Взаимодействие заряженных тел в плазме

Содержание
Введение.............................'......................................4
Глава 1. Взаимное влияние плоских пристеночных электродов в бесстолкновительном режиме....................................................................8
1.1. Физическая постановка и математическая модель задачи...................8
1.2. Вычислительная модель задачи........................................... 13
1.2.1. Метод численного решения уравнения Власова........................... 13
1.2.2. Метод численного решения уравнения Пуассона..........................15
1.2.3. Методические исследования и сравнение с результатами других авторов 15
1.3. Результаты вычислительных экспериментов по взаимному влиянию плоских пристеночных электродов...........................................17
1.3.1. Функции распределения заряженных частиц вблизи плоских пристеночных электродов................................................................18
1.3.2. Интегральный ток на плоский пристеночный электрод. Распределение плотности тока........................................................... 21
1.3.3. Распределение концентраций заряженных частиц и электрического поля в пристеночной области......................................................22
1.3.4. Поле скоростей ионов.................................................25
1.3.5. Взаимное влияние двойных пристеночных электродов ленточного типа 26
Глава 2. Взаимодействие заряженных тел цилиндрической геометрии в разреженной плазме............................................30
2.1. Физическая и математическая модель задачи..............................30
2.2. Вычислительная модель задачи...........................................34
2.2.1. Метод крупных частиц Ю.М. Давыдова...................................34
2.2.2. Метод характеристик..................................................37
2.2.3. Методы решения уравнения Пуассона.................................... 40
2.3. Вычислительные эксперименты но обтеканию заряженного тела цилиндрической геометрии разреженном плазмой..............................43
2.3.1. Описание вычислительного алгоритма...................................43
2.3.2. Методические расчеты и сравнение с экспериментом....................................56
2.3.3. Функции распределения ионов и электронов.............................60
2.3.4. Эволюция интегрального тока на тело, зависимость установившегося значения тока от основных параметров расчета..............................74
2.3.5. Распределение плотности ионного тока но обводу цилиндра..............77
2.3.6. Распределение концентраций ионов, электронов и потенциала самосогласованного электрического поля в пристеночной области.............78
2.3.7. Поля средних скоростей ионов в пристеночной области..................82
2.4. Вычислительные эксперименты но взаимодействию заряженных тел цилиндрической геометрии в разреженном плазме...............................85
. 2.4.1. Описание иршраммного блока...........................................85
2.4.2. Результаты расчетов для случая покоящейся плазмы.....................91
2.4.3. Результаты расчетов для случая движущейся плазмы.....................99
2.4.3.1. Радиальное исследование следа за цилиндрическим телом..............99
2.4.3.2. Азимутальное исследование следа за цилиндрическим телом............105
2.4.4. Особенности зондовых измерений в «следе» спутника....................111
2
Глава 3. Взаимодействие плоских пристеночных электродов в столкновительной плазме....................................................115
3.1. Физическая и математическая модели задачи.............................115
3.2. Вычислительная модель задачи..........................................119
3.2.1. Метод крупных частиц применительно к расчету взаимодействия плоских пристеночных электродов в столкновительной плазме..........................119
3.2.2.Методы решения уравнений
Максвелла..................................................................126
3.3. Методические исследования и тестовые задачи...........................128
3.4. Результаты вычислительных экспериментов.............................. 131
Глава 4. Взаимодействие тел цилиндрической геометрии в потоке слабоиопнзованной плотной плазмы...........................................132
4.1. Физическая, математическая и численная модели задачи..................132
4.2. Система начальных и граничных условий.................................136
4.2.1. Начальные условия...................................................136
4.2.2. Граничные условия...................................................137
4.3. Результаты математического моделирования взаимодействия цилиндрических тел в потоке слабоиопнзованной столкновительной
плазмы.................................................................. 143
4.3.1. Профиль скорости нейтральной компоненты.............................145
4.3.2. Поле скоростей электронов и ионов по обводу цилиндра................147
4.3.3. Поле концентраций заряженных частиц.................................151
4.3.4. Изолинии потенциала и распределения напряженности электрического поля.... 153
4.3.5. Распределение плотности тока по обводу цилиндра.....................154
4.3.6. Взаимодействие двух цилиндров, помещенных в поток слабоионизованиой плотной плазмы.............................................................157
Основные результаты и выводы из диссертации................................159
Литература................................................................ 160
Введение
При внесении заряженного тела в плазму распределение потенциала и напряженности электрического поля в его окрестности существенно отличается от аналогичного распределения в вакууме. Это связано с экранировкой заряда тела зарядами противоположного знака, которые приближаются к поверхности тела из окружающей плазмы за счет кулоновских сил. Вследствие этого около тела возникает слой объемного заряда и далее квазинейтральная возмущенная зона. На внешней границе возмущенной зоны потенциал становится равным потенциалу пространства, а концентрации заряженных частиц — равными концентрациям в невозмущенной плазме. Распределение электрического потенциала вблизи заряженного тела вытекает из решения уравнения Пуассона 11 ]
А<р=ге(пе-п1)/со, (1)
где (р — самосогласованный потенциал, п,е — концентрации ионов и электронов, е— 1.6'10",9Кл — заряд электрона, £о= 8.85-10'12 Ф/м— электрическая постоянная, г — степень ионизации ионов.
Разделение зарядов имеет место в слое объёмного заряда. В квазинейгральной возмущенной зоне н, = п, и уравнение (1) превращается в уравнение Лапласа.
Экранирующее действие плазмы аналогично экранирующему действию электролита при внесении в него электрода под определенным потенциалом. Последнее явление подробно изучалось Дебаем [2], поэтому масштаб экранирования электрического поля в плазме получил название радиуса Дебая. Радиус Дебая г а— это характерный размер, на котором возможно разделение зарядов в плазме за счет теплового движения. Выражение для га в зависимости от концентрации и температуры плазмы можно получить из следующего частного примера [2].
Рассмотрим низкотемпературную плазму, состоящую из электронов и однозарядных ионов. Каждая заряженная частица в вакууме имеет потенциал
<Р - 7“а - (, е, где (2)
тПТе г
qa - заряд частицы сорта сс.
В плазме около заряженной частицы возникает «атмосфера» из частиц
противоположного знака, которая экранирует поле данной частицы. Самосогласованное поле около данной частицы определяется решением уравнения (1). В случае равновесия концентрации ионов и электронов выражаются законом Больцмана
4
«а = ИаЛСХр(-<7аф/(£7а)), = А <?,' Ц^е;Це=-е (3)
Т, может нс совпадать с Ге (равновесие имеет место в пределах одного сорта); по0 — концентрации частиц в точке с нулевым потенциалом (ей обычно приравниваю! к средней концентрации по объёму). Средние концентрации удовлетворяют условию квазинейтральности
(4)
Подставляя (3) в (1), получаем нелинейное уравнение самосогласованного поля
Дф = ~еша0
ЬТ, _ркТ,
(5)
После линеаризации уравнения (5) получим
Аф = Т^-е2/?а оф лЄ0
1 1
N
т Т
\А< 1Є/
(6)
Учитывая сферическую симметрию задачи, решение запишем в виде
Ф = 7ГГ7ЄХр(-г/г0), (7)
где
да
— характерная длина экранирования или дебаевская длина.
Во многих практически важных случаях (тлеющий разряд, дуга низкого давления, различные виды плазменных движителей и т.д.) выполняется условие
Т,«Тез (9)
поэтому выражение для г а (8) переписывается в виде
го
-Ш <1о>
На рнс.1 приведена зависимость г а от концентрации ионов при трех значениях Т, (З103 К; 5-103К; 10“К)
Из рис.1 следует, что значение г а в практически важных случаях изменяется в широких пределах (10'7м - 1м) в зависимости от параметров низкотемпературной плазмы.
Многочисленные физические и вычислительные эксперименты [2-6] показали, что размер возмущенной зоны вблизи КЛА, ГЛА, элементов плазменных движителей, технологических плазмотронов и т.д. может достигать десятков, а иногда и сотен радиусов Дебая и более. Возмущенная зона в теневой области обтекаемого плазмой тела (в «следе») составляет несколько сотен калибров самого спутника [7].
5
Рис.1. Зависимость г и от п1Х и Г,. [/?/] = м'\ [/*</] = м
Взаимодействие заряженных тел, помещенных в низкотемпературную плазму, необходимо учитывать при проведении в плазме различных физических экспериментов; при разработке теории двойных зондов; теории зондовых экспериментов в возмущенной зоне КЛА и ГЛА; при исследовании поведения тел, попавших в «след», образовавшийся за КЛА и т.д.
Рассмотрим более подробно двойные зонды, которые располагают на боковой поверхности КЛА. Взаимное расположение двойных зондов определяется из компромиссных соображений. Зонды нужно располагать максимально близко друг к другу, чтобы сохранить принцип локальности измерений. Кроме того, разнесенные достаточно далеко зонды ведут к усложнению теории, поскольку потенциал пространства в точках расположения зондов может существенно отличаться. Однако приближение зондов друг к другу ведет к появлению их взаимного влияния, что также связано с появлением дополнительных систематических ошибок в зондовых измерениях. Исследованию взаимного влияния плоских пристеночных зондов в различных режимах течения посвящены гл. 1 и гл. 3 диссертации. Компактность расположения двойных
6
зондов на боковой поверхности КЛА необходима и по соображениям уменьшения габаритов и веса зондового прибора.
Методика зондов«,к измерений в следе спутника или в теневой области тела, требует учета взаимодействия зонда и обтекаемого плазмой тела. Граничные условия на внешней границе возмущенной зоны зонда зависят от параметров плазмы в точке расположения зонда. Следовательно, прежде чем рассчитывать зондовую характеристику, необходимо рассчитать параметры плазмы в области следа, где проводятся измерения (гл. 2 и 4 диссертации).
7
Глава 1. Взаимное влияние плоских пристеночных электродов в бссстолкновительном режиме
1.1. Физическая постановка и математическая модель задачи
Рассматривается бесконечная плоскость из диэлектрика, обтекаемая потоком бесстолкновительной плазмы. Такая плоскость может быть элементом космической станции или элементом тела, обтекаемого разреженной плазмой в лабораторных условиях. Если пластина имеет острую переднюю кромку, на которую набегает поток, то параллельно этой кромке на некотором расстоянии от неё располагается узкая длинная полоска из проводящего материала (будем называть её электродом). Ширина полоски а её потенциал <рр\. Параллельно первой полоске на расстоянии а располагается еще одна такая же полоска шириной гР2> и потенциалом <рР2. Около каждой из полосок возникает слой объемного заряда и далее квазинейтральная возмущённая зона. Если размер а достаточно большой (<а» гр\, гР2), то возмущенные зоны около обоих электродов не пересекаются и взаимного влияния их друг на друга нет. По мере.уменьшения размера а наступает момент, когда возмущенные зоны начинают пересекаться, вследствие чего появляется взаимное влияние. С дальнейшим уменьшением а оно будет усиливаться и достигает максимального значения при соприкосновении электродов. Как показано в работах [1*7], относительный размер возмущенной зоны вблизи электрода зависит от параметров задачи гр, <рр, с = 7*/Т„ К«, {Т,е— температуры ионов и электронов, К» — направленная скорость потока плазмы).
Рис. 1.1. Расположение плоских пристеночных зондов 1- зонды, 2 - диэлектрическая пластина
8
Если гР! = гР2У а (рР1 = -(рР2, то описанная выше система 2-х электродов есть двойной пристеночный зонд плоской геометрии, который удобен при проведении зондовых измерений на космических станциях при исследовании собственной атмосферы вблизи их поверхности. Критерием взаимного влияния двойных зондов может быть величина зондового тока как функция расстояния а между ними. Двойные зонды имеют преимущество в сравнении с одиночными зондами: они меньше подвержены влиянию переменных электромагнитных полей в области их расположения и различных колебательных процессов. Кроме того, протекающий в цепи двойного зонда ток близок к ионному току одиночного зонда. Относительно больших токов, пропорциональных электронному току насыщения одиночного зонда, наблюдаться не может, следовательно, разогрев зонда зондовым током маловероятен. В качестве недостатка двойного зонда отметим невозможлоегь измерения с его иомощыо потенциала пространства. Поверхность пластины может быть проводящей, тогда электроды изолируются от нее тонким слоем диэлектрика.
Выбор геометрии электродов в виде двух параллельных удлиненных прямоугольников связан также с уменьшением размерности задачи. Если в общем случае задача обтекания тел разреженной плазмой оказывается шестимерной в фазовом пространстве, а если задача нестационарная, то добавляется еще одна седьмая переменная— время. В нашем случае выпадает зависимость функций распределения ионов и электронов от координаты, направленной вдоль удлиненной стороны прямоугольника и от соответствующей составляющей скорости, т.с. задача оказывается четырехмерной в фазовом пространстве и нестационарной. Задачи такой размерности решаются на ЭВМ среднего класса типа Ретшт-4 [1-**7].
Электроды предполагаются идеально каталитическими. Это означает, что электрон, коснувшийся поверхности, поглощается, а ион приобретает электрон и становится нейтральной частицей. В случае необходимости могут быть учтены различные пристеночные процессы: вторичная и фотоэмиссия, инжекция заряженных и нейтральных частиц и др. Однако в нашем исследовании эти процессы не рассматриваются. Результаты подобных исследований можно найти в [8]. Потенциалы электродов предполагаются заданными за счет внешнего источников питания. При необходимости потенциал может изменяться по произвольному заданному закону. Потенциал на внешней границе расчетной области предлагается равным потенциалу пространства, принимаемому за ноль. На диэлектрической поверхности могут приниматься условия диффузного отражения.
9
Математическая модель задачи включает уравнения Власова для ионов и электронов и уравнение Пуассона для самосогласованного электрического поля (система Власова-Пуассона). Ниже система записана в декартовой системе координат (ось х направлена вдоль вектора скорости потока плазмы; у — перпендикулярно плоскости электродов, 2 — вдоль удлиненной стороны электродов)
(11)
& + (,2> "« = (^?): Я-«-<Г/<.(*. у. г)мхму (1.3)
и = (^): Ча Ц-.Ф'у^^'у (1.4)
Начальное условие:
Г.{х.уЪ,Гу,0)ш22 ^.)*ехр{_^.[(^-02 + «?]) (1.5)
Граничные условия:
Г = Гр\
ґа(хр>У> Ух> Уу>01
<Рр = <РрО }
(1-6)
г — Го,:
/«('-.у-. 1І.Іу.О = Vехр{-[(у, - 1'*)= + 1у]}
<Р~ = О
(1.7)
Система (1.1)^(1.4) с начальными и граничными условиями (1.5)+(1.7) составляет математическую модель задачи для плоских пристеночных электродов ленточного типа, расположенных на большой диэлектрической пластине, обтекаемой потоком бессто) 1 к новите; 1 ьной плазм ы.
10
В (1.1)^(1.7) введены следующие обозначения: /а— функция распределения заряженных частиц сорта а; Е, ср — напряженность и потенциал самосогласованного электрического поля; </а, та, па,уа— заряд, масса, концентрация и плотность тока частиц сорта а.
Индексом «у?» отмечены параметры на электроде, индексом «со»— параметры в невозмущенной плазме.
Система (1.1)^(1.7) приводилась к безразмерному виду с помощью следующей системы масштабов:
кТ{
масштаб потенциала — (1-8)
масштаб длины ДГ: = (-—■Л1 (1.9)
масштаб концентрации Мп = п10с (1.10)
масштаб скорости М?л - (:~)= ,а-\.е (1.11)
масштаб функции распределения М, = \ ' п » (1-12)
Iм»'«.1
масштаб времени Л/. =^— (1-13)
•ч и,
масштаб напряженности электрического поля МЕ = ~ (114)
масштаб плотности тока М, - еМпМ^ (1-15)
масштаб интегрального тока Л// = М/М/)2 (116)
масштаб магнитной индукции Мв - (117)
А *
Запишем систему (1.1)^(1.7) в безразмерном виде с использованием приведенной системы масштабов:
11
8*ч|.о4*НЧИ4)-
#.ЛМММИ<*>!('4*М0-»
д22> Э:£ .. -ч
Начальное условие:
А (*.МЛ.О) = -^ехр(-(Й, -У.)2- У,1)
Граничные условия:
г = гр:
ЛгС*»/У» Кг/ К'» Г
Ру>о
Фр = £р0
= 01
г = Г«-:
/в(Хос.У«.К,,Гу/0 = £ ехр {“ [01 “ Гое)“ + Гу Щ
^ = о ;
Г< Я1х
здесь ^ V ~ —
ч тп9
(1.18)
(1.19)
(1.20) (1.21)
(1.22)
(1.23)
(1.24)
12
В последующем изложении знак “Л” будет опущен. Решение задачи (1.18)—(1.24) зависит от следующих безразмерных параметров:
• го = — безразмерная ширина электрода
• Ч>о = тг — безразмерный потенциал электрода
• т?0 = — безразмерная направленная скорость плазмы (1.25)
т1Х
• г = — — отношение температур ионов и электронов
Тех
• £?0 = -— — безразмерная величина индукции магнитного поля
•х'з
1.2. Вычисли*!'ельная модель задачи
1.2.1. Метод численного решения уравнения Власова
Кинетическое уравнение Власова является квазилинейным дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка1 с нулевой правой частью. Решение уравнений такого вида наиболее удобно проводить методом крупных частиц Давыдова, либо методом характеристик [3-7]. Метод крупных частиц будет рассмотрен в главе 3 диссертации, здесь же остановимся на методе характеристик. Следует отметить, что оба указанных метода имеют много общего. Алгоритм обеих методов основывается на том, что функции распределения оказываются постоянными вдоль характеристик, которые являются одновременно траекториями движения заряженных частиц в фазовом пространстве. Разница состоит в том, что в методе крупных частиц интегрирование уравнений движения частиц вдоль траектории осуществляется в направлении возрастания времени, а в методе характеристик от текущего момента времени в сторону его уменьшения вплоть до нуля, где функция распределения задана в виде начального
1 В [9], [10], [11] показано, что традиционное уравнение Больцмана можно уточнить и получить так называемое обобщенное уравнение Больцмана, в левой части которого появляется вторая производная от функции распределения по времени.
13
условия. Получив решение системы для нулевого момента времени, находим искомое значение функции распределения для рассматриваемого узла расчетной сетки.
Система уравнений Власова для ионов и электронов в случае плоских пристеночных электродов имеет вид (1.18)^(1.21) с начальными условиями (1.22)н-(1.24). Соответствующая система уравнений характеристик записывается так:
— = у
гіг’ х
— = V" гіг- >'
Яд г-, / < «\
тт = —мХ .у ) гі: те
= (у- х-« г-)
(1.26)
Условия на текущий момент времени:
Х'(с) = -V, Л’‘(с) = У. К*(с) = 1/х, Ц.‘(0 = К,. (1.27)
В качестве ограниченного носителя функций распределения рассматривается следующий компакт в фазовом пространстве:
51фр /а "" 6 (—ЛГсс, X«], V 6 [0»Уи],1д- £ ~ Vпихтах ~~
и 1 V € \—У -V V - и 1) (•)
гу шах ия'уутах иос]}
Здесь Хвв,увв —значения координат на внешней границе возмущенной зоны, Утля— граница обрезания “хвоста” максвелловского распределения. В пространстве скоростей носитель сдвинут так, что центр тяжести начальной функции распределения оказывается в центре квадрата со стороной 2Утах.
Шаг по времени выбирается максимально большим при условии приемлемой точности расчета. Для выбора оптимального шага по времени проводятся методические исследования.
Вводятся сеточные функции (Га)1)И»(Ех)у,(Еу)*. Индексы у, /,/, к, I соответствуют 1,х,у, Ух, Уу. Значения (Ех)5»(Еу)* вычисляются после решения уравнения Пуассона для
самосогласованного электрического поля с правой частью, вычисляемой по значениям функций распределения на предыдущем шаге но времени. При расчете нет необходимости хранить значения функций распределения на предыдущем шаге по времени, т.к. они не используются при интегрировании уравнений характеристик.
14