностей. Оно допускает существование солитона, форма которого стремится к платообразной при приближении амплитуды к критической.
3. Результаты сопоставления выводов полнонслинсйной и слабонелинейной теории внутренних волн. В частности, в рамках исходных уравнений гидродинамики продемонстрировано существование широких солитоноподобных волн в среде с нулевой квадратичной нелинейностью, в то время как в классической слабонелинейной теории солитоны остаются узкими.
4. Процесс трансформации солитона в бризер в трехслойной жидкости переменной глубины в рамках полно нелинейной модели внутренних волн.
5. Важность уюта сильнонелинейных эффектов в описании вертикальной структуры солитонов и их вклада в придонные и приповерхностные скорости, что влияет на процессы переноса примесей и взвесей.
Практ ическая значимост ь результатов работ ы
Предложенные в работе модели длинных нелинейных волн в трехслойной жидкости могут применяться для изучения природных и технологических процессов и интерпретации
8
результатов натурных и лабораторных экспериментов. Они позволят прогнозировать условия существования солитонов и бризеров в природных водоемах, стратификация которых близка к трехслойной. Важным практическим приложением теории является оценка придонных и приповерхностных скоростей во внутренних волнах, необходимых для расчета транспорта донных наносов и поверхностных загрязнений.
Апробация работы
Основные результаты диссертации представлялись на конференциях: IX
международной конференции MEDCOAST (Сочи, 2009); XV Всероссийской научной конференции студснтов-физиков и молодых ученых (Кемерово - Томск, 2009); IV и V Сахалинских молодежных научных школах «Природные катастрофы: изучение, мониторинг, прогноз» (Южно-Сахалинск, 2009, 2010); XIV, XV Нижегородских сессиях молодых ученых «Технические науки» (Нижний Новгород, 2009, 2010); Генеральной Ассамблее Европейского геофизического союза (Вена, Австрия, 2009 - 2012); XII Всероссийской школе-семинаре «Волновые явления в неоднородных средах» (Москва, 2010); Международной конференции «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике», посвященной 110-летию академика М.А. Лаврентьева (Новосибирск, 2010); X международной научно-практической конференции «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности» (Санкт-Петербург, 2010); XV - X V111 Международных научно-технических конференциях «Информационные системы и технологии» (Нижний Новгород, 2009 - 2012); IX - XI Международной молодежной научно-технической «Будущее технической науки» (Нижний Новгород, 2010-2012); Конференции, посвященной 65-летию Института морской геологии и геофизики ДВО РАН «Геодинамические процессы и природные катастрофы в Дальневосточном регионе» (Южно-Сахалинск, 2011).
Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинарах Нижегородского государственного технического университета им. P.E. Алексеева и НИУ ВШЭ - Нижний Новгород.
Полученные результаты используются в российских исследовательских проектах, выполняемых при участии автора диссертации:
• Грант Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых ученых - кандидатов наук МК - 846.2009.1 «Динамика локализованных внутренних гравитационных поли большой амплитуды в стратифицированной горизонтально-неоднородиой жидкости»(2009 - 2010);
• РФФИ 10-05-00199а «Краевые поверхностные и краевые внутренние волны в горизонтально- и вертикально-неоднородном океане: теоретический анализ и численное моделирование» (2010- 2012); 06-05-64087а «Нелинейная и нестационарная
динамика многомодовых и случайных ансамблей захваченных волн в прибрежной зоне океана» (2006 - 2008);
• Грант Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых ученых - докторов наук МД- 09.2010.5 «Прогнозирование шельфовых динамических процессов, индуцированных длинными поверхностными и внутренними волнами, в рамках усовершенствованных математических моделей» (2010 -2011);
• Государственный контракт № 11851 «Проведение поисковых научно-
исследовательских работ по направлению «Геофизика» в рамках мероприятия 1.2.1 ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009 -2013 годы» (2010-2012);
• Государственный контракт № 11518 «Проведение поисковых научно-
исследовательских работ по направлению «Снижение риска и уменьшение
последствий природных и техногенных катастроф» в рамках мероприятия 1.2.1 ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009 - 2013 годы» (2010-2012);
• Государственный контракт № 14.740.11.1141 «Проведение научных исследований целевыми аспирантами в следующих областях: «- математика;- механика», в рамках мероприятия 1.3.2 ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009 - 2013 годы» (201 1 - 2012);
• Государственный контракт № 14.B37.2l.0611, мероприятие 1.1 ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009 - 2013 годы»
«Поддержка научных исследований, проводимых коллективами научнообразовательных центров по научному направлению «Науки о Земле» в области «Океанология»»;
• Государственный контракт № 14.В37.21.0642 Мероприятие 1.1 ФЦП «Научные и
научно-педагогические кадры инновационной России на 2009 - 2013 годы»
«Поддержка научных исследований, проводимых коллективами научнообразовательных центров по научному направлению «Рациональное природопользование в области «Предупреждение и ликвидация чрезвычайных ситуаций природного и техногенного характера»»;
• Государственный контракт № 14.В37.21.0868 Мероприятие 1.5 ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009 - 2013 годы»
«Поддержка научных исследований, проводимых коллективами под руководством приглашенных исследователей по научному направлению «Математика, механика, информатика» в области «Механика»».
10
Диссертант является лауреатом стипендии Правительства РФ для студентов (2009) и стипендии им. ак. Г.Л. Разуваева (2012).
Публикации
По теме диссертации опубликовано более 30 печатных работ, куда входят 4 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК, 2 статьи в рецензируемом журнале, 3 статьи в трудах международных конференций и тезисы докладов на международных и всероссийских конференциях.
Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК:
Р I. Куркина O.E., Куркин A.A., Рувннская Е.А., Пслиновский Е.П., Соомсре Т. Динамика солитонов нсинтегрирусмой версии модифицированного уравнения Кортсвсга - дс Вриза // Письма в ЖЭТФ. 2012. Т. 95. № 2. С. 98 - 103.
Р 2. Рувинская Е.А., Куркина O.E., Куркин A.A. Моделирование «внутренней погоды» в экосистеме стратифицированного морского шельфа // Экологические системы и приборы. 2011. № 6. С. 8 - 16.
Р 3. Рувинская Е.А., Куркина O.E., Куркин A.A. Исследование структуры уединенных внутренних волн большой амплитуды в трехслойной жидкости // Вестник МГОУ, серия «Физика - математика». 2011. № 2. С. 61 - 74.
Р 4. Kurkina O.E., Kurkin A.A., Soomcrc Т., Pelinovsky E.N., Rouvinskaya E.A. Higher-order (2+4) Korteweg-de Vries - like equation for interfacial waves in a symmetric three-layer fluid //Physics of Fluids. 2011. V. 23. Issue И. С. 116602-1-13.
Статьи в рецензируемом журнале:
Р 5. Рувннская Е.А. Свойства уединенных внутренних волн в трсхслойной среде: сравнение моделей. // Труды Нижегородского государственного технического университета им. P.E. Алексеева. 2012. № 3. С. 39 - 50.
Р 6. Рувинская Е.А., Куркина O.E., Куркин A.A. Уточненное нелинейное эволюционное уравнение для внутренних гравитационных воли в трехслойной симметричной жидкости // Труды Нижегородского государственного технического университета им. P.E. Алексеева. 2010. .4? 4(83). С. 30 - 39.
Статьи в трудах международных и всероссийских конференций:
Р 7. Владыкина (Рувинская) Е.А., Куркин A.A., Полухина (Куркина) O.E., Норкин В.М. Особенности динамики уединенных волн в океане с двумя пикноклинами. // Природные катастрофы: изучение, мониторинг, прогноз: IV Сахалинская молодежная научная школа, Южно-Сахалинск, 2-5 июня 2009 г.: сборник материалов/отв. Ред. О.II. Лихачева. - Южно-Сахалинск: ИМГиГ ДВО РАН. 2010. С. 225 -232.
11
P 8. Владыкина (Рувинская) Е.А., Куркин Л.А., Пол у хина (Куркина) О.Е., Норкин В.М. Анализ скоростей придонных течений в поле длинных нелинейных внутренних волн. // Природные катастрофы: изучение, мониторинг, прогноз: IV Сахалинская молодежная научная школа, Южно-Сахалинск, 2-5 июня 2009 г.: сборник материалов/отв. Ред. О.Н. Лихачева. - Южно-Сахалинск: ИМГиГ ДВО РАН. 2010. С. 233 -239.
Р 9. Vladykina (Rouvinskaya) Е.А., Poloukhina (Kurkina) O.E., Kurkin A.A., Norkin V.M. Internal Gravity Waves in the Ocean with Two Pycnoclines: Models and Dynamics. // Proceedings of the Ninth international conference on the Mediterranean coastal environment, MEDCOAST 09. 2009. V. 2. P. 949 - 960.
Тезисы докладов на международных и всероссийских конференциях:
Р 10. Kurkina О.Е., Rouvinskaya Е.А., Kurkin A.A. Higher-order weakly nonlinear theory for internal waves in three-layer fluid // Geophysical Research Abstracts 2012. V. 14. EGU2012-8429-2
P П.Рувинская E.A., Куркина O.E., Куркин А.А. Уточненное нелинейное эволюционное уравнение для волн второй моды в жидкости с симметричной трехслойной стратификацией // Информационные системы и технологии ИСТ-2012 (20 апреля 2012 г, Нижний Новгород). Материалы XVIII международной научно-технической конференции. Нижний Новгород, 2012. С. 369.
Р 12. Рувинская Е.А., Куркина О.Е., Куркин А.А. Исследование волновой динамики в трсхслойной жидкости со слоями произвольной толщины // Будущее технической науки БТН-2012. Материалы XI международной молодежной научно-технической конференции «Будущее технической науки», 2012. С. 426.
Р 13. Rouvinskaya Е.А., Kurkina О.Е., Kurkin А.А.., Kuzin A.M., Barenboim M.N. Nonlinear dynamics of intensive internal waves in bounded stratified basins. // Geophysical Research Abstracts 2011. V. 13. EGU2011-433.
P 14. Кузин A.M., Рувинская E.A., Куркина О.E., Куркин А.А. Динамика полнонелинейных внутренних волн в закрытых стратифицированных бассейнах // Информационные системы и технологии ИСТ-2010 (22 апреля 2011 г, Нижний Новгород). Материалы XVII международной научно-технической конференции. Нижний Новгород, 2011. С. 430.
Р 15. Баренбойм М.П., Рувинская Е.А., Куркина О.Е., Куркин А.А. Трансформации внугренних солитонов при прохождении «точек переворота» в трехслойной жидкости // Информационные системы и технологии ИСТ-2010 (22 апреля 2011 г, Нижний Новгород). Материалы XVII международной научно-технической конференции. Нижний Новгород, 2011. С. 431.
12
P 16. Рувинская E.A., Гиниятуллин Л.P., Тюгин Д.Ю., Куркина O.E., Куркин A.A. Прогнозирование параметров поля короткопериодных нелинейных внутренних волн в шельфовой зоне о. Сахалин в приложении к анализу скоростей индуцированных придонных и приповерхностных течений // Сборник материалов X Международной молодежной научно-технической конференции «Будущее технической науки» (13 мая 201 I г., Нижний Новгород). Нижний Новгород: НГТУ им. P.E. Алексеева, 2011. С. 381-382.
Р 17. Рувинская Е.А., Куркина О.Р., Куркин A.A. Дисперсионные свойства и структура мод краевых волн над ступенчатым шельфом со вдольбереговым течением // Сборник материалов X Международной молодежной научно - технической конференции «Будущее технической науки» (13 мая 2011 г., Нижний Новгород). Нижний Новгород: НГТУ им. P.E. Алексеева, 2011. С. 382.
Р 18. Рувинская Е.А., Куркина O.E., Куркин A.A. Уточненные нелинейные эволюционные модели высокого порядка для внутренних гравитационных волн в трехслойной жидкости // Геодинамические процессы и природные катастрофы в Дальневосточном регионе: научная конференция, посвященная 65-лстию Института морской геологии и геофизики ДВО РАН: тезисы докладов, Южно-Сахалинск, 26-30 сентября 2011 г./отв. ред. Б.В.Левин.-Южно-Сахалинск: Ин-т мор. геологин и геофизики ДВО РАН, 2011. С. 122- 123.
Р 19. Vladykina (Rouvinskaya) E.A., Poloukhina (Kurkina) O.E., Kurkin A.A. Extended modified Korteweg - de Vries equation for internal gravity waves in a symmetric three-layer fluid. // Geophysical Research Abstracts. 2010. V. 12. EGU2010-2998,
P 20. Владыкина (Рувинская) E.A., Куркина O.E., Куркин A.A. Исследование уединенных внутренних волн в бассейне с наклонным дном для случая двухслойной жидкости. // Материалы XVI Международной научно-технической конференции «Информационные технологии и системы» ИСТ-2010, 23 апреля 2010 г. - Н. Новгород: НГТУ, 2010. С. 384.
Р 21. Владыкина (Рувинская) Е.А., Куркина O.E., Куркин A.A. Уточненная теория нелинейных внутренних волн в трехслойной жидкости. // Природные катастрофы: изучение, мониторинг, прогноз: тезисы докладов Пятой Сахалинской молодежной научной школы, Южно-Сахалинск, 8-11 июня 2010 r. / otr. ред. О Н. Лихачева. -Южно-Сахалинск: ИМГиГ ДВО РАН, 2010. С. 44 - 45.
Р 22. Куркина O.E., Куркин A.A., Владыкина (Рувинская) Е.А. Уединенные внугренние гравитационные волны большой амплитуды в трехслойной жидкости: сравнение моделей. И Международная конференция «Лаврентьевские чтения но математике,
13
механике и физике», посвященная 110-летию академика М.А. Лаврентьева. 23 - 27 августа 2010 г. Тезисы докладов. Новосибирск 2010. С. 119-120.
Р 23. Владыкина (Рувинскаи) Е.А., Гиниятуллин А.Р., Куркин A.A. Нелинейная динамика уединенных внутренних волн в двухслойном бассейне переменной глубины. // Сборник трудов XII Всероссийской школы-семинара «Волновые явления в неоднородных средах» «Волны 2010» 24 - 29 мая 2010 г. Звенигород, Московская обл. - М.: Изд-во физ. ф-таМГУ, 2010. С. 13-14.
Р 24. Владыкина (Рувинскаи) Е.А., Куркина O.E., Куркин A.A. Уединенные волны в симметричной грехслойной жидкости: уточненное модифицированное уравнение Коргсвста - де Вриза и полнонелинейная модель. // Сборник трудов XII Всероссийской школы-семинара «Волновые явления в неоднородных средах» «Волны 2010» 24 - 29 мая 2010 г. Звенигород, Московская обл. - М.: Изд-во физ. ф-та МГУ, 2010. С. 15-16.
Р 25. Рувинскаи Е.Л., Кузин А.М., Баренбойм М.H., Куркина O.E., Куркин A.A. Внутренние волны в озерах и их влияние на озерные экосистемы // Материалы международной конференции «Экосистемы болот и озер Белорусского поозерья и сопредельных территорий: современное состояние, проблемы использования и охраны» (16-17 декабря 2010 г, Витебск, Белоруссия). Витебск. УО «ВГУ им. П.М. Машсрова». 2010. С. 199-200.
Р 26. Владыкина (Рувинскаи) Е.А., Полухина (Куркина) O.E., Куркин A.A. Динамика уединенных волн в симметричной трехслойной жидкости. // Материалы конференции «ВНКСФ-15 Пятнадцатая Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых», издательство Ассоциации студентов-физиков России, Кемерово Томск. 2009. С. 533 - 534.
Р 27. Владыкина (Рувинскаи) Е.А., Полухина (Куркина) O.E., Куркин A.A. Использование модернизированного программного комплекса для обеспечения исследований уединенных внутренних волн в трехслойной среде. // Материалы XV Международной научно-технической конференции «Информационные системы и технологии ИСТ-2009», НГТУ, Нижний Новгород. 2009. С. 197 - 198.
Р 28. Vladykina (Rouvinskaya) Е.А., Poloukhina (Kurkina) O.E., Kurkin A.A. Properties of internal solitary waves in a symmetric three-layer fluid. // EGU General Assembly, Vienna, Austria, April 19-24, 2009.Geophysical Research Abstracts. 2009. V. 11, EGU2009-6168
P 29. Владыкина (Рувинскаи) E.A., Полухина (Куркина) O.E., Куркин A.A., Безрук И.В. Численное исследование нелинейных внутренних волн в шельфовой зоне о. Сахалин. // Природные катастрофы: изучение, мониторинг, прогноз: IV Сахалин, молод, науч. Школа, Южно-Сахалинск, 2-5 июня 2009 г.: тез. докл.; Рос. акад. наук, Дальневост. отд-
14