Аналитическое и численное исследование нестационарных течений газа с ударными волнами

и
Оглавление.
Введение........................................................... 5
1. Взаимодействие ударных волн с движущимися
телами............................................................. 23
1.1. Определение нестационарных нагрузок, действующих на поверхность простых тел, при боковом падении на них ударных
волн............................................................ 23
1.1.1 Численное моделирование взаимодействия движущихся тел с ударными волнахми при произвольном угле падения на
поверхность тела................................................. 24
1.1.2. Оценки максимального нестационарного давления на поверхности движущегося тела в рамках гиперзвукового закона плоских сечений.................................................. 35
1.2. Нестационарная пространственная задача о падении ударной
волны на движущееся треугольное крыло................................ 44
1.3. Способ увеличения аэродинамического качества крыла, движущегося СО сверхзвуковой скоростью, за счет интерференции волн при деформации его поверхности..........................
Выводы по главе 1....................................................... 66
2. Фокусирование ударных волн в местах излома обтекаемой
67
поверхности ......................................................
2.1 Усиление ударной волны в клиновидной полости..................... 68
-3-
2.2. Точное решение задачи затекания ударной волны произвольной интенсивности в полость конечного угла раствора....
2.3. Численное решение и обобщение результатов усиления ударной
72
волны в полости конечного угла раствора.........................
2.4 Модификация численного метода Лакса - Веидроффа для расчета нестационарных задач взаимодействия сильных 79
газодинамических разрывов, имеющихся в поле течения.............
Выводы по главе 2.................................................. 82
3. К общей теории рефракции ударных волн........................... 83
3.1. Обобщение теории рефракции ударных волн на поверхности двух газов............................................................. 83
3.2. Два класса точных решений задачи о столкновении движущегося
со сверхзвуковой скоростью клина с границей раздела газов....... 89
3.3 Численное решение задачи о проникании движущегося со
сверхзвуковой скоростью тела в газ другой плотности.................. 100
Выводы по главе 3.................................................. 107
4. Некоторые вопросы теории распада произвольного двумерного
разрыва............................................................ 109
4.1. Аналитическое и численное исследования задачи о распаде произвольного двумерного разрыва при конечном угле излома первоначальной границы разрыва.................................. 110
4.2. Механизм образования вихрей в нестационарном потоке сжимаемого идеального газа...................................... [ 90
-4-
4.3. Встречное и догонное взаимодействие вихревых структур с ударными волнами................................................
Выводы но главе 4....................................................... 143
5. Отрывные течения идеального газа при нестационарном обтекании
тел..................................................................... 144
5.1 Влияние нестационарности на обтекание крыла, движущегося со сверхзвуковой скоростью........................................... 145
5.2 Теория отрыва нестационарного потока идеального газа при сверхзвуковом обтекании выпуклого угла............................ 156
5.3 Фундаментальное свойство отрывных течений в нестационарном сверхзвуковом потоке идеального газа.............................. 174
Выводы по главе 5....................................................... 180
Выводы.................................................................. 181
Литература........................................................... 182
ВВЕДЕНИЕ.
-5-
Вопросы безопасности полета летательных аппаратов при сверхзвуковых скоростях требуют решения задач взаимодействия ударных волн с движущимися телами и неоднородностями, встречающихся в атмосфере. К данному классу начально - краевых задач с неизвестными движущимися границами (поверхности сильного разрыва) относятся, во-первых, взаимодействие падающей ударной волны с газодинамическими разрывами, реализующимися около движущегося тела, приводящее к существенному изменению результирующего потока, обтекающего тело. Во - вторых, воздействие нестационарного импульса, созданного ударной волной, на органы управления и поверхности в местах, где возникают значительные пиковые тепловые или аэродинамические нагрузки. В - третьих, рефракционные задачи взаимодействия возмущений от движущегося тела с неоднородностями, встречающимися в атмосфере, или с вихревыми следами, образующимися от другого движущегося тела. Необходимость решения этих пространственных нестационарных задач для определения, как интегральных аэродинамических характеристик летательного аппарата, так и локальных нагрузок на его поверхности обуславливает актуальность данных исследований.
В первоначальных работах, посвященных этому вопросу, аналитические решения обычно искалось для слабых волн. Так в работах [3,
4] вычисляется величина импульса нестационарного давления, действующая на тела в жидкости и газе. В работах [7, 8, 10, 51, 70] исследуются задачи взаимодействия слабой волны с клином или пластиной. Дифракция волны конечной интенсивности на тонком клине изучено в [121]. Обтекание неподвижных или движущихся со сверхзвуковой скоростью крыльев волнами слабой интенсивности рассмотрено в [30, 31, 32, 69, 97].
С развитием вычислительной техники стало возможно решать задачи взаимодействия волн умеренной и сильной интенсивности с неподвижными
-6-
[2, 6, 20, 33, 48, 54, 58, 83, 110, 118, 122, 136 - 139, 141, 143 - 144] и движущимися телами [13, 16, 18, 28, 34, 61, 72].
Экспериментальные работы по этой теме ограничиваются в основном задачами дифракции ударной волны на неподвижных телах [1, 50,53, 55, 56, 95, 123, 124 - 126]. Отсутствие работ на движущихся телах объясняется тем, что экспериментальное моделирование данных задач связано со значительными трудностями методического характера и требует больших затрат [87]. Поэтому в работе для решения нестационарных задач взаимодействия наиболее приемлемо численное моделирование.
Так как процессы взаимодействия скоротечны, то роль эффектов нестационарности преобладает над другими факторами, что позволяет решать задачи взаимодействия волн умеренной и сильной интенсивности с движущимися телами в рамках нестационарных уравнений Эйлера. Изучаются течения невязкого нетеплопроводного газа.
Существенная нестационарность процессов позволяет в исключительных случаях аналитически решить ряд принципиальных нелинейных задач газодинамики. Например, автором аналитически решены: задача усиления ударной волны умеренной интенсивности в сужающейся полости; создана теории отрыва нестационарного сверхзвукового потока газа с задней кромки обтекаемого тела за счет сил инерции; получены точные решения в задаче взаимодействия движущегося со сверхзвуковой скоростью клина с границей раздела двух газов.
Цель работы. Исследование не изученных явлений, возникающих при нестационарном взаимодействии ударных воли со сверхзвуковой скоростью телами, определение локальных максимальных нагрузок и интегральных аэродинамических сил, действующих на движущиеся объекты.
Научная новизна. Основная часть результатов, получена автором впервые и не имеют аналогов в отечественной и зарубежной литературе. К такого рода результатам следует отнести: обобщение теории рефракции на поверхности раздела двух газов с учетом их скорости движения; получение двух классов
-7-
точных решений задачи о столкновении тонкого тела, движущегося со сверхзвуковой скоростью, с границей раздела газов; получение точного решения в задаче затекания волны умеренной интенсивности в полость с конечным углом раствора; установление принципа независимости решения для величины максимального давления в окрестности угловой точки от интенсивности падающей волны; создание теории отрыва нестационарного потока идеального газа с задней кромки обтекаемого тела.
Практическая ценность. В работе численными и аналитическими методами получены решения для конкретных задач нестационарной аэродинамики. Точные решения, найденные в работе, позволяют выявить роль нестационарных эффектов в задачах взаимодействия, служат проверкой как экспериментальных, так и численных методов моделирования нестационарных процессов.
Результаты, полученные в работе, использовались для инженерных оценок максимальных нагрузок, возникающих на летательных аппаратах, находящихся как в условиях полета, так и на стоянке.
Достоверность представленных расчетных и аналитических результатов проверялась путем сравнения с имеющимися результатами других авторов. В частности, метод численного моделирования проверялся получением ранее известных решений. Кроме того, полученные точные решения нелинейных задач рефракции, усиления ударных волн при затекании в полость, срыва сверхзвукового потока с кромок обтекаемого тела дали возможность всесторонне апробировать численные методы расчета и воспроизвести картины течений с приемлемой точностью.
Личный вклад автора.
Все параграфы диссертации, кроме §§ 1.3, содержат результаты, полученные автором лично. §§ 1.3 написан на основе результатов совместной работы с В.
Н. Голубкиным и Г. 1-1. Дудиным.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на 7 - ой и 8 -ой конференциях по аэродинамике гиперзвуковых скоростей ЦАГИ (1972, 1974г.г.), на школе - семинаре “ Фундаментальные проблемы физики ударных волн” в Азау, 1987г., на семинаре “ Распространение ударных волн в неоднородной среде” в ИВТАН АНСССР в 1988г., Юбилейной научно -технической конференции НИО - 8 ЦАГИ по аэродинамике больших скоростей в Жуковском, 1989г., на Всесоюзном семинаре - совещании “Нестационарные взаимодействия ударных волн”, Ташкент, 1989г., на “Гагаринских научных чтениях по космонавтике и авиации” в Москве, 1991г., 1995г., на 7 - ом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике в Москве, 1991г., на Школах - семинарах ЦАГИ “Механика жидкости и газа” в 1990 - 1992 и 1994г.г., на Международной конференции “Фундаментальные исследования в аэрокосмической науке” в ЦАГИ, 1994г., на школе - семинаре “Современные проблемы аэрогидродинамики” под руководством Г.Г. Черного, в Туапсе, 2001 г., на школе - семинаре ЦАГИ “Аэродинамика летательных аппаратов” в 2003 г., на семинарах ЦАГИ (руководители В.В. Сычев, В.Я. Нейланд) в 1995, 2003, 2008 г., на 12 - ой Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам, г. Владимир в 2003 г., на 4, 5, 6, 7 Международном школе-семинаре "Модели и методы аэродинамики ", г. Евпатория в 2004 - 2007 г.г.
Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура,диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав и выводов и списка литературы. Она содержит 195 страниц текста, включая 82 рисунка и 3 таблицы по тексту диссертации. Список цитированной литературы насчитывает 150 наименований.
На защиту выносятся следующие результаты:
1) Определение существенно нестационарных режимов обтекания движущегося Л. А. при боковом воздействии на него ударной волны.
-9-
2) Точное решение задачи усиления ударной волны произвольной интенсивности в местах излома поверхности Л.А.
3) Влияние неоднородностей атмосферы (температуры, скорости) на нестационарные на1рузки, действующие на движущийся Л.А. Обобщение теории регулярной рефракции. Аналитические и численные решения.
4) Механизм образования вихрей в нестационарном потоке газа. Встречное и догонное взаимодействие ударных волн с концевыми вихрями Л.А.
5) Теория отрыва нестационарного сверхзвукового потока газа за счёт инерционных сил при обтекании ударной волной Л.А.
- 10-
Краткое содержание диссертации
Во введении дан обзор публикаций в области взаимодействия ударных волн с неподвижными и движущимися телами, сформулирована тема диссертации, обоснована её актуальность и кратко изложено содержание диссертации.
Перваи глава посвящена исследованию процессов взаимодействия ударных волн с движущимися и неподвижными телами простой формы.
В § 1.1.1 представлены численные решения задачи бокового встречного взаимодействия ударной волны, падающей на клин конечной толщины, движущийся со сверхзвуковой скоростью. Так в [13] решается автомодельная задача, когда интенсивности головной и падающей ударных волн равны и угол падения ограничен такими значениями, чтобы на поверхности клипа реализовалось правильное отражение ударной волны. Для решения используется метод характеристик и точные соотношения на скачках, когда ищутся кусочно-постоянные решения при взаимодействии разрывов.
В диссертации показано, что для величины максимального давления на поверхности клина выполняется закон подобия по числу К — М sin (р, где М - число Маха набегающего потока, ср - угол головной ударной волны.
В случае больших углов падения, при реализации на поверхности клина маховского отражения, задача решается численно методом сквозного счёта [16]. В диссертации отмечено существенное (почти квадратичное) увеличение коэффициентов подъёмной силы и момента с ростом интенсивности падающей волны. В работе приводятся коэффициенты момента и подъёмной силы, отнесенные к первоначальному набегающему скоростному потоку, в зависимости от интенсивности падающей волны Р для клина с а * 40 , числом М= 4 при угле падения а„ад = 55*.
Анализ осесимметричного течения газа при лобовом столкновении движущегося конуса с ударной волной подтвердил [28], что значения параметров газа в дифрагированной области могут значительно (до 25%)
-11 -
отличаться от их стационарных значений в носике. Задача о боковом взаимодействии ударной волны на движущийся конус решена в работе [Кутлер П., Сакелл Д., 1975].
В § 1.1.2 приводятся аналитические выкладки, подтверждающие
выполнение закона подобия по числу К = М sin <р для максимальных давлений на поверхности движущегося клина, когда интенсивности головной и падающей ударной волны равны [6]. В случае разных интенсивностей ударных волн, применяя гиперзвуковой закон плоских сечений, (М » 1, толщина тела со мала, а Л/*со ~ 1) задача о взаимодействии сводится к одномерной нестационарной задаче столкновения движущегося поршня с набегающей на него ударной волной. Показано, что для разных интенсивностей взаимодействующих волн установление стационарного режима качественно различно. Так, при падении более сильной ударной волны на систему: ударная волна - поршень, максимальное нестационарное давление для у = Ы возрастает в несколько раз по сравнению со стационарным значением.
Пространственная задача взаимодействия ударной волны с плоским треугольным крылом, движущимся со сверхзвуковой скоростью в режиме дозвуковых передних кромок, изучена в §1.2 [33-34]. Здесь для определённых конечных углов атаки и стреловидности крыла и чисел М набегающего потока газа вычислены стационарные и нестационарные характеристики обтекания. Приведены зависимости нестационарных коэффициентов подъёмной силы Су и моментов тангажа т: и крена тх от безразмерного времени Т для двух вариантов задачи, определяемых на фигуре комплексами чисел: Му Ху /?> Р Здесь а, /? - углы стреловидности, атаки и
скольжения, Р - интенсивность падающей волны. За единицу Т взято время, в течение которого набегающая спереди на крыло волна пройдёт расстояние равное корневой хорде. Анализ результатов указывает на не монотонное поведение момента крена Мх, когда крыло движется с М= 1.2. При малых временах взаимодействия на крыле со скольжением происходит уменьшение
- 12-
момента крена, а для Т > 2 величина его значительно возрастает, особенно для варианта с М- 1.6. Аналитическое решение дифракции ударной волны на тонком крыле представлено в работе [Ting L., Gunzburger М., 1969].
В § 1.3 исследуются возможности увеличения аэродинамического качества треугольного крыла за счёт интерференции волн, образуемых при изломе его поверхности в поперечном направлении к вектору скорости сверхзвукового невозмущённого потока. Аналитически и численно в рамках
о
уравнений Эйлера получено, что при М = 4 6 и угле атаки а от 0 до 6
происходит увеличение качества крыла до 10% за счёт отгиба вниз его носовой части. Ранее такой эффект был получен в гиперзвуковом приближении тонкого ударного слоя [ Голубкин В.Н., Негода В.В., 1991]. В настоящее время наличие этого эффекта подтверждено и в вязких течениях [106].
Эффект увеличения качества крыла при деформации его в продольном направлении изучен в работах [ Pittman J. L.,1987, Таковицкий С.А.,1998].
Вторая глава посвящена изучению поведения ударных волн при фокусировании их в местах излома обтекаемой поверхности. В реальных условиях полёта это может привести к значительным тепловым и аэродинамическим пиковым нагрузкам в этих местах.
В § 2.1 исследована задача затекания ударной волны в угловую полость. Известно, что при этом интенсивность ударной волны усиливается из-за серий взаимодействий ударных волн между собой и боковыми сторонами полости. Существует акустическое решение для слабых волн [Гувернюк С.В., 1976] и экспериментальные данные для сильных волн [Белоконь В.А., и др., 1965]. В диссертации показано, что для узких полостей (угол при вершине
о
полости а < 30) даже слабые волны с избыточным давлением АР = 0.02 вызывают в точной постановке увеличение коэффициента усиления давления в вершине полости в два раза, по сравнению с акустическим решением. В случае волн умеренной и сильной интенсивности численным моделированием показано, что величина максимального давления,
-13-
отнесённая к давлению, получаемому при лобовом столкновении волны со стенкой, асимптотически стремится к предельной величине, зависящей только от параметра у и угла раствора полости. Это позволило построить универсальную кривую, описывающую зависимость максимального давления в вершине угла от величины раскрытия полости для у = 1.4
В § 2.2 приводится точное решение задачи затекания ударной волны произвольной интенсивности в полость конечного угла раскрытия. Решение построено при условии, что в точках столкновения ударных волн в полости реализуется правильное отражение, и к поверхности полости отражённые ударные волны подходят под углом 90°. В этом случае в полости реализуется простая картина течения, состоящая из конечного числа ударных волн и областей с кусочно-постоянными решениями. При заданной интенсивности набегающей волны определяется значение полуугла при вершине полости и по формулам отражения ударной волны от стенки находится значение максимального давления в вершине полости. При у — 1.4 аналитическое решение задачи затекания волны произвольной интенсивности существует для клиновидной полости с конечным углом раствора 109° < а < 127°. Анализ точного решения подтверждает, что при увеличении интенсивности падающей ударной волны отношение максимального значения давления к давлению лобового отражения в вершине полости стабилизируется.
В § 2.3 приведены исследования воздействия ударной волны
произвольной интенсивности, падающей под углами: 0, 45°, 60° на
пластину, закреплённую на плоской твердой поверхности [58]. Решение данной задачи связано с нахождением нестационарного момента, выворачивающего пластину. В диссертации для двух интенсивностей падающих волн проведено исследовано поведение величин М (I) и максимального давления в угловой точке.
Анализ максимального давления, получающегося в начальный момент времени в точке сопряжения плоскости и пластины, показывает, что при а = 45° и 60° для слабых волн (Д Р ~ 0,1 - 0,2) существует область «коротких
- 14-
волн», где течение газа описывается нелинейными уравнениями [Рыжов О.С., Христианович С.А., 1958].
В настоящее время существуют компактные разностные схемы, позволяющие получить решения достаточно сложных задач аэродинамики [Толстой А.И., 1990]. В диссертации, когда в расчётном поле имеются несколько сильных разрывов, взаимодействующих между собой, для моделирования плоских и пространственных нестационарных течений газа используется метод сквозного счёта без выделения этих разрывов [23].
В § 2.4 представлен модифицированный вариант такой двухшаговой схемы Лакса-Вендроффа, первоначально опубликованный в работе [ Рубин E., Бурштейн С., 1967]. Данная явная разностная схема, которая имеет второй порядок точности на гладких решениях, адаптирована к расчёту течения газа в окрестности сильных ударных волн и контактных разрывов. Для этого в процессе решения задачи для каждой расчётной центральной точки проводится анализ по окружающим её точкам для определения присутствия сильного разрыва. В случае его существования, в конечно-разностную схему вводился дополнительный член, обеспечивающий устойчивость счёта на разрывах. Так, уравнение неразрывности для идеального газа в пространстве (f, х,у) аппроксимируется разностным соотношением:
Р + (pu)x + (pv)y =(l-ß) (рхх Ах2 /At + Руу Ду2 /At) + 0(At2 ) + 0(Ах2 ) + 0(Ду2)
На гладком решении (ß = 1) схема имеет второй порядок точности. В случае ß Ф 1 схема сохраняет второй порядок точности по времени, а по координате - точность между первым и вторым порядками. Введение коэффициента ß в схему позволяет увеличить шаг по времени в два раза, по сравнению со временем, определяемым из условия Куранта -Фридрихса -Леви, когда схема дополняется искусственной вязкостью для преодоления разрывов [Лаке Р., Вендрофф В., 1964].
Третья глава посвящена исследованию теории рефракции ударной волны на границе раздела двух сред. Данный вопрос изучается в аспекте влияния
- 15-
границ неоднородностей, существующих в потоке газа, на аэродинамику движущихся около этих неоднородностей со сверхзвуковой скоростью тел.
В § 3.1 приводится обобщение регулярной теории рефракции ударных волн на поверхности раздела двух газов. В отличие от ранее существующей теории рефракции, где не учитывался разрыв скорости на границе раздела сред [Taub A., 1947], при решении нестационарных рефракционных задач необходимо учитывать, помимо разрыва плотности и у, разрыв скорости q. В диссертации получено уравнение 12-ой степени [38], определяющее угол ударной волны, прошедшей через границу раздела газов. Вариации параметра q, входящего в это уравнение, позволяет найти новые схемы взаимодействия в рефракционных задачах. В общем случае решение уравнения ищется численно, хотя для частных случаев из него получают точные решения газодинамики. Результаты численного счёта и аналитических оценок показывают, что интенсивность головной ударной волны, образованной движущимся со сверхзвуковой скоростью клином, при отражении от границы раздела газов может возрастать до 1.4. С учётом отражения её от поверхности клина имеем, что на поверхности давление на 80% больше, чем в носовой части. В диссертации проведены расчёты интенсивности волны, падающей на поверхность клина при вариации параметров на границе раздела: плотности газов, скорости, показателя адиабаты.
В § 3.2 представлены два класса точных решений задачи о взаимодействии движущегося тела с границей раздела газов. Основное условие для получения точных решений задачи - конечное число взаимодействий между газодинамическими разрывами, что делает возможным полностью её рассчитать. Так приведено точное решение при столкновении клина
о
полуугола раствора 0 = 10, движущегося с Мо = 2.4, с границей раздела газов, где у0 =1-1 и уi =1.4 [73]. В результате пересечения головной ударной волны ВС с границей раздела газов образуются: отражённая ударная волна ВЕ, перпендикулярная к поверхности клина, преломлённая граница газов BF и прошедшая через границу газов без преломления ударная волна AB.
- 16-
Решение ищется в подвижной системе координат, связанной с точкой пересечения головной ударной волны с границей раздела газов. Интенсивность ударной волны, падающей на поверхность, вычисляется в
ООО
зависимости от числа Мо для трёх клиньев, толщиной 10 , 20 , 30 . Видно, что она возрастает до’ 1.75 при падении сильной волны на поверхность раздела газов.
Дія второго класса точных решений представленных в диссертации характерно, что головная волна, взаимодействуя с границей раздела газов, не порождает отражённых волн [72]. Данное решение возможно только в рамках обобщённой теории рефракции, т.е. при существовании разрыва скоростей газа на первоначальной границе раздела газов. № анализа результатов расчета следует, что величины давления и плотности немонотонны на поверхности клина в зависимости от скорости движущегося клина для конкретного варианта задачи (0 = 10°, у0 =1 -4 и у і =1.1).
Оценки результатов, полученных в рамках обобщённой регулярной рефракции, указывают на существенное влияние неоднородности, находящейся в поле течения, на движущееся тело.
Изучение нерегулярной рефракции представлено в § 3.3, где рассмотрена задача лобового столкновения движущегося со сверхзвуковой скоростью тела (плоского или осесимметричного) с границей раздела газов [61]. В диссертации показано, что в зависимости от плотности (числа М) набегающего газа при взаимодействии реализуются разные схемы течения газа, которые и определяют разное поведение силы сопротивления, действующее на тело. Так приведено поведение силы сопротивления по времени для тела формы конус + цилиндрическая юбка, набегающего с М = 2 на границу легкого или тяжёлого газа. Угол при вершине конуса равен 20°. Анализ поведения кривых показывает, что после столкновения тела с границей газов, квазистационарная сила сопротиапения уменьшается или
- 17-
увеличивается в К = Vр\1 р0 раз. Здесьро,р\- плотности газа на границе (р0 - в набегающем невозмущённом газе).
Четвёртая глава посвящена аналитическому и численному исследованию теории распада двумерного произвольного разрыва. Автомодельная задача о распаде одномерного произвольного разрыва является основополагающей при изучении газодинамических задач, имеющих разрывы в начальных условиях [Кочин Н.Е., 1949]. В двумерных течениях газа это относится к задачам дифракции и отражения ударных волн на неподвижных и движущихся телах, когда на поверхности разрыва имеются точки излома, так что задача изначально является нестационарной (автомодельной) и двумерной. В диссертации проведена систематизация типов конфигураций разрывов, аналитически и численно исследован распад произвольного разрыва общего типа, по сравнению со схемой [Шуршалов Л.В., 1974], когда в начальный момент времени вдоль границы разрыва возникают касательные составляющие скорости. В этом случае решение задачи находится численным моделированием, а для разрывов слабой интенсивности - аналитически. По физической сути к данным задачам близки локальные задачи о внезапном движении в каждый момент времени частиц газа в турбулентных движениях, когда течение рассчитывается без учёта диссипативной вязкости.
В § 4.1 аналитически и численно исследована задача о распаде двумерного произвольного разрыва в газе, когда прямолинейная граница первоначального разрыва имеет излом на конечный угол а [75]. Случай, когда а близко к 90, рассмотрен [Тещуков В.М., 1972], где сформулирована краевая задача по малому углу в = 90 - а. Для учёта в решении конечного угла а, в диссертации сформулирована и решена краевая задача Дирихле при произвольном а для малого избыточного давления. Показано, что на картину течения существенную роль оказывает вихревой слой, образующийся на границе областей. В зависимости от начальных параметров задачи часть